Super cies. 1 Representación analítica de super cies Representación explícita o de Monge... 6

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1 Super cies M. Eugenia Rosado María Departamento de Matemática Aplicada Escuela Técnica Superior de Arquitectura, UPM Avda. Juan de Herrera 4, Madrid, Spain Índice 1 Representación analítica de super cies Representación explícita o de Monge Estudio local de una super cie Plano tangente y recta normal en un punto de una super cie Primera forma fundamental Cálculo de la expresión analítica de la primera forma fundamental Aplicaciones Segunda forma fundamental Curvatura normal Teorema de Meusnier (1779) Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial y cálculo de la curvatura normal Naturaleza de los puntos de una super cie Curvaturas de una super cie Direcciones principales Curvaturas principales Curvatura de Gauss y curvatura media Líneas de curvatura y líneas asintóticas Indicatriz de Dupin Fórmula de Euler

2 3 Super cies regladas Curvatura total de las super cies regladas Clasi cación de las super cies regladas Puntos singulares de una super cie reglada Puntos centrales Arista de retroceso Ejemplos y ejercicios Bibliografía 47 1 Representación analítica de super cies De nición. Se dice que un subconjunto S R 3 es una super cie parametrizada si existe un dominio D R 2 y una aplicación ~r : D R 2! R 3 ; ~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ; tal que Im ~r = S. A la aplicación ~r la denominamos representación paramétrica de S. De nición. Se dice que un punto P 2 S con OP! = ~r(u; v), es un punto regular para la parametrización ~r si se veri ca: ~r u (u; v) ^ ~r v (u; v) 6= ~0 para todo (u; v) 2 D, siendo ~r u (u; v) = (x u (u; v); y u (u; v); z u (u; v)) ; ~r v (u; v) = (x v (u; v); y v (u; v); z v (u; v)) : La notación que utilizamos es: x u (u; v) (u; La condición ~r u (u; v) ^ ~r v (u; v) 6= ~0 signi ca que los vectores ~r u (u; v), ~r v (u; v) son linealmente independientes; esto es, xu (u; v) y rg u (u; v) z u (u; v) = 2: x v (u; v) y v (u; v) z v (u; v) Si tenemos una aplicación diferenciable, ~r : D R 2! R 3 ; ~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ; 2

3 con Im ~r = S R 3 diremos que un punto P 2 S con! OP = ~r (u 0 ; v 0 ), es un punto singular de S si ~r u (u 0 ; v 0 ) ^ ~r v (u 0 ; v 0 ) = ~0. Los puntos singulares pueden aparecer por la naturaleza de la super cie o por la elección de la parametrización. Ejemplo 1 Consideramos la semiesfera superior de radio r y centrada en el origen; esto es, la semiesfera de ecuación cartesiana: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ; con z 0: Consideramos la siguiente parametrización: ~r : [0; 2) (0; =2)! R 3 ; ~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ; donde mide la longitud y la latitud. Se tiene: y ~r (; ) = ( a sin sin ; a cos sin ; 0) ; ~r (; ) = (a cos cos ; a sin cos ; a sin ) ; ~r (; ) ^ ~r (; ) = a 2 cos sin 2 ; a 2 sin sin 2 ; a 2 sin cos = a 2 sin (cos sin ; sin sin ; cos ) : Por tanto, ~r (; ) ^ ~r (; ) = ~0 si y sólo si sin = 0; esto es, si y sólo si = 0. Luego, la parametrización que tenemos es regular. Ejemplo 2 Consideramos el semicono circular de ecuación cartesiana: x 2 + y 2 z 2 = 0; con z 0: Podemos considerar la siguiente parametrización: ~r : [0; 2) [0; +1)! R 3 ; ~r(; t) = (t cos ; t sin ; t) : Se tiene: ~r (; t) = ( t sin ; t cos ; 0) ; ~r t (; t) = (cos ; sin ; 1) ; 3

4 y ~r (; t) ^ ~r t (; t) = t cos ; t sin ; t sin 2 t cos 2 = (t cos ; t sin ; t) : Por tanto, ~r (; t) ^ ~r t (; t) = ~0 si y sólo si t = 0. En el punto P = (0; 0; 0) es un punto singular y no podemos de nir el plano tangente al cono en dicho punto. Nótese también que el punto P es un punto múltiple para dicha parametrización ya que: ~r(; 0) =! OP ; 8 2 [0; 2): Ejemplo 3 Super cie de revolución. Consideramos la supe cie generada al girar alrededor del eje OZ la curva de ecuación z = f(x), donde f es una función continua con derivadas continuas de todo orden, contenida en el plano y = 0. Primero parametrizamos la curva que tenemos. En este caso una parametrización de la curva con ecuación z = f(x) es: ~s(u) = (u; 0; f(u)), con u 2 R. La matriz del giro de ángulo alrededor del eje OZ es: 0 cos sin 1 sin cos 0 A : Al girar la curva dada alrededor del eje OZ obtenemos: 0 cos sin u u sin cos 0 0 A u sin A, con 2 [0; 2): f(u) f(u) Por tanto, una representación paramétrica de dicha super cie viene dada por: Se tiene: ~r : (0; +1) [0; 2)! R 3 ; ~r(u; ) = (u cos ; u sin ; f(u)) : ~r u (u; ) = (cos ; sin ; f 0 (u)) ; ~r (u; ) = ( u sin ; u cos ; 0) : 4

5 Por tanto, ~r u (u; ) ^ ~r (u; ) = ( uf 0 (u) cos ; uf 0 (u) sin ; u) 6= ~0 pues u 6= 0. Luego el punto P con coordenadas (0; 0; f(0)) es un punto singular. Nótese que el punto P es un punto múltiple para dicha parametrización ya que: ~r(u; ) = (0; 0; f(0)) para todo 2 [0; 2): Ejemplo 4 Toro. Super cie generada al girar alrededor del eje OZ una circunferencia de centro (0; b; 0) y radio a con a < b. Véase la siguiente gura: Por ejemplo, consideremos la circunferencia de centro C = (0; 2; 0) y radio 1. z y 5

6 Parametrizamos primero dicha circunferencia. Un punto de la circunferencia es de la forma: (0; 2 + cos ; sin ) con 2 [0; 2). Al girarlo alrededor del eje OZ obtenemos: cos sin 0 sin cos cos sin 1 0 A sin (cos + 2) cos (cos + 2) sin con 2 [0; 2). Hemos obtenido la siguiente parametrización del toro: ~r : [0; 2) [0; 2)! R 3 ; Esto es, 1 A, ~r(; ) = ( sin (cos + 2) ; cos (cos + 2) ; sin ) : x(; ) = sin (cos + 2) ; y(; ) = cos (cos + 2) ; z(; ) = sin : Teniendo en cuenta: cos = p 1 sin 2 obtenemos: Por tanto, x 2 + y 2 = (cos + 2) 2 = cos cos + 4 p = 1 sin sin es la ecuación implícita del toro. = 5 z p 1 z 2 : x 2 + y 2 + z = 16 1 z Representación explícita o de Monge Una super cie S puede venir dada por una ecuación F (x; y; z) = 0 donde F es una función diferenciable con derivadas parciales continuas de todo orden; esto es, S = (x; y; z) 2 R 3 j F (x; y; z) = 0 : Si F z (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 6= 0 por el Teorema de la función implícita sabemos que existe un entorno del punto P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) de manera que en ese entorno podemos 6

7 ver la super cie como la grá ca de una función f(x; y), con (x; y) 2 D. Esto es, tenemos una representación paramétrica de la super cie de la siguiente forma: ~r : D R 2! R 3 ; ~r(x; y) = (x; y; f(x; y)) : Dicha representación, en la que los parámetros son precisamenta las coordenadas cartesianas, se denomina carta de Monge o representación explícita de S. 2 Estudio local de una super cie Sea una super cie S R 3 con representación paramétrica regular ~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)) ; con (u; v) 2 D R 2, de clase mayor o igual a 3 y sea P 2 S con! OP = ~r(u; v). 2.1 Plano tangente y recta normal en un punto de una super cie. De nición. Decimos que un vector ~w 2 R 3 es tangente a la super cie S en P si es tangente en P a una curva contenida en S. Sea C una curva contenida en la super cie; C S. Por tanto, una representación paramétrica de C es: ~(t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t))) : Utilizando la regla de la cadena obtenemos: ~ 0 (t) = ~r u (u(t); v(t))u 0 (t) + ~r v (u(t); v(t))v 0 (t): Por tanto, cualquier vector tangente a la super cie S se escribe como combinación lineal de los vectores ~r u (u; v), ~r v (u; v). NOTA: Si el punto P es regular los vectores ~r u (u; v), ~r v (u; v) son linealmente independientes y forman una base del plano tangente a S en P. 7

