6. Métodos de Diferencias Finitas para la Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Transcripción

1 . Métodos de Deecas Ftas paa la Solcó de Ecacoes Deecales Odaas.. Itodccó E mcos poblemas de ceca e geeía se platea ecacoes deecales co la codcó cal ( a c. No odaas (EDO. Po ejemplo ( sempe es actble alla a solcó aalítca de tales ecacoes. E este capítlo se evsa pocedmetos mécos de solcó de EDO basados e la apomacó de los opeadoes de devacó po deecas tas. Tales pocedmetos so també aplcables cado se tee sstemas de ecacoes deecales de pme ode como po ejemplo: ( t & (.a co codcoes cales: ( c t (.b e clso ecacoes de ode speo: ( qe co algos cambos de vaables pede sempe covetse e sstema de ecacoes deecales de pme ode. Así: z z z co codcoes cales z ( ( z ( ( es eqvalete a: v v z v z co codcoes cales z v ( ( ( ( Aqe la pmea pate de este capítlo se eee dectamete al caso de las ecacoes deecales odaas de pme ode la seccó. tata de pocedmetos especícos paa el mpotate caso de sstemas de ecacoes deecales de segdo ode. La seccó.5 se eee a poblemas de valo otea tema qe co otos métodos se tata també e capítlos sgetes... Ecacoes Deecales de Pme Ode.. Método de Ele Este es el método más smple paa esolve EDO de pme ode ( co ( a c. El tevalo ete a b se dvde e sbtevalos abtalmete gales de logtd de modo qe a. Hacedo c se detema scesvamete L qe so apomacoes a los valoes eactos ( ( ( L Paa ello se apoma po ( de ( dode eslta la ómla de ecsó: ( H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

2 ( (. Este método es aplcable e stacoes e las qe podía se a có bastate complcada o podía se el esltado de opeacoes decsoes o epesables po a smple ómla peo se peseta aqí caso m smple co popóstos ddáctcos. Spógase qe: co codcó cal (. La solcó eacta es e este caso coocda: e. Empleado el método de Ele: (. Co dos dsttos tevalos.. se obtee: Solcó eacta Solcó co. Solcó co. ( e Eo Eo Se obseva qe el eo es apomadamete popocoal a qe e este caso cece co. El eo de tcacó local es dec el eo todcdo e cada paso es de O (. S embago como el úmeo de pasos qe se ealza paa tega la EDO e tevalo O. També dado es vesamete popocoal a el eo global o total es de ( aqí podía emplease la etapolacó de Rcadso: [ ( ( ] O( ( Esta epesó seía coecta paa a etapolacó pasva es dec la qe se ace paa mejoa algos esltados típcamete o e cada paso. E cambo a etapolacó actva seía aqella qe se ealza e cada paso tlzádose los valoes así mejoados e los scesvos pasos del poceso. E cetos casos la etapolacó pasva pede se más coveete po se mécamete más estable. Paa el ejemplo ateo co etapolacó pasva se obtee: ( e (. (. (. (. Eo La solcó de la ecacó ( depede de la codcó cal ( a c. Se tee así como solcó a amla de cvas o taectoas ( c qe e el tevalo de teés pede se covegetes o dvegetes. Esta es a caacteístca de la ecacó deecal o del pocedmeto méco empleado e s solcó. Los H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

3 eoes de edodeo o de tcacó podce cambo de taectoa ( pede etoces vese como eqvaletes a esolve poblema co codcoes cales algo dsttas. Las gas bosqeja solcoes mécas obtedas paa el caso e qe las taectoas dvege e el qe los eoes tede a acmlase; lo cotao oce cado las taectoas so covegetes. Paa el eo acmlado e la solcó méca está dado po: ε ε ε ( ( ( ( ( Paa el método de Ele: ( Po oto lado de la epasó e sees de Talo: ( Se tee qe: ( ( ( L ( ( ( ( ( O Remplazado e la pmea epesó: [ ( ( ( ] O ( ε ε Peo: ( ( ( Y po el teoema del valo medo: De dode: ( ( ( ( ( ( ( ε ε α ( ε L α α S es scetemete peqeño α es egatva el método de Ele es adecado. S e cambo s > el eo cece el poceso sólo podía coa s el tevalo ea scetemete peqeño. Tal es el caso del ejemplo pecedete peo o el del ejemplo sgete. Cosdéese la ecacó ( co (. Es ácl veca qe la solcó eacta es peo co el método de Ele se obtee: ( ε H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

