Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.

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1 Tema 4. Ecuaciones e Inecuaciones.. Ecuaciones con una incógnita... Ecuaciones de primer grado.. Ecuaciones de segundo grado.3. Ecuaciones bicuadráticas.4. Ecuaciones polinómicas.. Ecuaciones con radicales..6. Ecuaciones de fracciones polinómicas.. Ecuaciones lineales con dos incógnitas 3. Sistema de ecuaciones 3.. Dos ecuaciones lineales 3... Soluciones. Interpretación gráfica 3... Resolución de ecuaciones lineales. 3.. Sistemas no lineales de dos incógnitas 4. Inecuaciones lineales 4.. Inecuaciones lineales con una incógnita 4.. Inecuaciones lineales con dos incógnitas 4.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 4.4. Inecuaciones polinómicas y facciones algebraicas Inecuaciones polinómicas Inecuaciones de fracciones algebraicas.. Sistemas de inecuaciones lineales.. Una incógnita.. Dos incógnitas

2 . Ecuaciones con una incógnita. En mucha de las situaciones de la vida diaria se plantean problemas que se pueden resolver a partir de ecuaciones. Por ejemplo, si queremos saber el lado de un jardín cuadrado de 00m : lado área 00m 00m 0m. Ecuaciones de primer grado Son las mas sencillas de resolver, a partir de las operaciones de simplificación obtendremos una epresión de la forma a +b0 donde a y b son números reales. Cuya solución es única -b/a Ejemplo: 3( + ) 4 9( + ) 6 ( 4) ( 7 + ) 7 4 Comprobación: ( 7) Ejercicio. Resolver: 3 a) ( ) 3 b) Ecuaciones de segundo grado Después de operar la epresión simplificada de ecuaciones de segundo grado es de la forma: a b ± b 4ac +b+c0. solución: a Podemos ver que según el signo del discrimínate o ninguna solución: b 4ac podemos tener, b + b a) >0 dos soluciones, a a b b) 0 una solución (raíz doble) a c) <0 ninguna solución real (números complejos) Resolución de ecuaciones incompletas (b o c nulas). Se pueden resolver por el método general, pero también se puede resolver de manera más sencilla. Veamos los dos casos: Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com)

3 c ) a +c0 c c si > 0 no solución ± a a a c si < 0 soluciones a ) a +b0 (a+b)0 0, -b/a. Siempre dos soluciones Ejercicio. Resolver: a) b) c) d) e) (- 3) -+ f) +(-) g) 9-0 h) -0.3 Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones polinómicas de 4º grado sin términos impar, es decir de la forma: a 4 +b +c0. con a,b,c R Procedimiento para resolver las ecuaciones bicuadráticas:. Cambio variable: t, luego 4 t at +bt+c0. Resolver la ecuación de segundo grado en t. 3. Soluciones son las raíces cuadradas de las soluciones en t (deshacer cambio variable). ± t. El número de posibles soluciones son: a) 0 soluciones, o no soluciones en t o son negativas. b) soluciones distintas c) soluciones dobles d) 4 soluciones distintas Ejemplo: Paso: t t -t+40 ± 6 Paso: t Paso3 :,,, ± 3 4 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 3

4 Ejercicio 3 : Resolver las siguientes ecuaciones bicuadráticas. a) b) c) Ecuaciones polinómicas Las ecuaciones polinómicas son epresiones de la forma p()0 con p() un polinomio. Consiste en obtener los valores de que anulan el polinomio, es decir las raíces. Las formas de proceder a calcular las soluciones son las mismas que las de obtener las raíces, vistas en el tema anterior (Ruffini, factor común, ecuaciones de º grado ) Ejemplos: (+)0 0 (doble) y (-4) (+) (-) (+)0 0, -,, -, 4 Ejercicio 4. Resolver: a) (+π) (-/) (3-7)0 b) (- ) (+)0 c) Ecuaciones con radicales. En este apartado veremos ecuaciones con raíces o con radicales. El objetivo a la hora de resolver estas ecuaciones es eliminar la raíz. Tres casos: a) Si tenemos una única raíz tendremos que aislarla a un lado de la igualdad, tomando cuadrados ambos de la igualdad desaparecerá la raíz. b) Si tenemos dos raíces y ningún otro factor dejamos una a cada lado de la igualdad y elevamos al cuadrado c) Si tenemos dos raíces otro más factor sumando, tendremos que aislar una raíz, hacer el cuadrado y repetir el procedimiento para la otra raíz. Una vez obtenidas las soluciones tendremos que comprobar que estas lo son realmente, ya que al elevar al cuadrado se introducen soluciones ineistentes. Nota: la razón de que al elevar al cuadrado haya soluciones no válidas es que el signo al cuadrado se pierde, así - pero () (-) Ejemplos: elev cuadrado ) (4 ) Comprobación: (no solución) (solución) 4 4 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 4

