La equivalencia entre superficies de Riemann compactas y curvas suaves sobre C

Transcripción

1 La equivalencia entre superficies de Riemann compactas y curvas suaves sobre C 1. Proyección Sea X una superficie de Riemann compacta de género g, tal que X P n para algún n y tal que para cada p X, existe una coordenada homogénea z j tal que 1. z j 0 en p 2. para todo k, z k /z j es una función holomorfa cerca de p y 3. existe una coordenada homogénea z i tal que z i /z j es una coordenada local cerca de p. Si p P n, entonces p = v para algún v C n+1. Sea pr : C n+1 C n+1 / v C n la proyección canónica; induce una aplicación regular finita π : P n \{p} P n 1, donde si a 1,1 a 1,2 a 1,n+1 a 2,1 a 2,2 a 2,n+1 [pr] = a n,1 a n,2 a n,n+1 y L i (x 1,..., x n ) = a i,1 x a i,n x n, entonces π(x) = [L 1 (x) : : L n (x)]. Si x, y X son distintos y p / X, entonces π(x) = π(y) si y solamente si la recta secante que pasa por x e y corta p. Además, π(x) cumplirá las condiciones 1., 2. y 3. si y solamente si la recta tangente que pasa por cada punto x X no corta p (si X está definido por [1 : z : g 2 (z) : : g n (z)] cerca de x, definimos la recta tangente en x como la recta que une x con [0 : 1 : g 2 (z) : : g n(z)]). Sean I := {(x, y, r) : x, y X, x y, r xy} y J := {(x, r) : x X, r están en la recta tangente de X en x}. Si definimos las proyecciones pr 3 : I P n y pr 2 : J P n, notamos que π X es una inmersión holomorfa de X en P n 1 si y solamente si Im (pr 3 ) Im (pr 2 ) P n. Por dimensión, vemos que si n 3, siempre existe un punto p que no está en las imágenes de estas funciones. 2. Ecuaciones para X Supongamos ahora que X P 3, y proyectemos X de P 3 \{p} a P 2 desde un punto p que no está en ninguna recta tangente a X (se demuestra que este p existe usando un argumento de dimensión). Así, π es una aplicación holomorfa y localmente inyectiva. Proposición 2.1 La imagen π(x) en P 2 es un cerrado en la topología de Zariski. Demostración Paso 1: Encontrar una ecuación Suponiendo que π(x) no está contenido en ningún hiperplano (si x 2 = 0 en π(x), por ejemplo, entonces X ya lo podemos ver inmerso en P 2 sin necesidad de proyectar), si [x 0 : x 1 : x 2 ] son las 1

2 coordenadas homogéneas de P 2, vemos que x 0 /x 2 y x 1 /x 2 definen funciones meromorfas en π(x). Consideremos ahora los pullbacks de estas funciones; es decir, π (x 0 /x 2 ), π (x 1 /x 2 ) M X. Como M X es una extensión de grado de trascendencia 1 sobre C, existe un polinomio f C[x, y] tal que f(π (x 0 /x 2 ), π (x 1 /x 2 )) = 0. Podemos suponer que es irreducible y de grado d, el menor grado posible para un polinomio que cumple lo anterior. Consideremos entonces el polinomio F (x 0, x 1, x 2 ) = x d 2 f(x 0/x 2, x 1 /x 2 ). Observamos que π(x) {F = 0} =: Y (donde {F = 0} se entiende como el conjunto de raíces de F en P 2 ). Además, como f es irreducible entonces F también lo es. Paso 2: π(x) = Y Sean z 1,..., z n Y las singularidades de Y y {p 1,..., p m } = π 1 ({z 1,..., z n }). Vemos que π : X\{p 1,..., p m } Y \{z 1,..., z n } es una aplicación holomorfa entre superficies de Riemann, y luego es una aplicación abierta. Notamos que π(x) = π(x\{p 1,..., p m }) {π(p 1 ),..., π(p m )}, y π(x\{p 1,..., p m }) es abierto en Y. Sabemos que π es una aplicación continua, y como X es compacto, también lo es π(x) (y luego es cerrado). Si denotamos por fr(π(x)) la frontera de π(x), vemos que fr(π(x)) π(x). Por lo dicho anteriormente, si x fr(π(x)), entonces o