a) Trazamos el diagrama del sólido libre correspondiente a todo el sistema y aplicamos la ecuación fundamental de la Dinámica: N C m g

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1 1. res bloques A, B y C de masas 3, 2 y 1 kg se encuentran en contacto sobre una superficie lisa sin rozamiento. a) Qué fuerza constante hay que aplicar a A para que el sistema adquiera una aceleración de 2 m.s -2? b) razar el diagrama de sólido libre de cada bloque. c) Calcular las fuerzas ejercidas por cada bloque sobre los otros. d) Cuál será la aceleración del sistema si existe fricción entre el suelo y los bloques, sabiendo que el coeficiente de rozamiento cinético es 0,15? A B C a) razamos el diagrama del sólido libre correspondiente a todo el sistema y aplicamos la ecuación fundamental de la Dinámica: A A B C m g A B m g B C m g C La única fuerza que tiene la dirección del movimiento es. Por tanto: b) Para trazar el diagrama del sólido libre de cada bloque hay que tener en cuenta todas las fuerzas que actúan en cada cuerpo, tanto las externas (en azul) que son la reacción del suelo sobre el cuerpo y las reacciones de los otros bloques sobre él, como las internas que es el peso del cuerpo (en rojo). 1

2 A B BA AB CB BC A B C C m g A m g B m g C c) Aplicamos la ecuación fundamental de la Dinámica a cada bloque, teniendo en cuenta que todos los cuerpos se moverán con la misma aceleración a ya calculada anteriormente: Sabemos por el Principio de Acción y Reacción que la fuerza BA ejercida por B sobre A es la misma que ejerce A sobre B, AB, y análogamente, que CB = BC d) En este caso, tenemos que calcular las fuerzas de rozamiento: En cada bloque se cumple que ,8 29,4 0,1529,4 4, ,8 19,6 0,1519,6 2, ,8 9,8 0,159,8 1, ,41 2,94 1,47 321,. 2

3 2. Un hombre cuya masa es de 70 kg se pesa en un ascensor. Qué lectura indicará la balanza en los siguientes casos? a) El ascensor está parado b) El ascensor asciende con una velocidad constante de 2 m.s -1. c) El ascensor inicia la subida con una aceleración de 2 m.s -2. d) El ascensor asciende frenando a razón de 2 m.s - ². e) El ascensor empieza a descender con una aceleración de 2 m.s - ². f) El ascensor desciende frenando con una aceleración de 2 m.s - ². g) Se rompe la cuerda del ascensor Hay sólo dos fuerzas: el peso del hombre y la normal que es la reacción de la balanza sobre el hombre. Pues bien, la lectura que proporciona una balanza es el valor de la fuerza normal en unidades del sistema écnico, es decir, en kp. Como 1 kp es igual a 9,8, a una persona de 70 kg de masa en reposo le corresponderá un peso de 686 o 70 kp. 70 9, ,8 En general 70 a) Como el ascensor está parado, a = 0 a = ,8 Equivale a una lectura en la balanza de 686 b) El ascensor asciende con velocidad constante de 2m/s. Como la velocidad es constante, a = 0, la resultante de las fuerzas que actúan vuelve a ser nula. El resultado es el mismo que en el caso a). Si el ascensor asciende o desciende con velocidad constante o bien está en reposo, la lectura será la misma. c) El ascensor inicia la subida con una aceleración de 2 m.s -2. 3,

4 a SR ,8 2, d) El ascensor asciende frenando a razón de 2 m.s - ², por lo que según el sistema de referencia (SR) que hemos escogido, dicha aceleración es negativa. a SR ,8 2, e) El ascensor empieza a descender con una aceleración de 2 m.s - ². Como lo más sencillo es elegir el sistema de referencia según el sentido del movimiento, lo invertimos. Observemos que a será positiva en este SR. SR a ,8 2, 4

5 f) El ascensor desciende frenando con una aceleración de 2 m.s - ². Seguimos con el mismo sistema de referencia puesto que el movimiento es de descenso. Como es un movimiento de frenado, la aceleración tendrá sentido contrario a la velocidad y será negativa. SR a ,8 2 g) Se rompe la cuerda del ascensor. Se trata de un cuerpo en caída libre, por lo que la aceleración será la aceleración de la gravedad 5

6 3. Qué fuerza hay que aplicar para que el bloque de masa m de la figura no se mueva? El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y el plano inclinado es. m El diagrama del sólido libre va a depender del movimiento inminente del bloque. La fuerza de rozamiento tendrá sentido opuesto al del movimiento inminente. Si el bloque tiende a bajar, entonces la fuerza de rozamiento tendrá la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada,, mientras que si tiende a subir, la fuerza de rozamiento tendrá sentido contrario a la fuerza aplicada,. y x Re sen cos Aplicamos las condiciones de equilibrio: sen cos Re