5 elvcuadrado ) Comprobación: solución. Ejercicio. Resolver: a) b) c).6 Ecuaciones de fracciones polinómicas. Son ecuaciones de suma y resta de fracciones polinómica. La forma de resolver estas ecuaciones se realiza siguiendo los siguientes pasos: Paso : Se epresan todas las fracciones con común denominador a ambos lados de la igualdad Paso : se igualan los denominadores y se resuelve dicha ecuación. Paso 3: se comprueban las soluciones. En caso de que alguna de las soluciones anule algún denominador esta no será válida. Ejemplo: Paso : ( )( + )( + ) 6( )( + ) 6( )( + )( ) ( )( + )( + ) + 6( )( + )( + ) 6( )( + )( + ) 6( )( + )( + ) 6( )( + )( + ) Paso ± Soluciones:, 7 Paso 3: Las 3 soluciones son validas porque para estos valores de no se anula ningún denominador. Ejercicio 6. Resolver: a) + 3 b) Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com)

6 . Ecuaciones lineales con dos incógnitas Las ecuaciones lineales con dos incógnitas son de la forma a+byc, se caracterizan por tener infinitas soluciones para las dos variables (,y) situadas sobre una recta. 0 7 y Ejemplo: 3+7y0, despejamos una variable (cualquiera de las dos), 3 damos valores a la variable no despejada y obtendremos valores de la despejada. Como es una recta si lo hacemos correctamente con dos valores sería suficiente, ya que por dos puntos pasa una única recta. Representamos las soluciones: y Ejercicio 7. Representa las soluciones de las siguientes ecuaciones a) +y b) 3+y 3 c) -7+3y- 3. Sistemas de ecuaciones 3.. Dos ecuaciones lineales Los sistemas con dos ecuaciones lineales son de la forma: () a + by c () a' + b' y c' Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 6

7 Las soluciones al sistema serán las soluciones comunes a la ecuación lineal con dos incógnitas de la ecuación primera (S ) y las soluciones de la segunda ecuación (S ). De esta forma si llamamos S a las soluciones del sistema, estas serán igual a SS S 3... Soluciones. Interpretación gráfica de las soluciones. Según el número de soluciones se puede distinguir entre los siguientes tipos de sistemas:. Sistema compatible indeterminado, infinitas soluciones Ocurre cuando la ecuación () es equivalente a la (), se cumple entonces: a b c a' b' c' () y 3 7 Ejemplo: () () () 6 4y Si representamos las dos ecuaciones se trata de dos rectas iguales, por tanto las soluciones son todos los puntos situados en la recta que viene determinada por la ecuación () o (). En nuestro ejemplo:. Sistema incompatible, no tiene soluciones Ocurre cuando las dos ecuaciones son incompatibles, es decir tienen ninguna solución en común. Ocurre cuando la relación entre sus coeficientes son los siguientes: a b c a' b' c' No tiene soluciones, al tratarse de dos rectas paralelas. Veamos un ejemplo: () + y () 4 + y 4. Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 7

8 Interpretación gráfica: 3. Compatible determinado, una única solución. Ocurre cuando tienen una única solución. Gráficamente ocurre cuando las dos rectas se cortan en un único punto que será la solución a las dos ecuaciones. Ocurre si la relación entre los coeficientes: a b a' b' Ejemplo: () + y 0 () + y comp det Se resuelven por los métodos de reducción, igualación y sustitución vistos el año pasado. Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 8

