{ } + S = = S, para S. a converge si su sucesión de sumas parciales converge, es decir,

Transcripción

1 Esuel de Igeierí Cetro de Ciei Bási Cálulo de Vrile Rel Guí teóri Series Series Iiits: Deiiió: Se { } u suesió iiit. L epresió, se deoi serie iiit o serie y se deot por: { } S S S S S S S S - U serie es etoes, u suesió de sus priles. Deiiió de overgei: L serie iiit overge si su suesió de sus priles overge, es deir, Li S S, pr S R, dode S es l su de l serie iiit. L serie iiit diverge si {S} diverge, e otrs plrs, si el líite o eiste etoes l serie diverge. Eiste dos ors pr deterir l overgei de u serie:. Eotrr S y luego evlur el líite. Epler los riterios de overgei y us series espeiles: Criterios de overgei:. Si l serie iiit etoes l serie iiit overge, etoes Li, el reíproo es lso. Pero si Li, diverge.. Si y overgete y su su es S ± S.. Si overge y so overgetes y sus sus so S y S respetivete, ( ± ) diverge, ( ± ) diverge. es

2 . Si 5. Si 6. Si diverge y overge y diverge, ( ± ) diverge o overge. o ( ), etoes overge. diverge y o ( ), etoes diverge. 7. Pr ulquier N ℵ, ls series: N overgetes o s divergetes. N N N y so s 8. Si l serie es overgete y su su es S, etoes l serie o es overgete y su su es S. 9. Si l serie es divergete, etoes es divergete Series espeiles:. Serie telesópi o retrátil: Es quell e l ul su tério eésio se puede desopoer e rioes priles.. Serie rói: Es de l or dode Alizdo su overgei o divergei: { },,,,. De dode: { S } {,.5,.8,.8, } Evludo: Li y o este riterio o podríos oluir lgo sore l overgei o divergei de l serie. Por otr prte, Li S, por lo tto se oluye que l serie rói diverge.. Serie geoétri: Es de l or{ S } r ll prier tério de l serie y r se ll rzó. Alizdo su overgei y / o divergei, teeos: r r r r, dode se

3 r r r r ( r r r ) Li ( r r r ) Li ( r ) ( r)( r r r ) ( r ) ( r) ( r ) ( r) Li r r r r r r ( r ) r r r Li ( r) ( r) Li ( r ) Li r [ ] ( r) ( r) si r < E olusió, l serie geoétri r overge si r < y su su es S Li S ( r) siedo el prier tério y r l rzó de l epresió. Si r l serie es divergete.. Serie hiperrói o serie P: Es de l or si p. Series de térios positivos: Deiiió: p. L serie es overgete si p > y es divergete Si todos los térios de u serie iiit so positivos, etoes l suesió de sus priles es reiete. Teore: U serie iiit de térios positivos es overgete sii su suesió de sus priles tiee u ot superior. Criterios de overgei: Se i. Si y dos series de térios positivos. overge y, etoes tié overge ii. Si diverge y, etoes tié diverge. Not: Si se d otro so, o se puede oluir d o este riterio.

4 Criterio de oprió del líite: Se y dos series de térios positivos, etoes si el líite: etoes s series overge o s series diverge. Nots: L Li eiste y < L <, Si Si Li y overge, overge. Li y diverge, diverge. Criterio de l itegrl: Si es u uió otiu, de vlor positivo y dereiete. Si es u serie de térios positivos y (), etoes l serie overge y l itegrl ipropi d overge s o diverge s. Teore: Si l serie y l itegrl d stise l hipótesis del riterio de l itegrl y overge, d R d dode R S S y se ooe oo residuo o error de truieto. Series ltertes: Deiiió: 5 Es u serie iiit de l or ( ) o de l or: ( ) 5 Criterio de l serie lterte:, dode >. Si > y Li, etoes l serie dd overge.

5 Estiió del error de u serie lterte: Se u serie lterte overgete. Se S l su de l serie. Deotos o R S S el error oteido l proir l su de l serie edite l su pril S, etoes S S R Covergei solut: Deiiió: L serie es solutete overgete (AC) si es overgete. Si u serie es overgete pero o es solutete overgete, se die que es odiiolete overgete (CC). Se eple los siguietes riterios de overgei: Criterio de l rzó o del oiete: Si es u serie iiit o, ℵ, etoes si: i. Li L <, l serie es AC. ii. Li L >, l serie diverge (D). iii. Li, d se puede oluir Criterio de l ríz: Si es u serie iiit o, ℵ, etoes si: i. Li L <, l serie es AC. ii. Li L >, l serie diverge (D). iii. Li, d se puede oluir Series de potei: Deiiió: Se R. Se ll serie de potei de (o etrd e ) u serie de l or: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) o ( ).

6 Si, l serie qued de l or:. E lgus osioes φ(), es deir, u uió de vrile, sí: [ φ ] Teore de overgei de series de potei: es u serie de poteis, etoes: i. L serie overge R ii. L serie overge udo Si ( ) iii. Eiste u úero R > de odo que l serie es solutete overgete si < R y diverge si > R. E dode R se ll rdio de overgei y l ojuto de vlores de se ll itervlo de overgei. Pr deterir el rdio de overgei de u serie de poteis, se utiliz los riterios de l rzó y de l ríz jo ls siguietes odiioes: Si L, l serie overge R Si L, l serie overge solo e Si L >, l serie overge tl que < L Not: Ls pliioes de ls series de potei está e: Clulr proiioes de los úeros irrioles, por ejeplo:, e, π, L(.), se(.), et. Hllr el vlor proido de u itegrl deiid uyo itegrdo tiee u derivd que o puede epresrse e térios de uioes eleetles, es deir: Operioes o series de potei:.5 et π dt, os d. Se y ) ± g ( ± ) g pr < R, etoes: ) g ( ) ( ) ) se otiee por divisió suesiv o g g Se ( ) u serie de poteis o R >, otiu, derivle y o itervlo de overgei ( R, R), etoes:

7 ) d d ) d d d Not: E d,, el rdio de overgei sigue siedo R >, pero e el itervlo de overgei los etreos puede vrir. Represetió de uioes edite series de poteis:. Series de poteis geoétris: Si <, r r r Si heos r, <, Oservioes: (Cetrd e ero) (Cetrd e ) E os sos el rdio de overgei es R. Serie de Tylor: Cuyo rdio de overgei es R > Eiste derivds de dieretes órdees e ( R, R):

8 Si : 6 M Reeplzdo () e (): (Serie de Tylor etrd e ) Oservioes: Si e l serie de Tylor heos, oteeos l serie de Mluri: (). L represetió de u uió edite series de poteis es úi. Serie Bioil: Del teore del ioio se tiee: Si heos:,, Q, etoes: Otr or de teer l serie ioil es: M