GUÍA DE APRENDIZAJE N 6. Contenido: Funciones no lineales. 1.- Desarrolla a) Si ( ) = , encuentra f (-2) 2.- Resolver las ecuaciones: a) + 1 = 9

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1 GUÍA DE APRENDIZAJE Profesor: Víctor Manuel Rees Feest N Contenido: Funciones no lineales. 1.- Desarrolla a) Si ( ) = 5 +, encuentra f (-).- Resolver las ecuaciones: a) + 1 = 9 b) + =9 c) + =7 d) =0 e) ( + ) = ( + ).- Para que valor de la abscisa, la función cuadrática: = + tiene un valor etremo (máimo o mínimo)? 4.- Determina la función cuadrática representada por el siguiente gráfico. 5.- Una población es atacada por un cierto virus que produce gripe. A partir del instante en que se detectó, se tomaron medidas para controlarlo. La ecuación que permite calcular el número de personas enfermas es: ( ) = + + 7, en días a) Grafica la función b) Cuántas personas enfermas había el día en que se detectó la epidemia? c) Qué día se produce el número máimo de personas enfermas? d) Si el modelo matemático rige al tiempo pasado, qué día se supone que empezó la epidemia? e) Cuánto tiempo duró la epidemia? Guía N ; Función no lineal 1

2 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest.- El peso, en gramos, de un bebé en los primeros 5 días de vida se puede describir, aproimadamente, con la siguiente función: ( ) = Donde es el tiempo medido en días. t 5t si0 t < 8 0t si8 t 5 a) Indica el dominio de la función b) Qué tipo de función permite calcular el peso del bebé en los primeros 0 días c) Cuál es el peso del bebé al nacer? d) Qué representa el coeficiente de en la ecuación ( ) = ? e) Qué día se produce el peso mínimo durante los primeros 5 días? Cuál es este peso mínimo? f) Determina el peso máimo del bebé en los primeros 5 días 7.- Los biólogos han hallado que la velocidad de la sangre en una arteria es una función de la distancia de la sangre al eje central de la arteri De acuerdo con la le de Poiseuille, la velocidad (en centímetros por segundo) de la sangre que está a centímetros del eje central de una arteria viene dada por la función: ( ) = ( ), Donde es una constante es el radio de la arteri Supongamos que para una cierta arteria = 1,7 10 centímetros = 1, 10 - cms. a) Calcula la velocidad de la sangre en el eje central de esta arteri b) Calcula la velocidad de la sangre equidistante entre la pared de la arteria el eje central. 8.- Un estudio ambiental de una cierta comunidad suburbana sugiere que el nivel medio de monóido de carbono en el aire será de ( ) = 0,4 + 1 partes por millón cuando la población sea de miles. Se estima que dentro de años la población de la comunidad será de ( ) = 8 + 0, miles. a) Epresa el nivel futuro de monóido de carbono en la comunidad como función del tiempo. b) Cuál será el nivel de monóido de carbono dentro de años? Guía N ; Función no lineal

3 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest 9.- Supone que el número (aproimado) de bacterias en un cultivo en un tiempo (medido en horas) está dado por: ( ) = a) Cuál es el número inicial de bacterias? b) Cuántas bacterias ha luego de una hora? c) En qué tiempo la población de bacterias es máima? 10.- Supone que el peso en gramos de un tumor cerebral, en el tiempo, está dado por = 0. +, donde está medido en semanas. Con este enunciado contesta las siguientes preguntas: a) Grafica la curva que representa el crecimiento del tumor. b) Cuánto pesa el tumor después de 5 semanas? c) Cuál es la variación del peso del tumor entre la cuarta quinta semana? d) En qué semana alcanza su máimo peso? e) Cuántos gramos, como máimo, puede llegar a pesar el tumor? f) Si cuando el tumor alcanza su máimo peso, el paciente es internado de urgencia en la UTI, es sometido a un tratamiento para disminuir el peso del tumor. Cuánto tiempo demora en desaparecer el tumor después de aplicado el tratamiento? 11.- Al nacer un bebé perderá peso normalmente durante unos pocos días, después comenzará a ganarlos. Un modelo para el peso medio de los bebés durante las primeras semanas de vida es: ( ) = 0,015 0,18 +,, con medido en días. a) Determina la porción del gráfico que representa el problem b) Cuánto pesa el bebé al nacer? c) Cuándo el bebé alcanza su mínimo peso? d) Cuántos kilos pierde? e) Cuál es ese mínimo peso? f) Indica el intervalo de tiempo en el cual el bebé comienza a aumentar de peso. g) Cuánto pesa el bebé a las semanas? h) Cuántos kilos aumenta desde que nace hasta las semanas? 1.- En una reacción química la cantidad (en gramos) de una sustancia producida en horas viene dada por: ( ) = 1 4 ; 0< (t en horas) a) Grafica la porción de la función acorde con el problem b) Cuántos gramos de sustancias se han producido, después de media hora? c) En qué instante la cantidad de sustancia producida es máima? d) Cuál es el valor de esa cantidad máima de sustancia producida? e) Cuál es el promedio de sustancia producida entre la media horas? Guía N ; Función no lineal