9 3... Resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales Resolver un sistema es hallar sus soluciones, según el tipo de sistema tendremos:. Compatibles indeterminados: la solución es la de una de las dos ecuaciones, que resolvemos como hemos visto en el apartado anterior representando una recta.. Incompatibles: no tienen solución, por lo que no tendremos que resolverlas 3. Compatibles determinados: tiene una única solución que resolvemos por uno de los tres métodos vistos en el curso anterior. Veamos un ejemplo y resolvámoslo por los tres métodos: () + y () y 0 a) Sustitución: igualamos una incógnita en una ecuación y la introducimos en la otra ecuación, obteniendo una ecuación de primer grado con una incógnita: y- -(-) 0; ; /; y-// solución; /, y/ b) Igualación: consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para luego igualarlas entre si y obtener una ecuación con una incógnita: y-; y -; solución /; y/ c) Reducción: consiste en sumando o restando las ecuaciones multiplicadas por factores se anula alguna incógnita, la o la y. Así obtenemos una ecuación de primer grado con una incógnita: ()+(), /, y-// solución /; y/ Ejercicio 8. Resuelve, clasifica e interpreta gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas: a) b) ()3 y ()6 4y () 4 y () 8 + y 3 () 3y c) () + y 4 () y d) () y e) 3 () y 3 4 () + y 0 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 9

10 3.. Sistemas no lineales con dos incógnitas Estos sistemas son aquellos donde una o varias ecuaciones no son lineales, es decir aparecen términos cuadráticos, cúbico, etc. En este tema trataremos sólo cuando tenemos eponentes cuadráticos. Generalmente se resuelve por sustitución. Veamos tres ejemplos: Ejemplo : () y 3 3+y, sustituyendo en () (3+y) +y 4; y +6y-360 () + y ± ± 8 y Dos soluciones (-3, y-6); (6, y3) Para interpretar gráficamente la solución tendremos que saber que la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio R es de la forma +y R. De esta forma la ecuación +y 4, es una ecuación de una circunferencia de radio R 4 (6,3) (-3,-6) Ejemplo : () y + y-+ +(-) ; () + y 4 ± ± 6 0 Soluciones (, y); (, y 7 ) y + 7 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 0

11 Página realizada por José Luis Lorente Interpretación gráfica (circunferencia de radio y recta) Ejemplo 3: + () () y y y ± + ± y Soluciones ( +, y 3 ) (, y 3 + ) Interpretación gráfica (y es una parábola, y+ una recta)

12 4. Inecuaciones lineales Las inecuaciones son epresiones semejantes a las ecuaciones pero en vez de aparecer el signo aparecen los signos, <,, >. Veamos diferentes tipos de inecuaciones 4.. Inecuaciones lineales con una incógnita Son epresiones de la forma (después de simplificar) de la forma: a+b<c, a+b>c, a+b c ó a+b c siendo a,b,c R y a 0 Para resolver la inecuación hay que tener en cuenta las siguientes reglas: a) Si un número está a un lado de la desigualdad y deseamos pasarla al otro lado pasará restando y al revés (igual que en las ecuaciones) Ejemplo: -<6 <6+ <8 b) Si multiplicamos o dividimos la desigualdad por un número negativo entonces el signo < o cambia a > o, y al revés. De esta forma si queremos despejar de un número que le multiplica pasa dividiendo cambiando el sentido de la desigualdad si es un número negativo. Lo mismo pasa si está dividiendo Ejemplos: -3< >-/3 -/ -0 Despejando la de la inecuación anterior tendremos las siguientes posibles epresiones: <-b/a -b/a >-b/a -b/a Solución(-,-b/a) Solución(-,-b/a] Solución(-b/a, ) Solución[-b/a, ) Ejemplo: 3-< 8 -<8-3 -< >- (-, ) Ejercicio 9. Resolver las siguientes inecuaciones: a) (-)+3<+6 b) 3+7-(-3) (-)/ - c) 3 (-)/ > (-3)/ -b/a -b/a -b/a -b/a 4.. Inecuaciones lineales con dos incógnitas Una inecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma: a+by<c; a+by>c; a+by c ; a+by c Por lo general eisten infinitos valores de parejas (,y) que cumplen las soluciones a la inecuación lineal. Veremos las soluciones representadas en los ejes de coordenadas. Pasos a seguir para obtener las soluciones: Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com)