bien x π(x\{p 1,..., p m }) ó x {π(p 1 ),..., π(p m )}. No puede estar en π(x\{p 1,..., p m }), ya que este conjunto es un abierto de la imagen de π (y todo abierto que contiene a x intersectaría también el complemento de π(x)). Por lo tanto, x debe estar en {π(p 1 ),..., π(p m )}; es decir, la frontera de π(x) consiste de una cantidad finita de puntos (si es distinta del vacío). Si fr(π(x)), entonces π(x\{p 1,..., p m })) y Y \{z 1,..., z n } son espacios conexos por caminos. Así, podemos unir un punto fuera de π(x\{p 1,..., p m }) con un punto dentro del mismo conjunto por un camino; tal camino tendría que cortar la frontera, y esto produce una contradicción. Por lo tanto π(x\{p 1,..., p m }) = Y \{z 1,..., z n }. Agregando los puntos p 1,..., p m en el dominio, obtenemos que π(x) = Y. Esto nos ayudará a encontrar ecuaciones para X: Teorema 2.2 Si X P 3 es una superficie de Riemann que cumple las condiciones 1., 2. y 3. arriba, entonces es un cerrado en la topología de Zariski. Este es un caso particular del Teorema de Chow, que dice que toda variedad analítica que está inmersa en algún espacio proyectivo es un cerrado en la topología de Zariski. Demostración Sea p P 3 \X, y consideremos el conjunto T = {(x, y) X P 3 : y está en la recta que pasa por x y p} junto a la segunda proyección pr 2 : T P 3. Notamos que T es una variedad analítica de dimensión 2, y entonces Im (pr 2 ) P 3. Por lo tanto, existe q P 3 \Im (pr 2 ). Podemos además escoger tal q de manera que no esté en ninguna recta tangente a X. Si tomamos la proyección π : P 3 \{q} P 2, vemos entonces por la Proposición 2.1 que π(x) = {F = 0} para un cierto polinomio homogéneo F C[x, y, z]. Además, π(p) / π(x). Levantando la ecuación {F = 0} a P 3, obtenemos que X {π (F ) = 0} y p / {π (F ) = 0}. Como π es una aplicación regular (si la miramos en la categoría algebraica), obtenemos que π (F ) es un polinomio. 2

3 Como p es arbitrario, vemos que X es la intersección de polinomios, ya que para todo punto fuera de X existe algún polinomio que no se anula en el punto pero sí se anula en X. Por lo tanto, X es cerrado en la topología de Zariski. De esta misma manera se puede demostrar que si X P n cumple las condiciones 1., 2. y 3. arriba, entonces necesariamente es un cerrado en la topología de Zariski. 3. Aplicaciones de X a P n Sea X una superficie de Riemann compacta de género g, y D un divisor en X. Definimos entonces L(D) := {f M X : (f) + D 0} L 1 (D) := {ω M 1 X : (ω) + D 0}. Sea φ : X P n una aplicación tal que cerca de todo punto x X, φ(x) = [f 0 (x) : : f n (x)] para ciertas funciones f i holomorfas en una vecindad de x. Decimos que φ es holomorfa. De hecho, todas las aplicaciones holomorfas φ : X P n tienen la forma φ(x) = [f 0 (x) : : f n (x)] para todo x X para ciertas funciones meromorfas f i. Esto implica que hay una biyección {φ : X P n holomorfa} P MX (M n X). Ejemplo 3.1 Sea φ n : P 1 P n tal que φ n ([z 0 : z 1 ]) = [z0 n : zn 1 0 z 1 : : z 0 z1 n 1 : z1 n] (si identificamos P 1 con Ĉ, esta aplicación es precisamente la aplicación z [1 : z : : zn ]); es trivial ver que φ n es holomorfa. φ n (P 1 ) es una curva normal racional. Vemos que si n = 2, entonces φ 2 (P 1 ) P 2 está dada por la ecuación z 0 z 2 = z1 2, y cuando n = 3 se tiene que φ 3(P 1 ) es la cúbica torcida. Los φ n son un caso particular de las inmersiones de Veronese. Ejemplo 3.2 Consideremos un toro complejo C/L, y sea L M C/L la función de Weierstrass. La aplicación