I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO

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1 I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO Año lectivo 2016 Profesorado de Educación Superior en Matemática Campo: CFE Instancia curricular: Algebra y Geometría II Nº de código: - Modalidad: materia Duración: anual Turno: mañana Carga horaria: 6 horas cátedra semanales Profesor/a: Augusto Spela 1

2 Fundamentación: Si bien insertada en el bloque algebraico del plan de estudios, esta asignatura tiene la particularidad de manifestarse en dos espacios de formación: uno algebraico contemplando contenidos de Álgebra lineal, y otro geométrico, estudiando la Geometría analítica. El Álgebra Lineal aparece actualmente en la curricula del nivel superior en una gran variedad de carreras. Su carácter fundamental para el desarrollo de diversas ramas de la matemática y sus respectivas aplicaciones técnicas, han hecho de los cursos de Álgebra Lineal un trayecto obligado en la formación de científicos, ingenieros, técnicos y docentes en un gran número de especializaciones. Este mismo carácter fundamental es la causa de la diversidad de formas y orientaciones que asumen estos cursos. Cabe entonces preguntarnos qué tipo de orientación debería tener un curso de Álgebra Lineal destinado a los futuros profesores de Matemática y Física. El estudio de la Geometría Analítica constituye un soporte importante para el Álgebra Lineal. Permite proporcionar imágenes de ciertos conceptos vectoriales: subespacios, combinaciones lineales, conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, etc. La práctica de la geometría cartesiana, en particular la búsqueda de lugares geométricos y la doble representación de algunos objetos geométricos mediante ecuaciones o por parametrización, favorece la comprensión de la representación cartesiana y paramétrica de los subespacios. Creemos que una adecuada articulación de ambos espacios puede lograrse siguiendo el hilo conductor de la geometría, como una guía para visitar los distintos tópicos algebraicos. Esperamos que esto les dé a los futuros docentes un amplio marco de referencia que les permita discriminar qué conceptos de un determinado tema son centrales, cuáles son accesorios, y qué relaciones existen entre el tema enseñado y otros contenidos de la disciplina. No debe menospreciarse el rol de las herramientas informáticas en la exploración, producción de conjeturas, anticipación y validación de resultados, así como en el apoyo gráfico, por lo cual es importante que se propongan actividades que impliquen el uso de software adecuado para la asignatura. Objetivos: Objetivos generales Que los alumnos logren: Ahondar en los procesos que caracterizan el quehacer matemático: conjeturar, deducir, probar, generalizar, particularizar, proponer modelos, etc. Desarrollar la capacidad de utilizar diversos razonamientos y métodos de demostración para solucionar problemas matemáticos; Comprender y utilizar correctamente la notación y terminología matemática y puedan expresar sus ideas formalmente mediante el lenguaje de la matemática. Adquirir competencias pedagógico-didácticas que permitan establecer conexiones entre los diferentes campos de formación docente. 2

3 Aprender a trabajar en equipo adoptando una actitud responsable y cooperativa. Escuchar las opiniones de sus compañeros y ser capaces de disentir en un marco de respeto mutuo. Objetivos específicos Que los alumnos logren: Analizar, resolver e interpretar geométricamente sistemas de ecuaciones lineales. Operar con matrices y determinantes. Aplicar el álgebra vectorial en R 2 y R 3 para la resolución de problemas geométricos. Distinguir los distintos tipos de ecuaciones para: rectas en R 2 y rectas y planos en R 3. Reconocer (sub)espacios vectoriales e interpretarlos geométricamente en R 2 y R 3. Obtener base y dimensión de un (sub)espacio vectorial. Comprender los conceptos fundamentales de las transformaciones lineales. Caracterizar matricialmente una transformación lineal. Hallar autovalores y autovectores de una matriz. Analizar condiciones para que una matriz sea diagonalizable. Distinguir las ecuaciones de las cónicas e identificar sus elementos principales. Identificar las ecuaciones de las cuádricas y sus características principales. CONTENIDOS UNIDAD N º 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Presentación de sistema de ecuaciones lineales. Definición de conjunto solución de un sistema lineal. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, interpretación geométrica. Generalización a sistemas de m ecuaciones con n variables. Sistemas de ecuaciones equivalentes. Sistemas homogéneos. Introducción al concepto de matriz como representación de un sistema de ecuaciones lineales. Eliminación Gaussiana. Clasificación de los sistemas. UNIDAD N º 2: MATRICES Y DETERMINANTES. Operaciones matriciales elementales. Operaciones de suma y producto por un escalar. Matrices cuadradas. Matriz transpuesta. Matriz inversa. Rango de una matriz. Teorema de Rouché Frobenius. Método de Gauss Jordan para hallar la inversa de una matriz. Determinantes. Definición y propiedades básicas. Desarrollo por cofactores. Determinante de la matriz inversa. Regla de Cramer. UNIDAD N º 3: VECTORES GEOMÉTRICOS EN R 2 Y R 3 Concepto de vector geométrico. Adición de vectores. Producto de un vector por un escalar. Módulo de un vector. Cosenos directores. Paralelismo. Producto escalar: definición y propiedades. Ángulo entre vectores. Condición de perpendicularidad. Proyección de un vector en la dirección de otro. Producto vectorial: definición y propiedades. Interpretación geométrica. Producto mixto: definición y propiedades. Interpretación geométrica. 3