8 Fijados los parámetros v = v 0 (resp. u = u 0 ), a las curvas con parametrizaciones ~r(u; v 0 ) = (x(u; v 0 ); y(u; v 0 ); z(u; v 0 )) ; u 2 I; (resp. ~r(u 0 ; v) = (x(u 0 ; v); y(u 0 ; v); z(u 0 ; v)) ; v 2 J), las denominamos curvas paramétricas o coordenadas. De nición. El plano tangente a S en P es el plano que contiene a P y está generado por los vectores ~r u (u; v), ~r v (u; v). La ecuación cartesiana del plano tangente a S en P es det(! P X; ~r u (u; v); ~r v (u; v)) = 0: De nición. La recta normal a la super cie en P es la recta ortogonal al plano tangente a S en P. El vector director de la recta normal en P es: ~r u (u; v) ^ ~r v (u; v): De nición. Llamamos vector normal unitario a la super cie S en el punto P al vector: ~N(u; v) = ~r u(u; v) ^ ~r v (u; v) k~r u (u; v) ^ ~r v (u; v)k : Nótese que la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto P de coordenadas (a; b; c) con ~ N(u; v) = (N 1 ; N 2 ; N 3 ) es N 1 (x a) + N 2 (y b) + N 3 (z c) = 0: Si la super cie S viene dada por una ecuación implícita F (x; y; z) = 0, con F 2 C 1 (R 3 ), sabemos que el vector gradiente de F es ortogonal a las super cies de nivel de F. Por tanto, el vector rf es un vector ortogonal al plano tangente de la super cie. Por tanto, en este caso, la ecuación del plano tangente en P se puede escribir como sigue: 0 = rf (a; b; c)! P X = rf (a; b; c) (x a; y b; z c) = F x (a; b; c) (x a) + F y (a; b; c) (y b) + F z (a; b; c) (z c) : Ejemplo. Vamos a hallar la ecuación del plano tangente de la super cie con ecuación implícita z = x 2 y 2 en el punto ( 1; 1; 0). 8

9 El vector gradiente de F (x; y; z) = z f(x; y) es: rf (x; y; z) = ( 2x; 2y; z). Por tanto, la ecuación del plano tangente a la super cie z = x 2 y 2 en el punto ( 1; 1; 0) es: 0 = rf ( 1; 1; 0) (x + 1; y 1; z) = (2; 2; 1) (x + 1; y 1; z) = 2(x + 1) + 2(y 1) + z. 2.2 Primera forma fundamental De nición. Llamamos primera forma fundamental de S en P a la forma bilineal simétrica de nida positiva I P asociada al producto escalar inducido en el plano tangente a S en P por el producto escalar en R Cálculo de la expresión analítica de la primera forma fundamental Cualquier vector ~w 2 T P S se escribe de la siguiente manera: ~w = h(u; v) ~r u (u; v) + k(u; v) ~r v (u; v); siendo h; k 2 C 1 (D). Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~r u + k ~r v. Tenemos: donde Esto es, ~w 1 ~w 2 = (h 1 ~r u + k 1 ~r v ) (h 2 ~r u + k 2 ~r v ) = h 1 h 2 ~r u ~r u + (h 1 k 2 + h 2 k 1 )~r u ~r v + k 1 k 2 ~r v ~r v E F h2 = (h 1 ; k 1 ) ; F G k 2 E = ~r u ~r u = x 2 u + y 2 u + z 2 u > 0; F = ~r u ~r v = x u x v + y u y v + z u z v ; G = ~r v ~r v = x 2 v + y 2 v + z 2 v > 0: I P : T P S T P S! R; E I P (~w 1 ; ~w 2 ) = (h 1 ; k 1 ) F F G h2 k 2 ; 9

10 siendo (h 1 ; k 1 ) (resp. (h 2 ; k 2 )) las coordenadas de ~w 1 (resp. ~w 2 ) en la base (~r u ; ~r v ) de T P S. Nótese que I P es de nida positiva pues teniendo en cuenta las expresiones de los vectores ~r u ; ~r v y haciendo algunos cálculos se obtiene: E F traza = E + G > 0; F G E F det = EG F 2 = k~r F G u ^ ~r v k 2 > 0: Aplicaciones 1. Cálculo de la longitud de una curva contenida en la super cie. Vamos a calcular la distancia entre dos puntos P = ~r(u 0 ; v 0 ) y Q = ~r(u 1 ; v 1 ) de la super cie. Consideramos una curva en la super cie S con parametrización ~(t) = ~r(u(t); v(t)) = (x(u(t); v(t)); y(u(t); v(t)); z(u(t); v(t))) tal que en t 0 estemos en el punto P y en t 1 estemos en el punto Q, esto es, P = ~(t 0 ) = ~r(u(t 0 ); v(t 0 )); Q = ~(t 1 ) = ~r(u(t 1 ); v(t 1 )): Llamamos L la longitud de curva entre los puntos P y Q. Se tiene: Como: L = Z t1 t 0 k~ 0 (t)k dt: k~ 0 (t)k 2 = (~r u u 0 (t) + ~r v v 0 (t)) (~r u u 0 (t) + ~r v v 0 (t)) = (u 0 (t)) 2 ~r u ~r u + 2u 0 (t)v 0 (t)~r u ~r v + (v 0 (t)) 2 ~r v ~r v = E (u 0 (t)) 2 + 2F u 0 (t)v 0 (t) + G (v 0 (t)) 2 = I ~r(t) (~ 0 (t); ~ 0 (t)); se tiene: L = Z t1 t 0 I ~(t) (~ 0 (t); ~ 0 (t)) 1=2 dt: 10

11 2. Cálculo del ángulo que forman en P dos curvas C 1 y C 2 contenidas en la super cie. Sea ~w 1 el vector tangente a C 1 en P y sea ~w 2 el vector tangente a C 2 en P. El ángulo que forman las dos curvas C 1 ; C 2 es el ángulo que forman sus respectivos vectores tangentes en P. Por tanto, cos = ~w 1 ~w 2 k~w 1 k k~w 2 k = I P (~w 1 ; ~w 2 ) I P (~w 1 ; ~w 1 ) 1=2 I P (~w 2 ; ~w 2 ) 1=2 : Las curvas C 1 y C 2 son ortogonales si = =2; esto es, si I P (~w 1 ; ~w 2 ) = 0. Si C 1 y C 2 son las curvas coordenadas; esto es, ~w 1 = (1; 0) y ~w 2 = (0; 1), entonces, cos = p F : EG Por tanto, las curvas coordenadas son ortogonales si y sólo si F = Cálculo del área de una región de la super cie. Consideramos la región de la super cie limitada por las curvas coordenadas ~r(u 0 ; v); ~r(u 0 + u; v); ~r(u; v 0 ); ~r(u; v 0 + v): El incremento de área A de la región viene dada por el producto de las longitudes de sus lados por el seno del ángulo que forman, esto es, A = k~r u (u 0 ; v 0 )k k~r v (u 0 ; v 0 )k sin uv = k~r u (u 0 ; v 0 ) ^ ~r v (u 0 ; v 0 )k uv = p EG F 2 uv: Por tanto, el área de la región puede calcularse mediante la siguiente integral: Z Z p A = EG F 2 dudv: 11

12 Ejemplos 1. Esfera. Consideramos la siguiente parametrización de la esfera de radio 1 y centro el origen de coordenadas: ~r(; ) = (cos cos ; cos sin ; sin ) ; (; ) 2 ( =2; =2)[0; 2): Se pide: (a) Expresión de la primera forma fundamental. Se tiene: Por tanto, ~r (; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos ) ; ~r (; ) = ( cos sin ; cos cos ; 0) : E(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = sin 2 cos 2 + sin 2 + cos 2 = 1; F (; ) = ~r (; ) ~r (; ) = sin cos cos sin sin sin cos cos = 0; G(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = cos 2 sin 2 + cos 2 = cos 2 : La matriz asociada a la primera forma fundamental en un punto arbitario P = ~r(; ) de la super cie es: cos 2 Como F = 0 las curvas coordenadas ~r( 0 ; ) (paralelo) y ~r(; 0 ) (meridiano) son ortogonales entre si. (b) La longitud de la curva parámetro = 0. La curva parámetro = 0 (meridiano = 0 ) tiene la siguiente parametrización: ~r() = ~r(; 0 ) = (cos cos 0 ; cos sin 0 ; sin ) ; 2 [0; 2): Se tiene: ~r 0 () = ~r u (; 0 ) = 1 ~r u (; 0 ) + 0 ~r (; 0 ); 12

