IES Arquitecte Manuel Raspall Matemàtiques Programació lineal
|
|
- Encarnación Redondo Blanco
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 IES Arquitecte Manuel Raspall Matemàtiques Programació lineal Batxillerat
2 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 1 A Representació de rectes Recordeu que: Per dibuixar el gràfic de les funcions afins (funcions que tenen per gràfic una recta i per equació y = mx + n ) només cal representar dos punts del gràfic i unir-los amb una línia recta, és a dir donarem només dos valors a la x. En tot cas si en donem un altre ens servirà només per comprovar que no ens hàgim equivocat, perquè si els tres punts no estan alineats és ben segur que haurem fet algun error! Encara que els dos punts poden ser qualssevol, per tal de fer-ho de forma ràpida és aconsellable seguir un d'aquests 3 mètodes. En tots tres mètodes es comença buscant l'ordenada a l'origen, o sigui es dóna a la x el valor zero i s'obté la intersecció de la recta amb l'eix d'ordenades. MÈTODE MÉS RÀPID: Donar a la x els valors: zero. Així obtindrem el punt de tall amb l'eix d'ordenades. el denominador del pendent o un múltiple d'aquest. MÈTODE DE LA INTERSECCIÓ AMB ELS EIXOS: Punt de tall amb l'eix d'ordenades: donarem a la x el valor 0 Punt de tall amb l'eix d'abscisses: resoldrem l'equació de primer grau 0 = mx + n MÈTODE DEL PENDENT I L'ORDENADA A L'ORIGEN: Ordenada a l'origen: donarem a la x el valor 0 El pendent és el coeficient de la x, i ens indica la inclinació de la recta, és a dir el que puja o baixa la recta per cada unitat de més de la variable independent.
3 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 2 A.1 Representa les rectes: a) y = x b) y = 3 c) y = 2x 3 d) y = x 5 3 e) y = x f) y = 2 3 x + 2 g) y = 4,75x 12,15 A.2 Troba quatre punts de cadascuna de les rectes: a) y = 7x 1 b) y = x c) y = 2x 3 6 Un punt pertany a una recta si al substituir les coordenades del punt a l'equació de la recta es compleix la igualtat.
4 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 3 A.3 Troba analíticament la intersecció de les rectes següents amb els eixos de coordenades i representa-les. Per això: representa cada recta en un sistema de referència escull una escala convenient a cada eix per tal de poder representar els punts de tall als dos eixos. a) y = 4x + 1 b) y = 2725x 3923 c) y = 0, 751 2, 1243x 20, 15 d) y = - 450x e) y = 0, 041x - 0,018 f) y = -14,40x + 8,50 A.4 En el contracte de treball d'un venedor se li ofereixen dues alternatives: 1.- Sou de 600 euros al mes, més el 10% de les vendes realitzades. 2.- Sou de 300 euros al mes, més el 20% de les vendes realitzades. a) Construeix la gràfica on es vegi el que guanya al mes segons les vendes realitzades en les dues modalitats de contracte. b) Quant ha de vendre per guanyar el mateix en les dues formes? explica com has trobat aquesta quantitat. c) Per a quin import de vendes és millor la primera modalitat? I per quin import és millor la segona? d) Resol el problema analíticament. Per fer-ho, com que tens aïllada la mateixa incògnita en les dues equacions, iguala les dues expressions. Obtens una equació amb una incògnita que pots resoldre. El valor que has obtingut el substitueixes en una de les dues equacions i obtens el valor de l'altra incògnita.
5 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 4 A.5 Troba el punt on es tallen les rectes següents. Fes-ho analíticament i comprova-ho gràficament. a) y = 2x 7 y = x + 2 b) y = 5x 4 y = 3x + 6 A.6 Donada l'equació 2y + 8x - 4 =0 a) Comprova, substituint a l'equació, que els punts ( 1, -2 ) ; ( -2, 10) ; ( 0, 2 ); (-1, 6 ) la compleixen o en són solució. b) Representa els punts en uns eixos i comprova que estan en línia recta. c) Aïlla la y en l'equació: de quin tipus de funció es tracta? d) Representa la recta que té per equació la fórmula obtinguda a l'apartat c). Quan l'equació d'una recta ve donada en la forma ax + by + c = 0 diem que està en forma implícita. Si és en la forma y = mx + n diem que està en forma explícita. En tots dos casos són equacions de primer grau amb dues incògnites. A.7 Representa les rectes següents: a) 3x - y - 9 = 0 b) x - y -7 = 0 c) 3x + 4y + 3 = 0
6 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 5 SISTEMES D'EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES Dues o més equacions de primer grau amb dues incògnites direm que formen un sistema. Els valors de les incògnites que al substituir-los en totes les equacions les compleixen direm que són una solució del sistema. Hi ha tres mètodes de resolució analítica de sistemes. Els veurem en el cas de dues equacions. Mètode de substitució: Consisteix en aïllar una incògnita en una de les equacions i substituir-la en l'altra, obtenim una equació amb una incògnita que hem de resoldre. El valor que obtenim per aquesta incògnita el substituïm a l'expressió on tenim aïllada l'altra. Mètode d'igualació: Consisteix en aïllar la mateixa incògnita a les dues equacions i igualar les expressions que resulten, obtenim una equació amb una incògnita que hem de resoldre. El valor que obtenim per aquesta incògnita el substituïm en qualsevol de les expressions anteriors. Mètode de reducció: Es tracta d'aconseguir que una de les incògnites tingui el mateix coeficient però amb signe oposat en les dues equacions. Sumen terme a terme les dues igualtats amb el que obtenim una equació amb una incògnita. El resolem, i el valor obtingut per aquesta incògnita el substituïm a una equació qualsevol de les inicials i trobem el valor de l'altra incògnita. Gràficament la solució d'un sistema es el punt del pla on es tallen les rectes que corresponen a cadascuna de les equacions. A.8Troba el punt on es tallen les rectes següents. Fes- ho analíticament utilitzant els tres mètodes i comprova-ho gràficament interpretant els resultats. a) 2x + y = 1 3x + 4y = 3 b) 2x 6y 1 = 0 x 3y 4 = 0
7 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 6 c) 2x + 4y 6 = 0 3x + 6y = 9 Els sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites per exemple x i y pot ser que al resoldre'ls: arribem a una expressió de la forma ax = b ( amb a! 0) per tant la solució és única x = b a Gràficament les rectes es tallen en un punt. En aquest cas diem que el sistema és compatible (per què té solució) i determinat (perquè és única). arribem a una expressió del tipus 0 x = 0 que és certa per qualsevol valor d'x. Gràficament són rectes coincidents. En aquest cas diem que el sistema és compatible ( té solució ) i indeterminat (la solució no és única) arribem a una expressió del tipus 0 x = k que no és compleix per cap valor d'x, el sistema no té solució. Gràficament les rectes que representen les dues equacions són paral leles. Diem que el sistema és incompatible.
