TEMA 6: CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 6.1 Concepto de suceso aleatorio. Terminología y definiciones.

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1 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / TEMA : CÁLCULO DE PROBABILIDADES.. Concepto de suceso aleatorio. Terminología y definiciones. La probabilidad se centra en los sucesos (fenómenos) que presentando una regularidad estadística, no se puede afirmar cuál será su resultado. Empezamos estableciendo la definición formal de SUCESO ALEATORIO, atendiendo a lo concerniente a su ocurrencia y no a su naturaleza. Definición. Se dice que cierta experiencia es un EXPERIMENTO ALEATORIO, si: I) Es repetible, es decir se puede reiterar el número de veces que sea necesario, bajo las mismas condiciones. II) Sus resultados son impredecibles, esto es, antes de realizar el experimento, no es posible anticipar el resultado. Definición 2. Dado un experimento aleatorio, se define su ESPACIO MUESTRAL como el conjunto de sus posibles resultados, se nota como E ó Ω. Definición. Dado un experimento aleatorio, se define un SUCESO ALEATORIO del experimento, como un subconjunto del espacio muestral. El conjunto de todos los sucesos, es decir, el conjunto de las partes del espacio muestral, se llama ESPACIO DE SUCESOS del experimento, se nota como S ó P( E ). NOTA: En el tema sólo trataremos experimentos aleatorios con espacios muestrales finitos. El conjunto vacío se considera un subconjunto con 0 elementos, de cualquier conjunto. El nº de subconjuntos de un conjunto con n elementos es igual a 2 n. Ejemplo.- Consideramos el experimento que consiste en: lanzar un dado y anotar el resultado El experimento es aleatorio porque: podemos efectuar tantos lanzamientos como queramos (REPETIBLE), y además, no podemos anticipar el resultado que vamos a obtener en cada lanzamiento (IMPREDECIBLE). El espacio muestral es el conjunto E {, 2,,, 5, }. Podemos considerar como ejemplo de suceso aleatorio: A: salir una cara con un número par. El suceso anterior es el subconjunto de E: A { 2,, }.2 Tipos de sucesos aleatorios. Definición. Dado un experimento aleatorio, se define un SUCESO ALEATORIO ELEMENTAL, como el suceso que está formado por un solo elemento del espacio muestral. Definición 2. Dado un experimento aleatorio, se define un SUCESO ALEATORIO COMPUESTO, como el suceso que está formado por más de un elemento del espacio muestral.

2 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / Definición. Dado un experimento aleatorio, se define el SUCESO SEGURO, como el suceso que está formado por todos los elementos del espacio muestral, es decir el propio espacio muestral, E. Se puede decir que ocurre siempre. Definición. Dado un experimento aleatorio, se define el SUCESO IMPOSIBLE, como el suceso que no tiene elementos, es decir el conjunto vacío,. Se puede decir que no ocurre nunca. Definición 5. Dado un experimento aleatorio y un suceso aleatorio A, se define el SUCESO CONTRARIO del suceso A, como el suceso formado por los elementos del espacio muestral que no pertenecen al suceso A, se nota como A suceso A. ó A c ó A. Se puede decir que ocurre cuando no ocurre el Es evidente que el suceso contario al suceso seguro el suceso imposible, y viceversa: E c, Ejemplo.- Consideramos el ejemplo anterior: Sucesos elementales: A { }; A 2 { 2 }; A { }; A { }; A 5 { 5 }; A { } Ejemplo de suceso compuesto: P : salir par, P { 2,, }. Suceso seguro: E {, 2,,, 5, }. Se podría describir como: salir un número menor que 0 Suceso imposible:. Se podría describir como que salga un número mayor que 0. Suceso contrario al suceso anterior P: P c {,, 5 }. Se podría describir como: salir impar. Se podrían construir hasta 2 sucesos distintos. c E. Operaciones con Sucesos: Unión e Intersección. Álgebra de Boole de los Sucesos. Definición. Un suceso A implica a otro suceso B, y se nota A B, si cada vez que ocurre A, también ocurre B. Es decir, si A es un subconjunto de B. Definiciones. Dados dos sucesos A y B. Se define el SUCESO UNIÓN, y se nota A B, como el suceso que ocurre si se verifica al menos uno de ambos sucesos, A B { x E / x A ó x B } Se define el SUCESO INTERSECCIÓN, y se nota A B, como el suceso que ocurre si se verifican simultáneamente ambos sucesos, A B { x E / x A, x B } Definición. Dos sucesos A y B se dicen SUCESOS INCOMPATIBLES, cuando no pueden suceder simultáneamente, es decir, si A B. Como conjuntos, se dice que son disjuntos. Definición. Un conjunto de sucesos, { A, A 2,, A n } se dice que es un SISTEMA COMPLETO DE SUCESOS si son incompatibles dos a dos, y además la unión de todos es el espacio muestral. Es decir, A A 2 A n E, con: A i A j, i j. 2

