CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CAPÍTULO. La integral. 1.3 Cálculo aproximado del área de una región plana bajo una curva"

Transcripción

1 CAPÍTULO 1 L integrl 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv etommos en est sección el prolem del cálculo de áres, introduciendo lguns simplificciones notciones que nos permitirán resolverlo. Supongmos que se dese clculr el áre de un región del plno cotd por un curv continu como l mostrd en l siguiente figur: Bsdos en ls propieddes del áre enuncids nteriormente, vemos que se puede sudividir l región en vris suregiones como sigue: 3 1 4, por trtrse de regiones que no se trslpn, tenemos entonces: 1. cnek.zc.um.m: 13/ 1/ 017 A./ A. 1 / C A. / C A. 3 / C A. 4 /: 1

2 Cálculo integrl Si rotmos lguns de ls suregiones de l figur nterior demás introducimos ejes coordendos, vemos que hrá que clculr ls áres de ls siguientes regiones pr encontrr A./: f./ f 1./ 1 f 4./ 3 f 3./ 4 L oservción importnte hor es que ests cutro regiones tienen lgo en común: 1. Tods ells se ven como un región limitd rri por un curv, jo por el eje horizontl los ldos (en el cso de 4 ) por rects verticles.. Suponemos que ls curvs que cotn por rri cd un de ests regiones representn l gráfic de un función continu i f i./ con i 1; ; 3; Por l form como se hn situdo en el plno crtesino ests funciones cumplen que f i./ 0. Por lo nterior, vemos que el cálculo de A. 1 /; A. /; A. 3 / o A. 4 / se reduce resolver el prolem siguiente: Clculr el áre de un región cotd rri por un función continu f./ 0, jo por el eje, sí como los ldos por ls rects verticles &. f./ Csos prticulres 1. El cálculo del áre que se pide en este prolem serí mu fácil si l función f./ fuese constnte (pues entonces l región serí un rectángulo) o linel (porque entonces l región serí un trpecio). En estos csos:

3 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 3 c A C B c f./ f./ f./ c, sí que el áre es A./. / c, es decir, se ltur. f./ ACB ) f./ ACB & f./ ACB, sí que el áre es A./. /f./ C 1. /Œf./ f./ 1. /Œf./ C f./:. Un cso más en el que se puede clculr A./ con reltiv fcilidd es cundo l función f./ es linel por trmos, es decir, cundo h un conjunto finito de puntos 0 < 1 < < : : : < n de modo tl que en cd suintervlo Œ i 1 ; i l función f./ es constnte o linel. En tles csos, clculr el áre A./ se reduce clculr el áre correspondiente cd suintervlo como en el cso nterior sumr dichs áres. Ejemplo Se l función f./ definid como sigue: 1; si 0 1I f./ ; si 1 < 3I 9 ; si 3 < 4:5: Clculr el áre jo l gráfic de f./, sore el eje en el intervlo Œ0; 4:5. f./ 1 3 4:5 H Aquí 0 0 < 1 1 < 3 < 3 4:5,, por ser f./ un función linel por trmos, usndo

4 4 Cálculo integrl los resultdos del cso 1. nterior, tenemos: A./ / C Trmo Œ 0 ; 1 C 1. 1 /Œf. 1 / C f. / C Trmo Œ 1 ; C 1. 3 /Œf. / C f. 3 / Trmo Œ ; / C 1.3 1/Œ1 C 3 C 1.4:5 3/Œ3 C 0 1 C 4 C 1.1:5/.3/ 5 C 1.4:5/ 5 C :5 7:5: 3. Es posile resolver csos en los que l función no es continu, pero es constnte por trmos. A ests funciones se les llm comúnmente funciones esclonds. En generl, un función esclond tiene l form siguiente: pr un conjunto finito de puntos 0 < 1 < < : : : < n, en donde f./ c i pr i 1 < < i, con i 1; ; : : :; n, & c i 0. Ejemplo 1.3. Clculr el áre jo l gráfic de dich función sore el eje. f./ c 3 :: : c c n c : : : n 1 0 n H Con los dtos disponiles se puede clculr el áre como sigue, de cuerdo con ls oservciones previs: A./ c / C c. 1 / C c 3. 3 / C : : : C c n. n n 1 / c 1 1 C c C c 3 3 C : : : C c n n ; donde hemos denotdo i i i 1. Volvmos l cso generl del cálculo del áre A./ de l región limitd por l gráfic de un función continu f./ 0, el eje, l rects &. f./