8 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 7 B Desigualtats i inequacions amb una incògnita B.1 Col loca el signe < o > entre cada parella de nombres: 7 5 ; 4-3 ; 0-8 ; ; -1-5 ; -3,5-3,6 ; 0,15 0, ,7 ; -0,25 0,25 Les relacions numèriques que s'expressen amb els signes < i > s'anomenen desigualtats. B.2 Digues quines de les següents desigualtats són certes i quines no: 4 < 5 ; -3 [ -3 ; 0 > 5 ; -1 m -4 ; 0,5 [ 0 ; 10 < 10 2 > 5 ; -2 < 0 ; -10 > 5 ; 0 > -0,5 ; 2 ; - 0,3 < - 5 > B.3 Digues quines de les afirmacions següents són certes i quines no: 5 c ( 5, ) ; -4 c ( 5, 4) ; -5 c (, 2) 3,5 c [3, 4] ; 5 " [4, 5 ] ; 0,0001 c( 0, 2 ) -0,0001 c[ 0, 4 ]; 0 c[ 0, ) ; 4 és solució de x < 3-1 és solució de x > 0 ; -3 és solució de 2x > 0 2 és solució de 4x - 8 m 0 ; -0,2 és solució de 7x + 4,15 m -10x
9 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 8 0 és solució de 8x - 1 < x - 4 ; -2 és solució de 2 x [ x +1 2 és solució de x < 3 ; 4 és solució de x > 0 x < 10 x < 0 Les relacions algebraiques que s'expressen amb els signes < i > s'anomenen inequacions. Resoldre una inequació és trobar el conjunt de tots els valors de la incògnita que fan que la desigualtat sigui certa. Aquests valors són les solucions de la inequació. Així podem dir que un nombre és una solució de la inequació si al substituir-lo en la incògnita obtenim una desigualtat numèrica que és certa. B.4 Representa gràficament, en una recta per cada cas, les solucions de les inequacions següents i expressa-les en forma d'interval: x < 5 ; x m 4 ; x m 1 x < 1 x > 0 3 < x x [ 7 ; x [ 6 ; -3 < x [ -2 x m 6 B.5 Expressa en forma d'inequacions els conjunts següents: ( 4, 8 ) ; [ -3, ) ; [ -4, -1 ] ; ( -, 0) ; ( -2, 6 ]
10 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 9 RESOLUCIÓ ANALÍTICA D'INEQUACIONS Recordeu que podem resoldre una inequació de primer grau amb una incògnita seguint els mateixos passos que seguim per resoldre una equació però tenint en compte les propietats de les desigualtats quan operem amb el mateix nombre als dos membres. Propietats de les desigualtats i les operacions: Si sumen o restem un mateix nombre als dos membres d'una desigualtat, la desigualtat es manté. Així, per exemple: 5 < 8 i < i en general si r < s r + a < s + a Que vol dir que quan passem sumant o restant termes d'un membre a un altre d'una desigualtat, tal com fem al resoldre una equació, la desigualtat no canvia. Amb la multiplicació i divisió cal anar molt en compte : al multiplicar o dividir per un mateix nombre positiu els dos membres d'una desigualtat aquesta es manté, però si el nombre amb el qual multipliquem o dividim és negatiu la desigualtat canvia de sentit. Per exemple 5 < 8 i per tant 5 3 < 8 3 o sigui 15 < 24 i en general si a > 0 i r < s r a < s a En canvi 5 < 8 però 5(-3) > 8(-3) o sigui - 15 > -24 la desigualtat canvia de sentit. En general si a < 0 i r < s r a > s a Això vol dir que : quan passem multiplicant o dividint un factor d'un membre a un altre d'una desigualtat cal tenir molt en compte el signe del nombre que passem: si és positiu és manté el sentit de la desigualtat, però si el nombre que passem multiplicant o dividint és negatiu la desigualtat canvia el seu sentit. Mètode per a la resolució analítica d'una inequació de primer grau Per resoldre analíticament una inequació hem d'aïllar la incògnita tenint en compte les propietats de les operacions en relació a les desigualtats. Així per exemple : 2x -3 < 7x + 1 2x - 7x < x < 4 x > 4 les solucions són per a x c 5 4 5,
11 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 10 B.6 Resol analíticament les inequacions, representa gràficament les solucions i expressa-les en forma d'interval: 2x < 6 ; -x m 7 ; 3x - 4 < 6-4x + 6 < 10 ; 2x 3 < x + 2 ; -3-5x [ 1 - x 4 6 x < 0 1 x > 0 4 3x > x 1 ; ; x [ < x x [ 1 x 2 [ 1
12 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 11 C Inequacions amb dues incògnites C.1 Comprova si són certes les afirmacions següents: a) El punt ( 3, 1 ) és solució de y > x b) El punt ( - 1, 5 ) és solució de y [-4x + 1 c) El punt ( - 1, 5 ) és solució de y < 4x + 1 d) El punt ( 0, 3 ) és solució de 2x - 4y + 5 < 0 e) El punt ( 0, 0 ) és solució de 7x + 3y - 4 > 0 f) El punt ( 2, 5 ) és solució de x 3 y + 4 < 0 x + y m 3 g) El punt ( 0, 0 ) és solució de Qualsevol expressió del tipus: ax + by + c > 0, ax + by + c m 0, ax + by + c < 0, ax + by + c [ 0 rep el nom d'inequació lineal amb dues incògnites. Cada parell de nombres reals ( x, y ) que satisfacin la desigualtat és una solució de la inequació. Geomètricament, cada solució és un punt del pla, per tant resoldre una inequació lineal amb dues incògnites es trobar el conjunt de punts del pla que satisfacin la desigualtat. Ens limitarem a resoldre el problema gràficament. Així, si considerem l'equació lineal x - y - 2 = 0, la seva representació gràfica és una recta. Per tant els punts que pertanyen a la recta compleixen la igualtat. El pla queda dividit per la recta en dos regions anomenades semiplans, i es pot comprovar que tots els punts d'un dels semiplans satisfan la condició següent:
13 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 12 x - y - 2 < 0 és a dir, el valor que s'obté en substituir les coordenades dels punts d'aquesta regió a l'equació de la recta és, sempre, més petit que zero. Per exemple els punts (0,0), (1,3), (-3, -1) estan situats al mateix semipla i les seves coordenades satisfan aquesta condició: (0,0) = -2 < 0 (1,3) = -4 < 0 (-3,-4) -3 - (-4) - 2 = -1 < 0 De la mateixa forma, els punts de l'altre semipla satisfan la condició: x - y - 2 > 0 Per exemple, per als punts (5, 1), (1, -4), situats a l'altre semipla, es té: (5, 1) = 2 > 0 (1, -4) 1 - (-4) - 2 = 4 > 0 Aquest resultat és generalitzable per a tota equació lineal amb dues incògnites i permet representar gràficament la solució de qualsevol inequació lineal. Per tant, en general, el procés per representar gràficament la solució d'una inequació lineal és el següent: 1) Es representa gràficament la recta ax + by +c = 0 2) Es localitza un punt clarament situat en un dels semiplans i es mira si satisfà la condició desitjada. 3) Si satisfà la condició, la regió a què pertany és la solució. En cas contrari, la solució és l'altra regió. Si la desigualtat és estricta ( < o >), la recta que limita els dos semiplans no pertany a la solució (la dibuixarem amb traç discontinu). Si la desigualtat no és estricta ( [ o m ) la recta que limita els dos semiplans si pertany a la solució (la dibuixarem amb traç continu).
