Series alternadas Introducción

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1 Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia absoluta. Aplicar los criterios de series positivas, para determiar covergecia absoluta Itroducció Gottfried Leibiz Alemá ( ) La mayoría de las series estudiadas hasta el mometo ha sido series de térmios positivos. E particular, los criterios tratados ha sido codicioados para tales series. E esta sesió se estudiará series cuyos térmios so positivos y egativos. Ua clase de estas series so las series cuyos térmios altera e sigo. E 1705 Leibiz observó estas series y demostró que si se cumple ciertas codicioes, se garatiza que ua serie alterada coverge. Este teorema se llama criterio de las series alteradas o criterio de Leibiz. Tambié se estudiará ciertas series de térmios positivos y egativos, si ser alteradas, y alguas codicioes que permite estudiar su covergecia. 185

2 Sesió 26 Series alteradas 26.2 Series de térmios positivos y egativos Si e ua serie el úmero de térmios egativos es fiito, el estudio de su comportamieto se puede realizar aplicado criterios de las series de térmios positivos. El problema está cuado ua serie tiee ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. Etre estas series se ecuetra las llamadas series alteradas o series alterates. Por ejemplo, la serie: ( 1) +1 = ( 1) es ua serie alterada. U ejemplo de ua serie de térmios positivos y egativos, si ser alterada es: si = si 1 + si 2 + si si Para decidir si ua serie de esta clase coverge o ó, se estudiará la serie de los valores absolutos de sus térmios. Ciertos resultados permitirá ampliar el uso de los criterios para series positivas, a otras series Defiició de series alteradas Ua serie se dice alterada cuado sus térmios so alterativamete positivos y egativos (o egativos y positivos). Es decir, si a > 0 para cada N, etoces las series alteradas puede ser de las siguietes formas: o ( 1) +1 a = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a ( 1) +1 a +... ( 1) a = a 1 + a 2 a 3 + a 4 a ( 1) a +... Nota 26.1 Como el comportamieto de ua serie o cambia si se modifica u úmero fiito de térmios, esto ocurre tambié e ua serie alterada. Por ello, se puede decir que ua serie alterada es de la forma: ( 1) a o ( 1) +1 a, siedo a > 0. Istituto de Matemática y Física 186 Uiversidad de Talca

3 Sesió 26 Series alteradas Tambié, se puede cosiderar series alteradas dode el ídice toma u valor iicial = 0. Ejemplo 26.1 Las siguietes series so series alteradas: a) b) c) =0 ( 1) + 1 = ( 1) ( 1 = ( 1) 2) 1 2 = ( 1) ( 1) +1 1! = 1 1 2! + 1 3! 1 4! ( 1)+1 1! Criterio para series alteradas (Leibiz, 1704). Teorema 26.1 Dada la serie alterada ( 1) +1 a tal que a > 0. Si se cumple las codicioes: a a +1 para todo, es decir si (a ) es decreciete, y lim + a = 0 etoces la serie alterada ( 1) +1 a es covergete. Demostració Probar que la serie ( 1) +1 a coverge sigifica probar que la sucesió de sus sumas parciales tiee límite fiito. La ésima suma parcial es: S = a 1 a 2 + a 3 a 4 + a 5... ( 1) +1 a Se estudiará la subsucesió de sumas parciales de ídice par, y la subsucesió de sumas parciales de ídice impar. a) Estudio de la subsucesió de sumas parciales de ídice par. a1) Expresar cada suma parcial de ídice par e la forma: S 2 = a 1 a 2 S 4 = (a 1 a 2 ) + (a 3 a 4 ). S 2 = (a 1 a 2 ) + (a 3 a 4 ) + (a 5 a 6 ) (a 2 1 a 2 ). Istituto de Matemática y Física 187 Uiversidad de Talca