13 por tanto (1; 0) son las coordenadas del vector tangente ~r 0 () en la base f~r (; 0 ); ~r (; 0 )g y I ~r() (~r 0 (); ~r 0 ()) = (1; 0) 0 cos 2 = 1: 0 Por tanto, L = Z =2 =2 1dt = : (c) La longitud de la curva parámetro = 0. La curva parámetro = 0 (paralelo = 0 ) tiene la siguiente parametrización: ~r() = ~r( 0 ; ) = (cos 0 cos ; cos 0 sin ; sin 0 ) ; 2 [ =2; =2]: Se tiene: ~r 0 () = ~r ( 0 ; ) = 0 ~r ( 0 ; ) + 1 ~r ( 0 ; ); por tanto (0; 1) son las coordenadas del vector tangente ~r 0 () en la base f~r ( 0 ; ); ~r (u 0 ; )g y I ~r() (~r 0 (); ~r 0 ()) = (0; 1) 0 cos 2 = cos : Por tanto, L = Z 2 0 cos 2 0 dt = 2 cos 2 0 : 2. Se considera la super cie formada por las rectas que se apoyan en la hélice de ecuación ~(u) = (cos u; sin u; u), u 0, paralelas al plano z = 0 y que se apoyan en el eje OZ. Véase la siguiente grá ca: 13

14 (a) Vamos a hallar una parametrización de dicha super cie. Un punto X de la super cie satisface la siguiente ecuación:! OX = OP! 0 + P! 0 P donde P 0 es el punto del eje OZ y P, P 0 están en la recta que se apoya en la hélice y en el eje OZ y que es paralela al plano z = 0. Por tanto si P es el punto de la hélice con coordenadas (cos u; sin u; u), las coordenadas de P 0 son (0; 0; u). se tiene: ~r(u; ) = (0; 0; u) + (cos u; sin u; 0) = ( cos u; sin u; u), con u 0 y 2 [0; 1]. (b) Veamos que ~r(u; ) es una parametrización regular. Se tiene: ~r u (u; ) = ( sin u; cos u; 1) ; ~r (u; ) = (cos u; sin u; 0) ; ~r u (u; ) ^ ~r (u; ) = ( sin u; cos u; p ) ; k~r u (u; ) ^ ~r (u; )k = = 0; por tanto, la parametrización es regular. (c) Primera forma fundamental. Se tiene: E(u; ) = ~r u (u; ) ~r u (u; ) = ( sin u; cos u; 1) ( sin u; cos u; 1) = 1 + ; F (u; ) = ~r u (u; ) ~r (u; ) = ( sin u; cos u; 1) (cos u; sin u; 0) = 0; G(u; ) = ~r (u; ) ~r (u; ) = ( sin u; cos u; 1) (cos u; sin u; 0) Por tanto, = : I P : T P S T P S! R; I P (~w 1 ; ~w 2 ) = (a 1 ; b 1 ) a2 b 2 ; con ~w 1 = (a 1 ; b 1 ) y ~w 2 = (a 2 ; b 2 ). 14

15 2.3 Segunda forma fundamental En el estudio de curvas, la curvatura medía la tasa de variación de la recta tangente en el entorno de un punto de la curva. Extendemos esta idea al estudio de super cies. Vamos a medir la distancia entre la super cie y el plano tangente a la super cie en un punto P 2 S, en puntos de la super cie próximos al punto P. Para ello vamos a estudiar cómo varía el campo normal unitario ~ N en un entorno del punto P. Sea una super cie S R 3 con representación paramétrica regular ~r(u; v) = (x(u; v); y(u; v); z(u; v)), con (u; v) 2 D R 2, de clase mayor o igual a 3. El campo normal unitario N ~ asigna a cada punto P de la super cie, con OP! = ~r(u; v), su vector normal unitario; esto es, ~N : D! R 3 ; ~ N(u; v) = ~r u (u; v) ^ ~r v (u; v) k~r u (u; v) ^ ~r v (u; v)k : Usaremos la notación ~ N(u; v), ~ N P indistintamente. Y denotaremos D ~ N P (~w) a la derivada direccional de la aplicación ~ N en el punto P y en la dirección del vector unitario ~w tangente a la super cie en el punto P. Derivando la identidad ~ N P ~ N P = 1 en la dirección de un vector unitario ~w tangente a la super cie en el punto P, obtenemos: 0 = 2D ~ N P (~w) ~ N P ; con ~w 2 T P S, k~wk = 1: De donde se concluye que el vector D ~ N P (~w) es ortogonal al vector normal ~N P, luego, D ~ N P (~w) 2 T P S; esto es, Im D ~ N P = T P S. De nición. Llamamos segunda forma fundamental de S en P a la forma cuadrática II P de nida en T P S de la siguiente manera: II P : T P S! R; II P (~w) = D ~ N P (~w) ~w: Vamos a calcular la expresión analítica de la segunda forma fundamental en la base f~r u (u; v); ~r v (u; v)g de T P S. Cualquier vector ~w 2 T P S se escribe de la siguiente manera: ~w = h(u; v) ~r u (u; v) + k(u; v) ~r v (u; v); 15

16 y D N ~ P (~w) = r N ~ P ~w = ~Nu (u; v); N ~ v (u; v) (h(u; v); k(u; v)) = h(u; v) ~ N u (u; v) + k(u; v) ~ N v (u; v): Por simplicidad, escribiremos: ~w = h ~r u + k ~r v y D ~ N P (~w) = h ~ N u + k ~ N v. Tenemos: II P (~w) = D N ~ P (~w) ~w = h N ~ u + k N ~ v (h ~r u + k ~r v ) = h 2 Nu ~ ~r u hk ~Nu ~r v + N ~ v ~r u = Lh 2 + 2Mhk + Nk 2 ; k 2 ~ Nv ~r v donde L = ~r u N ~ u = ~r uu N; ~ 2M = ~r u N ~ v + ~r v N ~ u = 2~r uv N; ~ N = ~r v ~ N v = ~r vv ~ N: Las fórmulas anteriores se obtienen teniendo en cuenta: ~r u N ~ = 0 y ~r v N ~ = 0, pues ~r u ; ~r v 2 T P S. Por tanto, derivando estas igualdades tenemos: 0 u N ~ = ~r uu N ~ + ~r u N ~ u 0 u N ~ = ~r uv N ~ + ~r u N ~ ~r u N ~ u = ~r uu N; v 0 v N ~ = ~r vu N ~ + ~r v N ~ =) ~r ~ u N ~ v + ~r v ~ N u = 2~r uv N; ~ u 0 v N ~ = ~r vv N ~ + ~r v N ~ ~r v N ~ v = ~r vv N: ~ v Ejemplo Hallar la segunda forma fundamental del toro con parametrización: ~r : [0; 2) [0; 2)! R 3 ; ~r(; ) = ((cos + 2) cos ; (cos + 2) sin ; sin ) : 16

17 Solución. Se tiene: ~r (; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos ) ; ~r (; ) = ( (cos + 2) sin ; (cos + 2) cos ; 0) ; ~r (; ) ^ ~r (; ) = ( cos (cos + 2) cos ; cos (cos + 2) sin ; sin (cos + 2)) ; luego k~r (; ) ^ ~r (; )k = cos + 2; Y ~N(; ) = ~r (; ) ^ ~r (; ) k~r (; ) ^ ~r (; )k por tanto, = ( cos cos ; cos sin ; sin ) : ~r (; ) = ( cos cos ; cos sin ; sin ) ; ~r (; ) = (sin sin ; sin cos ; 0) ; ~r (; ) = ( (cos + 2) cos ; (cos + 2) sin ; 0) ; L(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 1; M(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 0; N(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = cos (cos + 2) : Luego, II P (h; k) = h 2 + cos (cos + 2) k 2 : 2.4 Curvatura normal Se tiene el siguiente resultado: Teorema de Meusnier (1779) Sea C una curva sobre una supericie S y sea P un punto de la curva. Entonces la curvatura k de C en P y la curvatura k N de la sección normal de la super cie con el plano que contiene al punto P y tiene como vectores 17

18 directores el vector normal a la super cie y el vector tangente a en P, satisfacen la siguiente relación: k N = k cos donde es el ángulo que forma el plano osculador de en P y e plano. Se denomina curvatura normal en un punto P de la super cie en la dirección de la curva C con parametrización natural ~(s) a k N (s) = ~ k(s) ~ N P = k(s)~n(s) ~ N P : Nota. Todas las curvas sobre la super cie que tienen la misma recta tangente en el punto P, tienen la misma curvatura normal en P Vector curvatura normal, vector curvatura tangencial y cálculo de la curvatura normal. Sea S una super cie con parametrización ~r(u; v) y sea C una curva contenida en la super cie con parametrización natural: ~(s) = ~r(u (s) ; v (s)), con s 2 I R,! y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es, OP = ~(s). Se tiene: ~t(s) = ~ 0 (s); ~ k(s) = ~t 0 (s) = k(s)~n(s); vector curvatura de C en P: Descomponemos el vector curvatura de la siguiente manera: ~ k(s) = ~ kn (s) + ~ k g (s) donde ( ~kn (s) = ~k(s) NP ~ ~NP ; ~ kg (s) = ~ k(s) ~ kn (s): Llamamos vector curvatura normal a la proyección del vector curvatura sobre el vector curvatura normal ~ N P de la super cie; esto es, ~ kn (s) = ~k(s) ~ NP ~NP : Y llamamos vector curvatura tangencial o geodésica al vector ~ k g (s). Derivando la identidad ~t(s) ~ N P = 0 obtenemos: 0 = ~t 0 (s) ~ N P + ~t(s) d ~ N P ds = k N(s) + ~t(s) d ~ N P ds ; 18

