Tema 2: Series numéricas

Transcripción

1 Tema 2: Series numéricas Una serie infinita (o simplemente serie) es una suma formal de infinitos términos a + a 2 + a Al número se le denomin-ésimo término de la serie Se llama sucesión de sumas parciales a la sucesión ( n ) (s n ) n N a k k n N donde el término s n recibe el nombre de n-ésima suma parcial Si la sucesión de sumas parciales converge a un ite L, decimos que la serie converge y que su suma es L En ese caso escribimos a + a 2 + a L Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la serie diverge Teorema Si converge, entonces 0 Corolario diverge si no existe o si es distinto de cero Ejemplo Las series geométricas Las series geométricas son de la forma ar n, donde a, r R y a 0 Al número real r se le llama razón de la serie Estudiemos la convergencia o divergencia de esta serie en función del valor de r Caso r En este caso l-ésima suma parcial de la serie es s n a + a() + a() a() n na y como s n ± entonces la serie diverge Caso r- En este caso las n-ésimas sumas parciales alternan entre a y 0, por lo que la serie diverge

2 Caso r Multiplicamos en ambos miembros por r: s n a + ar + ar ar n rs n ar + ar 2 + ar ar n Restamos las dos expresiones anteriores miembro a miembro: s n rs n a ar n s n ( r) a( r n ) Por lo tanto: s n a( rn ) r Observando el término general de la sucesión de sumas parciales deducimos que si r < entonces s n a r y si r > entonces s n Ejemplo 2 La serie telescópica Se llama serie teléscopica a la serie n(n + ) La clave para determinar su suma es descomponer su término general en diferencia de dos fracciones simples: n(n + ) n n + De esta forma, l-ésima suma parcial puede escribirse: ( s n ) ( ) ( ) ( n ) n + Y cancelando los términos adyacentes de signos opuestos, la expresión anterior se reduce a: s n n + que tiende a cuando n tiende a +, por lo que la serie telescópica converge y su suma es Teorema 2 Si A y b n B: a) b) + b n A + B b n A B

3 c) k k ka, k R 2 Si converge y k R, k 0 b n diverge, entonces + b n, b n y kb n divergen, Ejemplo 3 Hallar la suma de la serie Observemos que 3 n 6 n 3 n 6 n ( 2 ) n 6 n 2 + n 6 n Las dos series anteriores son series geométricas con a y r /2, r /6, respectivamente, por lo que: 3 n 6 n SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS En lo que sigue, consideraremos series (/2) (/6) 4 5 cuyos términos son no negativos, es decir, 0, n N En este caso, la sucesión de sumas parciales es una sucesión creciente ya que s n+ s n + por lo que el teorema de sucesiones monotónas y acotadas nos lleva al siguiente resultado Teorema 3 con 0, n N converge si y sólo si su sucesión de sumas parciales (s n ) n N está acotada superiormente Teorema 4 Criterio de la integral Sea ( ) n N una sucesión de términos positivos tales que f(n) para alguna función f(x) decreciente, positiva y continua para cualquier x n 0, n 0 N Entonces integral + n 0 f(x)dx convergen o divergen ambas Ejemplo 4 La serie armónica Demostrar que la serie armónica Consideremos la función f(x) x además f(n) n Entonces: n es divergente n nn 0 y la que es positiva, continua y decreciente en [, + ) y

4 + x [ln h + x]h [ln h ln ] + h + Aplicando el criterio de la integral, deducimos que la serie armónica es divergente Ejemplo 5 La serie p Demostrar que, dado un número real positivo p, la serie p converge si p > y diverge si p (0, ] Consideremos la función f(x) x p además f(n) n p Entonces: + [si p ] x p n p + 2 p + 3 p ++ n p +, que es positiva, continua y decreciente en [, + ) y [ ] x p+ h ( ) h + p + p h + ( ) h p Caso p > : El ite anterior vale y podemos deducir entonces, por el criterio de la integral, p que en este caso la serie p converge Enfatizamos que la suma de la serie p no es /(p ); el criterio nos indica que la serie converge, pero no sabemos a qué valor Caso p < : En este caso el ite anterior vale y por lo tanto la serie diverge Caso p : En este caso la serie p es la serie armónica, que como ya se ha visto anteriormente es divergente El comportamiento de la serie p nos indica que la serie armónica diverge sólo por poco Por ejemplo, para que las sumas parciales sean mayores que 20, se deben tomar alrededor de 78 millones de términos Teorema 5 Criterio de comparación Sean, b n y n 0 N se cumple b n c n, n n 0 c n series de términos no negativos y supongamos que para algún a) Si c n converge, entonces b n también converge b) Si diverge, entonces b n también diverge

