z 2 4z + 5 = 0, z = x + iy, i 1,

Transcripción

1 Àlgebra i Geometria I Tema I NOMBRES COMPLEXOS 1- Necessitat dels nombres complexos i definició (a) Les solucions de les equacions polinòmiques El nombre imaginari i 1 Els enters Z, els racionals Q i els reals R apareixen com una necessitat d ampliar un conjunt numèric per tal que certes equacions algebraiques (polinòmiques) admeten solució A l hora de resoldre equacions polinòmiques en els reals apareixen solucions que no són nombres reals Per exemple, si estudiem l equació quadràtica trobem les solucions z ± = ± 4 = ± i El nombre imaginari i 1 z 4z + 5 = 0, Les expressions de la forma z = a + ib, a, b R, les anomenem nombres complexos Teorema fonamental de l àlgebra: Una equació polinòmica de grau p amb coeficients complexos admet p solucions complexes (b) Forma binòmica i diagrama d Argand El conjunts dels nombres complexos els denotarem C Normalment, escriurem els nombres complexes de la forma binòmica: z = x + iy, i 1, on x, y són dos nombres reals que anomenarem, respectivament, part real de z, x = Re(z), i part imaginària de z, y = Im(z) Podem veure un nombre complex com una parella ordenada de nombres reals, z = (x, y) Aleshores podem representar z en el pla complex utilitzant l anomenat diagrama d Argand Més endavant introduirem les formes polar i exponencial d un nombre complex (c) Igualtat entre complexos i conjugació complexa Dos nombres complexos z 1, z són iguals si ho són les seues parts real i imaginària: z 1, z C, z a = x a + iy a, x a, y a R ; z 1 = z x 1 = x, y 1 = y El complex conjugat, z, d un complex z és el complex que té la mateixa part real i la part imaginària canviada de signe: z = x + iy, x, y R ; z = x iy Representació de z i z en el diagrama d Argand 1

2 - Operacions amb nombres complexos Un nombre complex és, formalment, un binomi Aleshores, la suma i el producte de dos nombres complexos és un altre nombre complex que es pot determinar com sumem i multipliquem dos binomis, tenint en compte que i = 1 (a) Suma de nombres complexos La suma de dos nombres complexos és un altre nombre complex amb parts real i imaginària que són suma de les parts real i imaginària dels dos sumands: Exemples: z 1, z C, z a = x a + iy a, x a, y a R ; z 1 + z = (x 1 + x ) + i(y 1 + y ) Suma de complexos en el diagrama d Argand La suma de complexos té les següents propietats: Associativa: Commutativa: Element neutre: 0 + i0 0 Element invers: z / z + ( z) = 0 Si z = x + iy, z = x + i( y) = x iy Diferència de complexos: z 1 z z 1 + ( z ) Totes aquestes propietats signifiquen que (C, +) és un grup abelià (b) Producte de nombres complexos El producte de dos nombres complexos és un altre nombre complex que es pot calcular de la següent forma: z 1, z C, z a = x a + iy a, x a, y a R ; z 1 z = (x 1 x y 1 y ) + i(x 1 y + y 1 x ) Exemples en el diagrama d Argand El producte de complexos té les següents propietats: Associativa: Commutativa: Element neutre: 1 + i0 1 Element invers: z 1 / z z 1 = 1 Si z 0, z 1 1 z = z z z Divisió de complexos: z 1 z 1 z 1 = z 1 z z z z Totes aquestes propietats signifiquen que (C {0}, ) és un grup commutatiu La suma i el producte de complexos satisfan la propietat distributiva: z 1 (z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3 Aleshores (C, +, ) és un cos commutatiu (com veurem al tema següent Estructures Algebraiques )

3 (c) Propietats de la conjugació complexa La conjugació complexa té les següents propietats: (i) (z 1 + z ) = z1 + z (ii) (z 1 z ) = z1 z (iii) (z 1 ) = (z ) 1 ; (1/z) = 1/z (iv) Re(z) = 1(z + z ), Im(z) = 1(z z ) (v) z z = z z = x + y 3- Representació polar i manipulacions algebraiques (a) Mòdul i argument d un nombre complex Donat el nombre complex z = x + iy, x, y R, definim: Mòdul de z: z r = z z = x + y Argument de z: arg(z) θ = arctan(x/y) / cos θ = x r sin θ = y r En el càlcul de l argument és important el signe de les parts real i imaginària L argument està definit salvant un múltiple enter de π: arg(z) = θ + kπ, k Z Interpretar geomètricament en un diagrama d Argand el mòdul i l argument El mòdul de complexos té les següents propietats: (i) z = z (ii) z 1 z = z 1 z (iii) z 1 /z = z 1 / z (iv) z 1 ± z z 1 + z (b) Representació polar d un nombre complex Si per a un nombre complex z, r z, θ arg(z), aleshores les parts real x i imaginària y venen donades per: x = r cos θ, y = r sin θ Aleshores obtenim la forma polar o trigonomètrica d un nombre complex z: z = r(cos θ + i sin θ) (c) Representació exponencial d un complex Fórmula d Euler Recordem el desenvolupament en serie de Taylor d una funció real de variable real, f(x) = n=0 f (n) (0) x n ; cos x = n! k=0 ( 1) k x k, sin x = k! k=0 ( 1) k (k + 1)! xk+1 3

