TEMA 47. GENERACIÓN DE CURVAS POR ENVOLVENTES

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1 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. TEMA 47. GENERACIÓN DE CURVAS POR ENVOLVENTES. Inroducción. Una curva o supericie es envolvene de un conjuno de curvas o supericies si es angene en cada puno a una supericie o curva dierene de la amilia. Muchas de las curvas o supericies uilizadas en las maemáicas se pueden obener como envolvene de una amilia de curvas o supericies. Las envolvenes son siempre de igual o menor dimensión que la amilia de curvas que la genera. En ese ema sólo veremos envolvene de curvas no de supericies. Para deerminar las envolvenes conocida la amilia de curvas ha dos méodos dierenes: a parir de dierenciación de la amilia de curvas o por inersección de curvas de la amilia ininiamene próimas. La maoría de las envolvenes se pueden ver de orma visual o geomérica pues como veremos en el ema las envolvenes son angenes a cada curva de la amilia.. Deiniciones previas. En ese aparado deiniremos lo que son amilia de curvas o supericies o de manera más general amilia de unciones de dimensión. Veamos previamene unción vecorial de dimensión angenes a las mismas en un puno dado. Función vecorial de dimensión : es una aplicación que nos relaciona un subconjuno [ab] de R con el espacio vecorial R de la siguiene orma: :[ a b]: R La curva es el conjuno de los punos P que cumplen que [ab] al que OP siendo O el origen de coordenadas. Ha dos ormas principales de deinir las supericies de dimensión : - Paraméricas: epresando coordenada por separado. F... - Implícias o algeraicas: eliminando de una variable:... F Tangene a la curva de ecuación en un puno P R es la reca que más se aproima a la curva en odo enorno de P. Para consruir la reca angene de en P Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria

2 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. o + h - Vecor direcor ' lim h h - Puno de la subvariedad aín P Vecorial: + ' Paraméricas: + ' X + ' Algebraica: '... ' Caso paricular en el espacio d: :[ a b]: R En paraméricas: eplícia algebraica F Ecuación de la reca angene en P :. Si enemos - -. Si enemos Paraméricas + + ' ' Familia de curvas de dimensión : es una unción vecorial que depende de dos variables uno de ellos es el parámero de la amilia el oro es el parámero de la unción. : R [ a b]: R endremos una curva dierene. Ejemplos: de esa orma ijado el valor del parámero. Familia de recas que pasa por el origen: m m siendo m el parámero.. Circunerencia de radio consane R cenro en el eje OX: C - + -R. Circunerencia de radio variable cenro de : C Envolvene de una amilia de curvas La envolvene de una amilia de curvas planas en R deinidas como C es una curva C con epresión analíica si en cada puno de la misma ese ambién perenece a una curva de la amilia C de manera que en ese puno la angene de la curva C de la curva C es la misma. Veamos algún ejemplos gráicos: Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria

3 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. Envolvene de circunerencias de radio consane cenro siuado en una reca : son dos recas paralelas separadas r enre sí. Las envolvenes de las recas que disan R de un puno cenro es una circunerencia: 4 Asroide como envolvene del segmenos de longiud consane l que se apoan en los ejes.. Deerminación de la unción envolvene. Eisen dos méodos de cálculo analíico de las envolvenes: a. Por inersección curvas ininiesimalmene junos b. Técnicas de dierenciación. Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria

4 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. A. Por inersección de curvas ininiesimalmene junas: Supongamos conocida la envolvene C de una amilia de curvas C. Sean M M dos punos de C mu próimos punos de angencia de las curvas C C donde esarán mu próimos. Esas dos curvas corarán en un puno que denominaremos P. Si acercamos ininiesimalmene los punos M M de la envolvene de C enonces + con. De igual orma el puno P se aproima a M M. Luego en el límie MM P C. De esa manera podemos obener P con ello C a parir de la inersección de curvas ininiamene próimas haciendo. Veamos algún ejemplo: Recas paralelas como envolvene circunerencias de igual radio cenro en una reca: por sencillez pondremos al eje OX como el lugar de los cenros por raslación roación podemos obener la reca que deseemos: C :- + r + r + r r r ε + r r Circunerencia como envolvene de recas que equidisan R de un puno P: por sencillez omaremos el puno P como el origen : C : cos+senr con [π veremos luego que la disancia al origen es R cos + sen R cos + ε + sen + ε R cos + sen R cos cos ε sen cos ε + sen cos ε + cos sen ε R Tomandoε cos εsen + εcos + sen R cos + sen R sen g cos + R: Rcos / εsen + / εcos cos Rcos circunerenciaen Rsen paraméricas Para ver la disancia de C al origen la coramos por sen-cos perpendicular por el origen el puno de core es P Rcos Rsen se cumple dp R. Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria 4