14 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 13 Observació: Per tal de diferenciar el semipla solució del no solució, aquest l'ombrejarem i deixarem en blanc el solució. C.2 Representa gràficament en el pla les solucions de les següents inequacions: a) y [ x b) y < 4x - 3 c) y > -1 d) 4x - 3y + 2 < 0 e) x + 4y - 6 [ 0 f) x [ 3y - 2
15 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 14 D Sistemes d'inequacions lineals amb dues incògnites S'anomena sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites el conjunt format per més d'una inequació lineal amb dues incògnites. Per buscar la solució d'un sistema d'inequacions lineals amb dues incògnites es resolen gràficament, utilitzant els mateixos eixos de coordenades, totes les inequacions que el formen. La solució serà la intersecció de les diferents regions solució. Les semirectes que limiten les regions poden formar part o no de la solució, segons les desigualtats siguin estrictes o no, i cal estudiar-ho en cada cas. D.1Representa gràficament en el pla les solucions dels següents sistemes: a) y < 3 x < 2 b) 8x 10y + 15 m 0 y < 0 c) 2x + y 3 < 0 x y + 4 > 0 d) x 4y + 16 > 0 3x + 2y 12 < 0 x y + 1 < 0 x + 4 > 0
16 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 15 e) 2x + y 3 < 0 x y + 4 > 0 4x + 9y + 10 > 0 f) x 4y + 16 > 0 3x + 2y 12 < 0 x y + 1 < 0 x + 4 > 0 g) 2x y < x + 3y x + y + 4 = 0 D.2 Escriu el sistema d'inequacions que produeix la següent zona factible (La zona factible és la que NO està ratllada) a)
17 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 16 b) Y X Pot passar que la solució d'un sistema d'inequacions sigui una regió del pla oberta o tancada. També que un sistema d'inequacions no admeti cap solució, es diu que aquests sistemes són incompatibles. Les regions solució tenen la propietat que si s'uneixen dos punts de la regió el segment que determinen està totalment situat dintre de la regió. De les regions dels pla que satisfan aquesta condició es diu que són convexes. Si aquesta regió és fitada, llavors és un polígon convex. En les regions no convexes hi ha punts tales que el segment que determinen no està totalment contingut en la regió.
18 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 17 D.3 De les figures següents digues quines poden ser regions solucions d'un sistema d'inequacions amb dues incògnits i quines no justificant la resposta: D.4 a) Completa la frase següent posant " sempre serà" o "no té per que ser " La regió solució d'un sistema d'inequacions convexa. b) Si la regió solució és acotada, llavors convexa.
19 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 18 D.5 Resoleu els sistemes d'inequacions lineals indicant, en cada cas, si la regió del pla és oberta o tancada. Indiqueu si hi ha algun sistema incompatible. a) x y + 5 [ 0 2x + y 2 [ 0 x + y m 4 b) 3x + 2y [ 2 x + 3y m 4 x + 4y 1 [ 0 c) 5x + 6y 7 [ 0 2x y + 3 m 1 d) 2x + 3y [ 1 3x 2y m 0 5x y [ 2 x + 3y > 1
20 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 19 E Programació lineal E.1 Una petita empresa fabrica carteres i maletins amb el mateix tipus de pell. Per fabricar cada cartera s'utilitzen 20 dm 2 de pell i calen 4 hores de treball, mentre que per fabricar un maletí calen 50 dm 2 de pell i 3 hores de treball. L'empresa disposa de 33 m 2 de pell i d'un equip humà capaç de proporcionar 380 hores de treball. Se sap, també, que per cada cartera que es vengui, l'empresa obtindrà un benefici de 18 euros i per cada maletí, el benefici serà de 36 euros. Si suposem que es vendran totes les carteres i tots els maletins que es fabriquin, quantes carteres i quants maletins ha de fabricar l'empresa per tal d'obtenir un benefici total màxim? El problema E1 i tots els de programació lineal tenen les característiques comuns següents: 1) En tots s'ha de maximitzar o de minimitzar una funció lineal (optimitzar), que s'anomenarà funció objectiva. 2) Les variables (o incògnites ) que hi intervenen, en general, per la seva naturalesa, han de prendre valors positius o nuls. 3) Les variables estan lligades per desigualtats lineals, depenents del context o del problema particular. En el cas de problemes amb dues variables el mètode de resolució es basa en la interpretació geomètrica següent: a) La funció a optimitzar f(x,y) = ax + by representa una família de rectes paral leles, ja que per cada valor K que prengui f, l'equació ax + by = K és una recta del pla la direcció de la qual només depèn de a i b. La funció a optimitzar de l'exercici E1 f(x,y) = 18x + 36y dóna origen a la família de rectes paral leles de la figura següent:
21 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 20 b) Les restriccions que han de satisfer les variables x, y s'expressen mitjançant un sistema d'inequacions lineals, les solucions del qual constitueixen una regió convexa del pla, limitada per segments o semirectes concurrents en diversos vèrtexs. Aquesta regió rep el nom de conjunt de punts admissibles o zona factible. c) La solució òptima coincideix sempre amb un dels vèrtexs del conjunt de punts admissibles, i es pot trobar comparant el valor que pren la funció a optimitzar en cada un d'ells. Al gràfic següent teniu la zona factible i la solució òptima de l'exercici E1.
22 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 21 La solució òptima no ha de ser necessàriament per a valors d' x, y únics; poden ser-ho tots els punts d'un segment o d'una semirecta frontera del conjunt de punts admissibles, sempre que aquest segment o aquesta semirecta sigui paral lel a les rectes de la família ax + by = K. E.2 Busqueu el valor mínim de la funció f(x,y) = -x + 2y sotmesa a les restriccions següents: 5x 2y [ 3 x + y m 1 3x 3y [ 2 x m 0 y m 0 E.3 Busqueu els valors mínim i màxim de la funció f(x,y) = x + y sotmesa a les condicions següents: 2x + y m 1 x 3y [ 3 x + 2y [ 4 E.4 Busqueu els valors que maximitzen i minimitzen la funció f(x,y) = x + 3y sota les restriccions següents: x + 5y > 3 2x 3y [ 6 x + y m 1 x y [ 2 x m 0 E.5 Busqueu els valors mínim i màxim de la funció f(x, y) = 3x - y sotmesa a les condicions següents: 3x 2y [ 0 5x + y m 1 4x y m 2 x 2y m 0 E.6 Busqueu els valors màxim i mínim de la funció f(x, y) = 3x + 4y sotmesa a les restriccions següents:
23 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 22 x + y [ 3 2x + y [ 6 x m 0 y m 0 E.7 Considerem el conjunt de punts que satisfan les condicions: x m 0 y m 0 x + 2y m 7 4x + 3y m 18 Té mínim la funció z = 3x + y en aquest conjunt? I màxim? Per què? E.8 Dibuixeu la zona del pla determinada per les condicions següents : x m 0, y m 0 x + y [ 5 2x + 3y m 6 Pertany el punt (4, 2) a la regió considerada? E.9 Calculeu el valor màxim de la funció z = x + y En el conjunt de punts que compleixen: x m 0, y m 0 x + y [ 5 4x + y [ 8 E.10 Busqueu el màxim i el mínim de la funció z = x - y, sotmesa ales restriccions següents: x m 0, y m 0 2x + y m 1 x + 2y [ 4 E.11 Quin és el valor mínim de la funció z=x-y en el conjunt de punts que satisfan les condicions següents?