5 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 5 Pr un función f dd de mner ritrri es imposile, con ls herrmients de que disponemos, dr el vlor ecto del áre A./. Sin emrgo es posile hcer lgo respecto l prolem. Procederemos de l siguiente mner: 1. elcionremos nuestro prolem con otro similr, pero más fácil de resolver.. Generremos un procedimiento o criterio que nos permit otener proimciones o estimciones pr A./. 3. Cd proimción será compñd de un estimción del error cometido. 4. Aplicremos el nuevo procedimiento o criterio pr otener, cd vez, proimciones mejores compñds de errores cd vez más pequeños. Primer proimción. f./ M m Como el intervlo Œ; es cerrdo cotdo, l función f./ es continu, est dee lcnzr sus vlores mínimo máimo en ese intervlo, denotémoslos por m M respectivmente. Entonces el rectángulo menor con se Œ; ltur m qued comprendido totlmente dentro de l región, est su vez comprendid en el rectángulo mor con l mism se ltur M. Entonces ls áres cumplen ls desigulddes: es decir, A.rectángulo menor/ A./ A.rectángulo mor/; m. / A./ M. /: Tenemos que dmitir que est primer proimción puede que no se mu uen, sí que deemos uscr lgun mner de mejorrl. Segund proimción. Si hcemos un sudivisión del intervlo originl Œ; repetimos l proimción que cmos de hcer en cd uno de los suintervlos, otendremos l sumr ls proimciones sí relizds, un desiguldd mejord. Por ejemplo, en l siguiente figur hemos prtido el intervlo originl de l figur nterior en tres suintervlos l introducir 0 < 1 < < 3. f./ M m 1 0 3

6 6 Cálculo integrl En cd suintervlo h un vlor mínimo otro máimo de l función. Podemos denotr con m 1 ; M 1 (respectivmente) pr el primer suintervlo Œ 0 ; 1 ; con m ; M (respectivmente) pr el segundo suintervlo Œ 1 ; ; con m 3 ; M 3 (respectivmente) pr el tercer suintervlo Œ ; 3. Si denotmos con 1 ; & 3 ls porciones de contenids en el primero, segundo tercer suintervlo, respectivmente, tendremos que, l igul que ntes, m / A. 1 / M /I m. 1 / A. / M. 1 /I m 3. 3 / A. 3 / M 3. 3 /: e est form l sumr ls nteriores desigulddes result: m / C m. 1 / C m 3. 3 / A./ M / C M. 1 / C M 3. 3 /; que A. 1 / C A. / C A. 3 / A./. Est últim desiguldd es mejor que l que tenímos ntes, pues l sum de ls áres de los rectángulos inferiores umentó en ls áres de los rectángulos somredos mientrs que l sum de ls áres de los rectángulos superiores disminuó en ls áres de los rectángulos somredos de mner que el vlor rel del áre A./ se encuentr hor entre dos números más cercnos uno del otro. El procedimiento de umentr el número de suintervlos puede repetirse voluntd, podemos sí sudividir el rectángulo en 5; 10; 100 o suintervlos mientrs más suintervlos h deemos otener mejores proimciones. L siguiente figur muestr cómo se verí un proimción l prtir el intervlo Œ; de l figur originl en 10 suintervlos: f./ Se puede oservr que l sum de áres de los rectángulos inferiores (respectivmente superiores) nos d un mejor proimción l vlor de A./, pues los inferiores csi llenn l region, los superiores curen con mu poco espcio de más. L diferenci entre los superiores los inferiores es mucho menor que l principio, es de esperrse que medid que umente el número n de