19 donde d ~ N P =ds es la derivada del campo ~ N en el punto P en la dirección del vector ~r 0 (s); esto es, con Por tanto, d ~ N P ds = D ~ N P (~ 0 (s)) ~ 0 (s) = ~r u (u (s) ; v (s))u 0 (s) + ~r v (u (s) ; v (s))v 0 (s): k N (s) = d N ~ P ds ~t(s) = D N ~ P (~ 0 (s)) ~ 0 (s) = II P (~ 0 (s)) : Si ~ (t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 J R, es una parametrización arbitraria de la curva C, entonces, el vector ~ 0 (t) no es unitario y se veri ca la siguiente igualdad: II P ~ 0 (t) k N (t) = I P ~ 0 (t); ~ : 0 (t) Obsérvese que k N (t) sólo depende de la dirección del vector tangente a la curva en el punto P. Se puede hablar de curvatura normal a una super cie en un punto P en la dirección de un vector ~w 2 T P S; esto es, k N (~w) = II P (~w) I P (~w; ~w) : Nota. Si las coordenadas del vector ~w 2 T P S en la base f~r u (u; v); ~r v (u; v)g de T P S son (h(u; v); k(u; v)) entonces usaremos también la notación: donde h = h(u; v), k = k(u; v). k N (h; k) = II P ((h; k)) I P ((h; k)) ; 19

20 2.5 Naturaleza de los puntos de una super cie Vamos a estudiar la posición de la super cie con respecto a su plano tangente. El vector ~ k N (u; v) = k N (u; v) N ~ P tiene la dirección del vector normal a la super cie en el punto P con OP! = ~r(u; v) y su sentido depende del signo de la curvatura normal. Teniendo en cuenta la primera forma fundamental es de nida positiva, el signo de la curvatura normal depende únicamente de la segunda forma fundamental. La matriz de la segunda forma fundamental es: L M M N y su determinante es: = LN M 2. Se tiene: > 0 Entonces II P es de nida (o positiva o negativa). Por lo tanto no hay ninguna dirección en la que k N se anule (todos los autovalores de la matriz de II P tienen el mismo signo). La curvatura normal tiene signo constante en un entorno del punto P. En un entorno de P la super cie está en uno de los semiespacios que determina el plano tangente a S en P. El punto P se dice que es un punto elíptico. = 0 Y suponemos que L; M; N no se anulan simultáneamente. Por tanto, = LN M 2 = 0 nos indica que la matriz de II P tiene un autovalor = 0; esto es, existe una dirección a lo largo de la cual k N = 0. En este caso el punto de contacto de la super cie con el plano tangente se dice que es un punto parabólico. < 0 Entonces II P es inde nida. Por lo tanto la matriz de II P tiene un autovalor positivo y otro negativo; esto es, existe una dirección a lo largo de la cual k N > 0 y otra a lo largo de la cual k N < 0. El plano tangente a S en P interseca a la super cie en dos direcciones. El punto P se dice que es un punto hiperbólico. Ejemplo Clasi car los puntos del toro con parametrización: ~r : [0; 2) [0; 2)! R 3 ; ~r(; ) = ((cos + 2) cos ; (cos + 2) sin ; sin ) : 20

21 Solución. Teniendo en cuenta que la matriz de la segunda forma fundamental de S en un punto P, con OP! = ~r(; ), es: cos (cos + 2) se tiene: 1 0 = det 0 cos (cos + 2) = cos (cos + 2) : Como cos + 2 > 0, el signo de depende del signo de cos. Si 2 [0; =2) [ (3=2; 2], entonces > 0 y los puntos son elípticos. Si 2 f=2; 3=2g, entonces = 0 y los puntos son parabólicos. Si 2 (=2; 3=2) entonces < 0 y los puntos son hiperbólicos. 2.6 Curvaturas de una super cie De todas las direcciones del plano tangente a la super cie S en un punto P, es interesante determinar aquellas en las que la curvatura normal en el punto alcanza sus valores extremos Direcciones principales De nición. Se llaman direcciones principales de S en P a las direcciones del plano tangente a S en P en las que la curvatura normal toma sus valores extremos. A las curvaturas coorespondientes las denominaremos curvaturas principales. Vamos a hallar las direcciones principales de una super cie S en un punto P con curvatura normal: k N ((h; k)) = II P ((h; k)) I P ((h; k)) = Lh2 + 2Mhk + Nk 2 Eh 2 + 2F hk + Gk 2 : En las direcciones ~v = (h; k) 2 T P S principales se debe cumplir: 0 (h; k) = 2 I P ((h; k)) ((Lh + Mk) k N (Eh + F k)) ; 0 (h; k) = 2 I P ((h; k)) ((Mh + Nk) k N (F h + Gk)) : 21

22 Por tanto las direcciones principales (h; k) 2 T P S deben satisfacer el siguiente sistema de ecuaciones: (L kn E) h + (M k N F ) k = 0; (1) (M k N F ) h + (N k N G) k = 0: El sistema (1) se puede escribir de la siguiente forma: Lh + Mk = kn (Eh + F k) ; Mh + Nk = k N (F h + Gk) : Por tanto, equivalentemente, esto es, k N = Lh + Mk Eh + F k = Mh + Nk F h + Gk ; 0 = (F N GM) k 2 (GL NE) hk + (EM F L) h 2 0 = k 2 hk h 2 E F G L M N Tomando la dirección (1; = h=k) tenemos: 0 = (F N GM) 2 (GL NE) + (EM F L) : Si F N GM 6= 0, las soluciones 1 ; 2 de esta ecuación de segundo grado en nos da las dos direcciones principales: (1; 1 ), (1; 2 ). Se demuestra que los vectores (1; 1 ), (1; 2 ) son ortogonales; esto es, I P ((1; 1 ); (1; 2 )) = E + F ( ) + G 1 2 GL NE = E + F F N GM + G EM F L F N GM = 0: De nición. Un punto P 2 S se dice umbilical si las formas fundamentales en él son proporcionales; equivalentemente, si k N = L E = M F = N G : En los puntos umbilicales todas las direcciones se pueden considerar principales. Un caso particular de punto umbilical es un punto plano, en el que se anula la segunda forma fundamental y, por tanto, k N = 0 en cualquier dirección. 22

23 2.6.2 Curvaturas principales Vamos a hallar las curvaturas principales de una super cie S en un punto P. Tomando la dirección (1; ) la ecuación se escribe: k N (h; k) = Lh + Mk Eh + F k k N (1; ) = L + M E + F = M + N F + G () y eliminando en el sistema anterior obtenemos: esto es, E F = Mh + Nk F h + Gk ; (L + M) kn (E + F ) = 0 (M + N) k N (F + G) = 0 EG F 2 k 2 N (EN + GL 2F M) k N + LN M 2 = 0 F G k2 N E F M N + L M F G k N + L M M N = 0 cuyas soluciones k 1, k 2 son las curvaturas principales. El discriminante de la ecuación anterior es siempre mayor o igual que cero, y por tanto, las soluciones de dicha ecuación siempre son reales Curvatura de Gauss y curvatura media De nición. Se denomina curvatura de Gauss o total de una super cie S en un punto P 2 S al producto de las curvaturas principales; esto es, K = k 1 k 2 = LN M 2 EG F 2 : Teniendo en cuenta EG F 2 > 0 se deduce que el signo de la curvatura total depende del signo de LN M 2. Se tiene: 1. Un punto P de la super cie es elíptico si y sólo si K > Un punto P de la super cie es parabólico si y sólo si K = Un punto P de la super cie es hiperbólico si y sólo si K < 0. De nición. Se denomina curvatura media de una super cie S en un punto P 2 S a la media aritmética de las curvaturas principales; esto es, k m = k 1 + k 2 2 = 1 EN + GL 2F M : 2 EG F 2 23