24 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 23 x m 0, y m 0 3x + 2y m 6 E.12 Un farmacèutic ha descobert una fórmula meravellosa i molt efectiva que ell anomena MIRACLE. Vol mantenir els noms dels ingredients en secret, però ens diu que la fabrica en dues versions: MIRACLE i MIRACLE-FORTE. De moment es preocupa únicament de fer les barreges en pols i després ja omplirà les càpsules. La versió MIRACLE és constituïda per un 50% de producte A i un 50% de producte B. La versió MIRACLE-FORTE per un 75% de producte A i un 25% de producte B. Vol produir un mínim mensual de 40 paquets de MIRACLE-FORTE i 60 de MIRACLE. Cada mes només pot comprar 100 paquets del producte A i 60 del producte B. Indica quines quantitats d les dues varietats ha de produir per obtenir un guany màxim. Amb el MIRACLE guanya 3 euros per paquet i amb el MIRACLE-FORTE 4 euros. E.13 L'empresa COMODITAT S.A.. fabrica dos tipus d'articles entapissats: cadires i butaques. Les cadires tenen el seient entapissat i el respatller i les potes són de fusta envernissada. Les butaques estan totes tapissades, excepte les potes i els braços que son de fusta envernissada. Per entapissar una cadira es tarda 4 hores i per entapissar una butaca se'n tarden 6. Per les limitacions de personal, el departament d'entapissat tant sols pot funcionar 300 hores a la setmana. Al departament d'envernissat tarden 3 hores per envernissar una cadira i 2 hores per fer una butaca. Aquest departament treballa només 120 hores a la setmana. Per la venda d'una cadira es guanya 30 euros i per la d'una butaca 36 euros. Determina el nombre d'unitats de cada tipus que s'han de produir setmanalment a fi d'obtenir uns ingressos màxims. E.14 A la pastisseria LA MONA utilitzen 120 kg de mantega i 210 kg de margarina al mes. El majorista A els ofereix lots de 10 kg de mantega i 20 kg de margarina amb un cost de 36 euros el lot. El majorista B els ofereix lots de 15 kg de mantega i 15 de margarina amb un cost de 45 euros el lot. Quants lots ha de comprar a cada un dels majoristes per tal que la compra mensual els resulti com més econòmica millor? E.15 Una fàbrica produeix dos tipus d'articles A i B. La fabricació d'una unitat de A
25 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 24 requereix una hora de feina, mentre que cada unitat de B en necessita dues. La fàbrica només disposa de 300 h setmanals de feina i, per raons d'infrastructura, no pot produir més de 200 articles a la setmana. El benefici que s'obté per cada unitat de A és de 4,8 euros mentre que el benefici per unitat de B és de 6 euros. Trobar la fórmula de producció que dona el màxim benefici. E.16 Es volen fabricar dos articles, A i B. En el procés s'utilitza ferro i s'han de considerar uns costos per hora de fabricació i unes despeses generals, tal com indica la taula següent: Article A Article B Kg ferro/unitat hores/unitat Desp. gen./unitat La producció és sotmesa a les limitacions següents: només es disposa de 800 kg de ferro, no es poden dedicar més de 3000 hores a la fabricació d'aquests articles i les despeses generals globals no poden superar les 300 euros. Si cada unitat del primer article produeix un benefici de 4,80 euros i cada unitat del segon en produeix 3,60. Determinar quines quantitats s'han de produir a fi que el benefici sigui màxim. E.17 La fàbrica de joguets de fusta FUSTIPLÀS S.A. fa dos tipus de jocs de construcció, A i B. En l'elaboració es necessiten dues màquines: una per tallar fusta i un altra per pintar. L'article A necessita 2 hores de treball de la de tallar i 1,5 hores de la de pintar. L'article B necessita 1,5 hores de la de tallar i 1 de la de pintar. Cada màquina funciona, com a màxim, 40 hores setmanals. Per cada joc del tipus A s'obté un benefici de 1,50 euros mentre que per cada un de l'article B el benefici és de 0,90 euros. Quantes unitats de cada tipus s'han de fabricar setmanalment per obtenir un benefici màxim?. E.18 Un inversionista disposa de euros. Els pot invertir en bons del tipus A, que donen un rendiment del 10% i en bons del tipus B de rendiment 15 %. Hi ha uns límits legals que impedeixen invertir més de 5000 euros en bons del tipus B, però, contràriament, amb el bons del tipus A la inversió mínima és de 5000 euros. Quants diners ha d'invertir en bons de cada tipus perquè el rendiment obtingut sigui màxim?
26 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 25 E.19 Un camperol posseeix un terreny rústic de 70 m 2 que vol fer servir en dos tipus de conreu, A i B. El conreu A li suposa una despesa de 36 euros/ m 2 i, el de conreu B, 18 euros/m 2. El conreu A suposa 3 dies de treball mentre que el conreu B són 4 dies. L'agricultor disposa de 1000 euros per invertir en el terreny, i compta tenir uns beneficis de 180 euros per metre quadrat conreat de A i amb 90 euros pel de B. Si l'agricultor pot treballar els conreus durant 120 dies com a màxim a l'any, quina superfície ha de dedicar a cada tipus de conreu per poder obtenir un benefici màxim. E.20 Una dieta alimentaria ha de contenir, almenys, 400 unitats de vitamines, 500 unitats de minerals i 1400 calories. L'aliment A conté, per quilo, 200 unitats de vitamines, 100 unitats de minerals i 400 calories. L'aliment B, també per quilo, respectivament 100, 200, 400. Cada quilo de l'aliment A costa 3 euros i, un quilo del B 1,80 euros. Quina ha de ser la composició de la dieta per que el cost diari sigui el més baix possible?. E.21 Un fabricant de Xocolata elabora dos tipus de capses de bombons de 240 g. i de 300 g. respectivament. Obté un benefici de 3 euros per cada capsa de les primeres, i de 3,90 euros per cada capsa de les altres. Si disposa de 100 kg de xocolata per omplir les capses, i el nombre de capses petites ha de ser al menys, igual al de més grans, Quantes n'ha de fer de cada tipus si vol obtenir un benefici màxim? E.22 En uns terrenys propers a una ciutat es vol edificar una zona residencial. Amb aquest propòsit es venen, com a mínim, 100 ha d'extensió i s'estableix que l'espai destinat a la zona verda ha de ser, almenys, les dues terceres parts del terreny edificat. El preu del sòl per edificar és de 3000 euros per hectàrea, i el de la zona verda, de Quina superfície s'ha de dedicar a la construcció, i quina a zona verda, perquè els costos siguin mínims. E.23 Una fàbrica de teixits te emmagatzemats 3600 m de roba blanca, 2340 m de roba vermella i 1500 m de blava. Per distribuir-los a les sastreries les empaqueten de dues maneres, A i B: Paquet A: 30 m de roba blanca, 18 m de roba vermella i 10 m de roba blava. Paquet B: 20 m de roba blanca, 15 m de roba roja i 10 m de roba blava. El paquet A costa 81 euros i el B 66 euros. Quants paquets de cada tipus ha de fer per maximitzar els seus ingressos?
