TALLER VERTICAL 4 DE MATEMÁTICA ARRARAS - MARAÑON DI LEO Cónicas y Cuádicas LAS CÓNICAS.

Transcripción

1 Cónics Cuádics SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. LAS CÓNICAS. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersectndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno. L superficie cónic se otiene hciendo rotr un rect denomind genertriz lrededor de un punto fijo llmdo vértice mnteniendo otro punto constntemente sore un circunferenci llmd directriz situd en un plno perpendiculr l eje condiciond que su centro esté sore el eje. Los diferentes tipos de cónic se genern cortndo l superficie cónic jo distintos ángulos. Se presentn tres csos según que el ángulo de corte se menor, igul o mor que el ángulo de ertur de l superficie cónic. Definimos como tl l ángulo () entre el eje de l superficie cónic un culquier de sus genertrices. eje V Genertriz Págin

2 Cónics Cuádics Si se cort un superficie cónic con un plno jo un ángulo mor que el de ertur, el plno cort un sol de ls rms de l superficie cónic se otiene un curv cerrd denomind elipse. Se presentn dos csos prticulres: ) cundo el plno de corte es perpendiculr l eje de l superficie cónic l intersección degener en un circunferenci, eje V Circunferenci - Elipse ) si se trsld el plno de corte prlelmente sí mismo hst que conteng el vértice, l elipse o l circunferenci, según se el cso, degener en un punto: el vértice de l superficie cónic. Si el plno de corte tiene con respecto l eje un ángulo menor que el de ertur, cortrá ls dos rms de l superficie cónic, oteniéndose un curv que recie el nomre de hipérol. Como cso prticulr, cundo el plno se mueve prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l hipérol degener en un pr de rects (oservr el corte de l superficie cónic con el plno del diujo). Págin

3 Cónics Cuádics eje V Hipérol Si por último, el plno de corte es prlelo l genertriz, cortrá un sol de ls rms de l superficie cónic se otendrá como curv interesección un práol. En este cso, cundo el plno de corte se desplz prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l práol degener en un rect coincidente con un culquier de ls genertrices de l superficie cónic. eje m V Práol Los nomres elipse, hipérol práol de deen l geómetr Apolonio, de l escuel de Alejndrí, que hci el ño 5 AC., escriió un trtdo sore l secciones cónics en ocho liros, siete de los cules hn llegdo nosotros. Págin 3

4 Cónics Cuádics ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO LUGAR GEOMÉTRICO CIRCUNFERENCIA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Ddo un punto C ; que llmmos centro un vlor r 0 que designmos con el nomre de rdio podemos definir: Ecución: P, punto genérico ; C centro de l circunferenci β C - P(,) - Considerndo l fórmul de distnci entre dos puntos, clculmos el vlor del rdio: r CP r Ecución cnónic de l circunferenci de centro, rdio r. Desrrollndo los cudrdos ordenndo: r 0 otenemos: D E F 0 que es l ecución Generl de l circunferenci Págin 4

5 Cónics Cuádics De l igulddes nteriores otenemos: D E Coordends del centro: ; rdio: r F Anlicemos el vlor del rdio: Si: F 0 F 0 F 0 L Circunferenci de rdio rel circunferenci se reduce un punto Circunferenci de rdio imginrio L ecución generl de l circunferenci es un cso prticulr de l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, cu form es: A B C D E F 0 Comprndo est ecución con l ecución generl de l circunferenci, oservmos que en ést últim los coeficientes de e son igules demás flt el término en. Result entonces que un ecución tendrá como lugr geométrico un circunferenci si responde l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, con los coeficientes A C igules, con el término B (llmdo término rectngulr) fltnte que verifique: F 0 Ejemplos:.- Dd l ecución: ; Determinr: ) Ls coordends del centro. ) El vlor del rdio. c) L ecución crtesin. d) Efectur l representción gráfic. Págin 5

6 Cónics Cuádics Págin 6 3; ; C E D C r r r F Ecución crtesin: Representción:.- Siendo que el centro de un circunferenci es ;5 C su rdio r = 3, escriir su ecución generl: Ecución cnónic: generl Ecución r C r = 3

7 Cónics Cuádics Posiciones prticulres. L ecución: r de l circunferenci se simplific pr posiciones prticulres..- Si el centro está en el origen de coordends: C 0;0 r r (0,0).- Si el centro está sore el eje de ls sciss, 0: C ; 0 ( ) r C(,0) Págin 7

8 Cónics Cuádics 3.- Si el centro está sore el eje de ls ordends, 0 : C 0; ( ) r C(0,) INTERSECCIONES. Intersección de un circunferenci un rect. Si dos línes coplnres tienen un punto en común, ls coordends de este punto deen stisfcer simultánemente ls ecuciones de ms línes. En consecuenci el prolem de hllr ls coordends de los puntos de intersección de dos línes se resuelve, encontrndo l solución del sistem determindo por sus ecuciones. Escriimos el sistem formdo por ms ecuciones, luego sustituimos en l ecución de l circunferenci el vlor de un de ls vriles que despejmos en l ecución de l rect, oteniendo un ecución de º grdo en un sol vrile que resolvemos. L solución de est ecución d dos vlores. Pueden presentrse los siguientes csos: ) : R R rect secnte l circunferenci; puntos de intersección. ) : R rect tngente l circunferenci; punto de intersección. Págin 8