4 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest 1.- La gran arteria del cuerpo humano la aorta- es un tubo aproimadamente tan grande como la base de un pulgar humano medio. El corazón bombea la sangre a través de ella de manera tan potente que las partículas de sangre próimas al centro se mueven a velocidades de unos 50 cm/s. Por otra parte, la sangre es un líquido viscoso, cerca de la pared de la arteria la sangre tiende a pegarse a la pared, su velocidad ahí es prácticamente cero. La relación precisa entre la velocidad la distancia al centro viene dada por la fórmula: ( )= (4ŋ ) ( ), donde es la diferencia de presión entre los etremos de la arteria, ŋ la viscosidad de la sangre la longitud de la arteri Es costumbre medir, en centímetros (cm), en dinas/cm, de modo que se mide en cm/s. Un valor típico para en el cuerpo humano es = 0, cm, un valor realista para la constante (4ŋ ) es de 500. Reemplazando estos valores en la fórmula se obtiene: ( ) = 0 500, de acuerdo a ésta, determina: a) Porción del gráfico acorde al enunciado. b) Cuál es la velocidad de la sangre a 0.1cm del centro de la arteria? c) Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es cero? d) Cuál es la velocidad de la sangre en el centro de la arteria? e) Para qué valor de r, la velocidad de la sangre es máima? f) Cuál es esa velocidad? 14.- El director de un hospital ha decidido que en cierta unidad se pueden atender 1 pacientes diariamente. Si se asume que todos los factores que no sean el número de médicos atención final permanecen constantes. La función de atención puede epresarse por la ecuación: ( ) = + 4 donde representa el número de médicos ( ) los pacientes atendidos. El director afirma que necesitará 7 médicos para atender 1 pacientes, a) Suponiendo un modelo matemático adecuado, es correcta la afirmación del director con respecto al número de médicos que necesita? b) Qué tipo de curva representa?. Realiza la gráfic c) Construir una tabla de número de médicos v/s pacientes que muestre la relación que eiste entre ellos en el intervalo de 1 a 7 médicos. Guía N ; Función no lineal 4

5 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest 15.- La reacción de una persona a una droga puede manifestarse de diferentes maneras como, disminución de la presión sanguínea, aumento de temperatura corporal, variación del pulso u otros cambios fisiológicos. Se sabe que la intensidad depende de la cantidad de droga administrad Suponga que es la cantidad de droga administrada la reacción es: ( ) = (4 ) a) Cuándo se obtiene la reacción máima cuál es? b) Cuándo la droga no manifiesta reacción? 1.- El descenso de la presión sanguínea de una persona depende de la cantidad del medicamento que ingier Así, si se ingieren miligramos del medicamento, el descenso de la presión sanguínea es función de, donde: ( )= ( ) el valor de está entre [0, ] donde es una constante positiv Determina el valor de que ocasiona el máimo descenso de la presión sanguíne 17.- Las vitaminas A-C-E se encuentran naturalmente concentradas en el organismo en un 0.0% por cm de liquido corporal. Si se ingieren vitaminas A-C-E de manera adicional debido a algún tratamiento, el porcentaje de concentración por cm de líquido corporal, está dado por: ( ) = Donde representa el tiempo de tratamiento medido en meses. Graficar la función, indicar dominio recorrido e interpreta en el conteto del problem 18.- Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad de huéspedes (número de huéspedes por unidad de área) es, el número de parásitos es, donde ( ) = Realiza la grafica de la función. Indique dominio, recorrido, intervalos de crecimiento decrecimiento, estudia eistencia de puntos máimos, mínimos de la función. A continuación interpreta estos resultados en el conteto del problem Que sucede con el número de parásitos cuando la densidad de huéspedes es mu grande? Guía N ; Función no lineal 5