27 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 26 E.24 Una botiga d'electrodomèstics vol llançar una oferta de frigorífics a 350 euros i rentadores a 280 euros. Cada venda d'un frigorífic suposa 10 minuts de temps d'un venedor i 5 minuts de temps d'un instal lador. La venda d'una rentadora requereix 8 min. del venedor i 12 min. del instal lador. La botiga disposa de 4 venedors i 3 instal ladors que treballen 4 hores diàries útils. Quants frigorífics i rentadores interessa posar a la venda durant els 20 dies hàbils de la campanya? E.25 Una empresa compra 26 locomotores a tres fàbriques: 9 locomotores a la fàbrica A, 10 locomotores a la B i 7 a la fàbrica C. L'empresa necessita que 11 de les locomotores comenci a fer el servei a l'estació del Nord i 15 locomotores a l'estació del Sud Els costs del trasllat són els que s'indiques a la taula següent per cada locomotora (en milers d'euros): A B Est. Nord 6 15 Est. Sud 4 20 C 3 5 Esbrina com convé fer el repart per tal de que el cost sigui mínim. E.26 Una empresa fabrica dues classes de llàpis. Els de la classe A a 20 pta. la unitat i els de la classe B a 15 pta la unitat. A la producció diària sabem que: la quantitat de la classe B no supera en 1000 unitats als de l'a. Entre les dues classes no superen les 3000 unitats i els de la classe B no baixen de 1000 unitats. Trobar el valor màxim i mínim de la producció diària. E.27 Un comerciant disposa de caramels de tres gustos diferents: 16 kg de menta, 11 Kg de cafè i 13 Kg de llimó. Per a vendre'ls fa bossetes barrejant-los: Bosseta tipus A: 1 kg de menta, 500 g de cafè i 300 g de llimona Bosseta tipus B: 500 g de menta, 800 de cafè i 700 de llimona. Si ven la bosseta de classe A 1,20 euros i la de classe B a 0,90 euros. Quantes bosses de cada classe caldrà omplir per a que els ingressos bruts siguin màxims?
28 IES ARQUITECTE MANUEL RASPALL. CARDEDEU. PROGRAMACIÓ LINEAL. 27 E.28 Una cooperativa de joves empresàries vol crear una empresa per fabricar una nova marca de motos. Per a fer-ho munta dos tallers un a Cardedeu i l'altre a Montmeló i comença fent tres models diferents: A, B, i C. El taller de Cardedeu produirà setmanalment 10 motos del model A, 30 del model B i 15 del model C. El taller de Montmeló produirà setmanalment 20 motos del model A, 20 del B i 70 del C. La responsable de relacions comercials ha aconseguit unes vendes mínimes garantitzades de 800 unitats del model A, 1600 del model B i 1800 del model C. Han calculat que el cost de manteniment de cada taller és de 360 euros setmanals. Quantes setmanes ha de treballar cada taller per a que el cost sigui mínim?. E.29 Un taller te capacitat per produir 110 unitats de l'article A i 340 de l'article B diàries. Cada article ha de passar un test de qualitat i els tècnics d'aquest test sòls poden controlar 200 articles diaris sense importar el tipus d'article. Si l'article A es ven tres cops més car que B com han de planificar-se la producció per a que els ingressos bruts siguin màxims? E.30 Un taller pot fer portes de dos tipus P1 i P2. Per fer les del tipus P1 es gasten 2 m 2 de xapa i 5 hores de treball, mentre que per les del tipus P2 calen 3 m 2 de xapa i 8 hores de treball. Disposen de 750 m 2 de xapa i poden disposar de 1480 hores de treball. Si els guanys per porta del tipus P1 son de 48 euros i de 84 euros per les del tipus P2, quantes portes caldrà fer de cada tipus per tal que el benefici sigui màxim? E.31 Un fabricant produeix dos tipus de pinsos per animals barrejant dos d'ingredients A i B. Cada sac ha de tenir, al menys, 2 kg de proteïnes i 4 kg d'hidrats de carboni. Cada Kg d'a duu 200 g de proteïnes i 300 g d'hidrats de carboni i cada Kg de B duu 500 g de proteïnes i 400 g d'hidrats de carboni. L'ingredient A li costa 0,10 euros el kg i el B 0,14 euros el kg. Quina quantitat de cada ingredient ha d'utilitzar per sac per minimitzar els costos si cada sac ha de contenir, al menys, un kg de B?
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Más detallesUNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
Más detallesProblemes de programació lineal de la sele.
Problemes de programació lineal de la sele. 1. En un taller de confecció es disposa de 80 metres quadrats de tela de cotó i de 120 metres quadrats de tela de llana. Es fan dos tipus de vestits, A i B.
Más detallesUnitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU. Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU
Unitat 2 EQUACIONS DE PRIMER GRAU 37 38 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 5. TRANSFORMACIONS D EXPRESSIONS ALGEBRAIQUES UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç
Más detallesVECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D
VECTORS I RECTES AL PLA Un vector és un segment orientat que és determinat per dos punts, A i B, i l'ordre d'aquests. El primer dels punts s'anomena origen i el segons es denomina extrem, i s'escriu AB.
Más detallesFUNCIONS REALS. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS REALS. 1. El concepte de funció. 2. Domini i recorregut d una funció. 3. Característiques generals d una funció. 4. Funcions definides a intervals. 5. Operacions amb funcions. 6. Les successions
Más detallesEXERCICIS - SOLUCIONS
materials del curs de: MATEMÀTIQUES SISTEMES D EQUACIONS EXERCICIS - SOLUCIONS AUTOR: Xavier Vilardell Bascompte xevi.vb@gmail.com ÚLTIMA REVISIÓ: 21 d abril de 2009 Aquests materials han estat realitzats
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2009 QÜESTIONS
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 009 SÈRIE 4 QÜESTIONS 1. Considereu el sistema d inequacions següent: x 0, y 0 x+ 5y 10 3x+ 4y 1 a) Dibuixeu la regió de solucions
Más detalles1.- Elements d una recta Vector director d una recta Vector normal d una recta Pendent d una recta
.- Elements d una recta..- Vector director d una recta..- Vector normal d una recta.3.- Pendent d una recta.- Equacions d una recta..- Equació ectorial, paramètrica i contínua..- Equació explícita.3.-
Más detallesOficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 7 PAU 2015 Criteris de correcció Matemàtiques aplicades a les ciències socials
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 7 PAU 015 SÈRIE 1. Un arbre té un volum de 0 m i, per la qualitat de la seva fusta, es ven a 50 per metre cúbic. Cada any l'arbre augmenta el volum en 5 m.
Más detallesACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Más detallesEquacions de primer i segon grau
Equacions de primer i segon grau Les equacions de primer i segon grau Equacions de primer grau amb una incògnita Exemple 3x 5 = x + 5 és una equació de primer grau amb una incògnita: és una equació perquè
Más detallesGeometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó
Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Vectors perpendiculars Ortogonal d un subespai Varietats lineals ortogonals Projecció ortogonal Càlcul efectiu de la projecció ortogonal Aplicació: ortonormalització
Más detallesPolinomis i fraccions algèbriques
Tema 2: Divisivilitat. Descomposició factorial. 2.1. Múltiples i divisors. Cal recordar que: Si al dividir dos nombres enters a i b trobem un altre nombre enter k tal que a = k b, aleshores diem que a
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2010
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 1 Pregunta 1 3 1 lim = 3. Per tant, y = 3 és asímptota horitzontal de f. + 3 1 lim =. Per tant, = - és asímptota horitzontal
Más detallesTEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS:
TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: Anomenarem monomi qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d un nombre real i d una variable elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 55 Activitat 1 Dels nombres següents, indica quins són enters. a) 4 b) 0,25 c) 2 d) 3/5 e) 0 f) 1/2 g) 9 Els nombres enters són: 4, 2, 0 i 9. Activitat 2 Si la
Más detallesVector unitari Els vectors unitaris tenen de mòdul la unitat. Calculem el vector unitari del vector següent manera: ( ) ( )
GEOMETRIA EN L ESPAI VECTORS EN L ESPAI OPERACIONS AMB VECTORS Un vector és un segment orientat en l espai que té un mòdul, una direcció i un sentit coneguts: té un extrem i un origen (Exemple: vector
Más detalles1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
Más detallesFUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Más detallesoperacions inverses índex base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari:
Potències i arrels Potències i arrels Potència operacions inverses Arrel exponent índex 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari: base
Más detalles8. Reflexiona: Si a<-3, pot se a<0?