4 UNIDAD Nº 4: ECUACIONES DE LA RECTA EN R 2 Y R 3 Y ECUACIONES DEL PLANO. Ecuaciones de la recta en R 2 : vectorial, paramétrica, simétrica, general y explícita. Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad. Distancia de un punto a una recta. Ecuaciones de la recta en el espacio: vectorial, paramétrica y simétrica. Ángulo entre dos rectas. Paralelismo y perpendicularidad. Ecuación general del plano. Posiciones especiales respecto de planos y ejes coordenados. Ángulo entre dos planos. Distancia de un punto a un plano y entre planos paralelos. Ecuaciones paramétricas del plano. Recta definida como intersección de dos planos. Intersección entre recta y plano. Haz de planos que pasan por una recta. Intersección entre dos rectas. Rectas alabeadas. UNIDAD N º 5: ESPACIOS VECTORIALES. Definición y ejemplos. Subespacios. Definición de independencia lineal y de sistema de generadores de un subespacio. Base y dimensión. Intersección y suma de subespacios. Coordenadas con respecto a una base ordenada. Matriz de cambio de base. UNIDAD N º 6: TRANSFORMACIONES LINEALES. Definiciones y ejemplos. Núcleo e Imagen. Clasificación de transformaciones lineales. Espacios vectoriales isomorfos. Composición. Matriz asociada a una transformación lineal. Aplicaciones de las transformaciones lineales en R 2. UNIDAD N º 7: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Definición de autovalores y autovectores. Matrices semejantes. Diagonalización. Definición de polinomio característico. Condiciones necesarias y suficientes para que una matriz u operador resulten diagonalizables. UNIDAD Nº 8: CÓNICAS Definición de las cónicas como lugar geométrico. Elementos y propiedades. Ecuaciones paramétricas. Coordenadas polares. Transformación de coordenadas. Ecuación general de segundo grado en dos variables. Clasificación de cónicas. UNIDAD Nº 9: CUÁDRICAS Estudio de las superficies cuádricas a partir de sus ecuaciones canónicas. Cortes con planos paralelos a los ejes coordenados. Cuádricas con y sin centro. Superficies regladas: conos y cilindros. Superficies de revolución. BIBLIOGRAFÍA Bibliografía obligatoria: Anton H. (2001). Introducción al álgebra lineal. Ed. Limusa. México. Lay D. (2012). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. Ed. Pearson. Kozak, A., Pastorelli, S., Vardanega, P. (2007). Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal. McGraw-Hill, Buenos Aires. Kindle J. (1987). Geometría Analítica. Ed. Mc Graw Hill. 4

5 Bibliografía general y de consulta: Noble B. y Daniel J. W. (1989). Álgebra lineal aplicada. Ed. Prentice Hall. Nakos G., Joyner D. (1999). Algebra Lineal con Aplicaciones. Thomson Ed. Lehman C. (1980). Geometría analítica. Editorial Limusa. Lipschutz S. (1992). Algebra Lineal. Ed. McGraw-Hill. Grossman S. (1996). Algebra lineal Ed. Mc Graw Hill. MODALIDAD DE EVALUACIÓN La evaluación de los desempeños de comprensión se llevará a cabo en una primera etapa de manera informal, mediante la supervisión del trabajo de resolución de problemas en clase. De este modo se evaluará no sólo el resultado sino también el proceso por el cual los alumnos adquieren los desempeños. Habrá también dos etapas de evaluación parcial formal escrita de contenido teóricopráctico, con sendas instancias de recuperación y una instancia de evaluación final. En todos los casos la aprobación del espacio curricular será en concordancia con la reglamentación vigente. En las instancias escritas se evaluará: 1 La interpretación y análisis de las distintas situaciones problemáticas. 2 Las estrategias y/o procedimientos desarrollados para resolver dichas situaciones. 3 Los resultados obtenidos. Régimen de Acreditación: (Tener en cuenta que: Las materias se acreditarán de acuerdo con lo estipulado por la normativa vigente. El profesor/a podrá ofrecer la promoción directa según las características propias de su materia. El estudiante podrá optar por aceptar esta promoción o cursar a fin de rendir examen final o adoptar la figura de estudiante libre). Las condiciones para las distintas modalidades son: Promoción directa: La nota mínima de promoción es 7 (siete) y se alcanza luego de por lo menos dos parciales y los trabajos aprobados que el profesor determine en los programas, con una asistencia al 75% en el caso de materias anuales y con un parcial como requisito mínimo en una materia cuatrimestral y el 75% de asistencia Examen final: asistencia al 60% de las clases, un mínimo de dos parciales o sus respectivos recuperatorios aprobados con 4 o más y los trabajos prácticos que el profesor determine en los programas. La nota final se obtendrá por evaluación en la mesa de examen. El/la estudiante tiene, según el Reglamento Orgánico Institucional, tres años para rendir la materia. Examen libre: instancia de evaluación escrita cuya aprobación es condición para la instancia de evaluación oral. La nota se obtendrá por promedio entre ambas. El examen deberá contemplar el manejo por parte del estudiante de un mínimo de contenidos de cada una de las unidades del programa. (Tener en cuenta que el examen escrito deberá ser entregado en el Departamento de Alumnos, junto con el acta volante) Firma Aclaración: Augusto Spela 5