4 Los esltados mesta osclacoes típcas de a establdad méca. Redcedo o se elma la establdad; se eqee más be camba de método. Algas alteatvas o sempe mejoes se peseta e las seccoes sgetes... Métodos de Rge Ktta Estos métodos so como el método de Ele de paso smple. Es dec sólo se eqee cooce paa detema. Las ómlas de Rge Ktta eqee evala ( e dvesos ptos apopadamete bcados e el tevalo [ ] podeádose los esltados de modo de obtee eo de tcacó del mao ode posble. Cosdéese el caso e qe ( Sedo ˆ α ( se calcla e dos ptos e el tevalo [ ] β ( γ ( α ˆ ( ˆ ( ( ˆ α α O Peo ˆ α ( po lo qe se obtee: ( β γ ( α γ ( : ( O Po oto lado epadedo ( e sees de Talo: ( ( ( ( ( O Peo: ( ( ( ( ( ( ( ( Ssttedo estas epesoes e detcado coecetes se obtee: β γ α γ Co eo de tcacó local de O ( global de ( De las tas alteatvas de seleccó paa La ómla del pto medo: ˆ ( ( ˆ O. α β γ tes so las más comes: El método de He també coocdo como Ele modcado: ( H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

5 H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 5 [ ] ˆ ( ( ( ˆ Pede aotase qe s o ea có de este método eqvale a evala la tegal: ( d po el método de los tapecos. El método de Ralsto: ( ( ( Aálogamete pede obteese ómlas co eo de tcacó local de ( O global de ( O : ( ( ( ( o be: ( ( ( ( S ea depedete de las epesoes pecedetes eqvale al método de Smpso. El método comúmete deomado de Rge Ktta es poceso co eo global de ( O : ( ( ( ( ( Qe també cocde co la egla de Smpso e el caso e qe o es có de : [ ] ( ( ( ( d Como ejemplo de aplcacó de este método cosdéese la ecacó deecal: (

6 co codcó cal (... Tabajado co. las opeacoes e paso seía: ( ( ( ( (...9 ((.. (..8 ((.. ( ( ((.. (..9 ( Oto método de Rge Ktta de cato ode (global es el método de Gll: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Y mcas otas alteatvas so posbles... Estmacó del Eo Cotol del Paso Al tlza los pocedmetos de paso smple desctos e las seccoes pecedetes el tevalo pede ajstase e oma atomátca. Esto pede se ecesao al tega ecacoes ca solcó vaía letamete e algas egoes m ápdamete e otas. Lo pmeo es pode estma el eo al tega las ecacoes co ceto tevalo. Spógase qe se eselve a ecacó deecal co pocedmeto de Rge Ktta de cato ode (global empleado tevalo. La solcó qe e lo qe sge se deoma tedía eo de ode la solcó co tevalo e lo qe sge ésta tedía eo de ode (. S paalelamete se obtvea (. Podía etoces elmase el témo domate del eo acedo a etapolacó (pasva. Paa cada abscsa: coegdo 5 5 Los esltados así obtedos tedía eo de ode a etapolacó actva abía qe cosdea el ode del eo local. 5 (. Nótese qe s se cea Ua alteatva más coveete seía apoveca los esltados pacales al sa poceso de ode m paa detema ota co poceso de ode m. Po ejemplo e el pocedmeto de Rge - Ktta Cas Kap se emplea las ómlas de cato ode (global: ( Y de qto ode (global: ( H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