3 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / El ejemplo más evidente de un sistema completo de sucesos, es el conjunto formado por cualquier suceso y su contrario: { A, A c }. También es un sistema completo el formado por todos los sucesos elementales. Ejemplo.- Seguimos con el experimento anterior: lanzar un dado y anotar el resultado Dados los sucesos: A: múltiplo de, B: salir par, C: salir menor que 5 A { } B { 2,, } C {, 2,, } A implica a B, es decir, A B. A implica a C, es decir, A C. B C {, 2,,, }, se puede describir, B C: salir distinto de 5. B C { 2, }, se puede describir, B C: salir par menor que 5 Sean los sucesos: A {, 2 }; A 2 {, 5, }, A { }. Se puede comprobar que { A, A 2, A } forman un sistema completo de sucesos. Propiedades. Las operaciones unión, intersección y contrario, cumplen las siguientes propiedades: I) Idempotente: A A A A A A II) Asociativa: (A B) C A (B C); (A B) C A (B C) III) Identidad: A A A E E A A E A IV) Conmutativa: A B B A A B B A V) Complementaria: A A c E A A c VI) Distributiva: A (B C) (A U B) (A U C) A (B U C) (A B) U (A C) VII) Leyes de Morgan: (A B) c A c B c (A B) c A c B c Por cumplir estas propiedades se dice que la estructura algebraica de los sucesos es un ÁLGEBRA DE BOOLE.. Definición Axiomática de Probabilidad (Kolmogorov). Dado un experimento aleatorio con un espacio muestral E y un espacio de sucesos S. Se define una PROBABILIDAD en E, como una aplicación del espacio de sucesos en los números reales: P : S R que verifica los siguientes axiomas: A a P( A ) I ) II ) III ) ( ) 0 ( ) ( U B) P( A) + P( B) con AI B P E La terna (E, S, P) se llama ESPACIO PROBABILÍSTICO.