9 Cónics Cuádics c) C C rect eterior l circunferenci; no h puntos de intersección. (C = conjunto de los números complejos) r I r r I I ) I I:rect secnte ) I I: rect tngente c) I: rect eterior Ejemplo: Determinr los puntos de intersección de l circunferenci l rect En l rect 0 sustituimos en l ecución de l circunferenci por P(,3) P(-,0) C ;0 pr: 3P 0P ;3 ;0 Págin 9

10 Cónics Cuádics Coordends del centro rdio de l circunferenci: D E r r 3 PARÁBOLA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo Foco de un rect fij que recie el nomre de Directriz. Q P D O F H P d m L definición precedente permite construir l práol por puntos cundo se conoce el foco F l directriz d. Trzndo por F un rect perpendiculr l directriz determinmos el punto D. El punto medio de FD es punto de l curv, llmémoslo O, que DO OF. Pr encontrr otros puntos, considermos un punto culquier H sore l rect que contiene DF se trz por H l rect m/ / d, hciendo centro en F con rdio DH se cort l rect m en los puntos P P que pertenecen l práol; QP PF. Si queremos determinr otros puntos repetimos el procedimiento. Págin 0

11 Cónics Cuádics Ecución: Hllremos l ecución pr l práol con vértice en el origen de coordends foco en el eje positivo. Y d P (, ) O p F ;0 X p p Llmndo p l distnci de l directriz l foco F ; 0 p directriz será: l ecución de l De cuerdo l definición: FP QP FP p p FP resultndo: p p elevndo l cudrdo: p p Págin

12 Cónics Cuádics desrrollndo simplificndo otenemos: p p p p p 4 4 Ecución cnónic de l práol con vértice en el Origen eje focl horizontl. p: recie el nomre de prámetro es l distnci del foco l directriz. ecución. p Form eplícit de l Pr cd vlor de mor que cero se otienen dos vlores igules contrrios de, por est rzón l curv result simétric con respecto l eje que se denomin eje de l curv. Dicho de otr form: en l ecución cnónic de l práol se oserv que l vrile está elevd l cudrdo no prece l potenci uno. Ello signific que pr dos vlores opuestos de se otiene el mismo vlor de, lo que en términos geométricos se trduce diciendo que l curv es simétric con respecto l eje. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl, que psndo por el foco une dos puntos de l curv. Ldo recto MM p p como: p p p Ldo recto MM p d M Ldo recto M F Págin

13 Cónics Cuádics Posiciones: d d p 4 Ecución: p p Ecución ² = Ejemplo: ² = 4 Ejemplo: ² = - Foco: Directriz: p p ;0 p Foco: ; 0 p Directriz: d - d Ecución: p Ecución: p Ejemplo: ² = 4 Ejemplo: ² = -4 Foco: 0; p p Foco: 0; p p Directriz: Directriz: Págin 3

14 Cónics Cuádics Ecución de l práol referid un sistem de ejes prlelos los ejes coordendos. De l ecución : p p si ; : p L ecución de l práol de vértice V ( ; ) eje prlelo l eje es : V (,) Con respecto l sistem ; l ecución de l práol será: como; sustituendo en ( ) : si: c c Si el eje de l práol es prlelo l eje el vértice es ; ecución es : V su Págin 4

15 Cónics Cuádics Y respecto l sistem ; : si: c c Ejemplo: Encontrr l ecución de l práol cuo foco está en ( ; 3) su directriz es = 5. De cuerdo l esquem vemos que el vértice V tiene por coordends ( 3 ; 3 ). Su ecución es de l form: X=5 p F V Págin 5

16 Cónics Cuádics ELIPSE. Es el conjunto de los puntos del plno tles que l sum de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Siendo F F focos de l elipse P un punto genérico perteneciente l elipse PF PF Elementos: Eje mor: A A ;(si suponemos que l líne punted FPF es un hilo inetensile, cundo el punto P tom l posición de A result sencillo verificr por l iguldd de los segmentos A F A F que l longitud de dicho hilo es A A =A0 = ) Semieje mor: A O OA ; Eje menor: B B ; Semieje menor: B O OB ; Vértices: A 0 ; A ;0 ; B 0; ; B 0; ; Eje focl: F F ; c; Semieje focl: F O OF c; Focos: F c 0 ; F ;0; ; c B l elipse stisfce l condición: F B B F como F B B F c c. Ecución: P ; l elipse PF PF ( ) Págin 6

17 Cónics Cuádics Págin 7 plicndo el Teorem de Pitágors en PRF PRF respectivmente: c PF c F P reemplzndo en ( ) : c c islndo l primer de ls ríces cudrds elevndo mos miemros l cudrdo: c c 4 4 c c c c grupndo, simplificndo elevndo l cudrdo: c c c c c c c c grupndo vriles: c c 4 c c como: c dividiendo por otenemos: Ecución cnónic de l elipse de centro en el origen de coordends eje focl. L ecución puede ser escrit como : 0 que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e.