24 Ejemplo Se considera la siguiente parametrización del toro: ~r : [0; 2) [0; 2)! R 3 ; ~r(; ) = ((cos + 2) cos ; (cos + 2) sin ; sin ) : Se pide: 1. Curvatura normal en el punto P de coordenadas (2; 0; 1). 2. Direcciones principales en el punto P. 3. Curvaturas principales en el punto P. 4. Curvatura de Gauss en el punto P. 5. Curvatura media en el punto P. Solución. El punto P se alcanza para los valores de los parámetros = =2 y = 0. Tenemos: y ~r (; ) = ( sin cos ; sin sin ; cos ) ; ~r (; ) = ( (cos + 2) sin ; (cos + 2) cos ; 0) ; ~N(; ) = ~r (; ) ^ ~r (; ) k~r (; ) ^ ~r (; )k Por tanto, y E(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 1; F (; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 0; = ( cos cos ; cos sin ; sin ) : G(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = (cos + 2) 2 ; L(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 1; M(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 0; N(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = cos (cos + 2) : 24

25 Por tanto, la matriz de la primera forma fundamental de S en un punto P es: E (=2; 0) F (=2; 0) 1 0 = F (=2; 0) G (=2; 0) 0 4 y la matriz de la segunda forma fundamental de S en un punto P es: L (=2; 0) M (=2; 0) 1 0 = : M (=2; 0) N (=2; 0) 0 0 La curvatura normal en la dirección del vector ~w 2 T P S con coordenadas (h; k) es: k N (h; k) = II P (h; k) I P (h; k) = h 2 h 2 + 4k : 2 Las direcciones principales (1; ) en P son las soluciones de la ecuación: 0 = = 4 =) = 0. Si tomamos el vector de coordenadas (; 1), entonces la ecuación se escribe: = = 4 =) = Por tanto, las direcciones principales son las de los vectores de coordenadas (1; 0) y (0; 1). Las curvaturas principales son: k N (1; 0) = II P (1; 0) I P (1; 0) = 1; k N (0; 1) = II P (0; 1) I P (0; 1) = 0: Si consideramos la ecuación de las curvaturas principales: k2 N k N = 0 obtenemos: 4 (k N 1) k N = 0 =) kn = 1 k N = 0 La curvatura de Gauss es el producto de las curvaturas principales: k 1 k 2 = 0 y la curvatura media es (k 1 + k 2 ) =2 = 1=2. 25

26 2.7 Líneas de curvatura y líneas asintóticas De nición. Una curva C contenida en una super cie S se denomina línea de curvatura si la dirección del vector tangente en cada uno de sus puntos coincide con la dirección principal en ese punto. Véase el siguiente grá co en el que se muestran las líneas de curvatura en el punto (0; 0; 0) de la super cie con ecuación z = x 2 y 2 : Sea S una super cie con parametrización ~r(u; v) y sea C una curva contenida en la super cie con parametrización: ~(t) = ~r(u (t) ; v (t)), con t 2 I R,! y sea P un punto arbitrario de la curva; esto es, OP = ~(t). La curva C es una línea de curvatura si las coordenadas (u 0 (t) ; v 0 (t)) del vector ~ 0 (t) en la base f~r u (u (t) ; v (t)), ~r v (u (t) ; v (t))g de T P S son solución de la siguiente ecuación diferencial: 0 = (F N GM) (v 0 (t)) 2 (GL NE) u 0 (t) v 0 (t) + (EM F L) (u 0 (t)) 2 esto es, 0 = (v 0 (t)) 2 u 0 (t) v 0 (t) (u 0 (t)) 2 E F G L M N De nición. Una dirección se denomina asintótica respecto a un punto P de S si se anula en ella la segunda forma fundamental en P ; esto es, la dirección del vector ~w = (h; k) es asintótica si II P (h; k) = 0: 26

27 De nición. Una curva C contenida en una super cie S se denomina línea asintótica si la dirección del vector tangente en cada uno de sus puntos coincide con una dirección asintótica. La curva C es una línea asintótica si las coordenadas (u 0 (t) ; v 0 (t)) del vector ~ 0 (t) en la base f~r u (u (t) ; v (t)), ~r v (u (t) ; v (t))g de T P S son solución de la siguiente ecuación diferencial: 0 = L (u 0 (t)) 2 + 2Mu 0 (t)v 0 (t) + N (v 0 (t)) 2 : Ejemplo Se considera la super cie con parametrización: ~r : R 2! R 3 ; ~r(u; v) = u; v; u 2 v 2 : Se pide: 1. Clasi car los puntos de la super cie. 2. Curvatura normal y curvaturas principales en el punto P de coordenadas (0; 0; 0). 3. Líneas de curvatura en el punto P. 4. Líneas asintóticas en el punto P. Solución. Tenemos: ~r u (u; v) = (1; 0; 2u) ; ~r v (u; v) = (0; 1; 2v) ; ~N(u; v) = ~r u(u; v) ^ ~r u (u; v) k~r u (u; v) ^ ~r u (u; v)k = 1 p 4u2 + 4v ~r uu (u; v) = (0; 0; 2) ; ~r uv (u; v) = (0; 0; 0) ; ~r vv (u; v) = (0; 0; 2) : ( 2u; 2v; 1) 27

28 Por tanto, E(u; v) = ~r u (u; v) ~r u (u; v) = 1 + 4u 2 ; F (u; v) = ~r u (u; v) ~r v (u; v) = 4uv; G(u; v) = ~r v (u; v) ~r v (u; v) = 1 + 4v 2 ; L(u; v) = ~r uu (u; v) N(u; ~ 2 v) = p 4u2 + 4v ; M(u; v) = ~r uv (u; v) N(u; ~ v) = 0; N(u; v) = ~r vv (u; v) N(u; ~ 2 v) = p 4u2 + 4v : La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de la super cie es: 1 + 4u 2 4uv 4uv 1 + 4v 2 : La matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P de la super cie es:! p 2 4u v 2 +1 : 0 2 p 4u 2 +4v 2 +1 El determinante L(u; v)n(u; v) M(u; v) 2 < 0, por tanto, todos los puntos de la super cie son puntos hiperbólicos. La curvatura normal en el punto P = ~r(0; 0) en la dirección de un vector (h; k) es: k N (h; k) = 2h2 2k 2 h 2 + k 2 Si suponemos (h; k) = (cos ; sin ) tenemos: k N (cos ; sin ) = 2 cos 2 sin 2 = 2 cos 2: Por tanto, k N toma el valor máximo 2 para = 0;, en la dirección de los vectores (1; 0) y ( 1; 0), y k N toma el valor mínimo 2 para = =2; 3=2, en la dirección de los vectores (0; 1) y (0; 1). Para 2 ( =4; =4) [ (3=4; 5=4), la curvatura normal es positiva. Para 2 (=4; 3=4) [ (5=4; 7=4), la curvatura normal es negativa. Para = =4; 3=4, la curvatura normal es cero. Por tanto, las direcciones asintóticas son: (cos =4; sin =4) = ( p 2=2; p 2=2); p p (cos 3=4; sin 3=4) = ( 2=2; 2=2): 28

29 La ecuación diferencial de las líneas de curvatura en P es: (v 0 (t)) 2 u 0 (t)v 0 (t) (u 0 (t)) 2 0 = = 4u0 (t)v 0 (t) Esto es, u 0 (t) = 0 ó v 0 (t) = 0. Por tanto, las líneas de curvatura son u(t) = u 0 ó v(t) = v 0, con u 0 y v 0 constantes. Como estamos en el punto P = ~r(0; 0), tenemos u(0) = 0 y v(0) = 0, por tanto, las líneas de curvatura son: ~r(0; v) = 0; v; v 2 ; ~r(u; 0) = u; 0; u 2 : La ecuación diferencial de las líneas asintóticas en P es: 0 = 2 (u 0 (t)) 2 2 (v 0 (t)) 2 =) 0 = u 0 (t) + v 0 (t) ó 0 = u 0 (t) v 0 (t) Integrando obtenemos: u(t) = v(t) + k. Como u(0) = v(0) = 0, se tiene: u = v. Las líneas asintóticas son: 2.8 Indicatriz de Dupin ~r(u; u) = (u; u; 0) ~r(u; u) = (u; u; 0) Vamos a estudiar la curvatura normal de una super cie en un punto P de la super cie. Supongamos que en un entorno del punto P tenemos una parametrización de Monge de la super cie de la forma: ~r(u; v) = (u; v; f(u; v)) ; con f u (u; v) = f v (u; v) = 0. En este caso se tiene: ~r u (u; v) = (1; 0; 0) ; ~r v (u; v) = (0; 1; 0) ; ~N(u; v) = (0; 0; 1) : Estamos suponiendo que la super cie está situada de manera que el punto P sea el origen de coordenadas y el plano tangente a la super cie en el punto P sea el plano z = 0. Se tiene: E = 1;, F = 0, G = 0 y k N (h; k) = Lh2 + 2Mhk + Nk 2 h 2 + k 2 : 29

