Probabilidad del suceso imposible

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TEMA 6.- ESTADÍSTICA INFERENCIAL PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ Experimentos aleatorios y sucesos Experimento aleatorio Es aquel cuyo resultado depende del azar y, aunque conocemos todos los resultados, no se puede predecir de antemano el resultado que se va a obtener. Por ejemplo, lanzar un dado o una moneda son experimentos aleatorios. Los experimentos aleatorios pueden ser simples o compuestos. Son simples aquellos que constan de una sola etapa. Por ejemplo, echar una moneda al aire. Son compuestos si constan de varias etapas. Por ejemplo, lanzar un dado cinco veces o el experimento que consiste en tirar una moneda y luego sacar una bola de una bolsa. Los experimentos que no son aleatorios se llaman experimentos deterministas Espacio muestral de un experimento aleatorio Es el conjunto formado por todos los resultados que podemos obtener al hacer el experimento. El espacio muestral se representa con la letra E. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el espacio muestral es E {,, 3, 4, 5, 6 } Suceso aleatorio Es el conjunto formado por algunos resultados de un experimento aleatorio. Los sucesos se representan con letras mayúsculas Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, A salir número par {, 4, 6} es un suceso Probabilidad de un suceso aleatorio: Si en un experimento aleatorio todos los resultados tienen la misma posibilidad de aparecer, para calcular la probabilidad de un suceso se divide el número de casos favorables al suceso entre el número de casos posibles: REGLA DE LAPLACE : p(a) Casos favorables a que ocurra A Casos posibles Nº de elementos de A Nº de elementos de E La probabilidad nos indica si es más o menos frecuente que ocurra dicho suceso. La probabilidad de un suceso siempre es un número entre 0 y (ambos incluidos): 0 p(a), pues el número de casos favorables siempre es menor o igual al número de casos posibles Suceso seguro Es aquel que siempre ocurre al realizar el experimento. Por ejemplo, al lanzar una moneda el suceso A salir cara o cruz { C, X } siempre ocurre, pues al lanzar la moneda siempre saldrá cara o cruz. A es un suceso seguro. Observa que A coincide con el espacio muestral, E. Probabilidad del suceso seguro La probabilidad del suceso seguro es : p(e) Por tanto, si E {x, x,., xn}, entonces p(x) + p(x) + + p(xn) Suceso imposible Es aquel que nunca ocurre. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, el suceso A salir un número mayor que 6 nunca ocurre. A es un suceso imposible. El suceso imposible es el conjunto "que no tiene ningún elemento" Este conjunto se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo Probabilidad del suceso imposible La probabilidad del suceso imposible es 0 : p( ) 0

2 .- Operaciones con sucesos Unión de sucesos La unión de dos sucesos A y B es otro suceso formado juntando los elementos de A y B. La unión de A y B se representa por A U B. A U B significa: ocurre A ó B Ejemplo A "salir nº par ", 4, 6 B "salir nº primo",3,5 En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: entonces A U B salir par o primo {, 3, 4, 5, 6} Intersección de sucesos La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso formado por los elementos comunes de A y B. La intersección de los sucesos A y B se representa por A B. A B significa: ocurre A y B Ejemplo A "salir nº par ", 4, 6 En el lanzamiento de un dado, si tomamos los sucesos: B "salir nº primo",3,5 entonces A B salir par y primo { } Probabilidad de la unión de dos sucesos p(a U B) p(a) + p(b) p(a B) Sucesos compatibles y sucesos incompatibles Dos sucesos A y B son compatibles cuando pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los sucesos A salir un número par B salir un número primo son compatibles, pues si sale un ocurren los dos sucesos a la vez: es un número par y también es un número primo. Si A y B son compatibles, hay elementos comunes a los sucesos y por tanto A B Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, si sacamos al azar una carta de la baraja, los sucesos A salir un basto B salir una espada son incompatibles, pues no puede salir a la vez un basto y una espada. Página