18 Cónics Cuádics Form eplícit de l ecución de l elipse. De l ecución despejmos ; donde oservmos que tendremos vlores reles de si 0: Si 0 De donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr. Si de l ecución despejmos : Pr vlores reles de : 0 de donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr = =- L = F F =- L Del estudio de l figur precedente deducimos: : L elipse es simétric respecto l origen los ejes coordendos por estr ls vriles de su ecución cnónic elevds l cudrdo no precer l potenci uno. : L elipse es interior l rectángulo limitdo por ls rects : Págin 8

19 Cónics Cuádics Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl que une dos puntos de l elipse. Lr L L ; como L L L F F L L F F L Lr L F L F reemplzndo por c : c Lr Ecentricidd. Es el cociente c c e ; como c e Si c 0 e 0 los focos coinciden l curv es un circunferenci. Posiciones. Dd un elipse medinte su ecución cnónic, el eje mor (eje focl) corresponde l eje coordendo de l vrile que tiene mor denomindor..- Eje mor sore el eje : Ejemplo: 6 9 A(-4,0) F B(0,3) F A(4,0) - Págin 9

20 Cónics Cuádics.- Eje mor sore el eje : Ejemplo: 4 9 B(0,3) F A(-,0) A(-0) F B(0,-3) Construcción de l elipse:.- Aplicndo l definición. Ddos F ; F construiremos por puntos l elipse. Mrcmos sore un rect F F su punto medio O ; equidistntes O los puntos A A tles que AO OA. Los puntos A A son puntos de l elipse que: A F A F A F A F Pr hllr otros puntos que pertenezcn l elipse mrcmos un punto culquier H interior l segmento F F. El segmento A A qued dividido en dos prtes : A H HA. Hciendo centro en F con rdio HA trzmos un circunferenci; hciendo centro en F con rdio A H trzmos otr circunferenci. Los puntos de intersección P P son puntos de l elipse que sus rdios vectores sumn A H HA Págin 0

21 Cónics Cuádics P A F O H F A P Al vrir l posición del punto H, en el segmento F F podemos otener otros puntos de l elipse. I. Relción de finidd. e L ecución de l elipse es: L ecución de l circunferenci es: c e ordend de l elipse. c ordend de l circunferenci. Comprndo ( ) ( ): e c Est es l relción de finidd, en l que se s un método de construcción de l elipse. Págin

22 Cónics Cuádics Construcción: Trzmos dos circunferencis concéntrics de centro O rdios respectivmente. Luego un semirect de origen O que cort ls circunferencis en los puntos P P respectivmente, trzndo por P un prlel l eje por P un prlel l eje ; el punto P de intersección pertenece l elipse. Como OQ P OQ P Pero Q P Q P OP OP Q P QP QP c OP OP e O P Q Q P S P (, ) Luego: e c e c Trzndo otrs semirects de origen O, encontrmos otros puntos de l elipse. L justificción de que los puntos sí hlldos pertenecen un elipse es reltivmente sencill: Los segmentos OP OP de l figur precedente son respectivmente los rdios de ls dos circunferencis trzds tomndo como diámetros de ls misms. Si llmmos l ángulo que el sentido positivo del eje form con dichos rdios, quedn formdos los triángulos rectángulos OPQ OPQ pr los cules vlen ls siguientes relciones: OQ OP Q P cos sen OP Págin

23 Cónics Cuádics elevndo l cudrdo ls epresiones nteriores sumndo miemro miemro: cos ; sen cos sen es l ecución de un elipse. Ecución de l elipse referid un sistem de ejes prlelos los ejes coordendos. Los ejes e son ejes prlelos los eje ;. P es un punto de l elipse que tiene coordends ( ; ) respecto l sistem de origen O (, ) coordends (, ) respecto l sistem de origen O. O P L ecución de l elipse es: O ( ; ). O cundo se refiere l sistem Págin 3

24 Cónics Cuádics Como ecución de l elipse de centro en (;) eje focl prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje l correspondiente ecución result: HIPÉRBOLA. Es el conjunto de puntos del plno tles que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Si F F son los focos de l hipérol, pr todo punto P perteneciente l hipérol se verific: PF PF Págin 4

25 Cónics Cuádics Elementos: Eje focl o trnsverso: A A ; Eje conjugdo, idel o imginrio: B B ; Vértices: A 0 ; A ;0 ; B 0; ; B 0; Distnci focl: F F ; c ; Focos: F c 0 ; F ;0; ; c F F c c c PF PF Ecución. Como P, l hipérol PF PF PF c PF c reemplzndo: c c islndo l primer de ls ríces del primer miemro elevndo luego mos miemros l cudrdo: c c desrrollndo los cudrdos grupndo: Simplificndo elevndo l cudrdo: c c c 4c 4 4 c c c c 4 grupndo vriles: Págin 5