ϕ : C/L P 2 tal que ϕ(z + L) = [1 : L (z) : L (z)] es holomorfa, y de hecho es un isomorfismo. A cada aplicación holomorfa φ : X P n con φ = [f 0 : : f n ] le asociamos el divisor D φ := mín i {(f i )}; es decir, D φ (x) = mín i {ord x f i }. Sea V φ = f 0,..., f n C L(D φ ). Este espacio entonces induce un sistema lineal φ := {(g) + D φ : g V φ } P C (V φ ) que es un subsistema del sistema D φ. Es fácil demostrar que φ no depende de los f i, sino solamente de φ. Un sistema lineal de dimensión n cuyos divisores tienen grado d se llama un g n d. Definición 3.3 Sea Q un gd r en X. Un punto p X es un punto base de Q si todo divisor E Q cumple que E p (o sea p está en el soporte de E). Se tiene el siguiente lema: Lema 3.4 Si Q D está definido por el espacio vectorial V L(D), entonces p X es un punto base de Q si y solamente si V L(D p). En particular, p es un punto base de D si y solamente si L(D p) = L(D). En otras palabras, p no es un punto base de Q si y solamente si existe f V con ord p f = D(p). 3

4 Sea φ : X P n una aplicación holomorfa y sea H un polinomio homogéneo de grado 1 en n variables que no se anula completamente en φ(x). Notamos que si dividimos H por otro polinomio homogéneo de grado 1 que no se anula completamente en φ(x), obtenemos una función meromorfa en X. Definimos un divisor φ (H) para el hiperplano {H = 0} como sigue: para p X, escogemos un polinomio homogéneo M de grado 1 que no se anula en φ(p), y ponemos φ (H)(p) := ord p (H/M) φ. Está bien definido este divisor, y se llama un divisor de hiperplano para la aplicación φ. Después de hacer varios cálculos, se llega a que si H = a 0 x a n x n y φ = [f 0 : : f n ], entonces φ (H) = div(a 0 f 0 + a n f n ) + D φ. Esto implica que Proposición 3.5 El conjunto de divisores de hiperplano {φ (H)} es igual a φ. También, Proposición 3.6 Sea Q D un sistema lineal libre de puntos base de dimensión proyectiva n. Entonces existe una aplicación holomorfa φ : X P n tal que Q = φ. Además, φ es única, salvo cambios de coordenadas en P n. Proposición 3.7 Sea D un divisor cuyo sistema lineal D no tiene puntos base. Entonces φ D es una inmersión holomorfa (o sea isomorfismo con su imagen, y φ D (X) cumple las condiciones 1., 2. y 3. arriba en la sección 1) si y solamente si para todo p, q X, se tiene que dim L(D p q) = dim L(D) 2 (p y q pueden ser iguales). Si D cumple las condiciones de la proposición anterior, decimos que D es muy amplio. Si Y P n es una superficie de Riemann compacta que cumple las condiciones 1., 2. y 3. de la sección 1, entonces definimos el grado de Y como el grado de cualquiera de sus divisores de hiperplano. Proposición 3.8 Sea φ : X P n una aplicación holomorfa, cuya imagen cumple las condiciones 1., 2. y 3. de la sección 1. Si H es un hiperplano en P n que no contiene a φ(x), entonces deg φ (H) = deg φ deg Y. 4. El Teorema de Riemann-Roch El Teorema de Riemann-Roch es fundamental en el estudio de curvas algebraicas. Teorema 4.1 (Riemann-Roch) Sean D un divisor en X y K un divisor canónico en X. Entonces dim L(D) dim L(K D) = deg D + 1 g. Esto equivale a decir dim L(D) dim L 1 ( D) = deg D + 1 g. Un corolario del Teorema de Riemann-Roch nos da una condición suficiente para que un divisor sea muy amplio: Corolario 4.2 Si deg D 2g + 1 entonces D es muy amplio. Demostración En este caso se tiene que L(K D) = L(K D + p + q) = 0 para todo p, q X, y dim L(D) = deg D + 1 g y dim L(D p q) = deg D g 1. 4