3 Si A y B son incompatibles, no hay elementos comunes a los sucesos y por tanto A B Si A y B son incompatibles, p(a B) 0 p(a U B) p(a) + p(b), siendo A y B incompatibles Suceso contrario o complementario Dado un suceso A, el suceso contrario o complementario de A es aquel que expresa lo contrario que el suceso A. Se representa por Ac o también por A. El suceso Ac está formado por los elementos del espacio muestral que no están en A Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, si A salir número par {, 4, 6}, entonces el suceso contrario es Ac no salir número par salir número impar {, 3, 5} Probabilidad del suceso contrario p(ac) p(a) p(a) p(ac) Ejercicio Un experimento aleatorio consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letra s para la respuestas afirmativas y la n para las negativas. b) Calcula la probabilidad de que al menos dos de las personas sean partidarias de consumir el producto. c) Describe el suceso contrario de más de una persona es partidaria de consumir el producto y calcula su probabilidad. 3.- Probabilidad condicionada y dependencia de sucesos Probabilidad condicionada Dados dos sucesos, A y B, con p(b) 0, se llama probabilidad de A condicionada a B a la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B. La probabilidad de A condicionada a B se representa por p(a / B) y se puede calcular usando la fórmula: p(a / B) p(a B) p(b) Página 3

4 Si despejamos p(a B) de la fórmula anterior se obtiene: p(a B) p(a/b). p(b) Razonando de forma análoga para B condicionado a A: p(b / A) p(a B) p(a) p(a B) p(b/a). p(a) Sucesos independientes Dos sucesos A y B son independientes si p(a/b) p(a) y p(b/a) p(b) Por tanto, si A y B son independientes p(a B) p(a). p(b) Ejercicio Disponemos de tres dados, uno de los cuales está trucado. La probabilidad de sacar 5 con el dado trucado es 0,5, siendo los otros resultados equiprobables. Se elige un dado al azar, se realiza un lanzamiento con él y ha salido un Cuál es la probabilidad de que hayamos elegido el dado trucado? Ejercicio 3 Un jugador lanza a la vez un dado y una moneda. a) Construye el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Determina la probabilidad del suceso A: El jugador obtiene un número par en el dado y cruz en la moneda. c) Si sabemos que en la moneda ha salido cara, cuál es la probabilidad de que en el dado haya salido más de 3 puntos? Ejercicio 4 Se consideran los sucesos A y B. a) Expresa, utilizando las operaciones con sucesos, los siguientes sucesos:. Que no ocurra ninguno de los dos.. Que ocurra al menos uno de los dos. 3. Que ocurra B, pero que no ocurra A. b) Sabiendo que p(a) 0,5 p(b) 0,5 p(a/b) 0,3 halla p(a U B) Ejercicio 5 Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar 3 veces una moneda y observar el resultado. a) Escribe el espacio muestral asociado y las probabilidades de los sucesos elementales. b) Sean los sucesos A: obtener al menos una cara, B: obtener cara en solo uno de los tres lanzamientos. Calcula P(A) y P(B). Son independientes A y B? Ejercicio 6 Lena y Adrián son aficionados al tiro con arco. Lena da en el blanco con probabilidad de 7/ y Adrián con probabilidad de 9/3. Si ambos sucesos son independientes, calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Ambos dan en el blanco b) sólo Lena da en el blanco Página 4 c) Al menos uno da en el blanco