26 Cónics Cuádics 4 c c c c En B OA ; c B c A O dividiendo por otenemos: que es l ecución cnónic de l hipérol de eje focl centro en el origen de coordends. L ecución puede ser escrit como : 0 ; que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Si de l ecución despejmos : l últim epresión nos permite oservr que l curv es simétric respecto l eje. Con respecto podemos decir que tom vlores reles pr vrindo de menos más infinito, con ecepción de intervlo, en el qlue tom vlores imginrios; vrí: Págin 6

27 Cónics Cuádics resultndo un curv etern l fj limitd por ls rects: Despejndo : se verific que l curv es simétric respecto l eje : Si: 0 Entonces l curv cort l eje en los puntos : A determinn A A ;0 ; que es l longitud del eje focl. A ;0 vértices El rectángulo HIJK de centro O ldos perpendiculres los ejes, se denomin: rectángulo fundmentl de l hipérol. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje coordendo, que psndo por el foco, une dos puntos de l hipérol: L L L L : en L c; c Págin 7 L L

28 Cónics Cuádics Ecentricidd: Es el cociente c c e, como c e. Asíntots de l hipérol. Son ls rects que están sore ls digonles del rectángulo fundmentl: tienen como ecuciones: ; Se muestr que: 0 RSTV: rectángulo fundmentl. cundo En efecto: ( síntot ) ( hipérol ) d d lim d lim 0 si d 0 Págin 8

29 Cónics Cuádics Posiciones. El eje focl de l hipérol, corresponde siempre l vrile de coeficiente positivo, no importndo que < o >. Ejemplo: Dd l ecución , otener ls coordends de los vértices focos; ecentricidd, longitud del ldo recto, ecución de ls síntots. Solución: Ecución cnónic 4 9 Vértices: =3 A ;0 ; A ;0 ; B 0;3 ; B 0; 3; c Focos: 3,6; 0 ; F 3,6; 0 3,6 F Págin 9

30 Cónics Cuádics Ecentricidd: c 3, 6 e e 8, Ldo recto: L L L L Ecución de ls síntots: Gráfico: Hipérol Equiláter. Cundo un hipérol tiene = recie el nomre de hipérol equiláter; el rectángulo fundmentl es un cudrdo ls síntots son perpendiculres entre sí. Si = l ecución es: ; es decir: ; con síntots: Págin 30

31 Cónics Cuádics Ecución de l hipérol referid un sistem de ejes prlelos desplzdos (sin rotr). L ecución de l hipérol referid l sistem es : Utilizndo ls fórmuls de trslción de ejes: : result: : cuo centro es el punto que corresponde l ecución de l hipérol C ; cuo eje focl es prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje, su ecución es: Ejemplos:. Representr gráficmente l cónic de ecución: Coordends del centro: ; ; 3 Págin 3

32 Cónics Cuádics Págin 3 Eje focl: F F 3 5; 3 ; ; A A. Hllr l ecución de l hipérol cuos focos son ;0 6 ; ; con un etremo del eje conjugdo en 3 ; 3. De cuerdo con los dtos: F F Responde l ecución: El centro es punto medio del segmento que une los focos 3 ;, c c

33 Cónics Cuádics Ecución: 3 8 TRABAJO PRÁCTICO ) Escriir l ecución de l circunferenci de centro en (-3,-5 rdio r = 3. ) Los etremos de un diámetro de un circunferenci son los puntos de coordends A(,3) B(-4,5). Hllr l ecución de l curv. 3) Hllr l ecución de l circunferenci cuo centro es el punto C(7,-6) que ps por el punto P(,). 4) Hllr l circunferenci de centro C(,-4) que es tngente l eje. 5) Hllr l longitud de l circunferenci cu ecución es: 5 ² +5² = 0. 6) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen foco en el punto (4,0). 7) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen foco en el punto (0,-3). 8) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen directriz de ecución 5 = 0 Págin 33

34 Cónics Cuádics 9) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen directriz de ecución X + 3 =0. 0) Un práol cuo vértice está en el origen cuo eje coincide con el eje ps por el punto (-,4). Hllr l ecución de l práol, ls coordends del foco, l ecución de l directriz l longitud del ldo recto. ) Hllr ls coordends de los vértices focos, ls longitudes de los ejes mor menor, l ecentricidd l longitud de cd uno de sus ldos rectos, en ls elipses, cus ecuciones son: 9² + 4² = 36 6² + 5 ² = 400 4² + 9² = 36 ² + 3² = 6 ) Hllr l ecución de l elipse cuos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) cuos focos son los puntos (3,0); (-3,0) 3) Los vértices de un elipse son los puntos (0,6) ; (0,-6) sus focos son los puntos (0,4);(0,-4). Hllr su ecución. 4) Hllr l ecución de l elipse cuos focos son los puntos (,0);(-,0) su ecentricidd es igul /3. 5) L ecución de un elipse es ² + 4² = 0. Determinr ls coordends del centro, de los vértices de los focos; clculr ls longitudes del eje mor, del eje menor, de cd ldo recto l ecentricidd. 6) Pr ls ecuciones de ls siguientes hipérols hllr ls coordends de los vértices focos, ls longitudes de los ejes trnsverso no trnsverso, l ecentricidd l longitud de cd ldo recto. ) 9² - 4² = 36 ) 9²-4² = 36 c) 4² - 9² = 36 d) ² - 4² = 4 6) Los vértices de un hipérol son los puntos (,0); (-,0) sus focos son los puntos de coordends (3,0) (-3,0). Hllr su ecución su ecentricidd. 7) El centro de un hipérol está en el origen su eje trnsverso está sore el eje. Si un foco es el punto (0,5) l ecentricidd es igul 3, hllr l ecución de l hipérol l longitud de cd ldo recto. 8) Un hipérol tiene su centro en el origen su eje trnsverso está sore el eje. L longitud de cd ldo recto es /3 l hipérol ps por el punto (-,). Hllr su ecución. Págin 34