7 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 7 suintervlos, o que n! 1, l sum de ls áres de rectángulos superiores e inferiores tiendn ser igules; pero como A./ está comprendid entre ests dos sums, se esper que su vlor se igul l vlor común de los límites. Ejemplo Estimr el áre dejo de l gráfic de f./ 4 error menor o igul 0:5 uniddes cudrds., sore el eje, entre 0 &, con un H El áre estimr es l que se muestr somred en l siguiente figur, en l que se puede precir que el máimo de l función en el intervlo Œ0; es M f.0/ 4, el mínimo es m f./ e est form, l primer proimción que tenemos es 0. 0/ A./ 4. 0/; es decir, 0 A./ 8. L diferenci entre los dos etremos de ests desigulddes es tn grnde que result evidente que el error de proimción no es menor o igul 0:5 uniddes cudrds. Si hcemos un segundo intento tomndo cutro suintervlos de igul longitud podemos entonces tomr 0 0; 1 0:5; 1; 3 1:5 & 4 : Como puede oservrse directmente [o tmién tomndo l derivd f 0./ < 0 en el intervlo.0; /], l función f./ es decreciente sí que en cd suintervlo su máimo es el vlor de f./ en el etremo izquierdo su mínimo el vlor de f./ en el etremo derecho, por lo que dichos máimos mínimos son como se muestr en l siguiente tl: Intervlo Etremos Vlor mínimo m i Vlor máimo M i 1 Œ0; 0:5 m 1 f.0:5/ 3:75 M 1 f.0/ 4 Œ0:5; 1 m f.1/ 3 M f.0:5/ 3:75 3 Œ1; 1:5 m 3 f.1:5/ 1:75 M 3 f.1/ 3 4 Œ1:5; m 4 f./ 0 M 4 f.1:5/ 1:75 L siguiente figur muestr los rectángulos que proimn el áre A./ por dejo por encim, continución están los cálculos de l sum de áres de los rectángulos inferiores superiores:

8 8 Cálculo integrl :5 1:0 1:5 :0 Sum de áres de los rectángulos inferiores (sum inferior): 3:75.0:5 0/ C 3.1 0:5/ C 1:75.1:5 1/ C 0. 1:5/ 0:5.3:75 C 3 C 1:75 C 0/ Sum de áres de los rectángulos superiores (sum superior): Por lo nterior: 0:5.8:5/ 4:5 : 4.0:5 0/ C 3:75.1 0:5/ C 3.1:5 1/ C 1:75. 1:5/ 0:5.4 C 3:75 C 3 C 1:75/ 4:5 A./ 6:5: 0:5.1:5/ 6:5 : Con est segund proimción l diferenci entre ls sums inferior superior disminuó uniddes cudrds, si diérmos como proimción de A./, digmos A./ 4:5 C 6:5 10:5 5:5 uniddes cudrds.u / ; el error cometido serí menor o igul un unidd cudrd, mejorndo l proimción nterior pero ún no suficiente :5 El siguiente intento de mejorr l proimción lo hremos con 8 suintervlos de igul longitud: l elección de este número de suintervlos es ritrri se hce simplemente por fcilidd. L siguiente tl muestr los vlores de los i ; m i, M i. 5:5 6:5 Intervlo Etremos m i M i 1 Œ0; 0:5 m 1 f.0:5/ 3:9375 M 1 f.0/ 4 Œ0:5; 0:5 m f.0:5/ 3:75 M f.0:5/ 3: Œ0:5; 0:75 m 3 f.0:75/ 3:4375 M 3 f.0:5/ 3:75 4 Œ0:75; 1 m 4 f.1/ 3 M 4 f.0:75/ 3: Œ1; 1:5 m 5 f.1:5/ :4375 M 5 f.1/ 3 6 Œ1:5; 1:5 m 6 f.1:5/ 1:75 M 6 f.1:5/ : Œ1:5; 1:75 m 7 f.1:75/ 0:9375 M 7 f.1:5/ 1:75 8 Œ1:75; m 8 f./ 0 M 8 f.1:75/ 0:9375 sum 19:5 SUMA 3:5

9 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 9 Ls áres inferior A./ superior A./ se clculn multiplicndo ls sums que precen en el renglón inferior por el vlor 0:5, que es el ncho de cd suintervlo Œ i 1 ; i pr i 1; ; : : :; 8, sí otenemos: Sum inferior: A./ m 1 C m C : : : C m 8.m 1 C m C : : : C m 8 /.sum/ 19:5.0:5/ 4:815: Sum superior: A./ M 1 C M C : : : C M 8.M 1 C M C : : : C M 8 /.SUMA/ 3:5.0:5/ 5:815: :00 0:5 0:50 0:75 1:00 1:5 1:50 1:75 :00 Así con est proimción hemos otenido: A./ 4:815 A./ 5:815 A./: Como A./ se encuentr entre 4:815 5:815, podrímos decir que A./ con un error menor o igul 0:5 u. A./ C A./ 5:315 uniddes l cudrdo (u /, 0:5 0:5 4:815 5:315 5:815 Aunque no conocemos en este momento el vlor de A./ sí semos que se encuentr dentro del intervlo Œ4:815; 5:815 que su distnci l vlor proimdo 5:315, que es el punto medio del intervlo, dee ser menor o igul que l mitd del ncho del intervlo, sí: error 1 Œ5:815 4:815 0:5 u :

