1 ELS NOMBRES ENTERS 1.1

Transcripción

1 1 ELS NOMBRES ENTERS EXERCICIS PROPOSATS Escriu un nombre enter per a cada condició. a) Negatiu i el seu valor absolut és menor que 9. b) El seu oposat és un negatiu major que 3. a) Els nombres enters amb valor absolut menor que 9 són tots els del conjunt: { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Com ha de ser negatiu, són solucions possibles els nombres { 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}. b) Ha de ser un nombre positiu (per a què el seu oposat siga negatiu) i menor que 3 (per a què el seu oposat siga major que 3). Per això, són solucions possibles els nombres del conjunt {1, 2}. Completa amb nombres enters. a) 6 b) 4 a) b) Escriu cada resta com a suma de dos nombres i calcula. a) 5 ( 2) c) 7 2 e) 3 ( 8) b) 7 ( 2) d) 9 1 f) 8 9 a) 5 ( 2) c) ( 2) 5 e) 3 ( 8) b) 7 ( 2) d) ( 1) 10 f) ( 9) 1 Calcula de dues maneres diferents. a) 7 ( 5) ( 3) 8 b) 29 ( 2) 1 ( 4) a) d'esquerra a dreta: 7 ( 5) ( 3) 8 2 ( 3) Agrupant positius i negatius: 7 ( 5) ( 3) 8 (7 8) (5 3) b) d'esquerra a dreta: 29 ( 2) 1 ( 4) 27 1 ( 4) 28 ( 4) 24 Agrupant positius i negatius: 29 ( 2) 1 ( 4) (29 1) (4 2) La resta de dos nombres és 3. El segon d'aquests és 1, calcula n el primer. Plantegem la resta a ( 1) 3 a 1 3 a 3 op(1) El producte de dos nombres enters és igual a 270 i un dels enters és l'oposat de 15. Quin és l'altre? L'oposat de 15 és 15, després : a ( 15) 270 La divisió associada és: 270 ( 15) 18 Per tant, a 18, i tenim que 18 ( 15) 270 Calcula. a) 9 ( 4) c) ( 3) ( 16) e) ( 6) 20 b) ( 75) 5 d) 49 ( 7) f) ( 40) ( 8) a) 9 ( 4) 36 c) ( 3) ( 16) 48 e) ( 6) b) ( 75) 5 15 d) 49 ( 7) 7 f) ( 40) ( 8) 5 Indica la propietat que s'aplica en cada cas. a) ( 5) [( 3) 7] [( 5) ( 3)] 7 b) ( 10) ( 9) ( 9) ( 10) a) Associativa. b) Commutativa. 4

2 1.9 Per quin nombre cal dividir 105 per a obtindre 7? Busquem un nombre que multiplicat per 7 done 105. El nombre és 15. Obtenim a partir de la divisió associada 105 ( 7) Aplica la propietat distributiva per a calcular. a) ( 2) [5 ( 3)] b) ( 7) [( 4) 6] a) ( 2) [5 ( 3)] ( 2) 5 ( 2) ( 3) b) ( 7) [( 4) 6] ( 7) ( 4) ( 7) ( 6) En primer lloc, trau-ne factor comú i després calcula. a) ( 5) 8 ( 5) 4 b) a) ( 5) 8 ( 5) 4 5 (8 4) b) (7 3) Explica si són certes les igualtats següents. a) 7 15 ( 9) 1 (7 15) ( 9) 1 b) 3 (10 5) a) No és certa. Hem de fer, en primer lloc, els productes i els quocients i, en segon lloc, les sumes. La solució correcta seria: 7 15 ( 9) 1 7 [15 ( 9)] 1 b) Sí, és certa: 3 (10 5) 3 ( 1) (10 5) Fes les operacions següents. a) 45 (2 11) 3 4 c) 8 4 ( 10 3) 7 b) 36 ( ) d) 2 [6 ( 3 1)] 8 2 a) 45 (2 11) ( 9) 12 ( 5) 12 7 b) 36 ( ) 36 ( 17 8) 36 ( 9) 4 c) 8 4 ( 10 3) ( 7) d) 2 [6 ( 3 1)] [6 ( 2)] RESOLUCIÓ DE PROBLEMES 1.14 Joan ha comprat un terreny de 450 metres quadrats a 160 euros el metre quadrat. Passat un temps el ven per euros. Quant ha guanyat per cada metre quadrat? En primer lloc, calculem per quant va vendre el metre quadrat, per a això, dividim el preu total del terreny entre el nombre de metres quadrats: euros A continuació, calculem la diferència entre el preu final i el preu inicial per metre quadrat: euros va guanyar per cada metre quadrat. L'operació combinada que resol el problema és: euros 1.15 En un dia d hivern, la temperatura a les sis del matí és de 3 C sota zero. Al migdia ha pujat 9, però a les dotze de la nit el termòmetre marca 1 sota zero. Quina diferència de temperatura hi ha hagut entre el migdia i la mitjanit? La temperatura a les sis del matí és de 3 C. Com que puja 9 C, al migdia, la temperatura és de C. A mitjanit, la temperatura és de 1 C. La diferència de temperatures l obtenim restant les dues temperatures: 6 ( 1) 7 C de diferència. 5