35 Cónics Cuádics GEOMETRÍA DEL ESPACIO INTRODUCCIÓN: SUPERFICIES Ndie puede poner en dud que en tods ls crrers técnics se consider conveniente un cercmiento ls Geometrís, sore todo en quells que como l Arquitectur necesitn un dominio de los spectos espciles donde se instlrán o construirán los ingenios credos en los tlleres de diseño. Desde hce lgunos ños h sido nuestr preocupción el estudio metodológico de l enseñnz de l Geometrí, en prticulr de quellos prolems del espcio tridimensionl que presentn un importnte grdo de dificultd en l visulizción en el prendizje. Entre los prolems que se presentn en dicho espcio, con ecepción de los plnos, los cilindros los conos, de estudio reltivmente sencillo, result de significtivo interés otener un metodologí que permit, trvés del conocimiento de su ecución, l generción gráfic de culquier superficie. En prácticmente l totlidd de l litertur que trt el tem, pueden verse "diujds" ls superficies un "estudio nlítico" de ls misms consistente en un conjunto de fórmuls que sólo sirven los efectos de "verificr" l vlidez del gráfico presentdo; dicho de otr form, los tetos de uso corriente efectún l presentción de figurs que nticipn, sin construcción nlític corde previ, l form geométric otener, lo que conduce "justificr" l correspondenci de un gráfic preelord con su ecución, relizndo un estudio "contr ntur" que nuestro esquem de trjo pretende desterrr. El método que proponemos present un ciert nlogí con el utilizdo en Medicin pr efectur Tomogrfís Computds consiste en cortr l superficie que se estudi cu form nos es desconocid con un plno, trtndo de visulizr form de l curv intersección de modo tl que nos permit ir "generndo" l superficie pso pso. L primer dificultd que se present es que l no conocerse l form de l superficie en estudio, result imposile Págin 35

36 Cónics Cuádics ver l form de l curv resultnte de l intersección; est contingenci nos h llevdo modificr el sistem de ecuciones mito (epresión nlític de l curv común ms superficies), reemplzndo l ecución cuo lugr geométrico pretendemos encontrr por otr, otenid medinte un cominción de ls ecuciones del sistem primitivo que rroje como resultdo l ecución de un cilindro o l de un cuádric "degenerd" (por ejemplo un pr de plnos), lográndose de este modo, l cortr l superficie de reemplzo con un plno, "ver" de un mner sencill l form de l curv intersección. Cmir un superficie por otr, que pse por l curv intersección que por su conocimiento previo su sencillez teng l propiedd de permitirnos ver l form de dich curv, es l rzón de ser del método que continución se descrie. Sido es que en Geometrí eisten dos prolems fundmentles que pueden plnterse de mner simple con los siguientes esquems:.- Ddo un lugr geométrico por medio de ls condiciones que verificn los puntos que le pertenecen, hllr su ecución..- Dd l ecución de un lugr geométrico, construir su gráfic. En el espcio idimensionl (el plno) no eiste dificultd de entendimiento porque l percepción es visul en consecuenci puede doptrse culquier de los esquems descriptos: siguiendo el primero de ellos, podemos definir como lugr geométrico un líne, prtir de est definición otener l correspondiente ecución; mientrs que, de cuerdo l segund metodologí, podemos escriir l ecución generl de segundo grdo en dos vriles A B C D E F 0 (que corresponde como epresión más generl ls cónics desplzds rotds), medinte un trslción un rotción decuds llegr ls ecuciones cnónics que, eplicitds, permiten jo cierts condiciones de entorno (cmpo de definición, etc...) grficr l curv estudid. En el espcio tridimensionl no result posile descriir tods ls superficies como lugr geométrico (sólo los plnos, l esfer, los cilindros los conos tienen es propiedd) en consecuenci el único recurso ordle es escriir l ecución generl de segundo grdo en tres vriles, Págin 36