13 . Representamos la recta determinada por a+byc. quedando dividido el plano en dos semiplanos (uno de ellos será la solución). Tomamos un punto arbitrario con un valor de e y. Si para estos valores de y de y la inecuación es cierta, el semiplano que contiene el punto es la solución, sino es así es el otro semiplano 3. Si tenemos ó la recta será solución (que es la solución a la igualdad a`byc) si tenemos < ó > entonces la recta no será solución Ejemplo: -y, representamos la recta y+. Tomamos el punto (0,0) 0-0 que no cumple la inecuación, luego la solución es el semiplano que no contiene el origen. La recta es solución ya que el símbolo es Ejercicio 0. Resolver: a) +y< b) -y c) -/3 -y 4.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita Son epresiones que después de operar son de la forma: a +b+c<0, a +b+c>0; a +b+c 0; a +b+c 0 Los pasos para la resolución de las inecuaciones son los siguientes:. Cálculo de las soluciones a la igualdad (raíces de a +b+c) que son y a. Si son soluciones reales, factorizamos el polinomio a (- ) (- )<0 i. Dividimos la recta real en 3 intervalos( si es raíz doble) (-, ); (, ) ; (, ). Estudiamos el signo en cada intervalo ii. Las soluciones son los intervalos que cumplen la desigualdad. Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 3

14 Ejemplos: a) b. Si no son reales entonces a +b+c no cambia de signo, por lo que o es siempre positivo si c>0 o negativo si c<0. Así las soluciones serán o todo R o el vacío. ± (+3)(-) 0 Solución [-3,] b) +<0 (-,-3) -3 (-3,) (, ) Signo(+3) Signo(-) Signo( +-6) no solución real. + siempre es positivo, por ejemplo en 0: 0 +>0 No soluciones S c) +>0 R Ejercicio. Resolver: a) -6+9>0 b) c) (-3) 4 d) (-)/>3 / 4.4. Inecuaciones polinómicas y fracciones algebraicas Polinomios En este apartado estudiaremos las inecuaciones del tipo: P()<0, P()>0, P() 0, P() 0. Resolución:. Factorizamos, obteniendo las raíces,,, n. Estudiamos el signo en los intervalos (-, ), (, ),, ( n, ) 3. De los intervalos tomamos aquellos que solucionen la inecuación. Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 4

15 Ejemplo : ; Factoriz (+)(-)( ++7) 0.Raíces -, (-,-) - (-,) (, ) Signo(+) Signo(-) Signo( ++7) Signo( ) Solución [-,] Ejercicio. Resuelve ) >0 ) ) Inecuaciones de fracciones algebraicas Las inecuaciones de fracciones algebraicas son epresiones de la forma: P( ) < 0 ; Q( ) P( ) Q( ) > 0; P( ) Q( ) P( ) 0; 0, siendo P() y Q() polinomios. Q( ) La forma de resolver estas inecuaciones es semejante a la de los polinomios. Los pasos son los siguientes:. Factorización de P() y de Q(). Y simplificación de la fracción si coincide algún factor.. Estudiamos el signo en los intervalos comprendidos entre las raíces de P() y Q(X) que no han sido simplificadas 3. A partir de estudiar el signo de cada factor podemos determinar cuando la fracción algebraica es mayor, menor o igual que cero Nota: cuidado con las raíces del polinomio Q(), ya que en estos valores se anula, sino que no eiste (dividir por cero) P( ) Q( ) no Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com)

16 ( + )( ) Ejemplo: ( + )( + 3) raíces son -3, -, - y (-,-3) -3 (-3,-) - (-,-) - (-,) (, ) Sig(+3) Sig(+) Sig(+) Sig(-) Sig( ) Solución: (-3,-) [-,] No eiste - No eiste Ejercicio 3. Resolver las siguientes inecuaciones a) b) 0. Sistemas lineales de inecuaciones.. Una incógnita Los sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita son sistemas de la forma: () a + b 0 o con cualquier signo otro símbolo de desigualdad () a' + b' > 0 La forma de resolver el sistema es el siguiente:. Obtenemos las soluciones de () y de (), S y S respectivamente. Las soluciones del sistema tienen que ser de () y () luego es la intersección de sus soluciones SS S Ejemplo: () + 3 > 0 () S >-3 S (-3, ) S 3 6; S [, ) Solución SS S [, ) Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 6