7 Qe solamete eqee ses evalacoes de la có: 5 (.. Métodos de Paso Múltple ( ( 9 ( ( ( Los métodos tatados ateomete pemte detema coocedo úcamete el valo de la có e el pto medatamete pecedete. Como alteatva a estos métodos de paso smple pede platease métodos de paso múltple e los qe el cálclo de eqee tlza L. U método de este tpo eslta al apoma e la ecacó ( po a deeca cetal co lo qe se tee: ( Este es el método eplícto del pto medo (e glés coocdo como leapog método de doble paso pesto qe la epesó paa obtee eqee e. Algas vetajas desvetajas de los métodos de pasos múltples co elacó a los métodos de solo paso pede ctase: Paa el msmo úmeo de evalacoes de la có ( se tee mao ode e el eo de tcacó. Así po ejemplo el método eplícto del pto medo tee eo local de O ( cota O ( e el método de Ele aú cado ambos eqee a sola eva evalacó de la có ( e cada paso. Se peseta dcltades paa aaca el poceso o sedo scete cooce so además o o más valoes adcoales L. Estos valoes debe obteese co pocedmeto dstto de ode gal o mao qe el método de paso múltple a emplease. Es e geeal dícl (aqe o mposble camba el tevalo de tegacó (lo cal e cambo o es gú poblema e los métodos de paso smple. Esto podía edc la elatva ececa de los métodos de pasos múltples. La establdad méca es poblema más ecete e los métodos de paso múltple qe e los métodos de paso smple. Éste otos temas elacoados se evsa e la seccó..5. Ete los métodos de paso múltple qe se eceta e la lteata está los métodos eplíctos de Adams Basot: ( β β β L β Y los coespodetes métodos mplíctos de Adams Molto: ( β β β β L β 9 5 H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 7

8 E estas epesoes deota. Los coecetes β pede obteese ( cosdeado qe: ( ( d d ( ( Y apomado ( po polomo de tepolacó escto e témos de deecas tas aca atás: L 8 5 ( (A-B ( L (A-M Po oto lado pede escbse epasoes e sees de Talo obteédose las β po detcacó de coecetes. Así paa la epesó eplícta co : β ( β ( ( ( β ( β ( Compaado co: ( β ( ( ( ( ( ( L β ( O ( ( β β ( ( β ( ( ( ( ( ( O ( Se tee qe: β β β de dode: β β es dec: ( Algos esltados smlaes se lsta a cotacó. El eo de tcacó local es de O : O ( el global de ( Métodos de Adams Basot (eplíctos: ( β β β L β ( Ele ( Métodos de Adams Molto (mplíctos: ( β β β β L β Ele veso ( Ca Ncolso (egla tapezodal ( H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 8

9 ..5 Pocedmetos Pedcto Coecto El eo de tcacó de a ómla mplícta de este tpo es sempe meo qe el eo del coespodete poceso eplícto del msmo ode. Ecepto e el caso tval e qe la có ( es leal la solcó de la(s ecacó(es qe dee el poceso mplícto eqee tea. Co tal se tlza como pmea apomacó el esltado obtedo co la ómla eplícta (pedcto. Esta apomacó se ea tlzado epetdamete la coespodete ómla mplícta (qe e este coteto se deoma coecto. Po ejemplo: ( ( ( ( ( El speídce se eee e este caso a la teacó. Pede po spesto platease métodos Pedcto Coecto e los qe las epesoes empleadas o sea las de Adams Basot Molto. Tal es el caso del método de Mle ( pocedmeto déblmete estable qe o se ecomeda: Pedcto: Eo local ( 5 ( ( ( v O ξ 5 ( ( 5 v O ( ( ξ ( Coecto: Spógase po ejemplo la ecacó: co codcó cal (. Se a obtedo (co algú oto método ( ( ( Co el pedcto se tee: (.9898 [ ( ( ].5 [. (.9898 ].98.5 lego co el coecto (e este caso la egla tapezodal també coocda como método de Ca Ncolso: se tee: ( ( Y e oma smla: ( ( (.9898 ( [ ( ( ].5 [. (.98. (.9898 ] El poceso es e este caso covegete. ( de dode (..977 La solcó eacta es e este caso S el tevalo de tegacó es demasado gade se obseva mpotates ( deecas ete la apomacó cal obteda co el pedcto el valo ( coegdo. E tal caso la covegeca es leta e clso podía o podcse. Po oto lado deecas sgcates mplca qe es ecesaamete peqeño. H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 9