5 Este corolario implica que una superficie de Riemann compacta de género g siempre se puede ver como un subconjunto de P n ; además cumple las condiciones 1., 2. y 3. arriba, y por la sección 2 obtenemos que toda superficie de Riemann compacta se puede ver como una curva algebraica (es decir, un cerrado en la topología de Zariski). Este corolario de hecho nos dice un poco más. Sea p X; notamos que el divisor D = (2g+1) p es muy amplio. Por lo dicho anteriormente, existe un hiperplano H tal que φ D (H) = D. Esto implica que la imagen inversa de H a través de φ D es simplemente el punto p, y luego X\{p} se puede encrustar en P n \H via φ D. Se sabe que P n \H es afín, y luego X\{p} se puede encrustar en A n. Lema 4.3 El sistema lineal canónico K es libre de puntos base. Demostración Sea p X. Entonces y dim L(K) = dim L(0) + 2g g = g dim L(K p) = dim L(p) + 2g g = g 1. Podemos ver que φ K no es una inmersión si y solamente si dim L(K p q) = dim L(K) 1 = g 1. Usando Riemann-Roch, esto ocurre si y solamente si dim L(p + q) = 2. En este caso, existe una función meromorfa f : X P 1 no constante tal que tiene polos solamente en p y q. Además, f tiene grado 2, y luego X es hiperelíptica. Recíprocamente, si X es hiperelíptica entonces φ K no es una inmersión. Proposición 4.4 Sea X una superficie de Riemann compacta de género g 3. Entonces φ K es una inmersión si y solamente si X no es hiperelíptica, y en tal caso la imagen de φ K tiene grado 2g 2. Si X es hiperelíptica, entonces φ K es una aplicación holomorfa dos a uno y la imagen es de grado g 1. Como corolario, vemos que si X no es hiperelíptica, hay una forma canónica de realizar X como una curva algebraica en P g 1. Por otro lado, si X es hiperelíptica, sabemos que la podemos ver como los ceros de un polinomio de la forma y 2 = p(x), donde p no es un cuadrado. 5. La equivalencia entre las dos categorías Ya vimos que cada superficie de Riemann compacta se puede ver como una curva algebraica en el espacio proyectivo P 3 (de hecho, se puede proyectar tal curva a P 2 de tal manera que quede una curva cuyas singularidades son a lo más nodos). La pregunta que surge ahora es: Cuál es la relación entre las las funciones meromorfas y las funciones racionales? Cómo se relacionan las aplicaciones holomorfas con los morfismos (las aplicaciones regulares)? Sea φ : X P n una inmersión holomorfa. Se sabe que un cuerpo de funciones meromorfas K M X es igual a M X si y solamente si contiene las constantes y separa los puntos y tangentes de X (véase [2], Capítulo VI, Proposición 1.22). Es fácil ver que las funciones racionales en P n cumplen estas condiciones en π(x), y entonces obtenemos Proposición 5.1 M π(x) = C(π(X)), donde C(π(X)) es el cuerpo de las funciones racionales en π(x). 5

6 En particular, como el grado de trascendencia de M X /C es igual a 1, vemos que la dimensión de π(x) (en el sentido de la geometría algebraica) es 1, y π(x) es verdaderamente una curva algebraica. Sea X una variedad algebraica, y sea O x el conjunto de todas las funciones racionales en X que son regulares en una vecindad de x; es un anillo local con ideal maximal m x = {f O x : f(x) = 0}. Recordemos que x X es un punto suave de X si dim C m x /m 2 x = dim X. La variedad X es suave si todo punto de X es suave. De lo anterior, obtenemos otro resultado importante: Proposición 5.2 Si X P n es una superficie de Riemann compacta que cumple las condiciones 1., 2. y 3. arriba, entonces φ(x) es una variedad algebraica