4 Tenint en compte el desenvolupament en serie de Taylor de la funció exponencial d una variable real, podem estendre la funció exponencial als nombres complexos: z C, exp(z) e z = Si particularitzem aquesta definició per a z = iθ, i tenim en compte el desenvolupament en serie de Taylor del sinus i el cosinus, obtenim la fórmula d Euler: e iθ = cos θ + i sin θ A partir de la fórmula d Euler arribem a la forma exponencial d un nombre complex: Algunes propietats: (i) e z 1 e z = e z 1+z (ii) (e z ) n = e nz (iii) (e z ) 1 = e z z = re iθ (d) Multiplicació i divisió en forma exponencial Si z a = z a e iθa, a = 1,, aleshores: n=0 z n n! z 1 z = z 1 z e i(θ 1+θ ), z 1 z = z 1 z ei(θ 1 θ ) 4- Potències, arrels i logaritmes de nombres complexos (a) Potències i arrels Si z a = z e iθ, aleshores la potència n-èssima ve donada per: z n = z n e inθ A partir d aquesta expressió i de la fórmula d Euler obtenim la fórmula de Moivre: (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ Par al càlcul d arrels de nombres complexos hem de tenir en compte que l argument està definit salvant un múltiple de π En forma exponencial tenim: z = z e iθ = z e i(θ+kπ), k Z L arrel p-èssima (potència 1/p) de z és el complex w tal que w p = z Aleshores per al càlcul de l arrel p-èssima hem de trobar les p solucions no equivalents: p z z 1/p = z 1/p e i θ+kπ p, k = 0, 1,, p 1 Exemple: arrel p-èssima de la unitat Representació en un diagrama d Argand 4

5 (b) Logaritmes Com en el cas dels nombres reals, la funció logaritme d un nombre complex es defineix com la inversa de la funció exponencial: Dues propietats: (i) ln(z 1 z ) = ln z 1 + ln z (ii) ln z = ln z + i(θ + kπ), k Z w = ln z z = e w Notem que la funció logaritme d un nombre complex és multivalorada ja que la part imaginària està determinada salvant kπ En aquest curs prendrem sempre la part principal del logaritme, és a dir, una part imaginària a l interval ] π, π] Exemple: ln( i) = i π A partir del logaritme podem definir l exponencial de base arbitrària: z w = e w ln z, que té les següents propietats: (i) a z 1 a z = a z 1+z (ii) ln a z = z ln a (iii) (a z ) w = a zw (iv) (a z ) 1 = a z 5- Funcions trigonomètriques i funcions hiperbòliques (a) Funcions trigonomètriques A partir de la fórmula d Euler obtenim la representació exponencial de les funcions sinus i cosinus: sin θ = eiθ e iθ, cos θ = eiθ + e iθ i Aquestes expressions permeten definir les funcions trigonomètriques d un nombre complex: Propietats: sin z eiz e iz i (i) sin z + cos z = 1, cos z eiz + e iz, (ii) sin(z 1 + z ) = sin z 1 cos z + sin z cos z 1 (iii) cos(z 1 + z ) = cos z 1 cos z sin z 1 sin z ( tan z sin z ) cos z 5

6 (b) Funcions hiperbòliques Les funcions hiperbòliques d un nombre real es defineixen: sinh x ex e x, cosh x ex + e x, ( tanh x sin x ) cos x De la mateixa manera podem definir les funcions hiperbòliques d un nombre complex: ( sinh z ez e z, cosh z ez + e z, tanh z sin z ) cos z Relació entre les funcions trigonomètriques i les hiperbòliques: Propietats: (i) cosh z sinh z = 1 sin iz = i sinh z, cos iz = cosh z, tan iz = i tanh z ; sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z, tanh iz = i tan z (ii) sinh(z 1 + z ) = sinh z 1 cosh z + sinh z cosh z 1 (iii) cosh(z 1 + z ) = cosh z 1 cosh z + sinh z 1 sinh z 6