30 Tomamos h 2 + k 2 = 1 (la curvatura normal sobre un vector unitario); esto es, h = cos, k = sin, entonces: k N () = L cos 2 + 2M cos sin + N sin 2 : Tomamos jk N ()j = 1=r 2 x 1 = r cos, x 2 = r sin, entonces: 1 = Lx Mx 1 x 2 + Nx 2 2: La ecuación anterior determina una sección cónica en el plano tangente que se denomina Indicatriz de Dupin. Si P es elíptico (LN M 2 > 0), la indicatriz es una elipse. Si P es hiperbólico (LN M 2 < 0), la indicatriz consiste en un par de hipérbolas conjugadas. A lo largo de una de las hipérbolas k N > 0 y a lo largo de la otra k N < 0. Las asíntotas de las hipérbolas corresponden a las direcciones en las que k N = 0. Si P es parabólico (LN M 2 = 0, L 2 + M 2 + N 2 6= 0), la indicatriz es un par de rectas paralelas. Si la indicatriz existe y no es una circunferencia, entonces k N toma sus valores extremos en dos direcciones ortogonales que son las direcciones de los ejes de la indicatriz. En los puntos elípticos en los que k N = constante 6= 0, todas las direcciones se dicen principales. En los puntos planos k N = 0, también todas las direcciones son principales. Ejemplo 1 Vamos a calcular la curvatura normal de la esfera de radio r y centrada en el origen; esto es, la esfera de ecuación cartesiana: x 2 + y 2 + z 2 = r 2 : Podemos considerar la siguiente parametrización: Se tiene: ~r : [0; 2) (0; )! R 3 ; ~r(; ) = (a cos sin ; a sin sin ; a cos ) : ~r (; ) = ( a sin sin ; a cos sin ; 0) ; ~r (; ) = (a cos cos ; a sin cos ; a sin ) ; 30

31 y ~r (; ) ^ ~r (; ) = a 2 cos sin 2 ; a 2 sin sin 2 ; a 2 sin cos ; k~r (; ) ^ ~r (; )k 2 = a 4 cos 2 sin 4 + a 4 sin 2 sin 4 + a 4 sin 2 cos 2 Por tanto, Y ~N(; ) = ~r (; ) ^ ~r (; ) k~r (; ) ^ ~r (; )k luego = a 4 sin 4 cos 2 + sin 2 + a 4 sin 2 cos 2 = a 4 sin 4 + a 4 sin 2 cos 2 = a 4 sin 2 sin 2 + cos 2 = a 4 sin 2 ; = ( cos sin ; sin sin ; cos ) : ~r (; ) = ( a cos sin ; a sin sin ; 0) ; ~r (; ) = ( a sin cos ; a cos cos ; 0) ; ~r (; ) = ( a cos sin ; a sin sin ; a cos ) ; E(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = a 2 sin 2 sin 2 + a 2 cos 2 sin 2 = a 2 sin 2 ; F (; ) = ~r (; ) ~r (; ) = 0; G(; ) = ~r (; ) ~r (; ) = a 2 cos 2 cos 2 + a 2 sin 2 cos 2 + a 2 sin 2 = a 2 ; L(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = a cos 2 sin 2 + a sin 2 sin 2 = a sin 2 ; M(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = 0; N(; ) = ~r (; ) ~ N(; ) = a cos 2 sin 2 + a sin 2 sin 2 + a cos 2 Por tanto, = a sin 2 + a cos 2 = a: k N ((h; k)) = Lh2 + 2Mhk + Nk 2 Eh 2 + 2F hk + Gk 2 = a sin2 h 2 + ak 2 a 2 sin 2 h 2 + a 2 k 2 = 1 a : Luego la curvatura normal es constante en cada punto de la super cie y en cada dirección del plano tangente. La indicatriz de Dupin en cada punto de la esfera es: a 2 = x 2 + y 2 : 31

32 Ejemplo 2 Vamos a hallar la indicatriz de Dupin de la super cie con ecuación cartesiana z = x 2 y 2 en el punto P de coordenadas (0; 0; 0). La super cie es: Una parametrización de dicha super cie es: ~r(u; v) = u; v; u 2 v 2 que es una parametrización de Monge con f(u; v) = u 2 v 2. Tenemos: En el punto P tenemos E(u; v) = ~r u (u; v) ~r u (u; v) = 1 + 4u 2 ; F (u; v) = ~r u (u; v) ~r v (u; v) = 4uv; G(u; v) = ~r v (u; v) ~r v (u; v) = 1 + 4v 2 ; L(u; v) = ~r uu (u; v) N(u; ~ 2 v) = p 4u2 + 4v ; M(u; v) = ~r uv (u; v) N(u; ~ v) = 0; N(u; v) = ~r vv (u; v) N(u; ~ 2 v) = p 4u2 + 4v : E(0; 0) = 1; F (0; 0) = 0; G(0; 0) = 1; L(0; 0) = 2; M(0; 0) = 0; N(0; 0) = 2: 32

33 Por tanto, k N () = 2 cos2 2 sin 2 cos 2 + sin 2 = 2 cos 2 2 sin 2 : Tomando jk N () j = 1=r 2 y x = r cos y y = r sin entonces la ecuación anterior se escribe: 1 = 2x 2 2y 2 : Luego la indicatriz de Dupin es el par de hipérbolas de ecuaciones 1 = 2x 2 2y 2 y 1 = 2x 2 2y 2. El valor máximo de la curvatura es k 1 = 2 y se alcanza en la dirección (cos 0; sin 0) = (1; 0) y el valor mínimo de la curvatura es k 2 = 2 y se alcanza en la dirección (cos =2; sin =2) = (0; 1). Las direcciones asintóticas de la super cie en el punto P son las direcciones de las asíntotas de la indicatriz de Dupin; esto es, las direcciones de las rectas de ecuaciones x = y y x = y. Las líneas asintóticas de la super cie en el punto P son: 2.9 Fórmula de Euler ~r(u; u) = (u; u; 0) ; ~r(u; u) = (u; u; 0) : Vamos a expresar la curvatura normal en una dirección que forme un ángulo con respecto a una de las direcciones principales en función de ese ángulo y de las curvaturas principales. Consideramos una representación paramétrica regular en las que las líneas de curvatura sean las líneas paramétricas; esto es, ~r(u 0 ; v) y ~r(u; v 0 ) son las líneas de curvatura en el punto ~r(u 0 ; v 0 ). Por tanto, las direcciones (1; 0), (0; 1) son las direcciones principales. Y las curvaturas principales son: k 1 = II P ((1; 0)) I P ((1; 0)) = L E ; k 1 = II P ((0; 1)) II P ((0; 1)) = N G : El coe ciente F = 0 es cero pues las líneas de curvatura son ortogonales. La ecuación de las direcciones principales es: (v 0 (t)) 2 u 0 (t)v 0 (t) (u 0 (t)) 2 0 = E F G L M N : 33

34 Como (1; 0) es una dirección principal y F = 0, se tiene: = E 0 G L M N = EM y como (0; 1) es una dirección principal y F = 0, se tiene: = E 0 G L M N = GM Como GE 6= 0 pues la primera forma fundamental es de nida positiva, entonces de las dos ecuaciones anteriores se deduce: M = 0. Por tanto, la curvatura normal en la dirección de un vector (h; k) es: k N (h; k) = II P ((h; k)) I P ((h; k)) = Lh2 + Nk 2 Eh 2 + Gk 2 = L E Eh 2 Eh 2 + Gk + N Gk 2 2 G Eh 2 + Gk 2 y teniendo en cuenta que el ángulo que forma el el vector (h; k) y el vector (1; 0) satisface: se deduce: cos 2 = I P ((h; k); (1; 0)) I P ((h; k)) I P ((1; 0)) = Eh 2 Eh 2 + Gk 2 ; sin 2 = 1 cos 2 = que es la fórmula de Euler. Gk 2 Eh 2 + Gk 2 ; k N (h; k) = k 1 cos 2 + k 2 sin 2 3 Super cies regladas De nición. Una super cie S se dice reglada si por cada punto P 2 S existe una recta contenida en la super cie y que contiene al punto P. Toda super cie reglada S puede venir determinada por una curva C y un vector ~w P asociado a cada punto P de la curva. La super cie está formada 34