10 .. Cossteca Establdad Covegeca Al emplea a ecacó de deecas e lga de la ecacó deecal se todce eoes de tcacó e cada paso. Po ejemplo e el método de Ele la epesó: ( ( ( ( L se emplaza po: ( teédose eo de ode atmétca mpeecta del odeado.. A esto debe agegase los eoes debdos a la Evdetemete o es posble detema estos eoes peo s pede acese algas estmacoes. Al emplea método méco paa esolve EDO se espea qe éste sea covegete lo qe sgca qe al tabaja co tevalos cada vez más peqeños las solcoes debe apoma cada vez más a la solcó eacta. pocedmeto méco sea covegete debe se cosstete estable. Paa qe el Cossteca sgca qe e el límte la ecacó de deecas qe dee el método méco eslta omalmete la ecacó deecal. Reédose evamete al método de Ele qe pede escbse: ( se obseva qe: ( ( Lm ( S e cambo se escbea po ejemplo ( o abía cossteca. Paa qe el pocedmeto méco sea covegete o es scete qe sea cosstete. Se eqee además qe sea estable. U método es estable cado los eoes de tcacó de edodeo al popagase date el poceso so sempe peqeños e compaacó co la solcó eacta. CONSISTENCIA ESTABILIDAD CONVERGENCIA Alteatvamete podía decse qe método es estable s paa codcoes cales típcas sempe qe los eoes de tcacó de edodeo sea peqeños se tee covegeca. U ejemplo de establdad méca Paa a obsevacó cal sobe el tema de establdad cosdéese la ecacó deecal co codcó cal ( ca solcó eacta es e. El método de Ele podía se apopado e este caso. S embago spógase qe se emplea la egla eplícta del pto medo : H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

11 ( co tevalo. es dec:. Paa ca el poceso o es scete cooce (. Se eqee además.. Spógase qe se calcla e e co cas sgcatvas coectas. Tabajado co atmétca de doble pecsó se obtee: ( e ( La solcó eacta es epoecalmete dececete como se dca e líea gesa e la ga sgete. S embago el pocedmeto podce los esltados qe se peseta e líea más delgada. Despés de apomadamete 5 se obtee valoes co sgos alteados co ampltd cada vez mao (qe podía llega a ebasa el úmeo mámo qe pede almacease. Esto es a establdad méca ( S se edce o se ameta el úmeo de cas e los cómptos el poblema pede pospoese peo o evtase. A qé se debe esta establdad? Cosdéese la ecacó deecal: λ paa la cal el método eplícto del pto medo eslta: H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

12 λ Esta es a ecacó de deecas leal de ode. Deedo caacteístca es: α λ la ecacó α co las aíces: ( α α α ( α α O Al compaa la pmea de estas epesoes co la epasó e sees: e α se cocle qe: ( α α α O α ( e α α O α e α e λ e λ ( ( λ e e cosececa: ( λ C e λ C C C e La solcó de la ecacó de deecas tee dos modos compoetes el pmeo de los cales coespode a la solcó coecta metas qe el segdo o debeía est. E teoía se debeía tee C C de modo qe λ e peo o es así sqea al case el poceso. Eectvamete paa el caso α λ. los valoes cales ace qe: C C C C e. de dode tabajado e doble pecsó: C. 5 ( e ( spoedo qe las opeacoes sgetes se eectaa co a atmétca tamete pecsa: 5 (. C e.55 Nótese qe este esltado es smla al eo obsevado paa. Po oto lado aú cado calmete se tvea C los eoes mécos todcía la compoete etaña. El acto ( eplca la alteaca de sgos del eo. El pocedmeto o coa paa λ egatvo poqe e ese caso el modo etaño λ ( C e tede a cece metas qe la solcó C e es dececete. S embago s sve paa el caso (poco páctco e qe λ es postvo la solcó es epoecalmete cecete. Regó de establdad absolta λ H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