5 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. Hipérbola como envolvene de las recas cuo produco e los valores con los cores con los ejes es consane: C α : α β α+βαβ al que αβ consane conocida. + β β + ε ε βε + β + ε β + ε Tomando ε β susiuendo en + 4 Parábola como envolvene de las recas que orman ángulo reco con los segmenos que une un puno F oco el oro puno en una reca eje parábola. Por sencillez omaremos el puno FP la reca el eje OY. Veamos las recas que pasan por FP por el puno P : r r :-P P P La perpendicular a esa recas en serán las amilias de curvas que buscamos C :- P P / ε / ε / ε + ε + ε ε P/ P/ P/ P Tomando ε se iene que por lo que susiuendo en : 4 P 5 El asroide como envolvene de recas que coran ejes coordenados en punos separados una disancia consane d: Los punos de los ejes a igual disancia serán Pdsen Qdcos. La reca que pasa por P Q es + C :cos+sendsencos dsen dcos cos + sen d sen Tomando ε el coseno cos + ε + sen + ε d sen+ ε seno de la suma: cos senε + sen+ εcos d sen + εcos Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria 5

6 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria ε ε ε cos cos / / + / d sen g d cos cos + Susiuendo en : cos cos cos sen d sen + cos d dsen + B. Cálculo de envolvene por dierenciación. Sea C la amilia de curvas o supericies en paraméricas dependienes del parámero :. Todo puno de la envolvene perenece ambién a un puno de la curva con de esa si orma podemos esablecer una relación enre el parámero el valor de la envolvene vendrá deinido como Por oro lado en el puno M de angencia de la reca angene a la envolvene de la curva coinciden de orma que sus vecores direcores son proporcionales: d d + luego proporcional con luego rango. La solución al sisema rango nos da la envolvene. Veamos la envolvene en disinas represenaciones: a Paraméricas: rang b Eplícia: omando enemos la ecuación paramérica equivalene : la envolvene será la solución al sisema

7 Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. c Fórmula implícia: la envolvene será la solución al sisema: Teorema: la envolvene coniene el lugar geomérico de los punos singulares de las curvas de la amilia. Demosración: dada la amilia de curvas deinida como los punos singulares vienen deinidas por las condiciones. Si despejamos en esas ecuaciones e en unción de endremos como lugar geomérico punos singulares la igualdad que derivando respeco de : + + que es la ecuación de la envolvene. Por lo general las envolvenes son más áciles de calcular por derivación que por inersección de curvas ininiesimalemene junas. Veamos los casos hechos en aparado A: Paralelas como envolvene de circunerencias: C : - + -R implícia + R de susiuendoen ± R Circunerencia como envolvene de recas equidisanes al origen implícia: cos + sen R Rcos g + R sen cos Rsen Hipérbola como envolvene de recas que coran los ejes al que produco es consane implícia + despejando de inroduciendoen 4 Parábola como envolvene recas que orman un ángulo reco eplícia P Despejandoen + P P susiuendoen 4P 5 El asroide como envolvene de recas cuos cores con los ejes disan disancia d. cos + sen + sen d sen cos sen + cos dcos sen+cos sen +cos -dcos-sen dsen despejando dcos : / + / d / Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria 7

8 4. Evolua. Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. La evolua es un caso paricular de envolvene ocurre cuando la amilia de curvas que genera la envolvene es el conjuno de recas perpendiculares a una curva dada. La reca perpendicular a una curva en un puno P de la misma es una reca que pasa por el puno ormando un ángulo de 9 o con la reca angene. Por ano la reca perpendicular a la curva en el puno P se calcula: a Eplícia: en P r: ' ' b Paraméricas en P r: ' El ejemplo más clásico es la evolua de la elipse cenrada en el origen por ano con acos ecuaciones paraméricas deinidas como c : bsen Calculemos la amilia de recas normales en cada puno P a la elipse dada: a -asen bcos : por ano r : bsen cog acos. b La evolua calculada por dierenciación vendrá dada por el sisema muliplicando a r por bsen asen bcos a acos + b sen a b b cos sen cos sen sen+cos aa -b cos cos-sen ba -b sen que es un asroide. Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria 8

9 5. Coclusiones. Tema 47. Generación de curvas por envolvenes. Las envolvenes es una pare de la geomería descripiva méodo por el cual se pueden deinir muchas de las curvas más imporanes. En el curriculum de secundaria bachillerao no se rabaja ese ema aunque puede ser un ema de ampliación para alumnos con inquieudes en el ema de lugares geoméricos que se impare en el primer curso de bachillerao de ciencias. Jose Luis Lorene preparador oposiciones secundaria 9