suave. Demostración Ya demostramos en el Teorema 2.2 que φ(x) es una variedad algebraica. Sea x X; sabemos que φ(x) es suave en un punto p φ(x) si y solamente si dim C m x /m 2 x = 1. Sabemos que O x es un anillo de valuación discreta con valuación ord x : M X Z. Así, m x es un ideal principal generado por un elemento f M X ; además ord x f = 1. Si f m 2 x, entonces f = pq para ciertos p, q m x. Pero entonces 1 = ord x f = ord x p + ord x q 2, una contradicción. Luego, obtenemos que dim C m x /m 2 x 1. Si ord x h = 1 para algún h O x, entonces h = qf para algún q O x. Luego, 1 = ord x h = ord x q + ord x f, y entonces q / m x. Entonces q = λ + r, donde λ C\{0} y r m x. Esto implica que h = qf = (λ + r)f = λf + rf, y luego h + m 2 x = λf + m 2 x, lo cual implica que dim C m x /m 2 x = 1. Procedamos ahora con las funciones/aplicaciones regulares. Vemos que toda aplicación regular entre dos curvas X e Y está dada por una aplicación de la forma x [F 0 (x) : : F m (x)], donde los F i son polinomios homogéneos del mismo grado, y siempre existe una expresión de esta forma donde por lo menos un F i (x) 0. Vemos que esta noción coincide con nuestra definición de aplicación holomorfa, y entonces tenemos que Proposición 5.3 Las aplicaciones regulares entre dos curvas algebraicas suaves coinciden con las aplicaciones holomorfas entre tales curvas. Estudiemos un poco más esta relación. Sea X P n una curva algebraica y sea x X. Decimos que una función t O x es un parámetro local si t(x) = 0 y t genera a m x /m 2 x como espacio vectorial sobre C, donde m x = {g O x : g(x ) = 0}. Por el Lema de Nakayama, se tiene además que t genera al ideal m x. Como X es suave, tenemos que tal t existe. Sea f M X tal que ord x f = 1; esto implica que f es una carta local cerca de x. Vemos que f O x, y luego f = pt para algún p O x \m x. Luego, en una vecindad de x, tenemos que t = f/p, y derivando obtenemos que t = (f p p f)/p 2. Como p no se anula en x, obtenemos que t es una carta local cerca de x. Recíprocamente, si f M X es una carta local cerca de x, entonces f + m x genera m x /m 2 x si y solamente si f / m 2 x. Pero si f m 2 x, entonces f = pt k para algún p O x \m x y k 2; tomando derivada, tendríamos que la derivada de f se anula, y esto contradice el hecho de que es carta local. Por lo tanto, toda carta local que provenga de una función meromorfa es también un parámetro local. En el capítulo 1 de [1], hay una sección que estudia las curvas no singulares sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. Juntando los resultados obtenidos acá con los resultados de esa sección, obtenemos nuestro teorema final: Teorema 5.4 Sobre C, las cuatro categorías siguientes son equivalentes: 6

7 1. curvas suaves proyectivas, junto a los morfismos sobreyectivos; 2. curvas cuasiproyectivas, junto a los morfismos con imagen densa; 3. cuerpos de funciones finitamente generadas de grado de trascendencia 1 sobre C, junto a los C-homomorfismos; 4. superficies de Riemann compactas, junto a las aplicaciones holomorfas. Referencias [1] R. Hartshorne. Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer, [2] R. Miranda. Algebraic Curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 5, AMS, [3] I.R. Shafarevich. Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Second Edition, Springer-Verlag, Heidelberg, [4] I. R. Shafarevich. Algebraic Geometry I, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 23, Springer-Verlag, New York,