6 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest 19.- Para estudiar la tasa a la que aprenden los animales, un estudiante de psicología realizó un eperimento, de modo repetido se enviaba una rata de un etremo a otro de un laberinto de laboratorio. Supone que el tiempo requerido por la rata para atravesar el laberinto en la n ésima prueba es aproimadamente: ( ) = + minutos a) Cuál es el dominio de? b) Para qué valores de tiene sentido la función en el conteto del eperimento? c) Cuánto tiempo le tomó a la rata cruzar el laberinto en la tercera prueba? d) En qué prueba atravesó la rata por primera vez el laberinto en 4 minutos o menos? e) Podrá la rata atravesar alguna vez el laberinto en menos de minutos? 0.- La siguiente ecuación muestra la cantidad de metano producido por descomposición bacteriana en el intestino grueso: (h)= h +10h Donde (h) mide la cantidad de gas producido en cc h las horas desde 0 a. En que tiempo la producción gas alcanza el 70%? 1.- La siguiente ecuación = ( ), muestra de manera abstracta la forma en que compiten las células blancas con una bacteria gramm positiv Realiza la gráfica relata lo sucedido (el eje de las ordenadas muestra la cantidad de bacterias muertas)..- El ministerio de salud evalúa matemáticamente los gastos de un consultorio en una comuna capitalin Esta vez, representaron mediante un polinomio los gastos de un médico que actuó como director. La ecuación es: ( )=,5 + 0,5 donde ( ) representan los gastos realizados en el consultorio en meses. a) Cuál fue el presupuesto inicial para el consultorio? b) Hubo periodos de déficit con respecto al presupuesto inicial?, si los hubo en qué mes(es)? c) Cuándo el consultorio se quedó eventualmente sin dinero? d) Cuánto tiempo duró el director en su cargo? Guía N ; Función no lineal

7 RESPUESTAS Profesor: Víctor Manuel Rees Feest 1. f(-)=4. =8,8888; =0,11 b. =8,8888; =0,11 c. =-4,05; =4,05 d. =; =1/; =; =1/ e. =. = 4 4. = -(1/9) +(/) [0,5] de 0 a 5 días. b. La función cuadrátic c. 00 gramos. d. Representa el tiempo. e. A los14 días, Peso: 15 gramos. f gramos b. 5 gramos. c. Aumenta 4, gramos, variación porcentual respecto a las4semanas de 0,19%. d. 15 semanas. e. 45 gramos. f. A las 0 semanas. 7. s = 0,54 cms/seg b. s = 0,518 cms/seg b., kilos c. dias. d. 0,54 kilos. e.,7 kilos. f. De a 14 días. g.,7 kilos. h. 0,4kilos. 8. c(p) = 4,+0,08t b. c = 4,5 ppm b. 7 personas. c. al día d. hace tres días (suposición) e. 9 días b.7 gramos. c. horas. d. 1 gramos. e.9 gramos bacterias. b. 000 bacterias. c. 0,75 horas (45 minutos) es correcta la afirmación, pues se da el par (7,1). b. c. 1,;,1;,0;4,48;5,70;,9;7, Cantidad ; valor de intensidad 4. b. Cuandola cantidad es 4 b. 15 cms/seg c. 0,cms (distanci desde el centro de la arteria hasta el borde. d. 0 cms/seg. e. r=0 f. máima velocidad. 1. El valor de más cercano a sin serlo. Guía N ; Función no lineal 7

8 Profesor: Víctor Manuel Rees Feest Dom: los meses desde el inicio del tratamiento hasta el mes <100. Rec: Todos los valores del % de concentración por cm. Aun cuando ha gráfica para valores positivos solo se deberán considerar valores desde el tiempo 0 (donde la concentración es %) hasta el tiempo cercano a 100meses (donde la concentración puede llegar a ser infinita) = la función puede adquiri todos los valores de ecepto el -10/45, considerando el conteto del problema sólo interesan los valores de la densidad desde el 0 hasta los +. = la función puede tomar todos los valores de ecepto el 0, sin embargo considerando elconteto el dominio el recorrido tiene un intervalo entre el valor de cantidad de parásitos 0 hasta elnúmero <0. Solo ha intervalos de crecimiento, sin puntos máimos ni mínimos. Cuando la densidad es mu grande la población de parásitos sólo puede crecer hasta un número cercano a 0 individuos. 19. Dom=todos los valores de n ecepto el 0. b. Solo para los valores > 0 hasta +. c. 7 minutos. d. A la prueba 1. e. Nunca pues el valor se eclue del recorrido A las 4,14 horas apro Las bacterias aparecen despues que la concentración de celulas blancas es 1,luego ha un pequeño aumento hasta de bactarias hasta valor para después deeso disminuir desaparecer, sin embargo después que las celulas blancas tienen unvalor superior de 4,5 las bacterias aparecen incrementando su cantidadhasta el infinito (puede ser mil millones, millones de dolares,etc.) b. Si hubo, después de los 4,5 meses. c. A los 4,5 meses aproimadamente d. Debería haber durado 4,5 cuandose quedón sin presupuesto. Guía N ; Función no lineal 8