17 Ejercicio 4. Resolver a) b) () () + 7 < + () ( 3) + () 3 > + (3) < 3.. Dos incógnitas Son sistemas formados por dos o más inecuaciones con dos incógnitas (como los vistos en el apartado 4.). () a + by c o con cualquier signo otro símbolo de desigualdad () a' + b' y > c' Resolución de los sistemas:. Se representan en el plano cartesiano las soluciones de () y (). Las soluciones del sistema son la intersección de las soluciones a las dos inecuaciones Ejemplo: () + y () + y > 4 Solución (0,) Punto de corte, es la solución al sistema obtenemos 0, y () + y. Resolviéndolo () + y 4 Ejercicio. Resolver a) () 3 + y < 0 () + 3y 6 b) () + y > 0 () 3 3y 6 c) () y () + y (3) y 0 0 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 7

18 Problemas finales. Ejercicio 6. En una tienda venden un equipo de música y un ordenador. Mi hermana compro ambos el mes pasado y pago 00 por los dos. Ahora la tienda rebaja un 0% el equipo de música y un % el ordenador, siendo el precio total de ambos de 7.. Cuál era el precio del equipo de música y del ordenador antes de las rebajas? Ejercicio 7. En un eamen tipo test hay 0 preguntas. Por cada pregunta acertada puntuamos puntos y por cada pregunta fallada puntuamos -0. puntos; el aprobado esta en 0 puntos. Si respondemos a todas las preguntas Cuántas preguntas hay que acertar para aprobar? Ejercicio 8. Sea un cuadrado que cumple que al aumentar en 3m el lado su área aumenta en 7m. Calcular el lado del cuadrado original. Ejercicio 9. Puede un triangulo de lados de 9cm, 6cm y 8cm. Comprueba que no es rectángulo. Puede convertirse en un triangulo rectángulo al quitarle la misma cantidad a sus tres lados. Cuánto valen sus nuevos lados? Ejercicio 0. Calcular las dimensiones de un triangulo rectángulo isósceles de perímetro 4 cm. Ejercicio. Calcular el tiempo que se tarda en llenar un cubo por dos grifos si se sabe que el segundo tarda el doble en llenarlo que el primero, y que cuando están los dos llenándolo tarda 3 minutos. Ejercicio. Calcular la velocidad media de un coche que en la ida de un viaje entre las ciudades A y B va a una velocidad media de 60km/h y a la vuelta de 40km/h. Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 8

19 Ejercicio. Soluciones 3 a) + 7 solución 43/ 3 3( ) 3 b) 7 solución Ejercicio. a) 6 ± b) 7 ± c) d) ± ± (+7) ( +-3)+( -3+6)(+3) ( +-3) ± (+)(-4)+(-)(+)(+)(-4) ± e) (- 3) f) +(-) (-) 0 3 ± g) 9-0 /9 ± 9 ± 3 h) -0 (-)0 0, Ejercicio 3. a) solución : ± 3 b) solución ±, ± c) No soluciones reales Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 9

20 Ejercicio 4. Resolver: d) (+π) (-/) (3-7)0 soluciones -π, /, 7/3 e) (- ) (+)0 soluciones 0 (doble),, -/ f) soluciones (doble), -7, /, -/ Ejercicio. a) ( ) + 4 (4 4) 4(+4) (4-9)0 9 4 Comprobación: Solución No solución 4 4 b) 4 3 elev t, 4 t t 3-4t+30 t ± 3 ± Comprobación: No solución - ( ) + 4 ( ) 3 0 No solución 3 ( 3) 4 ( 3) No solución ( 3) + 4 ( 3) No solución elv c) ( ) Comprobación: 0 No solución Solución Ejercicio 6. c) Solución + 3 d) + 3 No tiene soluciones. + + Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 0

21 Ejercicio 7. a) +y y+ y 0-0 b) 3+y 3 y 3 3 X y 0 3-0,3 c) -7+3y- y y Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com)

22 Página realizada por José Luis Lorente Ejercicio 8. a) 4 ()6 ()3 y y Compatible indeterminado 3 y + b) () 4 () y y Incompatible, no solución

23 c) () 3y () + y 4 3. Compatible determinado, una solución., y0 d) () y () y soluciones Compatible indeterminado. Infinitas 3 () y () 4 4y e) 3 4 compatible determinado, una () + y 0 () + y 0 solución Solución 9/4, y-4/4 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 3