10 10 Cálculo integrl Este ejemplo muestr que, dd un función continu f./ 0 en un intervlo Œ;, siempre podemos estimr el vlor del áre jo l curv f./, sore el eje entre ls rects,. L proimción se puede mejorr introduciendo cd vez más puntos i pr hcer que l prtición del intervlo originl en suintervlos se cd vez más fin (lo cul implic que hrá un mor número de suintervlos). No tenemos ún un criterio preciso que nos dig en cuántos suintervlos deemos prtir el intervlo originl pr otener un proimción con un error menor que un vlor ddo de ntemno, solmente semos que prtiendo el intervlo originl en un mor número de suintervlos se tendrán estimciones cd vez más preciss. En ls secciones que siguen veremos cómo psr de ls proimciones l vlor ecto de A./. Ejercicios Cálculo proimdo del áre. Soluciones en l págin Estime el áre jo l gráfic de f./ p, sore el eje pr los siguientes intervlos usndo prticiones de ; 4 8 suintervlos.. En el intervlo Œ0; 4;. En el intervlo Œ0; 1; c. En el intervlo Œ1; 4. Se pueden usr ls proimciones otenids en los dos últimos incisos pr mejorr l proimción en el primer inciso? Eplique.. Aproimr el áre A./ dejo de l gráfic de l función f./ sen en el intervlo Œ=;, clculndo A./ A./. Use un prtición de 8 suintevlos proporcione el vlor del error que se comete. 3. Pr l función g./ tn, encontrr l sum de iemnn que proim el áre A./ jo su gráfic sore el eje, desde =4 hst =3; use 8 suintervlos de igul longitud clculndo A./ A./. Proporcione el error que se comete. 4. e cuerdo con l geometrí elementl, el áre de un círculo es A r, donde r es su rdio. Considere el áre jo l curv f./ p 4, sore el eje entre 0,. Oserve que l región en cuestión es l curt prte de un círculo de rdio, comprendid en el primer cudrnte del plno crtesino. Cuál es el vlor del áre de es región? Estime el vlor del áre prtiendo el intervlo Œ0; en ; 4 8 suintervlos. Estime el error de proimción en cd cso.

11 1.3 Cálculo proimdo del áre de un región pln jo un curv 11 Ejercicios Cálculo proimdo del áre. Pregunts, págin Œ0; 4. i. suintervlos. A./ :884; A./ 6:884; promedio 4:884; error. ii. 4 suintervlos. A./ 4:1463; A./ 4:1463; promedio 5:1463; error 1. iii. 8 suintervlos. A./ 4:7650; A./ 5:7650; promedio 5:650; error 0:5.. Œ0; 1. i. suintervlos. A./ 0:3536; A./ 0:8536; promedio 0:6036; error 0:5. ii. 4 suintervlos. A./ 0:5183; A./ 0:7683; promedio 0:6433; error 0:15. iii. 8 suintervlos. A./ 0:5956; A./ 0:703; promedio 0:6581; error 0:065. c. Œ1; 4. i. suintervlos. A./ 3:8717; A./ 5:3715; promedio 4:617; error 0:75. ii. 4 suintervlos. A./ 4:801; A./ 5:03101; promedio 4:6551; error 0:375. iii. 8 suintervlos. A./ 4:4563; A./ 4:8513; promedio 4:6678; error 0:1875. d. Si usmos los resultdos de los intervlos Œ0; 1 Œ1; 4 pr 8 suintervlos, otendremos un mejor proimción, que se tendrín 16 suintervlos de Œ0; 4.. A./ 0:8986; A./ 1:095; promedio 0:9968; error 0: A./ 0:3348; A./ 0:3587; promedio 0:3468; error 0: Œ0;. i. suintervlos. A./ 1:731; A./ 3:731; promedio :731; error 1. ii. 4 suintervlos. A./ :4957; A./ 3:4957; promedio :9957; error 0:5. iii. 8 suintervlos. A./ :8398; A./ 3:3398; promedio 3:089; error 0:5.