3 CÀLCUL MENTAL 1.16 Copia i completa la taula següent. a b a b a b a b ( 1) ( 9) Busca dos nombres negatius la diferència dels qual siga 5. Escollim un nombre negatiu qualsevol. El segon nombre l obtenim de restar 5 unitats al primer. Per exemple: 1 i En efecte, 6 ( 1) Descompon els nombres següents en sumes de dos enters de signe diferent. a) 6 b) 8 c) 3 d) 9 a) 6 1 ( 7) 2 ( 8) 3 ( 9) b) 8 9 ( 1) 10 ( 2) 11 ( 3) c) 3 1 ( 4) 2 ( 5) 3 ( 6) d) 9 10 ( 1) 11 ( 2) 12 ( 3) 1.19 Indica els nombres que hi falten. a) 7 7 ( 2) 7 ( 2) b) 4 ( 3 5) 12 a) 7 7 ( 2) 7 (1 2) b) 4 ( 3 5) 12 ( 20) 1.20 Calcula les operacions següents. a) c) 18 ( 9) b) 2 6 d) a) c) 18 ( 9) 2 2 b) d) Escriu els nombres següents com a quocient de dos enters de manera que almenys un siga negatiu. a) 4 b) 5 c) 7 d) 6 Si tenim un nombre positiu, al ser un dels enters del quocient negatiu, necessàriament l'altre ha de ser també negatiu. Si tenim un nombre negatiu, al ser un dels enters del quocient negatiu, necessàriament l'altre ha de ser positiu. a) 4 4 ( 1) 8 ( 2) 12 ( 3) 16 ( 4) 20 ( 5) b) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) c) 7 7 ( 1) 14 ( 2) 21 ( 3) 28 ( 4) d) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 6

4 1.22 Calcula. a) El doble de b) La tercera part de c) El quàdruple de a) 2 ( 20 13) 2 ( 7) 14 b) ( 18 3) 3 ( 21) 3 7 c) 4 ( 63 7 ) 4 ( 63 7) 4 ( 9) Substitueix a pel nombre enter que faça que la igualtat siga certa. a) 6 a 30 c) 8 a 1 b) a ( 5) 2 d) a 4 24 a) a 30 ( 6) 5. En efecte, 6 ( 5) 30 b) a ( 5) ( 2) 10. En efecte, 10 ( 5) 2 c) a En efecte, d) a En efecte, Copia i completa amb el nombre que hi corresponga. a) op(4) 3 b) 2 10 c) 7 1 d) op( 6) 4 a) op(4) 1 3 b) 2 ( 5) 10 c) d) 24 op(6) 4 EXERCICIS PER A ENTRENAR-SE Nombres enters. Valor absolut 1.25 Busca un nombre el valor absolut del qual siga 12 i estiga comprés entre 14 i 10. Els nombres que tenen com a valor absolut el 12 són 12 i 12, i és aquest últim el comprés entre 14 i 10. Per tant, el nombre que ens demanen és Copia i completa la taula següent. a 2 a 4 a 2 a 4 a Indica el resultat de les operacions següents. a) 3 8 d) 30 ( 10) b) 9 13 e) 5 11 c) 25 5 f) 2 7 a) d) 30 ( 10) 30 ( 10) 3 b) e) c) f)