5 Ejercicio 7 Se elige un número, al azar, entre el siguiente conjunto: {5, 0, 6, 0, 80, 7, 56, 93, 8, 67, 76,, 5, 0, 90, 7}. a) Calcula la probabilidad de que el número elegido sea impar. b) Si el número elegido es múltiplo de 5, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 00? c) Determina si son independientes los sucesos S: el número elegido es mayor que 00 y T: el número elegido es par. d) Halla la probabilidad del suceso S U T Ejercicio 8 Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades p(a)0.60 y p(b)0.5. Determina las probabilidades que deben asignarse a los sucesos A U B y A B en cada uno de los siguientes supuestos: a) Si A y B fuesen incompatibles. b) Si A y B fueran independientes. c) Si p(a / B) 0.40 Ejercicio 9 El 5% de los estudiantes de una Universidad lee las noticias en prensa escrita en papel, el 70% en prensa digital y el 0% en ambos formatos. Elegido, al azar, un estudiante de esa Universidad: a) Calcula la probabilidad de que lea las noticias en formato papel o digital. b) Sabiendo que lee las noticias en prensa digital, calcula la probabilidad de que también las lea en prensa escrita en papel. Ejercicio 0 En una tienda de complementos disponen de 00 bolsos, de los cuales 80 son de una conocida marca y 0 son imitaciones casi perfectas de dicha marca. Una inspección encarga a un experto el peritaje de los bolsos de la tienda. Se sabe que este experto acierta en el 95% de sus peritajes cuando el bolso es auténtico y que detecta el 98% de las imitaciones. Se elige, al azar, un bolso para su examen: a) Calcula la probabilidad de que el experto acierte en su dictamen sobre ese bolso. b) Si el experto no ha acertado en su peritaje, calcula la probabilidad de que el bolso sea auténtico. Ejercicio Una urna contiene 5 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 5 bolas negras sin marcar y 75 bolas negras marcadas. Se extrae una bola al azar. a) Calcula la probabilidad de que sea blanca. b) Cuál es la probabilidad de que sea blanca sabiendo que está marcada? c) Cuál es la probabilidad de que sea negra y esté marcada? d) Son independientes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blanca? Ejercicio Antonio va a la compra dos días de cada cinco. A lo largo del tiempo, ha observado que la fruta está de oferta la tercera parte de los días que va a la compra y la mitad de los días que no va. Elegido un día al azar: a) Cuál es la probabilidad de que la fruta esté de oferta ese día? b) Calcula la probabilidad de que ese día Antonio vaya a la compra o la fruta esté de oferta. Página 5

6 Ejercicio 3 Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcula: a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B. c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca. Ejercicio 4 Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es /3, mientras que si usa una de las inadecuadas esa probabilidad se reduce a /5. a) Si elige aleatoriamente la carnada, cuál es la probabilidad de que pesque un salmón? b) Si ha pescado un salmón, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho con la carnada adecuada? Ejercicio 5 Una empresa dispone de tres máquinas A, B y C, que fabrican, respectivamente, el 60%, 30% y 0% de los artículos que comercializa. El 5% de los artículos que fabrica A, el 4% de los de B y el 3% de los de C son defectuosos. Elegido, al azar, un artículo de los que se fabrican en la empresa: a) Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso y esté fabricado por la máquina C? b) Cuál es la probabilidad de que no sea defectuoso? c) Si sabemos que no es defectuoso, cuál es la probabilidad de que proceda de la máquina A? 4.- Concepto de variable aleatoria Una variable aleatoria (v.a.) es una función que le hace corresponder a cada resultado de un experimento aleatorio un número real. En las v.a., la media se representa por μ, la varianza por σ y la desviación típica por σ. Las v.a. se clasifican en: Variables aleatorias continuas Son aquellas que pueden tomar todos los valores de un intervalo. Por ejemplo, son v.a. continuas la estatura o el peso de una persona, la longitud de un tornillo, el nivel de agua de un embalse, la temperatura en una ciudad a lo largo del día, etc Variables aleatorias discretas Son aquellas que toman valores aislados, x, x,., xn. Ejemplos: ) Tiramos un dado dos veces y sumamos los puntos obtenidos. Entonces X suma de los puntos, 3, 4,., es una v.a. discreta ) Lanzamos una moneda 5 veces y anotamos el número de caras que han salido. Entonces, X número de caras 0,,, 3, 4, 5 es una v.a. discreta También son v.a. discretas, por ejemplo, el número de hijos de un matrimonio, el número de asignaturas suspensas de un alumno, el número de libros vendidos en una librería, la edad de una persona, etc Página 6