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida

TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA MASSUCCO ARRARAS - MARAÑON DI LEO CALCULO DIFERENCIAL. Integral Indefinida Integrl Indefinid Estmos costumrdos decir que el producto el cociente son operciones inverss. Lo mismo sucede con l potencición l rdicción. Vmos estudir hor l operción invers de l diferencición. Dd l función

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral CAPÍTULO Aplicciones de l integrl. Momentos centro de un ms.. Centro de ms de un sistem unidimensionl Considerr el sistem unidimensionl, tl como se muestr en l siguiente figur, formdo por un vrill (de

Más detalles

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A =

Teóricas de Análisis Matemático (28) - Práctica 10 - Área entre curvas. y = f (x) f (x)dx A = Teórics de nálisis Mtemático 28) - Práctic 0 - Áre entre curvs Práctic 0 - Prte Áre entre curvs Un de ls plicciones del cálculo de integrles definids es el cálculo de áres de regiones cotds del plno delimitds

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS

MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA, LEY DE SENOS Y COSENOS Aplicciones de Trigonometrí de Triángulos Rectángulos Un triángulo tiene seis

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

Cálculo integral: aplicaciones

Cálculo integral: aplicaciones CPÍTULO 9 Cálculo integrl: plicciones 9. INTEGRLES DEFINIDS 9. INTEGRLES DEFINIDS Y ÁRES 9. MÉTODOS DE PROXIMCIÓN 9. PLICCIONES DEL CÁLCULO INTEGRL 9. CÁLCULO INTEGRL Y PROBBILIDD (OPCIONL) Términos y

Más detalles

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de una integral definida b I =

En este capítulo estudiaremos algunos métodos numéricos para estimar el valor de una integral definida b I = CAPÍTULO. INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En este cpítulo estudiremos lgunos métodos numéricos pr estimr el vlor de un integrl definid I fd () Integrl en l cul el intervlo de integrción [, ] es finito,

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORI- GEN Si hor colocmos l elipse horizontl con centro en el origen, oservremos que no cmin l form ni lgun de sus crcterístics. Si tenímos como ecución

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg MAT 251 Dr. Alonso Rmírez Mnznres CIMAT A.C. e-mil: lrm@ cimt.mx web: http://www.cimt.mx/ lrm/met_num/ Dr. Joquín Peñ Acevedo CIMAT A.C.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO

PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO PROBLEMAS RESUELTOS SUMA DE VECTORES METODO GEOMÉTRICO 1. Los vectores mostrdos en l figur tienen l mism mgnitud (10 uniddes) El vector (+c) + (d+) - c, es de mgnitud: c ) 0 ) 0 c) 10 d) 0 e) 10 d Este

Más detalles

Aplicaciones de la integral indefinida

Aplicaciones de la integral indefinida Aplicciones_de_l_integrl.n Aplicciones de l integrl indefinid Práctic de Cálculo, E.U.A.T,Grupos ºA y ºB, 2005 Est práctic muestr cómo clculr lguns áres y volúmenes utilizndo integrles. En cd cso dremos

Más detalles

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES

POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES www.mtesrond.net José A. Jiméne Nieto POTENCIAS Y LOGARITMOS DE NÚMEROS REALES. POTENCIAS DE NÚMEROS REALES.. Potencis de eponente entero L potenci de se un número rel eponente entero se define sí: n (

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) "x D

Sean dos funciones f y g de variable real definidas en un dominio DŒÑ Definición g es una primitiva de f si f(x)=g (x) x D INTEGRAL DE RIEMANN 1- Primitivs e integrl indefinid - Integrl de Riemnn 3- Interpretción geométric de ls integrles de Riemnn 4- Propieddes de ls integrles de Riemnn 5- Cmio de vrile en ls integrles de

Más detalles

Introducción a la integración numérica

Introducción a la integración numérica Tem 7 Introducción l integrción numéric Versión: 13 de ril de 009 7.1 Motivción L integrl definid de un función continu f : [, ] R R en el intervlo [, ], If) = fx) dx 7.1) es el áre de l región del plno