5 1.28 Substitueix la lletra a per nombres en cada cas. a) 6 a 0 c) op( 8) 3 a b) 2 a 5 d) 9 op(a) 4 a) a 6 b) a 7 ó 7 c) a 5 d) a 13 Suma i diferència de enters 1.29 Calcula. a) c) 15 ( 6) ( 4) b) 2 ( 6) 5 d) 4 8 ( 12) ( 7) a) b) 2 ( 6) c) 15 ( 6) ( 4) d) 4 8 ( 12) ( 7) Copia i afig el nombre que fa que l'operació siga 0. a) 5 4 c) 7 9 b) 8 15 d) 12 6 a) 5 ( 1) 4 b) 8 15 ( 23) c) d) Escriu cadascun dels enters següents com a suma de dos enters de dues maneres diferents. a) 4 b) 9 c) 10 d) 12 Heus ací algunes respostes possibles: a) ( 1) ( 1) 5 6 ( 2) ( 2) 6 b) 9 ( 11) 2 2 ( 11) ( 10) 1 1 ( 10) 0 ( 9) ( 9) 0 8 ( 1) ( 1) ( 8) c) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) 12 d) ( 14) ( 13) ( 12) 11 ( 1) 1 ( 11) 1.32 La resta de dos nombres és 13, i el minuend, 6. Quin és el subtrahend? 6 a 13 a 6 ( 13) Escriu els nombres següents com a resta de dos enters de signe diferent. a) 5 b) 7 c) 3 d) 8 Heus ací algunes respostes possibles: a) 5 4 ( 1) 3 ( 2) 2 ( 3) 1 ( 4) b) 7 6 ( 1) 5 ( 2) 4 ( 3) 3 ( 4) 2 ( 5) 1 ( 6) c) d)

6 1.34 Calcula de dues maneres diferents. a) c) 7 ( 2) 9 ( 12) b) d) 15 ( 4) ( 6) ( 1) a) d'esquerra a dreta: Agrupant positius i negatius: b) d'esquerra a dreta: Agrupant positius i negatius: c) d'esquerra a dreta: 7 ( 2) 9 ( 12) 5 9 ( 12) 4 ( 12) 8 Agrupant positius i negatius: 7 ( 2) 9 ( 12) d) d'esquerra a dreta: 15 ( 4) ( 6) ( 1) 11 ( 6) ( 1) 17 ( 1) 18 Agrupant positius i negatius: 15 ( 4) ( 6) ( 1) Multiplicació i divisió Substitueix a pel nombre enter que faça que la igualtat siga certa. a) 5 a 20 c) a ( 8) 2 b) 40 a 10 d) a ( 9) 27 a) a En efecte, 5 ( 4) 20 b) a En efecte, 40 ( 4) 10 c) a ( 8) En efecte, 16 ( 8) 2 d) a 27 ( 9) 3. En efecte, 3 ( 9) 27 Calcula de dues maneres diferents. a) 2 ( 4 7) c) 6 ( 2 1) b) 5 (3 6) d) 9 ( 8 5) a) Directament: 2 ( 4 7) Aplicant la propietat distributiva: 2 ( 4 7) 2 ( 4) b) Directament: 5 (3 6) 5 ( 3) 15 Aplicant la propietat distributiva: 5 (3 6) 5 3 ( 5) ( 6) c) Directament: 6 ( 2 1) 6 ( 3) 18 Aplicant la propietat distributiva: 6 ( 2 1) 6 ( 2) 6 ( 1) d) Directament: 9 ( 8 5) 9 ( 3) 27 Aplicant la propietat distributiva: 9 ( 8 5) 9 ( 8) ( 9) Calcula. a) ( 4) ( 5) ( 3) c) 96 ( 8) b) ( 60) ( 10) d) ( 8) 3 ( 2) a) ( 4) ( 5) ( 3) 60 c) 96 ( 8) 12 b) ( 60) ( 10) 6 d) ( 8) 3 ( 2) 48 Indica les propietats de la multiplicació utilitzades en les igualtats següents. a) 7 [( 4) ( 10)] [7 ( 4)] ( 10) b) ( 8) ( 9) 1 ( 9) ( 8) a) Associativa. b) En primer lloc, tenim en compte que l'1 és l'element neutre. A continuació, apliquem la propietat commutativa. Aplica la propietat distributiva per a calcular. a) 2 ( 5 7) c) 6 ( 3 8) b) 4 ( 10 1) d) 6 (5 9) a) 2 ( 5 7) 2 ( 5) b) 4 ( 10 1) 4 ( 10) ( 4) ( 1) c) 6 ( 3 8) 6 ( 3) 6 ( 8) d) 6 (5 9) 6 5 ( 6) ( 9)