7 4. Una fuerza de 20 actúa sobre un bloque de 10 kg que se encuentra sobre el plano inclinado de la figura. Los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el bloque y el plano son 0,3 y 0,2 respectivamente y el ángulo de inclinación es 30º. Determinar si el bloque está en equilibrio y en caso negativo, determinar hacia donde se desliza el bloque y con qué aceleración. m Primero determinaremos el valor máximo que puede alcanzar la fuerza de rozamiento. Las ecuaciones de equilibrio son: ,3 10 9, ,46 25,5 Utilizamos la ecuación del problema anterior y sustituimos los datos del problema: 23,5 74,5 Como el valor de la fuerza que actúa es menor que la fuerza mínima para que el sistema esté en equilibrio, el bloque se deslizará bajando por el plano. Una vez en movimiento, calculamos la fuerza de rozamiento del bloque. 0,2 10 9, ,97 17,0 10 9, , Para aplicar ver figura del problema 3. En este caso se aplicará la fuerza de rozamiento debida a la fricción cinética, puesto que el bloque se desliza bajando por el plano. 7

8 5. En los extremos de una cuerda de masa despreciable que pasa por una polea también de masa despreciable y sin rozamiento, se sitúan dos bloques idénticos de 20 kg de masa cada uno. Qué masa hay que añadirle a uno de los dos bloques para que se desplace 2 m en sentido descendente en 4 s? Cuál es la tensión de la cuerda? a y m' m (m+m')g Al ser la polea de masa despreciable y sin rozamiento, su única función es cambiar el sentido del movimiento, y por tanto la tensión en los extremos de la cuerda es la misma. Al añadir la masa, el sistema se desequilibra y se produce un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado sin velocidad inicial. Calculamos la aceleración: Δ Ahora, planteamos la ecuación fundamental de la Dinámica teniendo en cuenta las fuerzas que actúan a favor y en contra del movimiento: 9, , Consideramos el diagrama de fuerzas del sólido libre para el cuerpo de masa m, por ejemplo: 201 9,8 8

9 6. Dos masas iguales de 2 kg están unidas por una cuerda que pasa a través de una polea siendo las masas de estas últimas despreciables. Uno de los dos cuerpos se encuentra en un plano inclinado 50º. El otro cuerpo está pendiendo verticalmente. Calcular la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda. El coeficiente cinético de rozamiento es 0,3 entre la masa y el plano. Hacemos el gráfico y construimos el diagrama de fuerzas de todo el sistema sen r cos m'g El sentido del movimiento depende de la inclinación de los dos cuerpos y de su masa. En este caso, al tener los dos bloques la misma masa, el movimiento será en sentido horario (hacia la derecha) ,8 2 9,8 50 0,32 9,8 cos 50 22, Para calcular, aislamos el bloque de masa m y aplicamos la ecuación fundamental de la Dinámica: 2 9,8 0,2, 9

10 7. Resolver el problema anterior pero considerando que la masa m que pende del hilo vertical es de 1 kg mientras que la otra masa m es de 3 kg. En este caso, no podemos saber previamente el sentido del movimiento. Así que establecemos uno de los dos y construimos el diagrama de fuerzas. Si la aceleración resulta ser positiva, el sentido del movimiento será el propuesto. Si es negativa, el sistema se moverá en sentido contrario. Pero hay que tener en cuenta que cambia el sentido de la fuerza de rozamiento por lo que el valor absoluto de la aceleración no será el mismo y por tanto, hay que volver a calcularla. Elegimos el sentido antihorario. r sen cos m'g 3 9, ,8 0,3 3 9,8 cos 50 22, 1 9,8 1,76, 10

11 8. Cuál debe ser el peralte que debe tener una carretera en una curva de 80 m de radio para que un automóvil que circula a 72 km.h -1 no se salga de la curva? En este caso, es más fácil descomponer la reacción que ejerce el suelo sobre el automóvil en sus dos componentes rectangulares sen y cos. 0 0 La fuerza origina la aceleración normal del automóvil al describir la curva (movimiento circular) Si dividimos las dos ecuaciones 20 0,51 9,880 11

12 9. Una partícula de masa m que está sujeta al extremo de una cuerda de longitud L, gira describiendo circunferencias horizontales de radio r con una velocidad v, mientras la cuerda describe la superficie de un cono. Se pide calcular el ángulo formado por la cuerda con la vertical y la tensión de la cuerda. Se trata de un péndulo cónico. Las fuerzas que actúan son el peso de la partícula y la tensión de la cuerda. Descomponemos cos la tensión en sus componentes horizontal y vertical. Por el sen R diagrama de fuerzas, obtenemos que: 0 cos 0 cos Como en el caso del peralte, la componente horizontal sen origina la aceleración normal de la partícula al describir una circunferencia. Aplicamos Dividimos ambas ecuaciones: Como ya hemos determinado, podemos calcular = /cos, o bien elevamos al cuadrado las dos ecuaciones que hemos dividido anteriormente y las sumamos: cos cos 12

13 10. Una masa M de 300 g describe una circunferencia de 40 cm de radio dando 1 vuelta en cada segundo sobre una mesa sin rozamiento, tal y como se observa en la figura. Dicha masa está unida a otra masa, m, que pende verticalmente mediante una cuerda que pasa por un orificio de la mesa. Calcula: a) La aceleración del cuerpo M. b) La tensión de la cuerda. c) El valor de m para que su altura se mantenga constante. a) Como la velocidad angular es constante, 1 vuelta en cada s, la masa M describe un movimiento circular uniforme. b) , ,3 2 0,4 1,2., 2,51 0,4 15,8 c) 0 4,73 9,8, 0,3 2,51 0,4, 13

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