37 Cónics Cuádics A B Cz D Ez Fz G H Iz J 0 luego medinte rotciones trslciones relizds por completmiento de cudrdos que resulten decuds, llegr : A '' '' B '' '' C '' z '' J ó A '' '' B '' '' Iz 0 0 (form cnónic de ls cuádrics con centro). (form cnónic de ls cuádrics sin centro). Los csos prticulres que pueden presentrse provienen de ls distints cominciones de signos entre los coeficientes de los términos cudráticos. Pr ls cuádrics con centro pueden escriirse ls ecuciones: r r z r z c z c z c pr ls cuádrics sin centro: SUPERFICIE ESFÉRICA ELIPSOIDE HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA..HIPERBOLOIDE DE DOSHOJAS p q z PARABOLOIDE ELIPTICO p q z PARABOLOIDE HIPERBOLICO resultndo en estos csos imposile desde el punto de vist práctico utilizr l metodologí de eplicitr ls ecuciones pr poder grficr los lugres geométricos correspondientes por l grn cntidd de puntos que deemos diujr los efectos de proimr l ide de l form de l superficie. Además, cundo queremos representr ojetos que tienen su vigenci en el espcio tridimensionl, se hce necesri l reducción de un de ls dimensiones pr diujr en el ppel, lo que olig estlecer códigos de visulizción como ls perspectivs, proecciones, etc. Págin 37

38 Cónics Cuádics El método de "discusión" de l ecución pr "encontrr l form": puede desrrollrse medinte los siguientes psos: ) Estudio de l Simetrí, por oservción de l ecución correspondiente. ) Verificción de l pertenenci o no del origen de coordends. 3) Estudio de l intersección con los ejes coordendos. 4) Estudio de l intersección con los plnos coordendos. 5) Estudio de l intersección con plnos prlelos los plnos coordendos. Pr relizr este estudio result imprescindile diferencir correctmente que represent un determind ecución cundo l mism es considerd en diferentes espcios. Vlg como ejemplo representtivo l epresión = 0, que considerd en el espcio unidimensionl tiene como lugr geométrico un punto, en el espcio idimensionl un rect prlel l eje de ordends en el espcio tridimensionl un plno prlelo l plno coordendo z. Dee recordrse como concepto fundmentl que en el espcio tridimensionl, un curv culquier sólo puede epresrse en form nlític como intersección de l menos dos de ls infinits superficies que se cortn según ell. Result imposile por lo tnto, hlr de l ecución de un curv en dicho espcio. Recordemos que l trtr l rect en el espcio tridimensionl, dedujimos ls ecuciones crtesins simétrics de l mism. Reforzmos este concepto con el siguiente Ejemplo: Ls ecuciones de l circunferenci del espcio uicd sore un plno prlelo l plno coordendo, de centro en C(0,0,) rdio r= pueden epresrse como ( z ) 4 ; esfer de centro (0,0,) r z ; plno prlelo l plno que contiene l punto(0,0,) Págin 38

39 Cónics Cuádics Como puede comprorse fácilmente, no es ést l únic mner de epresr ls ecuciones de l curv; si reemplzmos en l ecución de l esfer l vrile z por l constnte (cot l cul se produce el corte, fijd por l ecución del plno) result: z ; r ; que como veremos plno prlelo l plno es l ecución de un cilindro de eje z verificándose que l reemplzr en l ecución de l superficie que se estudi un de ls vriles por un constnte, se otiene l ecución de un cilindro o en su defecto, como veremos, l ecución conjunt de un pr de plnos. Result posile entonces, l cortr un superficie cu form nos es desconocid con un plno prlelo un plno coordendo, reemplzr su ecución por l de un cilindro de form conocid que conteng l curv intersección, en consecuenci permit identificrl. z L circunferenci en el espcio E3 z como intersección de esfer plno como intersección de cilindro plno Pr encrr l resolución de este tipo de prolems o ien los efectos de encontrr l form de l curv intersección entre dos superficies, result necesrio el conocimiento de ls siguientes: Págin 39

40 Cónics Cuádics FÓRMULAS DE IMPRESCINDIBLE CONOCIMIENTO PREVIO: ) Ecuciones correspondientes l espcio idimensionl (E ):.) Ecuciones cnónics de ls cónics. ecucióndelcónicsin centro : r circunferenci. elipse. hipérol. p práol..) Ecuciones de ls cónics desplzds: ( h) ( h) ( h) ( h) ( k) ( k) ( k) r p( k) circunf e r e n ci elipse hipérol práol con centro con con en centro con v é rt ic e centro (h, k) en en (h, k) en (h, k) (h, k).3) Ecuciones de un pr de rects: 0 ( ) ( ) 0 Págin 40

41 Cónics Cuádics ) Ecuciones del espcio tridimensionl (E 3 ):.) Ecución generl del plno sus csos prticulres: A B Cz D 0 Ecución generl del plno. A B Cz 0 Ecución de un plno que contiene l origen del sistem de referenci. A B D 0 Ecución de un plno prlelo l eje z (l form es nálog l de un rect en E ). A B 0 Ecución de un plno que contiene l eje z (l form es nálog l de un rect de E que contiene l origen). A D 0 Ecución de un plno prlelo l plno coordendo z (l form es nálog l de un rect de E prlel l eje ). A = 0 Ecución del plno coordendo z (l form es nálog l de l ecución del eje en E )..) Ecuciones de un pr de plnos: 0 ( ) ( ) 0 (oservr que l form es nálog l del pr de rects pr E. Págin 4