7 5.- Variables aleatorias continuas. Consideremos la variable aleatoria continua X estatura de los chicos de 7 años de Granada. Supongamos que vamos preguntando a muchos chicos por su estatura y el más alto mide 83 cm y el más bajo 53 cm. Dibujamos el histograma de frecuencias tomando clases o intervalos de,5 cm El polígono de frecuencias se ajusta a una curva. La función f(x) cuya gráfica es esa curva se llama función de densidad de X. En este ejemplo, se han tomado 0 intervalos de amplitud,5 cm. El área de cada rectángulo es la probabilidad de que un chico tomado al azar tenga estatura en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, el área del primer rectángulo corresponde aproximadamente a p(53 < X < 54,5) La función F(k) p(x < k) se llama función de distribución de X kx, si x [3,9] Ejercicio 6 La función de densidad de una v.a. continua X viene dada por f(x) 0, si x [3,9] a) Calcula lo que tiene que valer k b) Halla las siguientes probabilidades: ) p(4 X 8) ) p(< X 6) 3) p(7 < X < 8) 4) p(x 5) 6.- Distribución normal La mayoría de las variables aleatorias continuas tienen una función de densidad f(x) cuya gráfica tiene forma de campana. A esta gráfica se le llama campana de Gauss. La gráfica de la función de densidad (campana de Gauss) tiene la siguiente forma: La gráfica es simétrica respecto de la recta vertical de ecuación x µ. Se puede demostrar que en el intervalo (μ σ, μ + σ) se encuentran aproximadamente el 68% de los datos. Página 7

8 Cuando la curva de densidad tiene esta forma diremos que X sigue una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Se escribe así: X N(µ, σ) x. La fórmula de la función de densidad de una distribución normal es f(x).. e Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real. Propiedades elementales de la distribución normal: p( < X < ) El área entre la campana de Gauss y el eje X vale. Luego, el área a la izda de μ y a la dcha de μ son iguales y cada una vale 0,5 P(X a) área del segmento vertical que pasa por a. Luego, en las v.a. continuas, p(x a) 0 p(x < a) p( X a) el área que hay a la izquierda de X a Distribución N(0,) Si en una distribución normal X N(µ, σ), la media es µ 0 y la desviación típica es σ, resulta entonces la distribución Z N(0,). Esta variable se llama distribución normal tipificada y la gráfica de su función de densidad es la campana de Gauss centrada en 0 Uso de la tabla de la distribución N(0,) En la distribución normal Z N(0,). Llamaremos (k) p(z < k) p(z k) Para hallar (k), en lugar de calcular el área a la izquierda de k, se usa la siguiente tabla: Página 8

9 Usando la tabla se puede determinar (k), con k entre 0 y 4,09. Fíjate que si k 3,9 la probabilidad se toma igual a. Ejemplo: Para hallar (,4) buscamos en la ª columna el número, y en la ª fila 0,04. La intersección nos da el valor 0,895. Por tanto, (,4) 0,895 También se puede usar la tabla en orden inverso para hallar el valor de k. Ejemplos: ) Supongamos que (k) 0,790. Buscamos 0,790 dentro de la tabla y vemos que le corresponde 0,5 (en la ª columna) y 0,08 (en la ª fila). Por tanto a 0,58 ) Supongamos que (k) 0,9376. En este caso 0,9376 no está en la tabla; los valores más próximos son 0,9370 (que corresponde a k,53) y 0,938 (que corresponde a k,54). Como 0,9376 está prácticamente a la misma distancia de los valores encontrados, tomaremos como valor de k el punto medio de,53 y,54, es decir k,535 Página 9

10 Reglas útiles para calcular probabilidades en la distribución N(0,) ) Cálculo de P(Z > k) P(Z > k) Área a la dcha de k Toda el área Área a la izda de k P(Z < k) Ejemplo: p(z >,3) p(z <,3) 0,9066 0,0934 ) Cálculo de P(Z < k) P(Z < k) Área a la izda de k Área a la dcha de k P(Z > k) P(Z < k) Ejemplo: p(z < 0,84) p(z < 0,84) 0,7995 0,005 3) Cálculo de P(Z > k) P(Z > k) Área a la derecha de k Área a la izquierda de k P(Z < k) Ejemplo: p(z >,48) p (Z <,48) 0,9306 Página 0

11 4) Cálculo de P(a < Z < b) P(a < Z < b) Área entre a y b Área a la izda de b Área a la izda de a P(Z < b) P(Z < a) Ejemplo: p( < Z <,76) p(z <,76) p(z < ) 0,997 0,977 0,099 5) Cálculo de P( b < Z < a) P( b < Z < a) Área entre b y a Área entre a y b P(a < Z < b) P(Z < b) P(Z < a) Ejemplo: p(,5 < Z < 0,99) p(z <,5) p(z < 0,99) 0,933 0,8389 0,0943 6) Cálculo de P( a < Z < b) P( a < Z < b) Área entre a y b Área a la izda de b Área a la izquierda de a P(Z < b) P(Z < a) p(z < b) [ p(z < a) ] p(z < a) + p(z < b) Ejemplo: p( < Z < ) p(z < ) + p(z < ) 0, ,977 0,885 Página