ACTIVITATS 1. Expressa amb nombres enters: a) L avió vola a una altura de tres mil metres b) El termòmetre marca tres graus sota zero c) Dec cinc euros al meu germà 2. Troba el valor absolut de: -4, +5,
Más detallesDIBUIX TÈCNIC PER A CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA
DIBUIX TÈCNIC PER A CICLE SUPERIOR DE PRIMÀRIA Abans de començar cal tenir uns coneixements bàsics que estudiareu a partir d ara. PUNT: No es pot definir, però podem dir que és la marca més petita que
Más detallesTEMA 3 : Nombres Racionals. Teoria
.1 Nombres racionals.1.1 Definició TEMA : Nombres Racionals Teoria L'expressió b a on a i b son nombres enters s'anomena fracció. El nombre a rep el nom de numerador, i b de denominador. El conjunt dels
Más detallesOficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU z y 2
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 014 SÈRIE 3 1. En Pol, la Júlia i la Maria han comprat un regal. La Júlia ha gastat la meitat que la Maria, i en Pol n ha gastat el triple que la Júlia.
Más detallesTEMES TREBALLATS A 3r d'eso
TEMES TREBALLATS A r d'eso. Repàs de n d'eso. Nombres racionals. Equacions. Sistemes d'equacions de r grau. Funcions. Geometria en l'espai Recordeu que a part dels apunts teniu d'altres documents per preparar
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
30 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 1 Completa la taula següent: Graus Minuts Segons 30º 30 x 60 = 1.800 1.800 x 60 = 108.000 45º 2.700 162.000 120º 7.200 432.000 270º 16.200 972.000
Más detallesAVALUACIÓ DE QUART D ESO
AVALUACIÓ DE QUART D ESO FULLS DE RESPOSTES I CRITERIS DE CORRECCIÓ Competència matemàtica FULL DE RESPOSTES VERSIÓ AMB RESPOSTES competència matemàtica ENGANXEU L ETIQUETA IDENTIFICATIVA EN AQUEST ESPAI
Más detallesx = graduació del vi blanc y = graduació del vi negre
Problemes ( pàgina 44 del llibre de classe, Editorial Casals ) (21) Barregem 60 L de vi blanc amb 20 L de vi negre i obtenim un vi de 10 graus (10% d alcohol). Si, contràriament, barregem 20 L de blanc
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 1
SOLUCIONARI Unitat Comencem En un problema de física es demana el temps que triga una pilota a assolir una certa altura. Un estudiant, que ha resolt el problema correctament, arriba a la solució t s. La
Más detallesInequacions. Objectius. 1.Inequacions de primer grau...pàg. 74 amb una incògnita Definicions nequacions equivalents Resolució Sistemes d'inequacions
5 Inequacions Objectius En aquesta quinzena aprendreu a: Resoldre inequacions de primer i segon grau amb una incògnita. Resoldre sistemes d'equacions amb una incògnita. Resoldre de manera gràfica inequacions
Más detallesTEMA 2: Múltiples i Divisors
TEMA 2: Múltiples i Divisors 4tESO CB Concepte de múltiple 6 és múltiple de 2 perquè 2 3 = 6 24 és múltiple de 8 perquè 8 3 = 24 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per 3
Más detallesFITXA 1: Angles rectes, aguts i obtusos
FITXA 1: Angles rectes, aguts i obtusos A.1. OBSERVA AQUESTA FIGURA I FES EL QUE S INDICA: Pinta n de blau els costats. Assenyala n de vermell el vèrtex. Pinta n de groc l obertura. A.2. DIBUIXA EL QUE
Más detallesPROVA D APTITUD PERSONAL ACCÉS ALS GRAUS EDUCACIÓ INFANTIL I EDUCACIÓ PRIMÀRIA
Nom i cognoms DNI / NIE PROVA D APTITUD PERSONAL ACCÉS ALS GRAUS EDUCACIÓ INFANTIL I EDUCACIÓ PRIMÀRIA COMPETÈNCIA LOGICOMATEMÀTICA 1. Està prohibit l ús de la calculadora o de qualsevol altre aparell
Más detallesUNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS
M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de
Más detallesFITXA 1: Angles rectes, aguts i obtusos
FITXA 1: Angles rectes, aguts i obtusos A.1. OBSERVA AQUESTA FIGURA I FES EL QUE S INDICA: Pinta n de blau els costats. Assenyala n de vermell el vèrtex. Pinta n de groc l obertura. A.2. DIBUIXA EL QUE
Más detallesj Unitat 6. Rectes en el pla
MATEMÀTIQUES 9 4. Calcula a a sabent que a b, b b 4 i que l angle que formen els vectors a i b mesura 0º. b b 4 b 4 b a b a b cos a a cos 0º a cos 0º a a a 9. Els punts A(, ), B(, ) i C(, ) són tres vèrtexs
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Dossier de sistemes d'equacions lineals. / Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: k b a k b a Coeficients de les incògnites:
Más detallesEXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT
Treball d estiu/r Batillerat CT EXERCICIS MATEMÀTIQUES r BATXILLERAT. Aquells alumnes que tinguin la matèria de matemàtiques pendent, hauran de presentar els eercicis el dia de la prova de recuperació.
Más detallesTEMA 2: Múltiples i Divisors. Activitats. 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per 3 ens doni 25
TEMA 2: Múltiples i Divisors Activitats Concepte de múltiple 6 és múltiple de 2 perquè 2 3 = 6 24 és múltiple de 8 perquè 8 3 = 24 25 NO és múltiple de 3 perquè no hi ha cap nombre que multiplicat per
Más detallesTema 1: TRIGONOMETRIA
Tema : TRIGONOMETRIA Raons trigonomètriques d un angle - sinus ( projecció sobre l eix y ) sin α sin α [, ] - cosinus ( projecció sobre l eix x ) cos α cos α [ -, ] - tangent tan α sin α / cos α tan α
Más detallesInstitut d Educació Secundària. x b) A partir de la gràfica d aquesta funció, indica quin és el domini i el recorregut.
Generalitat de Catalunya Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques MS Àlgebra i uncions I Nom: Grup: ) Resol les següents equacions: a) 7+ 3+ c) 3 +
Más detallesr 1 El benefici (en euros) està determinat per la funció objectiu següent: 1. Calculem el valor d aquest benefici en cadascun 150 50 =
SOLUIONRI 6 La gràfica de la regió factible és: r2 r3= ( 150, 0) r3 r5= ( 150, 50) r4 r5= ( 110, 90) r1 r4= D( 0, 90) r r = E( 0, 0) 1 2 160 120 80 40 E D 40 80 120 160 El benefici (en euros) està determinat
Más detallesLes Arcades. Molló del terme. Ermita la Xara. Esglèsia Sant Pere
Les Arcades Molló del terme Ermita la Xara Esglèsia Sant Pere Pàg. 2 Monomi Un monomi (mono=uno) és una expressió algebraica de la forma: *+,-=/, 1 on R N., rep el nom d indeterminada o variable del monomi,
Más detallesFUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES
FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES Pàgina 8. Encara que el mètode per a resoldre les preguntes següents se sistematitza a la pàgina següent, pots resoldre-les ara: a) Quants radiants corresponen als
Más detallesANÀLISI. MATEMÀTIQUES-2
1. ANÀLISI. Caldrà repassar alguns temes de cursos anteriors, com el tema de Funcions polinòmiques i, els de Funcions reals i Límits de funcions, caldrà recordar també els gràfics i propietats més importants
Más detallesCARTES DE FRACCIONS. Materials pel Taller de Matemàtiques
CARTES DE FRACCIONS Aquesta proposta és adequada pel primer cicle d ESO perquè permet recordar mitjançant un joc, una sèrie de conceptes que ja s han treballat a l Educació Primària. Per això resulta una
Más detallesXXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA
XXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA Primera fase (Catalunya) 10 de desembre de 1999, de 16 a 0h. 1. Amb quadrats i triangles equilàters de costat unitat es poden construir polígons convexos. Per exemple, es poden
Más detallesProva de competència matemàtica
PROVES DE QUALIFICACIO DE NIVELL 3 Prova de competència matemàtica Nombres naturals: jerarquia d operacions: La jerarquia es: 1. parèntesi 2. multiplicacions i divisions 3. sumes i restes a) 25 : 5 + 3.