7 1.40 Busca el nombre que dividit entre 6 dóna 5. 5 ( 6) 30. Per tant, el nombre buscat és 30, ja que 30 ( 6) Trau-ne factor comú i després calcula. a) c) b) ( 4) d) a) ( 8 5) 3 ( 3) 9 b) ( 4) (7 3) c) (1 2) 9 ( 1) 9 d) (4 5) 5 ( 1) 5 Expressa cada nombre com a producte i com a quocient de dos nombres enters. a) 12 b) 35 c) 40 d) 8 a) Producte: ( 12) ( 6) ( 4) Quocient: ( 1) ( 2) ( 3) b) Producte: ( 1) ( 35) ( 7) 7 ( 5) Quocient: ( 35) ( 1) 70 2 ( 70) ( 2) ( 105) ( 3) c) Producte: ( 1) ( 2) ( 4) ( 5) Quocient: ( 1) ( 2) ( 3) d) Producte: ( 1) ( 2) Quocient: ( 1) ( 2) ( 3) Busca el nombre que multiplicat per 8 dóna ( 8) 12. El nombre que busquem és 12, ja que 12 ( 8) 96. El dividend d'una divisió exacta és 108, i el quocient, 18. Quin és el divisor? El divisor és 6, ja que 108 a 18 a 108 ( 18) 6. Transforma en sumes i després opera. a) 5 (8 9) b) 2 ( 7 10) c) 8 (12 4) d) 6 ( 9 5) a) 5 (8 9) 5 8 ( 5) 9 40 ( 45) 85 b) 2 ( 7 10) 2 ( 7) 2 ( 10) 14 ( 20) 34 c) 8 (12 4) 8 12 ( 8) ( 4) d) 6 ( 9 5) 6 ( 9) Trau-ne factor comú i després calcula. a) ( 6) c) 7 ( 7) 5 b) 4 ( 9) 4 ( 3) d) 8 6 a) ( 6) 3 (2 6) 3 ( 4) 12 b) 4 ( 9) 4 ( 3) 4 ( 9) ( 9 3) 4 ( 6) 24 c) 7 ( 7) 5 7 (1 5) d) (4 3) 2 ( 1) 2 Operaciones combinadas 1.47 Copia i completa amb el nombre que hi corresponga. a) 10 ( 2) 7 7 c) ( 3) 9 ( 1) 6 15 b) 9 ( 4) 8 ( 5) 36 a) 10 ( 2) b) 9 ( 4) 8 ( 5) 36 ( 40) 4 c) 18 ( 3) 9 ( 1)

8 1.48 Lleva primerament els parèntesis i després calcula. a) 21 (4 10) b) 15 ( 2 7) a) 21 (4 10) b) 15 ( 2 7) Raona si les igualtats següents són correctes o no. a) 12 ( 4) 3 12 ( 12) b) c) (8 6) d) 3 (9 8 4) a) No és correcta. Quan les multiplicacions i divisions apareixen seguides i sense parèntesis, hem de fer-les d'esquerra a dreta. Per tant, la solució correcta és 12 ( 4) b) No és correcta. En primer lloc hem d'efectuar la multiplicació i, posteriorment, la suma. La solució correcta és c) Sí que és correcta. d) No és correcta. Un signe negatiu davant de parèntesis canvia el signe de tots els nombres que hi ha en el parèntesi. La solució correcta és 3 (9 8 4) Calcula en l'ordre adequat les operacions següents sense parèntesis. a) ( 4) 7 d) 12 ( 4) 40 ( 8) b) ( 3) 6 e) 64 ( 8) ( 7) c) 34 ( 2) 5 f) 9 21 ( 3) 4 a) ( 4) b) ( 3) c) 34 ( 2) d) 12 ( 4) 40 ( 8) e) 64 ( 8) ( 7) 8 ( 7) 56 f) 9 21 ( 3) Calcula el resultat de les operacions següents amb parèntesis. a) 54 ( 3 6) (5 12) ( 2) b) (9 4) ( 3 1) 80 ( 20) c) 2 ( 7) [ 5 (8 4) 9] d) 10 ( 2 3) [4 (1 7)] a) 54 ( 3 6) (5 12) ( 2) 54 ( 9) ( 7) ( 2) ( 6) 14 8 b) (9 4) ( 3 1) 80 ( 20) 5 ( 4) c) 2 ( 7) [ 5 (8 4) 9] 14 [ 5 4 9] 14 [ 20 9] 14 ( 11) d) 10 ( 2 3) [4 (1 7)] 10 ( 5) [4 ( 6)] 2 (4 6) Fes en l ordre adequat. a) 15 2 ( 16) ( 8) d) 45 ( 49) 7 ( 6) b) 12 ( 9) 6 ( 2) e) 20 6 ( 5) ( 2) c) 7 3 ( 4) 27 ( 9) f) 54 ( 3) 2 9 ( 4) a) 15 2 ( 16) ( 8) b) 12 ( 9) 6 ( 2) 12 ( 54) ( 2) c) 7 3 ( 4) 27 ( 9) d) 45 ( 49) 7 ( 6) 45 ( 7) ( 6) e) 20 6 ( 5) ( 2) 20 ( 30) ( 2) f) 54 ( 3) 2 9 ( 4)