12 Tipificación de una distribución normal N(µ, σ) Se puede demostrar que si X N(µ, σ), entonces la variable Z X N(0,). A este proceso se le llama tipificación de la variable. La tipificación nos permite hallar probabilidades en una distribución X N(µ, σ) transformándola en una variable Z N(0,). Por ejemplo, p(a < X < b) p( a X b a b < < ) p( <Z< ) Esta probabilidad la podemos calcular usando las reglas vistas anteriormente. Ejemplo: Si X N(5,4), entonces p( < X < 7) p( 5 X < < ) p( < Z < 0,5) p(z < ) + p(z < 0,5) 0, ,695 0,538 Ejercicio 7 En una distribución N(,5), calcula: a) P(X 7) b) P(X 3) e) P(5 X < 0) d) p(x > 7) c) P(X < 0) f) P(7 < X 30) Ejercicio 8 Los pesos de los habitantes de una ciudad se distribuyen normalmente, con media 70 kg y desviación típica 5 kg. Determina: a) La probabilidad de que el peso de un individuo elegido al azar esté entre 60 y 65. b) Qué porcentaje pesaría más de 68 kg? c) Si hubiera habitantes, cuántos habitantes pesarían menos de 75 kg? 7.- Variables aleatorias discretas. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Se llama distribución de probabilidad de una v.a. discreta X que toma valores x, x,, xn al conjunto de probabilidades: p p(x x), p p(x x),. pn p(x xn) Para calcular la distribución de probabilidad se puede hacer una tabla de probabilidades como la siguiente: xi pi p(x xi) x p x p.. xn pn A partir de la tabla se puede dibujar un diagrama de barras, llamado gráfico de probabilidades, representando en el eje horizontal los valores xi y en el eje vertical los valores pi Parámetros de una variable aleatoria discreta Los parámetros más utilizados en una v.a. discreta son: Media aritmética o esperanza matemática: μ xi pi Varianza: σ xipi μ Desviación típica: σ σ xi pi μ Nota: La varianza también se puede calcular con la fórmula (xi ) pi Página

13 Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces. Sea X nº de veces que sale el 6. X es una variable aleatoria discreta, pues X sólo toma los valores x i: 0, y Los resultados del experimento los podemos obtener mediante esta tabla: La distribución de probabilidad es: xi 0 Total pi p(x xi) 5 0, ,44% 0 0,778 7,78% 0,078,78% pi 00% Por ejemplo, si queremos calcular la probabilidad de que salga el 6 menos de veces: P(X < ) p(x ) 35 0,97 97,%, que coincide con p(x 0) + p(x ) El gráfico de probabilidades sería: En todas las distribuciones de probabilidad discreta, se cumple: pi Vamos a calcular los parámetros de la distribución: xi pi xi p i x i p i Total Media o esperanza matemática de X: Varianza de X: σ xi pi Desviación típica de X: μ xi pi 0, μ 0, , σ σ 5 0,57 8 Página 3