24 Ejercicio 9. a) -4+3<+6 0<0 0<0,que es cierto independientemente del valor de, luego la solución es R mult por b) (-)/-, -7+ (-)/ , (-, ] c) > por 3 3 > 3 0 > 0 0 > 0 No es cierto independientemente del valor de, luego no hay soluciones S Ejercicio 0. a) +y< Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 4

25 b) -y c) -/3 -y Página realizada por José Luis Lorente

26 Ejercicio. a) -6+9>0 (-3) >0 (-,3) 3 (3, ) Signo(-3) Signo(-3) Signo( -6+9) Solución R-{3} b) (-/3)(+) 0 (-,-) - (-,/3) /3 (/3, ) Signo(+) Signo(-/3) Signo( +-6) Solución (-,-] [/3, ) c) (-3) (-) (-) 0 (-,) (,) (, ) Signo(-) Signo(-) Signo( -6+) Solución (-,] [, ) Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 6

27 Ejercicio. ) (+) (+) (-)>0. Raíces -, -, (-,-) - (-,-) - (-,) (, ) Signo(+) Signo(+) Signo(-) Signo( ) Solución (-,-) (-,) ) (+7) (+) 0. Raíces -7,-, 0 (-,-7) -7 (-7,-) - (-,0) 0 (0, ) Signo(+7) Signo(+) Signo() Signo( ) Solución [-7,-] [0, ) 3) (-) 0 (-,0) 0 (0,) (, ) Signo() Signo(-) Signo(-) Signo( 3 - -) Solución (-,0] {} Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 7

28 Ejercicio ( 4)( ) a) ( + )( ) raíces - y 4 (-,-) - (-,4) 4 (4, ) Signo(+) Signo(-4) Signo(-) Signo( ) - 4 No eiste Solución (-,4] b) 0 0 ( ) raíces 0 y. (-,0) 0 (0,) (, ) Signo() Signo(-) Signo( +6+0) Signo( Solución (0,) ) + No eiste - No eiste + Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 8

29 Ejercicio 4. a) b) () () + 7 < + S -8 7 ; (-8/7) S (-, -8/7] S -3<4 ; >-4/3 SS S ( -4/3,-8/7] () ( 3) + () 3 > + (3) < 3 S 4 3; S (-,3/4] S > ; S 3 <3; S (, ) S 3 (-,3) SS S S 3 (,3) S (-4/3, ) Ejercicio. a) () 3 + y < 0 () + 3y 6 30 Solución 9 (, 8 ) 9 Puntos de corte es la solución del sistema 30 obtenemos 9 8, y 9 () 3 + y 0. Resolviéndolo () + 3y 6 b) () + y > 0 () 3 3y 6 Son rectas paralelas y la solución es el espacio comprendido entre ambas rectas. Veamos el dibujo Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 9

30 c) () y () + y (3) y 0 0 A Solución B C Calculemos A, B y C. Cálculo de A: punto de corte de Cálculo de B: punto de corte de Cálculo de C: punto de corte de y 0 (-9,0) + y y 0 (,0) y 0 + y (/3, /3) y 0 Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 30

31 Ejercicio 6. precio equipo de música y precio del ordenador + y 00 Resolviendo el sistema 60, y y 7, Ejercicio 7. preguntas acertadas (0-) preguntas erróneas 0, (0 ) {, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 0} Ejercicio 8. S S(+3) (+3) m Ejercicio Teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulos (8-) (6-) +(9-) 3 no solución 9 3 < lados 8cm,7cm, cm Ejercicio 0. hip + perímetro+ 4 cm 4 4( + ) (4 )cm Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 3

32 Ejercicio. ttiempo llenar un cubo er grifo. t tiempo llenar un cubo º grifo. Capacidad cuboc Velocidad er grifoc/t Velocidad ºgrifoc/t Velocidad dos grifos c/t+c/t3c/t Capacidad del cubo Tiempo llenar un cubo er grifo 4,min Tiempo llenar un cubo º grifo 9min 3c 9 c vdos grifos 3min c 3 t t t Ejercicio. Coche de A B v60km/h t A Bd/vd/60 Coche de B A v40km/h t B Ad/vd/40 d t total (d/60+d/40) v media d d km / h 4, min Página realizada por José Luis Lorente (lorentejl@gmail.com) 3