9 1.53 Calcula les operacions següents. a) 15 (7 9) 6 8 ( 2) b) 6 ( 4) [5 (12 9)] c) 45 ( 8 3) 2 10 d) 20 ( 2) ( 3) a) 15 (7 9) 6 8 ( 2) 15 ( 2) 6 ( 16) 15 ( 12) b) 6 ( 4) [5 (12 9)] 20 [5 3] c) 45 ( 8 3) ( 5) d) 20 ( 2) ( 3) ( 3) Substitueix a pel nombre que siga necessari perquè la igualtat siga certa. a) 5 ( 3 2) 5 a b) 12 6 ( 4) ( 2) 7 a 14 c) 7 (8 12) ( 4) 7 a d) a a) a 1 b) a 8 c) a 1 d) a 36 PROBLEMES PER A APLICAR 1.55 Euclides va ser un matemàtic que visqué 60 anys i va morir el 265 ac. Quin any va nàixer? 1.56 Les dates ac s'identifiquen amb nombres negatius. L'any del naixement de Crist s'identifica amb el 0, i les dates posteriors al naixement de Crist s'identifiquen amb nombres positius. D'aquesta manera, podem dir que Euclides va morir l'any 265. Com va nàixer 60 anys abans, va nàixer l'any , és a dir, l'any 325 a. C. La primera dona matemàtica coneguda, Hipàcia d Alexandria, va nàixer el 370 dc. Quant de temps va passar des que va morir Euclides fins que va nàixer Hipàcia? Identificant les dates amb nombres enters, Euclides va morir l'any 265, i Hipàcia d'alexandria va nàixer l'any 370. La diferència entre les dues dates es correspon amb els anys que van transcórrer: 370 ( 265) 635 anys 1.57 El cim més alt d Espanya, amb m d altura, és el Mulhacén. El Sistema de Trave, a 1441 m de profunditat, és el quart avenc més profund del món. Calcula la diferència d altitud ( 1441) 4919 m és la diferència d'altitud El mes passat, un empleat no va anar a treballar durant 5 dies. Li han descomptat en total 195 euros del sou. Utilitzant nombres enters, calcula quants diners ha perdut cada dia que no va anar a treballar euros ha perdut cada dia. Si identifiquem guanyar diners amb el fet de sumar nombres positius, i perdre diners amb el fet de sumar nombres negatius, podem afirmar que cada dia que no ha assistit al treball ha guanyat 39 euros.