42 Cónics Cuádics.3) Ecuciones de cilindros conos: r ecución ecución 0 ecución conjunt z c de l circunfere nci en E. elipse en l ecución de un cilindro de directriz circulr eje z (nálog hipérol 0 de un cilindro de directriz elíptic (nálog l ecución de l E ). de un cilindro de directriz hiperólic (nálog en E. de un pr de plnos : 0 ecución de un cono de eje z. l ecución l ecución de Con el conocimiento de ls ecuciones precedentes sus correspondientes forms, estmos en condiciones de encrr l discusión de culquier superficie. Como hemos dicho, ls superficies más sencills son ls superficies esférics, los cilindros los conos, que nos posiilitn como veremos, con grn sencillez, efectur el estudio de superficies más complejs. Comenzremos entonces, con el trtmiento de ests superficies. L superficie más sencill del espcio tridimensionl es l que se represent nlíticmente de un mner generl por un ecución linel en tres vriles de l form: A + B + Cz + D = 0 cuo lugr geométrico, como semos es un plno. Puede demostrrse simismo, por medio de l fórmul de l distnci entre dos puntos que un superficie esféric de rdio r con centro en el origen de coordends tiene nlíticmente l ecución: ² + ² + z² = 0 Págin 4

43 Cónics Cuádics De un mner generl podemos decir que un superficie es un conjunto de puntos cus coordends stisfcen un ecución de l form: F(,,z) = 0 estndo ls coordends de los puntos de l superficie restringids vlores reles. Se puede otener un uen ide de l form de un superficie estudindo sus secciones plns. Tles secciones se determinn cortndo l superficie que se estudi por un serie de plnos prlelos los plnos coordendos. Si, como semos, los plnos prlelos l plno coordendo son de l form z = k, F(,, z) 0 z k son ls ecuciones de l curv intersección de l superficie que se estudi con el plno. Ejemplo : Estudio de l Superficie esféric. Se define como tl l conjunto de los puntos del espcio que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci entre culquier punto de l superficie el centro, recie el nomre de rdio. Si el centro están en (,,), l ecución correspondiente l lugr geométrico resultrá: ( - )² + ( - )² + (z - )² = r² siendo como cso prticulr, cundo el centro está en el origen de coordends: ² + ² + z² = r² Estudio de un superficie cilíndric: Recie este nomre l superficie que es generd por un rect que se mueve mnteniéndose prlel un rect fij llmd genertriz ps siempre por un curv fij dd que recie el nomre de directriz. Pr nuestro estudio prticulr considerremos l directriz como un curv perteneciente uno de los plnos coordendos l genertriz como un rect perpendiculr dicho plno. Págin 43

44 Cónics Cuádics Cilindro circulr o elíptico (de cuerdo con l form de l directriz). Cilindro de directriz prólic. Cilindro de directriz hiperólic- El lugr geométrico de los puntos P(,,z), tles que sus coordends son igules ls de un punto P del plno, es l rect que ps por P P(,,z) P (,,0) es prlel l eje z. Por consiguiente, un ecución del espcio tridimensionl que teng como vriles, es el lugr geométrico de un conjunto de rects prlels l eje z. Págin 44

45 Cónics Cuádics Generlizndo este concepto: un ecución cudrátic del espcio tridimensionl que crezc de un de ls vriles, tiene como lugr geométrico un superficie cilíndric con directrices prlels l eje que corresponde l vrile usente. L directriz es un curv que está sore el plno coordendo perpendiculr l vrile usente en l ecución, teniendo l curv en el espcio idimensionl l mism ecución que l superficie en el espcio tridimensionl. Ejemplo: Determinr l form de l superficie cu ecución es ² = 4 ) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo z. Ls ecuciones de los plnos prlelos l plno z son de l form = k; siendo l ecución de l superficie ² = 4, l intersección se otendrá pr = k = k k k k ) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo z. Son rects de ecuciones: k k 4 (rect prlel l eje z) c) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo. Págin 45

46 Cónics Cuádics Los plnos son de l form z=k, resultndo l curv intersección de ecuciones: 4 (práol de eje horizontl prlelo l eje ) z k Pr distintos vlores de k, ests práols son igules (es como si se trtr de un conjunto de práols pilds ). Result entonces que l superficie de ecución ² = 4 es un superficie cilíndric cus genertrices son prlels l eje z. Superficies cónics: Un superficie cónic está engendrd por un rect que se mueve de tl mner que ps siempre por un curv fij pln llmd directriz por un punto fijo que se denomin vértice no está contenido en el plno de l curv. El vértice divide l superficie cónic en dos porciones distints que recien el nomre de rm, hoj o np. Actividd: Determinr l nturlez de l superficie cu ecución es ² +6 ² - z² = 0 Grficr. Desrrollmos continución un ejemplo práctico completo de l discusión de un superficie plicdo l estudio de l superficie de ecución z. p q ) Estudio de l Simetrí: L ecución de l superficie que pretendemos estudir tiene ls vriles e elevds únicmente l cudrdo, mientrs que l vrile z está elevd l primer potenci: ello implic simetrí espcil respecto de los plnos z z, es decir simetrí respecto del eje z. Págin 46