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA

TEMA 13: INTEGRAL DEFINIDA TEMA : INTEGRAL DEFINIDA..- El problem de clculr el áre bjo un curv El problem de clculr el áre limitd por lguns curvs fue borddo, por los mtemáticos griegos, desde bstntes siglos trás. El método empledo

Más detalles

CAPÍTULO. Aplicaciones

CAPÍTULO. Aplicaciones CAPÍTULO 3 Aplicciones 3.5 Trbjo de un fuerz 1 Se dice que un fuerz reliz un trbjo cundo cmbi el estdo de reposo o estdo de movimiento de un cuerpo. En este sentido, el trbjo que reliz un fuerz pr llevr

Más detalles

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores

Semana 1: Tema 1: Vectores. 1.1 Vectores y adición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitarios 1.4 Multiplicación de vectores Semn 1: Tem 1: Vectores 1.1 Vectores dición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitrios 1.4 Multiplicción de vectores Vectores Los vectores son cntiddes que tienen tnto mgnitud como dirección

Más detalles

5. Aplicación de la Integral de Riemann

5. Aplicación de la Integral de Riemann Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 8-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 9: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5. Aplicción

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

Módulo 12 La División

Módulo 12 La División Módulo L División OBJETIVO: Epresrá lguns propieddes de l división usndo propieddes de l división los inversos; epresr un numero rcionl de l form deciml frcción común vicevers. L división es un operción

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. CÁLCULO Ingenierí Industril. Curso 9-1. Deprtmento de Mtemátic Aplicd II. Universidd de Sevill. Lección. Métodos numéricos en un vrible. Resumen de l lección..1. Método de Newton pr l resolución de ecuciones.

Más detalles

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a

Integrales triples en coordenadas rectangulares. Integrales triples. S n = a 5.5 Integrles triples en coordends rectngulres 859. Evlúe lím erfsd lím : q 4. Conversión un integrl polr Evlúe l integrl q q : q s + + d d. d 43. Eistenci Integre l función f(, ) 5 ( ) sore el disco #

Más detalles

Los Números Racionales

Los Números Racionales Cpítulo 12 Los Números Rcionles El conjunto de los números rcionles constituyen un extesión de los números enteros, en el sentido de que incluyen frcciones que permiten resolver ecuciones del tipo x =

Más detalles

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014

Integración de funciones reales de una variable real. 24 de octubre de 2014 Cálculo Integrción de funciones reles de un vrible rel 24 de octubre de 2014 c Dpto. de Mtemátics UDC Integrción de funciones reles de un vrible rel L integrl indefinid. Cálculo de primitivs L integrl

Más detalles

recta numérica U Figura 1.1

recta numérica U Figura 1.1 Cpítulo 1 Rect numéric L rect numéric es un objeto mtemático que formliz l cint de medir o ls regls. En un rect ilimitd se elige un punto que se llm origen y un unidd, es decir decimos que el segmento

Más detalles

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

TEMA 1 INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL TEMA INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Funciones.. Incrementos rzones de cmbio. 3. Derivds 4. Derivds de orden superior. 5. Primitivs 6. Integrl definid. Este mteril puede descrgrse desde

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real.

7.10. Calcular el desarrollo de Taylor de grado 2 en x = 0 de la función. Cálculo integral: funciones reales de variable real. 7.. Clculr el desrrollo de Tylor de grdo en = de l función f () = te t dt, y utilizrlo pr clculr proimdmente, te t dt. Dr un estimción del error cometido. ( 997). 7.. Clculr el siguiente ite funcionl cos

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

Z b. f(x) dx calculando una primitiva de f(x) yluegoaplicando

Z b. f(x) dx calculando una primitiva de f(x) yluegoaplicando Tem 4 Métodos numéricos Versión: 9 de septiemre de 016 L mor prte de ls mtemátics estudids hst hor se hn dedicdo desrrollr métodos que nos proporcionen l solución ect de un prolem. Por ejemplo, clculr

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

EL EXPERIMENTO FACTORIAL

EL EXPERIMENTO FACTORIAL DISEÑO DE EXPERIMENTOS NOTAS DE CLASE: SEPTIEMBRE 2 DE 2008 EL EXPERIMENTO FACTORIAL Se utiliz cundo se quiere nlizr el efecto de dos o más fuentes de interés (fctores). Permite nlizr los efectos de ls