13 Pede obteese valosa omacó co elacó al compotameto de método méco de solcó de EDO al obsevase cómo coa co a ecacó de la oma λ dode λ es a vaable compleja co codcó cal (. Co eeeca a esta ecacó se dee la egó de establdad absolta de método méco como el lga geométco de los λ paa los qe la solcó es ta cado. Esto es eqvalete a dec qe las aíces de la ecacó caacteístca satsace. Paa se eqee qe a de las aíces sea gal a (esto es eqsto paa qe el método sea cosstete. S embago s dos o más aíces tee módlo gal a el método es déblmete estable co ececa tee poblemas mécos. Este es el caso del método eplícto del pto medo del qe se tató e el acápte ateo. Cosdéese po ejemplo el método de Ele: ( qe aplcado a la ecacó λ λ eslta: ( λ La solcó de esta ecacó de deecas es de la oma solcó e la ecacó de deecas se obtee la ecacó caacteístca: λ. Al sstt esta La egó de establdad absolta qeda deda po: λ. Esta es el áea deto de a cceeca de ado co ceto e (-: Im λ Re λ Regó de establdad absolta - Ele Pede coclse qe el método de Ele es apopado paa tega ecacoes ca solcó es epoecalmete dececete ( λ < peo o paa el caso e qe la solcó es osclatoa o amotgada ( λ magaa pa. Aálogamete paa el método de Ele veso: se obtee: ( λ λ H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

14 La egó de establdad absolta e la qe es e este caso la egó etea al cíclo de ado co ceto e (. Im λ Re λ Regó de establdad absolta Ele Iveso El método de Ele veso seía apopado paa el caso e qe la solcó es osclatoa amotgada o o. No debeía emplease paa tega ecacoes ca solcó es epoecalmete cecete a qe po cosdeacoes de establdad eqeía paso gade lo qe estaía e colcto co los objetvos de pecsó. Todos los pocesos de Rge Ktta del msmo ode tee la msma egó de establdad absolta. Po ejemplo cosdéese poceso de segdo ode método de He també llamado Ele modcado: ˆ ( [ ( ( ˆ ] qe aplcado a la ecacó ˆ λ λ eslta: ( λ [ ] [ λ λ ( λ ] λ ( λ po lo tato : ( λ λ. La codcó es satseca po todos los ptos deto del elpsode qe se mesta e la ga sgete: Im λ Re λ Regó de establdad absolta Rge Ktta - Segdo Ode H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

15 Otos métodos de Rge Ktta de segdo ode como el método del pto medo o el método de Ralsto tee eactamete la msma ecacó caacteístca po lo tato la msma egó de establdad absolta. Paa el clásco método de Rge Ktta: ( ( ( ( ( se obtee e este caso: Y eslta: λ λ λ λ ( λ ( λ ( λ ( λ ( λ ( λ λ ( λ ( λ ( λ ( ( λ ( λ ( λ λ La epesó es la msma paa calqe oto método de Rge Ktta de cato ode (global: La egó de establdad absolta es aqella deto del límte dcado e la ga sgete: Re (λ Regó de establdad absolta Rge - Ktta o Ode Im (λ Las msmas deas pede també aplcase a métodos de pasos múltples. Po ejemplo paa la egla eplícta del pto medo a la qe se zo eeeca al co de esta seccó: ( λ se obtee las aíces de la ecacó caacteístca: H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 5

16 λ ± ( ( λ paa tee se eqee qe λ sea magaa pa e el ago ete. Debe obsevase qe este método es déblmete estable poqe paa se tee. U mejo método de pasos múltples es la egla tapezodal o método de Ca Ncolso: [ ( ( ] qe paa el caso de dode: λ eslta: ( λ ( λ ( λ λ po lo tato se eqee qe: λ es dec Re( λ... Métodos paa EDO de Segdo Ode Las ecacoes deecales de segdo ode sempe pede escbse como sstema de ecacoes de pme ode. S embago es más ecete emplea métodos más especícos como los qe se descbe a cotacó... Rge Ktta Paa esolve EDO de la oma ( co codcoes cales ( a e ( a se eceta e la lteata modcacoes de los métodos de Rge Ktta como po ejemplo el poceso de cato ode (global: ( ( 8 ( 8 ( ( ( [ ].. Método de Deeca Cetal Este pocedmeto se basa e sstt las devadas po ss apomacoes co deecas cetales. Así al esolve: m && ( t se pede apoma la segda devada co: & ( t ( t de dode eslta: ( ( t m. Este método pede també escbse e la oma smada: H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