35 por las rectas r P, con P 2 C, que contienen al punto P y tienen vector director ~w P. Por tanto, un punto X de la super cie satisface:! OX = OP! + t~w P con P 2 C, t 2 R: Si consideramos una parametrización ~(u), u 2 I, de la curva C, un punto arbitrario X de la recta que contiene al punto P 2 C con OP! = ~(u 0 ) y tiene la dirección del vector ~w P se escribe de la siguiente forma:! OX = ~(u 0 ) + t~w P ; t 2 R: Por tanto, una parametrización de la super cie es la siguiente: ~r(u; t) = ~(u) + t~w(u); (u; t) 2 I R: Para cada u 0 2 I obtenemos una recta con parametrización: ~r(u 0 ; t) = ~(u 0 ) + t~w(u 0 ); t 2 R: A dicha recta la llamamos generatriz de la super cie reglada. Para cada t 0 2 R obtenemos una curva con parametrización: ~r(u; t 0 ) = ~(u) + t 0 ~w(u); u 2 I: A dicha curva la llamamos directriz de la super cie reglada. Ejemplo Vamos a obtener una representación paramétrica regular de la super cie formada por las rectas que se apoyan en la elipse de ecuaciones cartesianas: 4x 2 + 2y 2 = 3, z = 0 y que son paralelas a la recta de ecuaciones x + y + z = 1 y x 2y = 0. Una parametrización de la elipse es: p3 ~(s) = cos s; p p sin s; 0 ; s 2 [0; 2): La recta de ecuaciones x+y +z = 1 y x 2y = 0 tiene la dirección del vector ~w = (2; 1; 3). Por tanto, una parametrización de dicha super cie es: ~r(s; t) = ~(s) + t~w p3 = cos s; p p sin s; 0 + t (2; 1; 3) = 2t + p 3 cos s; t + p p3 2 2 sin s; 3t ; (s; t) 2 [0; 2) R: 35

36 La ecuación implícita de la super cie es: 4(x z)2 + (y z)2 = 3: De nición. Una super cie reglada S se dice desarrollable, si el plano tangente a la super cie en cada punto de una generatriz es el mismo. En caso contrario se dice que la super cie S no es desarrollable. De nición. Una super cie reglada S se dice que es cónica si todas sus generatrices contienen a un mismo punto Q al que se denomina vértice de la super cie. Una parametrización de una super cie cónica con vértice Q es: ~r(u; t) = OQ!! + t ~(u) OQ ; (u; t) 2 D R 2 ; siendo ~(u) una parametrización de una curva C contenida en la super cie. Las generatrices de dicha super cie tienen la dirección del vector ~w(u) =! ~(u) OQ. Se tiene: ~w 0 (u) = ~ 0 (u). De nición. Una super cie reglada S se dice que es cilíndrica si el vector asociado a cada punto P de la super cie es proporcional a un vector jo ~w. Una parametrización de una super cie cilíndrica es: ~r(u; t) = ~(u) + t~w; (u; t) 2 D R 2 ; siendo ~(u) una parametrización de una curva C contenida en la super cie. Se tiene: ~w 0 = ~0. De nición. Una super cie reglada S se dice que es desarrollable tangencial si cada punto de la curva directriz C con representación paramétrica ~(u) tiene asociado el vector tangente a la curva en dicho punto. Una parametrización de una super cie desarrollable tangencial es: ~r(u; t) = ~(u) + t~ 0 (u); (u; t) 2 D R 2 ; siendo ~(u) una parametrización de la curva directriz C. 3.1 Curvatura total de las super cies regladas Vamos a comprobar que la curvatura de Gauss o total de una super cie reglada es siempre menor o igual que cero. 36

37 Sea S una super cie reglada con parametrización: ~r(u; t) = ~(u) + t~w(u); (u; t) 2 D: Supongamos además que todos los puntos de la super cie son regulares; esto es, ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) 6= ~0, para todo (u; t) 2 D. Se tiene: ~r u (u; t) = ~ 0 (u) + t~w 0 (u); ~r t (u; t) = ~w(u); ~N(u; t) = 1 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k ~r u(u; t) ^ ~r t (u; t) = 1 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k (~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u); ~r uu (u; t) = ~ 00 (u) + t~w 00 (u); ~r ut (u; t) = ~w 0 (u); ~r tt (u; t) = ~0: Por tanto, el determinante de la matriz de la segunda forma fundamental en un punto arbitrario P con OP! = ~r(u; t) es: ~r uu(u; t) N(u; ~ t) ~r ut (u; t) N(u; ~ t) ~r ut (u; t) N(u; ~ t) ~0 N(u; ~ t) ~r = ut (u; t) N(u; ~ 2 t) 0: Teniendo en cuenta las expresiones de ~r ut (u; t) y ~ N(u; t) obtenemos: ~r ut (u; t) N(u; ~ t) = ~w 0 1 (u) k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k ((~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u)) = 1 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k [~w 0 (u); ~ 0 (u) + t~w 0 (u); ~w(u)] = 1 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k [~w 0 (u); ~ 0 (u); ~w(u)] : Por tanto, ~r uu(u; t) N(u; ~ t) ~r ut (u; t) N(u; ~ t) ~r ut (u; t) N(u; ~ t) ~0 N(u; ~ t) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] 2 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 : Teniendo en cuenta E(u; t) F (u; t) det F (u; t) G(u; t) L(u; t) M(u; t) det M(u; t) N(u; t) = k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 ; = 37 [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] 2 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 ;

38 la curvatura total de una super cie reglada es: K T (u; t) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] 2 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 4 0: Por tanto, los puntos de las super cies regladas son hiperbólicos, parabólicos o planos. Llamamos parámetro de distribución y lo denotamos p(u) al valor del producto mixto: p(u) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] : Si p(u) = 0 entonces K T (u; t) = 0 y el punto P con OP! = ~r(u; t) es un punto parabólico o plano. Una de las curvaturas principales es cero y por tanto, las líneas asintóticas son líneas de curvatura. Si p(u) 6= 0 entonces K T (u; t) < 0 y el punto P con OP! = ~r(u; t) es un punto hiperbólico. Una de las curvaturas principales es negativa y la otra es positiva. 3.2 Clasi cación de las super cies regladas 1. Si p(u) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] = 0 para todo valor del parámetro u la super cie es desarrollable. Se tienen los siguientes casos: (a) Si ~w 0 (u) = ~0 entonces ~w(u) = ~w es un vector constante y la super cie es una super cie cilíndrica. En este caso, se tiene: ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) = (~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u) = ~ 0 (u) ^ ~w: Si ~ 0 (u) ^ ~w 6= ~0 (esto es, los vectores ~ 0 (u) y ~w no son paralelos) entonces el vector normal es ~N(u; t) = ~r u(u; t) ^ ~r t (u; t) k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k = ~ 0 (u) ^ ~w k~ 0 (u) ^ ~wk : Nótese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que no depende del parámetro t. 38

39 (b) Si ~ 0 (u) = ~0 entonces ~(u) es constante; esto es, consiste en un único punto. La super cie es una super cie cónica. En este caso, se tiene: ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) = (~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u) = t~w 0 (u) ^ ~w(u): Si ~w 0 (u) ^ ~w(u) 6= ~0 (esto es, los vectores ~w 0 (u) y ~w(u) no son paralelos) entonces el vector normal es ~N(u; t) = t~w 0 (u) ^ ~w(u) kt~w 0 (u) ^ ~w(u)k = ~w 0 (u) ^ ~w(u) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k : Nótese que es constante a lo largo de cada generatriz ya que no depende del parámetro t. (c) Si ~w 0 (u) 6= ~0, ~ 0 (u) 6= ~0 entonces la condición p(u) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] = 0 nos indica que los vectores ~w 0 (u), ~ 0 (u) y ~w(u) son coplanarios. Se tiene: ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) = ~ 0 (u) ^ ~w(u) + t~w 0 (u) ^ ~w(u): Como ~w 0 (u), ~ 0 (u) y ~w(u) son coplanarios los vectores ~ 0 (u) ^ ~w(u) y ~w 0 (u) ^ ~w(u) son paralelos y por tanto, ~r u (u; t) ^~r t (u; t) es proporcional al vector ~w 0 (u)^ ~w(u) que no depende del parámetro t. Luego, el plano tangente es el mismo en todos los puntos de la generatriz. Veremos más adelante que en este caso la super cie es una super cie desarrollable tangencial. 2. Si p(u) 6= 0 para todo valor del parámetro u la super cie es no desarrollable o alabeada. 3.3 Puntos singulares de una super cie reglada Los puntos singulares de una super cie con parametrización ~r(u; t) = ~(u) + t~w(u) son aquellos puntos P con OP! = ~r(u; t), que veri can: ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) = (~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u) = ~0: 39

40 Vamos a hallar los valores del parámetro t para los cuales se cumple la condición anterior. Para ello, multiplicamos escalarmente la expresión anterior por ~w 0 (u) ^ ~w(u), suponiendo ~w 0 (u) ^ ~w(u) 6= ~0. Se tiene: 0 = (~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) = ((~ 0 (u) + t~w 0 (u)) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) = (~ 0 (u) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) + t k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ; de donde, se obtiene: t = (~ 0 (u) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ; Por tanto, los puntos singulares de la super cie se encuentran en la curva con parametrización: ~ (u) = ~(u) (~ 0 (u) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ~w(u); que llamamos línea de estricción. Llamamos puntos centrales a los puntos regulares de la línea de estricción. Nótese que en la línea de estricción además de los puntos singulares se encuentran los puntos de la super cie tales que el vector ~w 0 (u) ^ ~w(u) es ortogonal al vector ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) Puntos centrales Veamos que en una super cie reglada no desarrollable la curvatura de Gauss alcanza su valor máximo en los puntos centrales. Supongamos p(u) 6= 0, teniendo en cuenta la expresión de la curvatura de Gauss: K T (u; t) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] 2 k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 4 < 0; se deduce que el valor absoluto de la curvatura de Gauss, jk T (u; t)j, es máximo cuando el valor de k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 es mínimo. Llamamos ~v(u; t) = ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t). Teniendo en cuenta la siguiente expresión: ~r u (u; t) ^ ~r t (u; t) = ~ 0 (u) ^ ~w(u) + t~w 0 (u) ^ ~w(u); 40