4 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / Como consecuencia de los axiomas anteriores, se pueden demostrar las siguientes propiedades: Propiedad : P( ) 0 Propiedad 2: Dados dos sucesos cualesquiera, A y B, se tiene: P( A B ) P( A ) + P( B ) P( A B ) Con tres sucesos, A, B y C, la propiedad se generaliza como sigue: P( A B C ) P( A ) + P( B ) + P( C ) P( A B ) P( A C ) P( B C ) + P( A B C ) Propiedad : Dados dos sucesos cualesquiera, A y B, se tiene: P( A B ) P( A ) + P( B ) Propiedad : Dados dos sucesos cualesquiera, A y B, tal que A B, entonces P( A ) P( B) Propiedad 5: P( A ), para todo suceso A. Propiedad : Dado un sistema completo de sucesos, { A, A 2,, A n }, se tiene: P( A ) + P( A 2 ) + + P( A n ) Propiedad 7: P( A c ) P( A ), para todo suceso A..5 Definición Clásica de Probabilidad (Laplace). Dado un experimento aleatorio con espacio muestral E. Suponemos que los sucesos elementales son equiprobables, ocurren con idéntica probabilidad. Sea A E, un suceso aleatorio. Se define la PROBABILIDAD del suceso A como la razón entre los cardinales de A y E. Es decir, el cociente entre el nº de casos favorables para que ocurra A y el nº de casos posibles del experimento. P ( A) ( A) ( ) Card Card E casos favorables, casos posibles 0 ( ) Ejemplo: Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado. Calculemos las probabilidades de los siguientes sucesos: A: Salir un nº impar B: Salir un nº primo C: Salir un múltiplo de D: Salir un múltiplo de 5 E A B C D {, 2,,, 5, } ; Card( E) {,, 5} ; Card( A) P( A) { 2,, 5} ; Card( B) P( B) {, } ; Card( C) 2 P( C) { 5} ; Card( D) P( A) 0.7

5 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / Ejemplo: Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos monedas distintas. Calculemos las probabilidades de los siguientes sucesos: A: Obtener dos caras B: Obtener dos cruces C: Obtener una cara y una cruz D: Obtener al menos una cruz E { CC, CX, XC, XX } ; Card ( E ) A B C D { CC} P( A) { XX} P( B) { CX, XC} P( C) { CX, XC, XX} P( D) Ejemplo: Sea el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados distintos y anotar la suma de los resultados. Calculemos las probabilidades de los siguientes sucesos: A: Que la suma sea igual a B: Que la suma sea igual a 8 C: Que la suma sea menor o igual que E A B C {(,);(, 2);...; (, ) }; Card( E) {(5, ); (, 5) } P( A) {(2, );(, 5); (, ); (5, ); (, 2) } P( B) {(,);(, 2); (, ); (2,);(2, 2); (,)} P( C) Probabilidad Condicionada. Para introducir el concepto de Probabilidad Condicionada, estudiemos primeramente un ejemplo: Resultados de una encuesta acerca de la actitud progresista o conservadora, realizada sobre universitarios de ambos sexos : Varones Mujeres Progresista Conservadora Consideramos los sucesos: A: ser varón B: tener actitud progresista ( ) 0.59, P( B) 0.5, P( AI B) 8 7 ( ) 0., P( B)

6 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / Podemos considerar una nueva probabilidad, en otro espacio muestral, la de los alumnos progresistas entre los varones. El nuevo espacio muestral está formado sólo por los varones, y se expresa como la PROBABILIDAD de de B CONDICIONADA al suceso A, P(B / A). Es decir como la probabilidad de ser progresista condicionada a ser varón. P ( B / A) La tabla que nos ha permitido obtener el resultado anterior se llama TABLA DE CONTINGENCIA. Se puede comprobar en el ejemplo que: P( B / A) ( I B) 0., 0.77 P( A) 0.59 Definición: Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral E y una probabilidad definida para su espacio de sucesos, P. Consideramos un suceso A, con P( A ) 0. Se define la PROBABILIDAD CONDICIONADA de un suceso B respecto del suceso A, y la notamos P( B / A ), al cociente: P ( B / A) ( I B) P( A), con ( ) 0 Análogamente, la probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B viene dada por la expresión: P( A /B) ( I B) P( B), con ( ) 0 P B de la probabilidad de la intersección de dos sucesos: De las dos relaciones anteriores obtenemos el desarrollo ( I B) P( A) P( B/A) ( I B) P( B) P( A/B) Ejemplo: Se extraen, sucesivamente, dos cartas de una baraja española. Cuál es la probabilidad de obtener dos reyes? Sean: R : sacar rey en la ª extracción, R 2 : sacar rey en la 2ª extracción P R I R2 P R P R2 /R Se pide: ( ) ( ) ( ) Sin en lugar de extraer las cartas sucesivamente, devolvemos la primera carta a la baraja, antes de sacar la segunda, no es necesario utilizar la probabilidad condicionada: ( R I R ) P( R ) P( R /R ) 0. 0 P 2 2 A partir de la situación anterior establecemos la siguiente definición. Definición: Dados dos sucesos aleatorios, A y B, en un espacio muestral. Se dice que A y B son SUCESOS INDEPENDIENTES, sii P ( A / B) P( A) ó P( B/A) P( B) También se puede establecer la siguiente definición: A y B son SUCESOS INDEPENDIENTES, sii P ( AI B) P( A) P( B) NOTA: Para desarrollar la probabilidad de una intersección, se utilizaran las expresiones anteriores, según los sucesos sean o no independientes..