14 Ejercicio 9 Una compañía aérea dispone de un avión de 00 plazas. Sea X la variable aleatoria que expresa el número de viajeros que va al aeropuerto para viajar en el avión cuya distribución es: xi pi 0,05 0,09 0,5 0,0 0,3 0,7 0,09 0,0 a) Hallar la probabilidad de que todos los que van a viajar tengan plaza. b) Obtener la probabilidad de que se quede sin plaza al menos uno de los viajeros. c) Calcular el número medio o esperado de viajeros que acude al aeropuerto. 8.- Distribución binomial Si realizamos n veces el mismo experimento y le llamamos X número de veces que ocurre un suceso A, entonces X puede tomar los valores: 0,,, 3,., n. Llamamos p p(a). X es una v.a. discreta con n + valores. Decimos que la variable aleatoria X tiene distribución de probabilidad binomial B(n, p). Se representa así: X B(n, p) Ejemplos de distribuciones binomiales: ) Si tiramos un dado 5 veces y X número de veces que sale el 5. Entonces X B(5, ) 6 ) Supongamos que en un parto la probabilidad de nacer una niña es del 65%. Si observamos 30 nacimientos y X número de niñas. Entonces X B(30 ; 0,65) 3) La probabilidad de que al lanzar a canasta un jugador de baloncesto es del 70%. Si lanza a canasta 50 veces y X número de aciertos. Entonces X B(50; 0,7) 4) Lanzamos una moneda 5 veces; X número de cruces. Entonces, X B(5 ; 0,5) Factorial de un número n Es el producto de n por todos los números naturales menores que él. El factorial de n se representa por n! y se lee n factorial. n! n.(n ).(n ) Ejemplos:!!. 3!3..6 4! etc 0! (por convenio) El factorial de un número también se puede hallar con la calculadora científica usando la función x! Por ejemplo, si queremos calcular 3!, el proceso es el siguiente: 3 x! Nos da como resultado: Este resultado coincidiría con la multiplicación: Página 4

15 Número combinatorio Dados dos números naturales n y m con n m se define el número combinatorio n sobre m así: n m n! m!. (n m)! El número combinatorio n se puede hallar con la calculadora científica usando la función ncr m Por ejemplo, si queremos calcular 5, el proceso es el siguiente: 5 ncr Nos da como resultado: 0. Propiedades básicas de los números combinatorios ) ) 3) n m n n m n n n 0 n n Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: ! 0!. (5 )!!. 3!!. 3! 5.4.3! 0 3!. (5 3)! 3!.! 3!.! (5 5)!. 0!. 0!. (5 0)!. 5.4! 5!. (5 )!. 4!. 4! Distribución de probabilidad en una B(n, p) n pk p(x k) pk.( p)n k, k 0,,,, n k Por ejemplo, Si X B(5 ; 0,), 5 p3 p(x 3). 0,3. 0,8 0. 0,008. 0,64 0,05 3 Ejercicio 0 Lanzamos una moneda 0 veces. Hallar la probabilidad de que salgan: a) 7 cruces b) Más de una cruz c) Entre 3 y 6 cruces. Ejercicio El 4% de los cds que fabrica una determinada empresa informática resulta defectuoso. Los cds se distribuyen en tarrinas de 0 unidades. Calcular la probabilidad de que en una caja haya, a) al menos dos defectuosos b) ninguno defectuoso c) a lo sumo 3 defectuosos Ejercicio Un dado trucado es tal que la probabilidad de sacar el 6 es del 60%. Si se tira el dado 7 veces, cuál es la probabilidad de que salga el 6 más de 5 veces? Ejercicio 3 Una encuesta revela que el 0% de la población es favorable a un político y el resto es desfavorable. Se eligen 6 personas al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Las 6 personas sean desfavorables. b) Al menos dos personas sean favorables Página 5

16 Parámetros de una distribución binomial B(n, p) Sea X una variable discreta que sigue una distribución binomial, X B(n, p) Entonces: Varianza de X: σ np( p) Media aritmética o esperanza matemática de X: μ np Desviación típica de X: σ σ np( p) Teorema de De Moivre de la binomial Sea una v.a. X que sigue una distribución binomial B(n, p) siendo np 5 y n( p) 5. ) ) p ( p n, p n ( N Entonces, la distribución binomial se puede sustituir por otra v.a. X que sigue una distribución normal X De esta forma, podemos calcular probabilidades de una B(n, p) de forma más sencilla y rápida. Se cumple: p(x a) p(a 0,5 < X < a + 0,5) p(x < a) p(x < a 0,5) p(x a) p(x < a + 0,5) p(x > a) p(x > a + 0,5) p(x a) p(x > a 0,5) p(a < X < b) p(a + 0,5 < X < b 0,5) p(a X b) p(a 0,5 < X < b + 0,5) p(a X < b) p(a 0,5 < X < b 0,5) p(a < X b) p(a + 0,5 < X < b + 0,5) Ejercicio 4 La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 00 personas han contraído esta enfermedad, calcula la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan Ejercicio 5 b) más de 46 sobrevivan c) menos de 50 sobrevivan El 5% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide: a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 0. Página 6

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