4 Sesió 26 Series alteradas Como la sucesió (a ) es decreciete: a k a k+1 0, la subsucesió de sumas parciales: es creciete. S 2, S 4,... S 2,... a2) Expresar cada suma parcial S 2 e la forma: Como para todo k S 2 = a 1 (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 )... (a 2 2 a 2 1 ) a 2 a k a k+1 0, se obtiee que la subsucesió de sumas parciales: es acotada superiormete por a 1. Luego, la subsucesió de sumas parciales: S 2, S 4,... S 2,... S 2, S 4,... S 2,... es creciete y acotada superiormete, por lo tato es covergete. Luego, existe L R, tal que lim S 2 = L. + b) Estudio de la subsucesió de sumas parciales de ídice impar. Como: S 2+1 = S 2 + a 2+1 Luego, lim S 2+1 = lim (S 2 + a 2+1 ) = L + + Estos sigifica que la subsucesió S 2+1 es covergete. Luego, la sucesió de sumas parciales S es covergete, lo que implica que, la serie alterada ( 1) +1 a es covergete. Nota 26.2 Si se cumple las codicioes del teorema aterior, etoces la serie ( 1) a tambié es covergete. Ejemplo 26.2 Estudiar el comportamieto de la serie Solució ( 1) La serie + ( 1)+1 1 es alterada, cuyo térmio geeral es: ( 1)+1 1. Para aplicar el criterio de las series alteradas, se debe estudiar la sucesió a = 1, que es ua sucesió de térmios positivos. Estudio de la sucesió a : Istituto de Matemática y Física 188 Uiversidad de Talca

5 Sesió 26 Series alteradas La sucesió a = 1 es decreciete, ya que 1 > lim a = lim 1 = 0 Por el criterio de las series alteradas, la serie + ( 1)+1 1 coverge. Gráfico de la sucesió de sumas parciales de + ( 1)+1 1 Ejercicio 26.1 Estudiar el comportamieto de la serie Ejemplo 26.3 Determiar si la serie Solució =2 coverge. ( 2) 1 ( 1) 1 l. Gráfico de la sucesió de sumas parciales de + Es claro que, + = + ( 2) 1 ( 1) Estudio de la sucesió a =, para ( 2) 1 Para 1: > +1, luego la sucesió a es decreciete (verificarlo) y todos sus térmios so positivos. Istituto de Matemática y Física 189 Uiversidad de Talca

6 Sesió 26 Series alteradas Usado la regla de L Hopital: luego: lim a = lim 2 1 = 0, lim x + x = lim 2x 1 x x 1 l 2 = 0, es cover- Por lo tato, por el criterio de las series alteradas, la serie + gete. Ejemplo 26.4 Estudiar si la serie Solució La serie es alterada, co a = ( 1) es covergete. lim a = lim = 5 4 Luego, la sucesió a o cumple la seguda codició. ( 2) 1 Por lo tato, o se puede aplicar el criterio de las series alteradas para decidir si la serie coverge. Ejercicio 26.2 Se puede determiar el comportamieto de la serie dada e el ejemplo precedete, usado el criterio del térmio geeral?. +1 l Ejemplo 26.5 Estudiar si la serie ( 1) =2 Solució Estudio de la sucesió a = l. Usado la regla de L Hopital se obtiee: es covergete. si f(x) = l x x etoces f (x) = 1 l x x 2 Como f (x) < 0 para todo x > e, la fució f(x) es decreciete para x > e. Luego, (a ) es decreciete. lim l = 0 Luego, serie es covergete. Gráfico de la sucesió de sumas parciales de + l =2 ( 1)+1 Istituto de Matemática y Física 190 Uiversidad de Talca