17 m&& ( t & & & & t t ca tepetacó ísca es smple. Cado la ecacó es de la oma: m & c& ( t devada medate: & t & covee apoma la pmea Y o co a deeca aca atás qe a pmea vsta podía paece a mejo eleccó. Esta cosdeacó se elacoa co el tema de establdad qe se tata más adelate. Co la apomacó ates mecoada se obtee: m ( t c t m ( t ( ( t t t m c.. Método de Newma La amla de métodos de Newma se basa e apomacoes de la oma: & & [ δ && ( δ & ] t & ( t [ α && ( α & ] t El caso co δ α coespode a spoe qe & & (la aceleacó vaía lealmete e el tevalo. Apaetemete esa eleccó seía mejo qe δ α (lo qe íscamete se tepetaía como spoe a aceleacó costate pomedo. S embago esta últma eleccó es más apopada també po cosdeacoes de establdad a las qe se ace eeeca más adelate. Al emplaza las apomacoes e: m && se obtee: ˆ ˆ & ( t c dode: ˆ am ac ˆ m(a & && & a a c (a a a5 & los coecetes a L a7 so: a δ a α ( t α t a α t δ t δ a a a 5 α α α ( δ a a δ t t 7 Falmete se pede detema los evos valoes de & & & medate: && & a & ( a && a a 7 && & a && H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 7

18 .. Establdad Pecsó Todos los métodos paa esolve EDO de segdo ode pede se esctos e la oma: A b dode epeseta aoa el cojto de esltados qe descbe la espesta e el paso. Po ejemplo paa el método de deeca cetal: ( ω t β ω t β ω t β ω t ( t β ω t Los eoes se compota e oma aáloga pdedo demostase qe: ε A ε po lo tato paa qe los eoes se edzca (es dec paa qe el método sea estable se eqee qe: ρ ( A má λ E esta epesó ρ (A es el ado espectal los λ so los valoes caacteístcos de A. Paa el caso e qe β se tlza el método de deeca cetal la codcó ρ ( A se cmple cado: T t ω π Se dce etoces qe el método de deeca cetal es codcoalmete estable. S t ecede el límte ates dcado se podce a establdad méca. El límte coespode a algo más qe tes ptos po peíodo lo qe s embago eslta scete paa tee bea pecsó. Co t T / se todce eoes del ode de % e cada paso metas qe co t T / los eoes so del ode de %. Paa la amla de métodos de Newma pede també obteese las codcoes de establdad: δ.5 α.5(.5 δ Co a apopada seleccó de los paámetos (lo abtal es δ α se tee pocedmeto codcoalmete estable es dec estable paa calqe seleccó de t. Nevamete el tevalo de tegacó está lmtado po la pecsó. Dos pocesos a los qe també se ace eeeca e la lteata so los métodos de Hobolt de Wlso. Ambos métodos so també (paa a seleccó apopada de ss paámetos codcoalmete estables peo acmla mco más eoes qe el de Newma de aceleacó costate po tato o so ta coveetes... Sstemas de Ecacoes Deecales Odaas.. Itegacó Decta Cado las EDO so o leales e cosececa o es actble la descomposcó modal a la qe se ace eeeca e la seccó sgete cabe la posbldad de tega dectamete las ecacoes e s oma ogal. Las epesoes so páctcamete H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 8