41 se tiene: 0 = d dt k~r u(u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 = d dt (~v(u; t) ~v(u; t)) = 2 d ~v(u; t) ~v(u; t) dt = 2 (~w 0 (u) ^ ~w(u)) (~ 0 (u) ^ ~w(u) + t~w 0 (u) ^ ~w(u)) = 2 (~w 0 (u) ^ ~w(u)) (~ 0 (u) ^ ~w(u)) + t k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 : Por tanto, el valor máximo de k~r u (u; t) ^ ~r t (u; t)k 2 se alcanza para el siguiente valor de t: t = (~w 0 (u) ^ ~w(u)) (~ 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ; que coincide con el valor del parámetro t de los puntos centrales de la super- cie. Por tanto, en los puntos centrales el valor absoluto de la curvatura de Gauss es máximo Arista de retroceso Si la super cie es desarrollable entonces los vectores ~ 0 (u), ~w(u), ~w 0 (u) son coplanarios y el vector ~w 0 (u)^ ~w(u) no es ortogonal al vector ~r u (u; t)^~r t (u; t). Por tanto, todos los puntos de la línea de estricción son puntos singulares y en este caso, a la curva con parametrización: ~ (u) = ~(u) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) (~ 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ~w(u); la llamaremos arista de retroceso. A lo largo de la arista de retroceso la super cie se desdobla en dos hojas. Como ~w 0 (u), ~ 0 (u) y ~w(u) son coplanarios, el vector ~ 0 (u) se puede escribir como combinación lineal de los vectores ~w 0 (u) y ~w(u): Por tanto, ~ 0 (u) = (u)~w(u) + (u)~w 0 (u): ~ 0 (u) ^ ~w(u) = ((u)~w(u) + (u)~w 0 (u)) ^ ~w(u) = (u)~w 0 (u) ^ ~w(u): 41

42 Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector ~w 0 (u) ^ ~w(u) obtenemos: de donde (~ 0 (u) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) = (u) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ; (u) = (~ 0 (u) ^ ~w(u)) (~w 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 ; y la arista de retroceso se puede parametrizar como sigue: ~ (u) = ~(u) (u)~w(u): Por tanto, ~(u) = ~ (u) + (u)~w(u) y podemos parametrizar la super cie en función de la arista de restroceso como sigue: ~r(u; t) = ~ (u) + (u)~w(u) + t~w(u) = ~ (u) + ((u) + t) ~w(u): Derivando ~ (u) = ~(u) (u)~w 0 (u), se tiene: (u)~w(u) y teniendo en cuenta ~ 0 (u) = (u)~w(u)+ Por tanto: ~ 0 (u) = ~ 0 (u) 0 (u)~w(u) (u)~w 0 (u) = (u)~w(u) + (u)~w 0 (u) 0 (u)~w(u) (u)~w 0 (u) = ((u) 0 (u)) ~w(u): 1. Si (u) = 0 (u) entonces ~ 0 (u) = ~0 y la super cie es una super cie cónica. 2. Si (u) 6= 0 (u), el vector ~w(u) es proporcional a ~ 0 (u) y a super cie es una super ce desarrollable tangencial y puede parametrizarse como sigue: ~r(u; t) = ~ (u) + en función de su arista de retroceso. t (u) 0 (u) ~ 0 (u); (u; t) 2 I R; 42

43 3.4 Ejemplos y ejercicios Ejemplo 1 Dar una parametrización de la super cie engendrada por las rectas tangentes a la curva ~(u) = (e u ; e u ; u). El vector director de la recta generatriz que se apoya en el punto ~(u) de la curva directriz es: ~ 0 (u) = (e u ; e u ; 1): Por tanto, una parametrización de la super cie es: ~r(u; t) = ~(u) + t~ 0 (u) = (e u + te u ; e u te u ; u + t): Dicha super cie es una super cie desarrollable tangencial con arista de retroceso ~(u). Ejemplo 2 Vamos a clasi car la super cie con parametrización: ~r(u; v) = u + v cos u; u 2 + v sin u; u 3 : La parametrización anterior es lineal en el parámetro v. podemos escribir como sigue: con Tenemos: ~r(u; v) = u; u 2 ; u 3 + v (cos u; sin u; 0) = ~(u) + v ~w(u); ~(u) = u; u 2 ; u 3 ; ~w(u) = (cos u; sin u; 0) : ~ 0 (u) = 1; 2u; 3u 2 ; ~w 0 (u) = ( sin u; cos u; 0) : Por tanto, el parámetro de distribución es: p(u) = [~ 0 (u); ~w(u); ~w 0 (u)] 0 1 2u 3u 2 1 = cos u sin u 0 A sin u cos u 0 = 3u 2 6= 0 si u 6= Por tanto, la

44 La super cie es una super cie alabeada. Los puntos singulares de la super cie son los que satisfacen la siguiente condición: ~0 = ~r u (u; v) ^ ~r v (u; v) = 1 v sin u; 2u + v cos u; 3u 2 ^ (cos u; sin u; 0) = 3u 2 sin u; 3u 2 cos u; sin u 2u cos u v ; esto es, 8 < : 0 = u 2 sin u; 0 = u 2 cos u; 0 = sin u 2u cos u v; El único punto singular de la super cie es el punto ~r(0; 0) = (0; 0; 0) : =) u = 0 y v = 0: Los puntos centrales de la super cie se alcanzan en el siguiente valor del parámetro v: v = (~w 0 (u) ^ ~w(u)) (~ 0 (u) ^ ~w(u)) k~w 0 (u) ^ ~w(u)k 2 : Teniendo en cuenta: obtenemos: ~ 0 (u) ^ ~w(u) = 1; 2u; 3u 2 ^ (cos u; sin u; 0) = ( 3u 2 sin u; 3u 2 cos u; sin u 2u cos u); ~w 0 (u) ^ ~w(u) = ( sin u; cos u; 0) ^ (cos u; sin u; 0) = (0; 0; 1); v = sin u 2u cos u; y una paraetrización de la línea de estricción es: ~ (u) = ~(u) (sin u 2u cos u) ~w(u) = u; u 2 ; u 3 (sin u 2u cos u) (cos u; sin u; 0) = u (sin u 2u cos u) cos u; u 2 (sin u 2u cos u) sin u; u 3 : Dicha curva contiene al punto singular y a los puntos centrales. 44

45 Ejemplo 3 Obtener una parametrización de la super cie formada por segmentos que se apoyan en el arco de circunferencia x 2 + y 2 = 1, z = 0, del primer octante y el segmento de la recta x + y = 1, z = 0 del primer octante. Primero vamos a obtener parametrizaciones del arco de circunferencia y del segmento respectivamente. El arco de circunferencia lo parametrizamos como sigue: 1 : [0; =2]! R 3 ; 1 () = (cos ; sin ; 0): Parametrizamos el segmento con el mismo parámetro con el que hemos parametrizado el arco de circunferencia. Teniendo en cuenta el siguiente dibujo: obtenemos: 1 1 r = cos + sin ; por tanto, podemos parametrizar el segmento como sigue: 2 : [0; =2]! R 3 ; cos 2 () = cos + sin ; 1 cos cos + sin ; 4 : Consideramos ahora el vector director de la recta que se apoya en el arco de circunferencia y en el segmento: w() = 2 () 1 () cos = cos + sin cos ; 1 cos cos + sin Por tanto, una parametrización de la super cie considerada es: ~r(; t) = 1 () + tw() cos = (cos ; sin ; 0) + t cos + sin con 2 [0; =2] y t 2 [0; 1]. 45 cos ; 1 sin ; 4 : cos cos + sin sin ; 4 ;

46 Ejercicio 1 Parametrizar la super cie formada por rectas forman un ángulo de 45 o con el eje OZ y que se apoyan en la elipse de ecuaciones x 2 + y2 = 1, z = 0 y en la circunferencia contenida en el plano z = 20, de 4 3 ecuación x 2 + y 2 = 1. Véase la siguiente gura: Ejercicio 2 Parametrizar la super cie formada por rectas que se apoyan en el segmento de ecuación x+y = 1, contenido en el plano z = 4, y en el arco de circunferencia del primer cuadrante del plano z = 0, de la circunferencia centrada en el origen y de radio unidad Véase la siguiente gura: 46