Más detallesNom i Cognoms: Grup: Data:
n BATX MA ) Raoneu la certesa o falsedat de les afirmacions següents: a) Si A és la matriu dels coeficients d'un sistema d'equacions lineals i Ampl és la matriu ampliada del mateix sistema. Rang(A) Rang
Más detallesAproximar un nombre decimal consisteix a reduir-lo a un altre nombre decimal exacte el valor del qual sigui molt pròxim al seu.
Aproximar un nombre decimal consisteix a reduir-lo a un altre nombre decimal exacte el valor del qual sigui molt pròxim al seu. El nombre π és un nombre que té infinites xifres decimals. Sabem que aquest
Más detallesResultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos
DE S L U S RE S I V I C LES Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos aquells exercicis que requereixen
Más detallesMatemàtiques Sèrie 1. Instruccions
Proves d accés a cicles formatius de grau superior de formació professional inicial, d ensenyaments d arts plàstiques i disseny, i d ensenyaments esportius 2011 Matemàtiques Sèrie 1 Dades de la persona
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
Más detallesOficina d'organització de Proves d'accés a la Universitat Pàgina 1 de 8 PAU 2004
Oficina d'organització de Proves d'accés a la Universitat Pàgina de 8 PAU 004 SÈRIE 3 Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals (ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detalles8 Geometria analítica
Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
Más detallesTema 2: Equacions i problemes de segon grau.
Tema : Equacions i problemes de segon grau..1. Les equacions de n grau. Equacions del tipus x + 5x - 3 0, on la incògnita x es troba elevada al quadrat, diem que són equacions de segon grau. Exemples:
Más detallesVECTORS EN EL PLA. EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA ESQUEMA 1. VECTORS EN EL PLA 2. OPERACIONS AMB VECTORS 3. EQUACIONS PARAMÈTRIQUES DE LA RECTA
VECTORS EN EL PL. EQUCIÓ VECTORIL DE L RECT ESQUEM 1. VECTORS EN EL PL 2. OPERCIONS M VECTORS 3. EQUCIONS PRMÈTRIQUES DE L RECT 1. VECTORS EN EL PL En un sistema d eixos cartesians, cada punt es descriu
Más detallesGEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. MATEMÀTIQUES-1
GEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. 1. Vectors en el pla.. Equacions de la recta. 3. Posició relativa de dues rectes. 4. Paral lelisme de rectes. 5. Producte escalar de dos vectors. 6. Perpendicularitat de rectes.
Más detallesGeneralitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya. Avaluació contínua. Cognoms. Centre: Trimestre: Tardor 11
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya valuació contínua Qualificació prova TOTL Cognoms una lletra majúscula a cada casella: Nom: Centre: Trimestre: Tardor 11 M4
Más detallesActivitats de repàs DIVISIBILITAT
Autor: Enric Seguró i Capa 1 CRITERIS DE DIVISIBILITAT Un nombre és divisible per 2 si acaba en 0 o parell (2,4,6,8). Ex: 10, 24, 62, 5.256, 90.070,... Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves
Más detallesÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX 3 COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT DE CÀLCUL
Francesc Sala, primera edició, abril de 1996 última revisió, desembre de 2007 ÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT
Más detalles10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.
10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors
Más detallesMATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA
MATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA 1. RepÀs d estadística unidimensional 1.1. Freqüències absoluta i relativa Si ho recordeu, una de les primeres magnituds que es calcula en un estudi estadístic és
Más detallesEls nombres enters són els que permeten comptar tant els objectes que es tenen com els objectes que es deuen.
Els nombres enters Els nombres enters Els nombres enters són els que permeten comptar tant els objectes que es tenen com els objectes que es deuen. Enters positius: precedits del signe + o de cap signe.
Más detallesLes funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) = k (k R)
1 1 3 FUNCIONS LINEALS I QUADRÀTIQUES 3.1- Funcions constants Les funcions que apliquen a tots els elements del domini la mateixa imatge es diu funció constant, evidentment han d ésser del tipus f(x) k
Más detallesMATEMÀTIQUES CURS En vermell comentaris per al professorat Construcció d una escultura 3D
En vermell comentaris per al professorat Construcció d una escultura 3D 1/8 Es disposen en grups de tres o quatre i se ls fa lliurament del dossier. Potser és bona idea anar donant per parts, segons l
Más detallesOptimització amb restriccions d igualtat. Multiplicadors de Lagrange
Capítol 7 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange La realitat ens imposa models amb restriccions Per exemple, la producció d una empresa està condicionada, entre d altres factors,
Más detallesHi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples:
2 PROGRESSIONS 9.1 Progressions aritmètiques Hi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples: La successió
Más detallesUnitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES UNITAT 2 TEOREMA DE TALES.