7 Sesió 26 Series alteradas Ejercicio 26.3 Estudiar el comportamieto de cada serie: a) =2 ( 1) 1 l b) = ( 1) c) ( 1) l(2) Teorema 26.2 Estimació de ua serie alterate Si la serie alterate ( 1) +1 a satisface las codicioes del criterio de Leibiz (luego, es covergete), y S y S deota las suma de la serie y la suma parcial de los primeros térmios de la serie, respectivamete, etoces R = S S a Covergecia absoluta Como se mecioó al comiezo de esta sesió, hay series co térmios positivos y egativos, que o so alteradas. Por ejemplo: si = si 1 + si 2 + si si Se puede obteer iformació de esta serie, estudiado la serie: + si? 2 Nota 26.3 Dada cualquier serie + a, se puede cosiderar la serie correspodiete de valores absolutos a = a 1 + a 2 + a Si a > 0, etoces la serie a es ua serie de térmios positivos. El siguiete teorema da ua respuesta a la preguta ateriormete formulada. Teorema 26.3 Dada ua serie a. Si la serie a es covergete, etoces la serie a tambié es covergete. Demostració Se tiee que: 0 a + a 2 a para todo Aplicado el criterio de comparació co la serie 2 a, la serie: (a + a ) es covergete Istituto de Matemática y Física 191 Uiversidad de Talca

8 Sesió 26 Series alteradas Como: a = (a + a ) a, se tiee que: a = (a + a ) a Luego, la serie a coverge, ya que ambas series del lado derecho so covergetes. Nota 26.4 El recíproco del teorema aterior o se cumple. Por ejemplo, la serie + ( 1) +1 es covergete, aplicado el criterio de las series alteradas, y la serie armóica + es divergete. 1 si Ejemplo 26.6 Determiar si la serie coverge. 2 Solució Se estudiará la serie de valores absolutos: + si. 2 Como: si 1, para todo N, luego: si Como la serie 1 2 comparació directa, la serie si 2 es covergete (serie p, co p = 2 > 1), por el criterio de es covergete. es covergete. Luego, por el teorema de covergecia absoluta, la serie + si 2 Gráfico de la sucesió de sumas parciales de + si Defiició de covergecia absoluta Ua serie a es absolutamete covergete, siempre y cuado, la serie a es covergete. Observacioes a) Del teorema de covergecia absoluta, se obtiee que: si ua serie coverge absolutamete, etoces la serie coverge. Istituto de Matemática y Física 192 Uiversidad de Talca

9 Sesió 26 Series alteradas b) El teorema de covergecia absoluta dice que, para determiar si ua serie b de térmios o ulos coverge, se puede estudiar la serie de valores absolutos b, que es ua serie de térmios positivos, y su comportamieto se puede estudiar usado los criterios para series de térmios positivos. Ejemplo 26.7 La serie ( 1) 3 ( 1) = 1 es covergete. 3 3 es absolutamete covergete, ya que la serie Ejemplo 26.8 La serie ( 1) o es absolutamete covergete, ya que la serie ( 1) = 1 o es covergete Defiició de covergecia codicioal Ua serie a es codicioalmete covergete, si y sólo si, la serie coverge pero o absolutamete. Ejemplo 26.9 La serie ( 1) es ua serie codicioalmete covergete. E efecto. por el criterio de las series alteradas, la serie es covergete. La serie de los valores absolutos ( 1) = 1 es divergete (serie p, co p = 1) Autoevaluació 1) Determiar si las siguietes series alteradas so covergetes o divergetes. a) b) c) ( 1) 1 (2 1) 2 ( 1) ( 1) ( + 1) 3 2) Dada la serie: a) Verificar que es covergete. b) Estimar el valor de su suma co sus primeros 10 térmios. c) Acotar el error cometido. Istituto de Matemática y Física 193 Uiversidad de Talca

10 Sesió 26 Series alteradas 3) Determiar si la serie dada es codicioalmete covergete, absolutamete covergete o divergete: a) ( 1) + 3 si 2 b) 2 c) ( 1) +1 l 2 Respuestas: 1) a) Covergete b) Covergete c) Divergete 2) b) c) ) a) Codicioalmete Covergete b) Absolutamete Covergete c) Codicioalmete Covergete 26.8 Desafío Se sabe que la serie serie 1 2 es covergete, y calcular su suma. es covergete y que su suma es π2. Verificar que la 6 ( 1) +1 2 Istituto de Matemática y Física 194 Uiversidad de Talca

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