19 las msmas sadas paa el caso de a sola ecacó deecal ecepto qe todas las opeacoes so ealzadas co matces. Así po ejemplo paa esolve el sstema de EDO de pme ode: ( Podía emplease el método de Rge Ktta de cato ode: ( ( ( ( ( (como es abtal las músclas e letas egtas deota matces colma. Aálogamete paa esolve el sstema de ecacoes deecales de segdo ode: M && K ( t podía emplease el método de deeca cetal: ( K M & t & & & & t t El método de deeca cetal es patclamete ecete paa el caso de EDO o leales s la matz M es dagoal (a apomacó ecete e geeía. Pede aotase qe e el caso de ecacoes o leales o eqee obteese K eplíctamete so más be el podcto K (lo qe pede se otoamete más ácl. Ota posbldad paa esolve ecacoes de la oma M & C & K seía el método de Newma e el qe se obtee de: K ˆ ˆ K ˆ K a M a C L U ˆ & && & M(a a a C (a a a5 & lego: && & t t t t a & ( t t t t a && t a && a & 7 t t t a && t Los coecetes a L a7 so los msmos de la seccó... Al esolve EDO o leales el método de Newma e la oma ates descta eqeía a eva actozacó K ˆ L U e cada paso. El poceso podía mejoase descompoedo Kˆ e dos pates pasado los témos o leales al segdo membo como pate de ˆ... Descomposcó Modal Cado el sstema de ecacoes deecales es leal patclamete s las matces qe dee el sstema de ecacoes deecales so smétcas el pocedmeto más ecete se basa e la descomposcó modal. Paa mosta e qe H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas - 9

20 cosste la descomposcó modal spógase qe se tee el sstema de ecacoes deecales: B & A (t Las matces A B so smétcas ( m ecetemete dedas postvas. La descomposcó modal emplea los vectoes caacteístcos φ ι obtedos de: A φ λ B φ Estos vectoes costte a base completa po lo tato la solcó (t pede sempe epesase como a combacó leal de los eedos vectoes: ( t a j φ j Nótese qe sedo las matces A B costates los vectoes caacteístcos so có de tempo. φ o S embago las compoetes o pede e geeal se costates pesto qe la solcó o los es. Po lo tato: & ( t & a j ( t φ j Al sstt las epesoes ateoes e el sstema de ecacoes deecales se tee: a& j B φ j a j A φ j (t Covee aoa ecoda las codcoes de otogoaldad: * s * s φ B φ φ A φ δ λ s δ s Paa smplca la pesetacó se a spesto qe los vectoes caacteístcos está omalzados especto a la matz B. Τ Al pe mltplca las ecacoes po φ ι : Τ Τ a& j φ ι B φ j a j φι A φ j φ Τ ι (t Se obseva qe la mao pate de los podctos qe se tee e cada sma so ceo. Sólo so dsttos de ceo aqellos e los qe los dos ídces j so gales. cosececa se obtee ecacoes desacopladas depedetes paa cada compoete a j (t : a& λ a Τ ι φ (t Po oto lado s las codcoes cales so ( etoces: ( a j ( φ j ι E po lo tato al pemltplca po Τ ι φ B : a Τ ι ( φ B Resolve de estas ecacoes desacopladas es mco más ácl qe esolve solo sstema de ecacoes deecales de ode (pede aqí acese paalelsmo co el caso de ecacoes algebacas. Además e mcas stacoes páctcas se obseva qe las compoetes a (t asocadas a los maoes valoes caacteístcos so H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

21 poco mpotates pede despecase. Po ello se jstca pleamete el tabajo de detema pevamete los valoes caacteístcos. Las ecacoes desacopladas pede esolvese co algos de los pocedmetos mécos tatados e la seccó.. Po ejemplo s los valoes caacteístcos ea egatvos podía emplease el método de Ele. E el caso e qe las coes (t so smples podía també pesase e a solcó aalítca. Obtedas cada a de las compoetes como có de tempo pede egesase a la epesó: ( t a j φ j paa alla la solcó (t. U caso ecete es aqel e el qe ( t g( t la có g (t está deda po a coleccó de valoes mécos coespodetes a valoes t omemete espacados. E tevalo calqea pede acese la apomacó: g ( t a t b de dode paa cada a de las ecacoes desacopladas se tee: Τ ι a& λ a φ ( a t b Ca solcó pede obteese áclmete (smado la solcó omogéea patcla de la oma A t B : C e λ t la Coocedo a al co del tevalo pede obteese la costate C calclase etoces el valo de a al alza el tevalo. El poceso se epte aálogamete paa los scesvos tevalos. Cabe aota qe este pocedmeto es codcoalmete estable. E ealdad seía eacto s la có ea eectvamete leal po tevalos. La apomacó está e abe descto la có g (t co úmeo to de valoes mécos a pat de los cales se está tepolado lealmete. Las msmas deas pede aplcase a sstemas leales de ecacoes deecales de segdo ode: M & C & K. E este caso podía pmeo detemase los valoes vectoes caacteístcos del poblema: K φ ω M φ. Aqí se a spesto qe K M so o sólo smétcas so també dedas postvas po lo qe los λ ω so postvos. Nevamete la solcó pede escbse como a combacó leal de los vectoes caacteístcos (qe e lo qe sge se a spesto omalzados especto a M : ( t a j ( t φ j Los vectoes caacteístcos satsace las codcoes de otogoaldad: * s φ M φ δ s * s φ ω φ K δ s Peo salvo e algos casos patclaes o podía amase algo smla co la matz C. S embago a aplcacoes e qe la clsó del témo C & es sólo atco paa todc dspacó e las ecacoes leales qe ealmete podía abese cosdeado co a K vaable depedete de. E este coteto podía todcse dectamete la dspacó e las ecacoes desacopladas o sedo ecesao detema la matz C : H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