5 Ejemplo 6 La serie n! +! + 2! + + converge, ya que todos sus términos son 3! positivos y menores o iguales a los correspondientes términos de + que es una serie convergente por serlo la serie geométrica Teorema 6 Criterio de comparación por paso al ite Sean y 2 n 2 n , b n tales que para algún n 0 N se cumple > 0 y b n > 0, n n 0 a) Si c > 0, entonces b n y b n convergen o divergen ambas b) Si 0 y b n c) Si y b n b n converge, entonces b n diverge, entonces converge diverge Ejemplo 7 Veamos que la serie Para ello definimos armónica) y concluímos que b n diverge Teorema 7 Criterio de la razón Sea 2n + n 2 + 2n + diverge 2n + n 2 + 2n + y b n 2n 2 + n n 2 + 2n + n Entonces, + una serie de términos no negativos y supongamos que a) La serie converge si L < b) La serie diverge si L > o L c) El criterio no es concluyente si L b n diverge (es la serie 2 Aplicando el apartado a) del teorema anterior, + L Entonces: (2n)! Ejemplo 8 Estudiar la convergencia de la serie n! n! Definimos (2n)! n! n!, por lo que a (2n + 2)! n+ (n + )! (n + )! Entonces: + (2n + 2)! n! n! (n + )! (n + )! (2n)! (2n + 2) (2n + ) (n + ) (n + ) 4 > Por lo tanto la serie diverge 4n 2 + n 2 +

6 Teorema 8 Criterio de la raíz Sea > 0, n n 0 y supongamos que a) La serie converge si L < b) La serie diverge si L > o L c) El criterio no es concluyente si L una serie tal que para algún n 0 N se cumple n an L Entonces: Ejemplo 9 La serie ( ) n ( ) n converge, ya que n + n + n + n 0 < SERIES ALTERNADAS Se llama serie alternada a una serie en la que los términos son positivos y negativos en forma alternante El n-ésimo término de una serie alternada es de la forma ( ) n+ u n o ( ) n u n, siendo u n un número positivo Teorema 9 Criterio de Leibnitz La serie alternada siguientes condiciones: ( ) n+ u n u u 2 + u 3 u 4 + converge si se satisfacen las a) Existe algún n 0 N tal que u n u n+, n n 0 b) u n 0 Ejemplo 0 La serie armónica alternante que satisface los requisitos del teorema anterior (tomar n 0 ) ( ) n+ n converge, ya 4 Teorema 0 Estimación del error para series alternantes Si la serie alternada ( ) n+ u n cumple las condiciones del Teorema 9 y s n S, siendo s n u u 2 + u 3 + ( ) n+ u n, entonces ( ) n+ u n S s n s n+ s n u n+, n n 0 Es decir, el error en la aproximación s n S (par n 0 ) tiene el mismo signo que el primer término omitido ( ) n+2 u n+ s n+ s n y su tamaño es menor o igual al de dicho término ( ) n Ejemplo Cuántos términos de la serie son necesarios para calcular su suma + 2n con un error menor que 0,00? Esta serie cumple las condiciones del Teorema 9 Si utilizamos la suma parcial de los n primeros términos para aproximar la suma de la serie, el error cumplirá: Error primer término omitido + 2 n+

7 Este error será menor que 0,00 si + 2 n+ > 000 n > ln(999) ln(2) n > 8,96 Serán necesarios al menos n 9 términos para estimar la suma con un margen de error de 0,00 respecto de su valor real CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA CONDICIONAL Una serie converge absolutamente si la serie de términos no negativos converge Una serie que converge, pero que no converge absolutamente, converge condicionalmente Teorema Criterio de la convergencia absoluta Toda serie absolutamente convergente es convergente Ejemplo 2 La serie ( ) n 2 n es convergente ya que converge absolutamente Lo comprobamos considerando la correspondiente serie de valores absolutos geométrica de razón /2 y por lo tanto convergente, que es una serie 2n Observación: El recíproco del teorema anterior no es cierto Existen series convergentes que no son absolutamente convergentes En el Ejemplo 0 vimos que la serie armónica alternante ( ) n+ n es convergente, sin embargo esta serie no converge absolutamente ya que la correspondiente serie de términos positivos es la serie armónica n , que como n demostramos en el Ejemplo 4 es divergente