7 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / En el ejemplo anterior, el primer caso (Sin devolución), los sucesos no son independientes, sin embargo en el segundo, con devolución, los sucesos son independientes..7 Teoremas importantes de la Probabilidad. Suponemos un experimento aleatorio en el que se ha definido un probabilidad para los sucesos de su espacio muestral, E. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL.- Dado un sistema completo de sucesos, { A, A 2,, A n } y un suceso B. Entonces: P( B ) P( A ) P( B / A ) + P( A 2 ) P( B / A 2 ) + + P( A n ) P( B / A n ) Ejemplo: Se dispone de cajas de bombillas. La primera contiene 0, de las cuales hay fundidas, en la 2ª hay, estando de ellas fundida, y el la tercera hay fundidas de un total de 8. Veamos la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una caja cualquiera esté fundida. Definimos los sucesos: C i : Elegir la caja número i, i, 2, F: Elegir un bombilla fundida Es evidente que el conjunto { C, C 2, C } es un sistema completo de sucesos. Son incompatibles y además C C 2 C E, Aplicando el Teorema: P( F ) P( C ) P( F / C ) + P( C 2 ) P( F / C 2 ) + P( C ) P( F / C ) Veamos otro procedimiento: DIAGRAMA DE ÁRBOL. Caja : Bomobillas Caja 2 : Caja : Buena : 0 Fundida : 5 Buena : Fundida : 5 Buena : 8 Fundida : Para calcular la probabilidad de que la bombilla esté fundida sumamos los casos en los que interviene este tipo de bombilla: P( F )

8 I.E.S. Salvador Serrano Dto. de Matemáticas (Daniel García) 2º CCSS 202 / TEOREMA DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA.- (Generalización de la definición de la probabilidad condicionada) Dados n sucesos: A, A 2,, A n Entonces: P( A A n ) P( A ) P( A 2 / A ) P( A / A A 2 ) P( A n / A A n- ) TEOREMA DE BAYES.- Dado un sistema completo de sucesos, { A, A 2,, A n } y un suceso B. Entonces: P ( A / B) ( i ) P( B / A i ) P( B) i con i,..., n Se demuestra a partir de la definición de probabilidad condicionada, en efecto: ( i I B) P( B) ( i ) P( B / Ai ) P( B) P( Ai / B) con i,..., n Ejemplo: El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que el resto del resto solamente el 20% ocupa un puesto directivo. Veamos la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero. Consideramos los sucesos: I: Ser ingeniero E: Ser economista O: No ser ni ingeniero, ni economista D: Ser directivo P( I ) 0.2 P( E ) 0.2 P( O ) ( ) 0. P( D / I ) 0.75 P( D / E ) 0.5 P( D / O ) 0.2 Como { I, E, O } forman un sistema completo de sucesos puedo aplicar los teoremas anteriores: Teorema de Bayes : P I (*) P I ( / D) Teorema de la probabilidad total P I ( / D) 0. 0 ( ) P( D / I) (*) P( D) :P( D) P( I) P( D / I) + P( E) P( D / E) + P( O) P( D / O) 0.7 8