47 Cónics Cuádics ) Verificr si l superficie contiene o no el Origen del Sistem de coordends. Ls coordends del origen del sistem de referenci stisfcen l ecución: el origen de coordends pertenece l superficie. 3) Intersección con los ejes coordendos: L intersección con los ejes coordendos se otiene resolviendo el sistem mito conformdo por l ecución de l superficie ls ecuciones de cd uno de los ejes, respectivmente. 3.) Intersección con el eje : z p q () 0 () z 0 (3) reemplzndo () (3) en (), otenemos: p 0 0 z 0; o se : z 0 coordends del origen. Ls intersecciones con los otros ejes coordendos se resuelven de mner nálog; se otiene como intersección el origen de coordends. 3.) Intersección con el eje : z p q () 0 () z 0 (3) reemplzndo () (3) en (), otenemos: 0 0 z 0 ; o se : z 0 q coordends del origen. Págin 47

48 Cónics Cuádics 3.c) Intersección con el eje z: z p q () 0 () 0 (3) reemplzndo () (3) en (), otenemos: z 0 0 0;o se : z 0 coordends del origen. 4. Intersección con los plnos coordendos 4.) Intersección con el plno coordendo : z p q 0 z 0 0 z 0 p q p q p q z 0 es un pr de plnos cortdo con el plno pr de rects en el plno coordendo (fig.) Plno de ecución 0 p q z z Plno de ecución 0 p q Trzs sore el plno coordendo Rects que pertenecen l superficie en estudio fig. Págin 48

49 Cónics Cuádics 4.) Intersección con el plno coordendo z: p q z 0 queequivle : p z 0 ; o ien: pz 0 3 cilindro prólico cortdo con el plno z práol en E }. (fig. ) z z Cilindro prólico Resultdo de ls intersecciones Con los plnos z Práol sore el Plno z fig. 4.c) Intersección con el plno z: - z 0 ; z 0 ; qz 0 p q q cilindro prólico de eje z, que re sus rms hci ls z negtivs, cortdo con z cu ecución es 0 práol sore el plno z. (fig. 3) el plno z z Cilindro cortdo con plno z práol en z. fig. 3 Intersecciones con los plnos coordendos. Págin 49

50 Cónics Cuádics 5. Intersección con plnos prlelos los plnos coordendos: 5.) Intersección con plnos prlelos l plno z: k k q z k z k qz k p q p q p cilindro de directriz prólic, que re sus rms hci ls z negtivs,cortdo con un plno prlelo l plno coordendo z. Pr cd vlor de con independenci de su signo,se otiene como intersección un práol de eje prlelo l eje z.(fig.4) k, Intersección con plnos prlelos l plno z z z fig. 4 Intersecciones con los plnos coordendos con plnos prlelos l plno z. 5.) Intersección con plnos prlelos l plno z:. k k p z k z k pz k p q p q q cilindrode directrizprólic eje z, que re sus rmshcils z positivs,cortdopor unplnoprlelolplnoz.lintersecciónesunpráoldeejeprlelol eje z.(fig.5) Intersecciones con plnos prlelos l plno coordendo z Plno prlelo l plno z z Págin 50 z fig. 5

51 Cónics Cuádics 5.c) Intersección con plnos prlelos l plno : Se presentn tres tipos de intersecciones distints: 5.c.) el plno cort l superficie por encim del plno ; l ecución del plno que cort es z = k ; con k>0. p z z k ;(k 0) q k z k ;(k 0) p q cilindro hiperólico cortdo con plno prlelo l plno ; l intersección es un hipérol uicd en un plno prlelo l plno (en este cso, pr k>0, por encim del mismo) (fig.6). z fig. 6 k>0 5.c.) L intersección pr k=0 es l correspondiente l plno, estudid. Págin 5

52 Cónics Cuádics 5.c.3) El plno cort l superficie por dejo del plno ; plno de ecución z = k; (k<0). z k p q p q cilindro de eje cortdo con plno z k ; k 0 z K ; k 0 z=k dejo del plno (fig.7) fig. 7 Intersecciones con plnos prlelos l plno pr k<0 SUPERFICIE TERMINADA: TRABAJO PRÁCTICO Págin 5

53 Cónics Cuádics Ejercicio. ) Estudir representr gráficmente l superficie cilíndric cu directriz es l circunferenci 9 pr z = 0 ) Idem pr l superficie cilíndric cu directriz es l práol 4 pr z = 0 c) Idem pr l superficie cilíndric cu directriz es l elipse pr z = 0 Ejercicio. Estudir representr gráficmente l superficie cónic cu ecución es: ) 3z 0 ) Idem pr 4z 0 c) Idem pr z 0 Ejercicio 3. ) Estudir representr l esfer de ecución z 6 0 ) Hllr l ecución de l esfer cuo centro es el punto O(,-,3 ) rdio r = 4. c) Idem pr O(-,, 4) rdio r 3 d) Idem de centro O(6, 3, -4) tngente l eje de ls sciss. Ejercicio 4. Estudir representr los siguientes elipsoides: ) 4 9 z 44 ) 6 4 z 00 Ejercicio 5. Estudir representr gráficmente los siguientes hiperoloides: z ) ) z 44 c ) 36 d ) 4z 9 6z Págin 53