Unitat 2 TEOREMA DE TALES. TEOREMA DE PITÀGORES. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES 41 42 Matemàtiques, Ciència i Tecnologia 8. TRIGONOMETRIA UNITAT 2 QUÈ TREBALLARÀS? què treballaràs? En acabar la unitat has de ser
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2006 Matemàtiques aplicades a les ciències socials
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 006 SÈRIE 1 Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detallesESTUDI D UNA FACTURA PREU PER UNITAT D UN PRODUCTE
ESTUDI D UNA FACTURA PREU PER UNITAT D UN PRODUCTE i 1-Observa la factura 2-Tria un producte 3-Mira quin és l IVA que s aplica en aquest producte i calcula l 4-Mira el descompte que s aplica en aquest
Más detallesInstitut Obert de Catalunya
Institut Obert de Catalunya v aluació contínua Qualif icació prov a TOTL Cognoms Nom: Centre: Trimestre: primavera10 M4 - Matemàtiques 4 1. (2,5 punts) SOLUCIONRI Un cotxe no s'atura de sobte al frenar
Más detallesQuadern de matemàtiques Decimals1
Quadern de matemàtiques Decimals CENTENES DESENES UNITATS DECIMES CENTÈSIMES 3,5 Busca les vuit diferències que hi ha en aquests dos dibuixos Curs i grup: Data inici quadern Data acabament Seguiment Data
Más detallesMatemàtiques Sèrie 1. Instruccions
Proves d accés a cicles formatius de grau superior de formació professional inicial, d ensenyaments d arts plàstiques i disseny, i d ensenyaments esportius 0 Matemàtiques Sèrie SOLUCIONS, CRITERIS DE CORRECCIÓ
Más detallesEls polinomis. Un polinomi és una expressió algebraica amb una única lletra, anomenada variable. Exemple: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomi de variable x
Els polinomis Els polinomis Un polinomi és una expressió algebraica amb una única lletra, anomenada variable. Exemple: 9x 6 3x 4 + x 6 polinomi de variable x Elements d un polinomi Els termes: cadascun
Más detallesz 2 4z + 5 = 0, z = x + iy, i 1,
Àlgebra i Geometria I Tema I NOMBRES COMPLEXOS 1- Necessitat dels nombres complexos i definició (a) Les solucions de les equacions polinòmiques El nombre imaginari i 1 Els enters Z, els racionals Q i els
Más detallesTEMA 1: Trigonometria
TEMA 1: Trigonometria La trigonometria, és la part de la geometria dedicada a la resolució de triangles, es a dir, a determinar els valors dels angles i dels costats d un triangle. 1.1 MESURA D ANGLES
Más detallesDOSSIER D ACTIVITATS D ESTIU MATEMÀTIQUES 2n d ESO
Institut Galileo Galilei Departament de Matemàtiques Curs 015-16 DOSSIER D ACTIVITATS D ESTIU MATEMÀTIQUES n d ESO A continuació tens una sèrie d'exercicis i activitats relacionats amb els continguts treballats
Más detalles6. Calcula l obertura de l angle que falta. Digues de quin tipus d angles es tracta. 6
Geometria dossier estiu 2012 2C 1. Dibuixa dues rectes, m i n, que siguin: a) Paral leles horitzontalment. c) Paral leles verticalment. b) Secants. d) Perpendiculars. 6 2. Dibuixa una recta qualsevol m
Más detalles4. PROBLEMES AMB EQUACIONS
4. PROBLEMES AMB EQUACIONS Molts problemes matemàtiques es poden resoldre amb ajuda d'equacions. Donar una mecànica per la resolució és difícil, doncs òbviament cada problema té la seva estratègia, però
Más detallesGeometria / GQ 2. Invariants euclidians de les còniques S. Xambó
Geometria / GQ 2. Invariants euclidians de les còniques S. Xambó,, Classificació de còniques mitjançant invariants Obtenció de les equacions reduïdes i canòniques a partir dels invariants Exemple: àrea
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves d Accés a la Universitat. Curs 2012-2013 Matemàtiques Sèrie 4 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2 punts.
Más detallesPOLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini.
POLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini. Recordeu: n Un monomi en x és una expressió algebraica de la forma a x on a és un nombre real i n és un nombre natural. A s anomena coeficient i n s anomena grau del
Más detallesMatemàtiques. Proves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys. Sèrie. el polinomi 2. Solució: tercera arrel. i , i.
Pàgina 1 5 Proves d accés a la Universitat per a més grans 5 anys Abril 015 Sèrie Exercicis Opció A A1.- Consireu el polinomi 7 6. Justifiqueu que 1 i són dues arrels l polinomi. Determineu la tercera
Más detallesMÚLTIPLES I DIVISORS
MÚLTIPLES I DIVISORS DETERMINACIÓ DE MÚLTIPLES Múltiple d un nombre és el resultat de multiplicar aquest nombre per un altre nombre natural qualsevol. 2 x 0 = 0 2 x 1 = 2 2 x 2 = 4 2 x 3 = 6 2 x 4 = 8
Más detallesGENERALITAT DE CATALUNYA SISTEMES D EQUACIONS DEPARTAMENT D EDUCACIÓ DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES. CURS SES PLA MARCELL
1 2 3 Full de treball A: Recordem les equacions A.1 A la web http://mathsnet.net/algebra/equation.html tens un joc que et permet recordar els conceptes bàsics que vam treballar l any passat sobre les equacions.
Más detallesMatemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques - FI 7--7 Examen Final F Àlgebra lineal JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES. [ punts] Siguin E i F dos espais vectorials, f : E F una aplicació lineal. (a) Digueu què ha de satisfer f per tal
Más detallesavaluació diagnòstica educació secundària obligatòria competència matemàtica
curs 0-04 avaluació diagnòstica educació secundària obligatòria competència matemàtica Nom i cognoms Grup INSTRUCCIONS El material que necessites per fer la prova és un bolígraf i un regle. Si t equivoques,
Más detallesClic de sons i nombres
Clic de sons i nombres Margarita Fortuny (mfortun4@pie.xtec.es) PAQUET D'ACTIVITATS D'ALGUNS DELS PRIMERS APRENENTATGES QUE ES FAN A L'ESCOLA: 1- ACTIVITATS DE NÚMEROS I NOMBRES DESTINAT A EDUCACIÓ INFANTIL.
Más detallesFITXA 1: Polígons. Conceptes
FITXA 1: Polígons. Conceptes A.1. REPASSA ELS TEUS CONEIXEMENTS. 1. Escriu la lletra de les figures equilàteres. A, D 2. Escriu el nom de les figures equiangulars. A, D 3. Anomena les figures que tenen
Más detalles3. FUNCIONS DE RECERCA I REFERÈN- CIA
1 RECERCA I REFERÈN- CIA Les funcions d aquest tipus permeten fer cerques en una taula de dades. Les funcions més representatives són les funcions CONSULTAV i CONSULTAH. Aquestes realitzen una cerca d
Más detallesCOL LEGI INTERNACIONAL SEK-CATALUNYA ÁMBITO CIENTIFICO TÉCNICO MATEMÁTICAS 3ESO 2010/2011 SEK-CATALUNYA SISTEMA EDUCATIU SEK. Aula
SEK-CATALUNYA COL LEGI INTERNACIONAL SISTEMA EDUCATIU SEK Aula INTEL LIGENT AUTOAVALUACIÓ PRIMERA. Ámbito Científico Técnico Curso: 3ESO Materia: Matemáticas PAI Alumno 1 1.-CRITERIS D AVALUACIÓ: CRITERI
Más detallesGEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ 1.2. CLASSIFICACIÓ
GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ Representem un punt A en un pla i tracem dues semirectes amb origen en aquest punt. El punt A serà el vèrtex de l angle i cada semirecta serà el costat. 1..
Más detallesPrograma Grumet Èxit Fitxes complementàries
MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.
Más detallesAVALUACIÓ DE QUART D ESO
AVALUACIÓ DE QUART D ESO CRITERIS DE CORRECCIÓ Competència cientificotecnològica 2 Criteris de correcció dels ítems de resposta oberta 1. Consideracions generals Els ítems de la prova d avaluació són de
Más detallesDeduce razonadamente en que casos los planos π 1 y π 2 son o no paralelos:
GEOMETRÍA Junio 98 Deduce razonadamente en que casos los planos y son o no paralelos: a) : x + y + z = y : x + y z = 4 b) : x y + z = 4 y : x y + z = Obtén la distancia entre los planos y cuando sean paralelos.
Más detallesPresentació del problema: A Campanet, estem de Festa!
Presentació del problema: A Campanet, estem de Festa! BLOC: Matemàtiques i el món laboral Optativa de Matemàtiques pràctiques A Campanet, estem de Festa! Campanet és un poble situat al peu de la Serra
Más detallesEXERCICIS (+SOLUCIONS) DE REGLES DE 3 COMPOSTES
EXERCICIS (+SOLUCIONS) DE REGLES DE 3 COMPOSTES 1. Enviar 20 paquets a una ciutat que està a 300 km costa 720. Quants diners costaria enviar 37 paquets a 180 km? 2. Cinc aixetes omplen un dipòsit de 450
Más detalles