22 a& β ω a& ω a Τ ι φ ( t Estas ecacoes pede també se eseltas mécamete po pocedmetos tales como el método de deeca cetal o el método de Newma de aceleacó costate. E el caso ecete e el qe ( t g( t estado g (t deda po a coleccó de valoes mécos a tevalos costates pede segse pocedmeto smla al descto ates paa ecacoes deecales de pme ode... Cosdeacoes Adcoales E el acápte.. se mecoó qe al esolve a ecacó deecal de segdo ode el tevalo está cotolado po pecsó o po establdad. La stacó es deete cado se eselve gades sstemas de EDO. Los cometaos sgetes paecea eese a sstemas de EDO leales peo ealmete so també aplcables a ecacoes o leales qe pede se leazadas localmete. Al tega dectamete sstema de EDO se está acedo opeacoes eqvaletes a tega las ecacoes desacopladas; smplemete el sstema de eeeca es dstto. El pocedmeto seá estable cado el tevalo de tegacó cmpla las codcoes de establdad co todos cada o de los modos compoetes. Po lo tato paa método como el de la deeca cetal: t ω má T π mí Cado se tee compotameto o leal los peíodos T tede a cece ( los ω tede a edcse po lo qe la estmacó del t sobe la base de las codcoes cales es e geeal scete. Po oto lado: ω ω L << ω má T T L >> T mí abtalmete al cmpl la codcó de establdad se tedá cetos tal vez mles de ptos po peíodo paa los modos asocados a las meoes ececas qe so los mpotates e la espesta. E esme al esolve gades sstemas de EDO co pocedmeto codcoalmete estable satsace la codcó de establdad mplca qe se tee també pecsó. E cambo al emplea método codcoalmete estable es la pecsó la qe sempe cotola el tevalo de tegacó. Éste debe escogese de modo qe se tege co scete pecsó todos aqellos modos ca patcpacó e la espesta es sgcatva. Cosdee el sstema de ecacoes deecales & A e la qe la matz A es: A Los valoes caacteístcos de la matz A so λ ω λ ω. Spógase qe las codcoes cales so: H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -

23 (..99 & ( E este caso es ácl obtee la solcó eacta: cos t. cos t El pme modo co ω T π es el mpotate e la solcó. La cotbcó del segdo modo co ω T / es compaatvamete peqeña. π Spógase aoa qe se sa el poceso de deeca cetal: && & A & t && t &. co codcoes cales.99 & & ( t & Paa tega apopadamete el pme modo seía scete cosdea t del ode de T /.. S embago es el segdo modo poco mpotate e la espesta el qe e este caso cotola la establdad. Se eqee edc el tevalo de modo qe: t < / ω T / π. lo qe dectamete ace qe se obtega pecsó e la tegacó de la compoete sgcatva. E las gas sgetes se mesta esltados obtedos co t. (el pocedmeto es estable co t.9 (pocedmeto estable. Los esltados seía aú más pecsos s T >> T como oce típcamete al esolve gades sstemas de ecacoes deecales Resltados obtedos co t. t t Resltados obtedos co t. 9 H. Scalett - Métodos Nmécos: Ecacoes Deecales Odaas -