Vector Tangente y Vector Normal

Transcripción

1 Vector Tangente y Vector Normal enición. ada una supercie S = f) descrita por la función f : R 2 R 3 fu, v) = xu, v), yu, v), zu, v)) de clase c con u, v) y dado un punto u, v ) denimos los vectores f u u, v ) = u u, v ), y u u, v ), z ) u u, v ) f v u, v ) = v u, v ), y v u, v ), z ) v u, v ) donde dichos vectores son tangentes a la supercie en el punto dado x, y, z ) = fu, v ) enición 2. Si llamo T u = f u y T v = f al ser vectores linealmente independientes con ellos puedo v generar el vector T u T v el cual es normal a la superfície en un punto dado. y con estos elementos puedo determinar un plano tangente a una superfície dada en un punto dado. enición 3. Una superfície es suave si en cada punto de ella puedo denir un plano tangente, es decir Una superfície es suave en fu, v ) si T u T v en u, v ), y la superfície es suave si es suave en todos los puntos fu, v ) S En caso de que T u T v = para algun o algunos puntos de una superfície, entonces ahí no se puede denir un plano tangente. Ejemplo Vamos a considerar la superfície de un cono y en ella vamos a comprobar que no se puede denir un plano tangente en el origen

2 Una ecuación parametrica para un cono es x = u cosv), y = u sinv), z = u con u, tenemos entonces que T u = cosv), sinv), ) T v = u sinv), u cosv), ) T u T v = cosv) sinv) u sinv) u cosv) = u cosv), u sinv), u) En nuestro ejemplo si u, v) =, ) entonces T u T v =,, ) por lo tanto en el origen de nuestra superfície cono) no se puede denir un plano tangente Plano Tangente Si una superfície parametrizada φ : R 2 R 3 es suave en φu, v ), esto es T u T v en u, v ) denimos el plano tangente a la superfície en φu, v ) como el plano determinado por los vectores T u, T v así n = T u T v es normal a la superfície y una ecuación del plano tangente esta dada por x x, y y, z z ) n = dond n se evalua en u, v ) y x, y, z ) es un punto sobre la superfície. Ejemplo Sea φ : R 2 R 3 dada por x = u cosv), y = u sinv), z = u 2 + v 2 a)¾onde existe el plano tangente? b)halle el plano tengente para φ, ) Para a) tenemos que T u = cosv), sinv), 2u) T v = u sinv), u cosv), 2v) T u T v = cosv) sinv) 2u u sinv) u cosv) 2v = 2v sinv) 2u2 cosv), 2v cosv) 2u 2 sinv), u) T u T v para u, v), ) para u, v), ) un plano tangente Para b) tenemos que φ, ) = cos), sin), ) =,, ) por otro lado T u T v evaluados en,, ) nos da n = 2) sin) 2) 2 cos), 2) cos) 2) 2 sin), ) = 2,, ) una ecuación del plano tangente en,, ) es: 2,, ) x, y, z),, )) = 2,, ) x, y, z ) = 2x )z ) 2x z = z = 2x Ejemplo Supóngase que una superfície S es la gráca de una función diferenciable F : R 2 R. una forma parametrica de ella sería fx, y) = x, y, F x, y)) por lo tanto T x =,, F ) T y =,, F ) y 2

3 . Los cuales son siempre linealmente independientes, por lo tanto dado un punto u, v ) S podemos denir un plano tangente el cual tendría como vector normal n = T x T y = g u = g v F ), F y, por lo tanto una la ecuación del plano tangente a la supercie S en un punto dado x, y, F x, y )) es: x x, y y, z z ) F ), F y, = Área de una Superfície Paramétrica Supóngase que una superfície S es la gráca de una función diferenciable F : R 2 R. z = F x, y), y sea P = {R ij i n, j m} una particion de la región en rectángulos R ij = [u i, u i + ui ] [v j, v j + vj ] Sea R ij el rectángulo en con vértices u i, v j ) u i + ui, v j ), u i, v j + vj ), u i + ui, v j + vj ) estos vértices bajo f caen en un rectángulo curvo fu i, v j ), fu i + ui, v j ), fu i, v j + vj ), fu i + ui, v j + vj ) si f es suave entonces fu i + ui, v j ) fu i, v j ) T u u i, v j ) ui fu i, v j + vj ) fu i, v j ) T v u i, v j ) vj por lo tanto el área del paralelogramo generado por los vectores T u u i, v j ) ui y T v u i, v j ) vj esta dada por Tu u i, v j ) ui T vu i, v j ) vj = Tu u i, v j ) T v u i, v j ) ui vj 3

4 Si consideramos la suma de todas las áreas dada una particion de la superfície nos aproximaremos a su área total, tenemos entonces que n m áreas) T u u i, v j ) T v u i, v j ) ui vj i= j= Considerando una partición sucientemente grande tenemos que: n m áreas) = lím T u u i, v j ) T v u i, v j ) ui vj = n,m i= j= T u T v du dv Ejemplo Calcule el área de la porción del paraboloide z = x 2 +y 2 que esta comprendida entre los planos z =, z = sol.- La intersección del paraboloide con el plano z = es el punto, ) y con el plano z = es la circunferencia x 2 + y 2 = por lo que la región limitada por la proyección de dicha circunferencia sobre el plano XY es = {x, y) R 2 x 2 + y 2 } Podemos entonces considerar la siguiente parametrización rx, y) = {x, y, x 2 + y 2 } de esta manera S = r), siendo S la superfície descrita se tiene que r x = r =,, 2x) r x = r y =,, 2y) nx, y) = r x r y = 2x 2y = 2x, 2y,) 4

5 . el área de la superfície sera as) = r x r y dxdy = = }{{} polares 2π 4r2 + rdθdr = 2π = π 4 2x)2 + 2y) 2 + dxdy = 4r2 + rdr = }{{} u=4r 2 + du=8r [ ] = π ) = 2π 8 5 4x2 + 4y 2 + dxdy udu = 2π 8 [ ] 2 3 u