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual

2. [ANDA] [JUN-B] Determinar b sabiendo que b > 0 y que el área de la región limitada por la curva y = x 2 y la recta y = bx es igual MsMtes.com Integrles Selectividd CCNN. [ANDA] [JUN-A] De l función f:(-,+ ) se se que f (x ) = y que f() =. (x+) () Determinr f. () Hllr l primitiv de f cuy gráfic ps por el punto (,).. [ANDA] [JUN-B]

Más detalles

Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral 5 Mtemátics I : Cálculo integrl en I Tem 4 Aplicciones de l integrl 4. Áres de superficies plns 4.. Funciones dds de form explícit A l vist del estudio de l integrl definid relizdo en el Tem 3, prece rzonle

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Relación elasticidad-precio y gasto en la curva de demanda lineal

Tema 3 La elasticidad y sus aplicaciones Relación elasticidad-precio y gasto en la curva de demanda lineal Introducción l Teorí Económic Crmen olores Álvrez Alelo Miguel Becerr omínguez Ros Mrí Cáceres Alvrdo Mrí del ilr Osorno del Rosl Olg Mrí Rodríguez Rodríguez http://it.ly/8l8u Tem 3 L elsticidd y sus plicciones

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

GEOMETRÍA ANALÍTICA LA HIPÉRBOLA. 1. Ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen LA HIPÉRBOLA CONTENIDO. Ecución de l hipérol horizontl con centro en el origen. Análisis de l ecución. Asíntots de l hipérol Ejemplo 3. Ecución de l hipérol verticl con centro en el origen Ejemplo 4. Hipérols

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Funciones trigonométricas

Funciones trigonométricas Funciones trigonométrics Por Sndr Elvi Pérez Márquez Ls funciones trigonométrics son funciones de l medid de un ángulo, es decir, si el vlor del ángulo cmi, el vlor de ésts tmién. L tl 1 muestrs ls seis

Más detalles

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e

re p r e s e n tac i ó n Mat r i c i a l d e Unidd 8 re p r e s e n tc i ó n Mt r i c i l d e Un trnsformción linel Ojetivos: Al inlizr l unidd, el lumno: Asocirá cd trnsformción linel un mtriz. Relcionrá los conceptos de núcleo, imgen, rngo nulidd

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

5.5 Integración numérica

5.5 Integración numérica 88 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.5 Integrción numéric Métodos de Newton-Côtes De cr clculr l integrl definid: f(x) dx se llmn Métodos de Newton-Côtes los que se bsn en integrr, en lugr de l

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg

Integración numérica: Regla del trapecio Método de Romberg Clse No. 18: MAT 251 Integrción numéric: Regl del trpecio Método de Romberg Joquín Peñ (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 19.10.2011 1 / 14 Integrción numéric Dd un función f : [, b] R continu, queremos

Más detalles

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007

NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 NOTAS TEÓRICAS II COTAS y EXTREMOS. AXIOMA del EXTREMO SUPERIOR Curso 2007 1 1. Intervlos Ddos dos números reles y,

Más detalles

Aplicaciones de la integral.

Aplicaciones de la integral. Cpítulo 6 Aplicciones de l integrl. 6.. Cálculo del áre de un figur pln. En generl, pr clculr el áre de un región pln:. L dividimos en frnjs, infinitmente estrechs, de mner horizontl o verticl,. Suponemos

Más detalles

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA

NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 2007 LA HIPERBOLA ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : DISEÑO AYUD. C. RAMIREZ N. AÑO : 007 LA HIPERBOLA Definición : Un Hipérol es el lugr geométrico de un punto en

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x) rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo

Más detalles

OPERACIONES CON RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES OPERACIONES CON RADICALES RAÍCES Y RADICALES L ríz n-ésim de un número, representd por n, es un operción sore que d como resultdo un número tl que n. Si n es pr, h dos resultdos posiles: positivo negtivo:,

Más detalles

Para funciones de una variable, el área que encierra la gráfica de la función sobre un intervalo se puede medir con

Para funciones de una variable, el área que encierra la gráfica de la función sobre un intervalo se puede medir con Integrción sore conjuntos sencillos - Fernndo Sánchez - - Pr funciones de un vrile, el áre que encierr l gráfic de l función sore un intervlo se puede medir con f ( ) I [, ] En el cso de funciones de dos

