Prólogo... v. 5 La ley del valor medio Teorema de Rolle La ley del valor medio Resumen

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1 ÍNDICE Prólogo... v PARTE I: EL NUCLEO DEL CALCULO 1 La integral definida Cálculos en cuatro problemas Respuestas exactas a los cuatro problemas La integral definida sobre un intervalo El promedio de una función sobre un intervalo La integral definida de una función sobre un conjunto en el plano La integral definida de una función sobre un conjunto del espacio tridimensional Resumen La derivada Cálculos en cuatro problemas La derivada Notaciones comunes de la derivada; la diferencial Una generalización de la derivada Resumen Límites y funciones continuas El límite de una sucesión El límite de una función de una variable real Funciones continuas Definiciones formales de límites Resumen El cálculo de derivadas La derivada de algunas funciones básicas Las derivadas de la suma, diferencia, producto y cociente de funciones La regla de la cadena La derivada de una función inversa Resumen La ley del valor medio Teorema de Rolle La ley del valor medio Resumen El teorema fundamental del cálculo Varias formas del teorema fundamental del cálculo Demostración de un caso especial del teorema fundamental del cálculo Un enfoque diferente del teorema fundamental del cálculo Un enfoque alternativo de las funciones logarítmica y exponencial La antiderivada

2 6. Resumen El cálculo de antiderivadas Algunos puntos básicos La técnica de la sustitución Integración por partes La antiderivación de funciones racionales mediante fracciones parciales Algunas técnicas especiales Resumen y práctica Cálculo y aplicaciones de integrales definidas sobre intervalos Area Volumen (técnicas de secciones trasversales y de secciones cilíndricas) El primer momento Longitud de arco Area de una superficie de revolución Mementos superiores de una función Valor medio de una función Integrales impropias Distribución de probabilidad y densidad Resumen y ayudas para la memoria Cálculo y aplicaciones de integrales definidas sobre planos y conjuntos sólidos El centro de gravedad de un objeto plano (lámina) Cálculo de R ƒ(p) da mediante la introducción de coordenadas rectangulares en R Cálculo de R ƒ(p) da mediante la introducción de coordenadas polares en R Sistemas de coordenadas en tres dimensiones y sus elementos de volumen Cálculo de R ƒ(p)dv mediante la introducción de coordenadas en R Resumen PARTE II: TEMAS EN EL CALCULO 10 Derivadas superiores Significado geométrico del signo de la segunda derivada El significado de la segunda derivada en el movimiento La segunda derivada y la curvatura de una curva Información suministrada por las derivadas superiores Resumen Máximos y mínimos de una función Máximos y mínimos de ƒ(x) Máximos y mínimos de ƒ(x, y) Máximos y mínimos de ax + by + c; programación lineal Resumen Series La prueba del término enésimo, La prueba de la integral y la prueba de las series alternantes La prueba de la comparación, la prueba de la razón y la prueba de la convergencia Absoluta

3 3. El error de truncamiento E n Serie de potencias Resumen Series de Taylor La serie de Taylor en potencias de x y en potencias de x a R n (x) expresado en términos de una derivada. El método de Newton Resumen Cálculo de la integral definida Aplicaciones adicionales de las derivadas parciales El cambio z y la diferencial dz Derivadas parciales superiores y series de Taylor Resumen Operaciones algebraicas en los vectores El álgebra de los vectores El producto escalar de dos vectores Las derivadas direccionales y el gradiente Resumen La derivada de una función vectorial Los vectores posición y velocidad La derivada de una función vectorial Los componentes tangencial y normal del vector aceleración A Resumen Integrales curvilíneas La integral curvilínea de un campo vectorial (P, Q) La integral curvilínea de un campo gradiente F Otras notaciones para integrales curvilíneas Resumen Teorema de Green en el plano Teorema de Green Amplificación en el plano: El Jacobiano Funciones hiperbólicas Resumen Intercambio de límites PARTE III: OTRAS APLICACIONES DEL CALCULO 21 Crecimiento en el mundo natural Administración de negocios y economía

4 23 Sicología Tráfico Preliminares El modelo exponencial (Poisson) de tráfico al azar Tráfico cruzado y distancia entre automóviles Cohetes La ecuación básica de la propulsión de un cohete Velocidad de escape Velocidad orbital Gravedad Leyes de Newton y Leyes de Kepler La atracción gravitacional de una esfera homogénea A: Geometría analítica Geometría analítica en dos dimensiones La fórmula de la distancia Recta y pendiente Geometría analítica en tres dimensiones Coordenadas polares Secciones cónicas en coordenadas rectangulares Secciones cónicas en coordenadas polares B: Los números reales Axiomas de campo Axiomas de orden Números racionales y números irracionales Completez de los números reales C: Funciones Inversa de una correspondencia uno-a-uno Tipos especiales de funciones Función compuesta D: Notación de sumas Sumatoria sobre i Sumatoria sobre varios índices E: Longitud, Area y Volumen F: Límites y funciones continuas (de mostraciones) Límites de funciones de x Límites de funciones de x y y, y de sucesiones Una función continua en [0, 1] pero que no es derivable en ningún punto del intervalo G: Fracciones parciales Representación de números racionales por medio de fracciones parciales Representación de funciones racionales por medio de fracciones parciales

5 H: Tablas pequeñas de funciones Algunas derivadas importantes Algunas antiderivadas importantes Indice alfabético