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS. Miguel Angel Rodríguez Pozueta DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA ENERGÉTICA NÚMEROS COMPLEJOS Miguel Angel Rodríguez Pozuet Doctor Ingeniero Industril OBSERVACIONES SOBRE LA NOMENCLATURA En este teto, siguiendo l nomencltur hitul

Más detalles

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA

MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS INTEGRAL DEFINIDA Profesor: Fernndo Ureñ Portero 1. APROXIMACIÓN DE ÁREAS BAJO UNA CURVA Hy infinidd de funciones extríds del mundo rel (científico, económico, físic )pr ls cules tiene especil relevnci clculr el áre jo

Más detalles

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores

Repaso de vectores. Semana 2 2. Empecemos! Qué sabes de...? El reto es... Repaso de vectores Semn 2 2 Repso de vectores Repso de vectores Empecemos! Estimdo prticipnte, en est sesión tendrás l oportunidd de refrescr tus seres en cunto l tem de vectores, los cules tienen como principl plicción

Más detalles

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y

La Elipse. B( 0, b ) P( x, y ) a b. B'( 0, -b ) PF' PF VV ' (x + c) + y = 2a (x c) + y elevando al cuadrado (x + c) + y = 2a (x c) + y L Elipse Regresr Wikispces L elipse es el conjunto de todos los puntos P de un plno, tles que l sum de ls distncis de culquier punto dos puntos fijos del plno es constnte y su ecución se llm ecución ordinri.

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones.

Laboratorio N 7, Asíntotas de funciones. Universidd Diego Portles Fcultd de Ingenierí. Instituto de Ciencis Básics Asigntur: Cálculo I Lortorio N 7, Asíntots de funciones. Introducción. Ls síntots de un función son rects que seprn ls regiones

Más detalles

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.

Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos. 1.3. L función Logrítmic Con el uso de los ritmos, los procesos de multiplicción, división, elevción potencis extrcción de ríces entre números reles pueden simplificrse notorimente. El proceso de multiplicción

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x)

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Análisis: Integrales 171. Tema 8. Integrales. , es fácil hallar su derivada F (x) Mtemátics Aplicds ls Ciencis Sociles II Análisis: Integrles 7 Concepto de integrl indefinid Tem 8 Integrles L derivd de un función permite conocer l ts de vrición (el cmio instntáneo) de un determindo

Más detalles

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos:

Aplicando las propiedades conocidas de las operaciones entre número reales, obtenemos: Curso de Nivelción en Mtemátic Ecuciones Un prolem de ingenio frecuente es: Pensr un número. Sumrle 5. Multiplicr por el resultdo. A lo que se otiene, restrle 9. Dividirlo por. Restrle 8. ECUACIONES Si

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION

INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION INTEGRALES IMPROPIAS INTRODUCCION Cundo intentmos explicr que er un integrl hicimos vris suposiciones: l función dentro de l integrl estb definid en un intervlo FINITO [,b], l función no tení discontinuiddes.

Más detalles

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue:

Z ξ. g(t)dt y proceda como sigue: Prolems Prolem.9. Sen f(x) y g(x) funciones continus en [,] y f (x) continu y de signo constnte en [,]. demuestre que (,) tl que f(x)g(x)dx = f() g(x)dx+ f() g(x)dx. R Pr esto considere l función G(x)

Más detalles

Tema 11. La integral definida

Tema 11. La integral definida Mtemátics II (Bchillerto de Ciencis) Análisis: Integrl definid 5 Integrl definid: áre jo un curv Tem L integrl definid L integrl definid permite clculr el áre del recinto limitdo, en su prte superior por

Más detalles

1 VECTORES 1. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Un mgnitud es un concepto bstrcto. Se trt de l ide de lgo útil que es necesrio medir. Ncen sí mgnitudes como l longitud, que represent l distnci entre

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a.

La hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a. INSTITUTO VALLADOLID PREPARATORIA Págin 11 7 LA HIPÉRBOLA 7.1 DEFINICIONES L hipérol es el lugr geométrico de todos los puntos cuy diferenci de distncis dos puntos fijos, llmdos focos, es constnte e igul.

Más detalles

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación)

5.4. Longitud de un Arco de Curva (Rectificación) Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencil e Integrl 7-2 SEMANA 1: APLICACIONES DE LA INTEGRAL 5.4. Longitud de un Arco de Curv (Rectificción)

Más detalles