10 1.59 Un rellotge retarda 40 segons cada hora. Si a les 9 del matí del dilluns tenia l hora exacta, quina hora tindrà a les 12 del migdia? Entre les 9 i les 12 transcorren hores. El rellotge retarda 40 segons cada hora. Per tant, en 3 hores el rellotge retarda segons 2 minuts. A les 12 del migdia, el rellotge marcarà les El primer mes de l any, la gasolina va baixar 5 cèntims, el segon va pujar 3 cèntims, el tercer pujà 8 cèntims i el quart baixà 2 cèntims. Expressa amb nombres enters i calcula la variació total de la gasolina en aquest temps. Cèntims de variació Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Total La variació total és cèntims, és a dir, en quatre mesos la gasolina ha pujat 4 cèntims Una comunitat de veïns ha instal lat plaques solars i ha aconseguit estalviar 180 euros en el rebut de la llum durant un any. Quin estalvi mensual ha aconseguit? Per a calcular l'estalvi mensual, dividim l'estalvi anual entre el nombre total de mesos: euros La variació en el rebut de la llum mensual ha sigut, per tant, de 15 euros Pau tenia 850 euros en la seua llibreta d estalvis. Ha ingressat 250 euros cada mes durant els 5 últims mesos. Va traure euros per a pagar al fuster. Quin saldo li queda? Moviments Saldo 850 Mes Mes Mes Mes Mes Mes La taula mostra els moviments fets en el compte bancari de Pau durant els últims 5 mesos. El saldo inicial era de 850 euros. El primer mes va afegir 250 euros, després el seu saldo va ascendir a euros. El segon mes va afegir 250 euros, després el seu saldo va ascendir a euros. El tercer mes va afegir 250 euros, després el seu saldo va ascendir a euros. El Quart mes va afegir 250 euros, després el seu saldo va ascendir a euros. El quint mes va afegir 250 euros, després el seu saldo va ascendir a euros. Finalment, per a pagar al fuster va traure 2300 euros, per la qual cosa el seu saldo va disminuir: euros. Així que Pau li deu al banc 200 euros. Resolem el problema amb una operació combinada:

11 A l institut es juga una competició de futbol entre les classes. S aconsegueixen 3 punts si guanyen un partit, 0 si empaten i 2 si perden. Dels 20 partits jugats, una classe n ha guanyat 10 i n ha empatat 5. Quants punts han aconseguit fins a aquest moment? En total s'han jugat 20 partits. 10 s'han guanyat, així que s'han obtingut punts. 5 s'han empatat, així que per aquests 5 partits no s'ha obtingut cap puntuació. Els 5 partits restants s'han perdut, així que s'han obtingut 5 ( 2) 10 puntos. Els punts totals s'obtenen sumant tots els punts aconseguits: 30 ( 10) 20 Resolem el problema amb una operació combinada: ( 2) Durant una setmana, aquests són els canvis de temperatura que es van produir a l Antàrtida: cadascun dels dos primers dies va pujar 2 graus, els dos dies següents es va mantenir estable i cadascun dels dos últims dies va baixar 1 grau. a) Quina variació ha patit la temperatura durant aquests dies? b) Si el primer dia de la setmana hi havia 27 C, quina era la temperatura l últim dia? Variació Temperatura 27 C Dia 1 2 C 25 C Dia 2 2 C 23 C Dia 3 0 C 23 C Dia 4 0 C 23 C Dia 5 1 C 24 C Dia 6 1 C 25 C La taula mostra la variació de temperatura en l'antàrtida durant els últims 6 dies. La temperatura inicial era de 27 C. El primer dia, la temperatura va augmentar 2 graus, arribant a 25 C. El segon dia va augmentar 2 graus, arribant a 23 C. Els dies tercer i quart no hi va haver variació de temperatura, per la qual cosa aquesta va romandre en 23 C. El quint dia, la temperatura va descendir 1 grau, baixant a 24 C. El sext dia va descendir 1 grau, baixant a 25 C. a) La variació de temperatura en aquestos dies ha sigut de C. b) La temperatura final es calcula amb una operació combinada de la manera següent: ( 1) Uns amics han fet a peu una ruta de muntanya. Van començar a 650 metres sobre el nivell del mar, després van pujar 150 metres més; després van baixar 200 metres i finalment van pujar fins a arribar als 936 metres d altura. a) Expressa amb nombres enters cadascun dels trams de pujada i baixada que han fet. b) Calcula els metres que van pujar en l última etapa de la ruta. a) Variació Altura 650 m Tram m 800 m Tram m 600 m Tram 3? 936 m b) La taula mostra la variació d'altura en els trams de la ruta. b) L'altura inicial era de 650 m. b) En el primer tram, l'altura va variar 150 m, després es van situar a m. b) En el segon tram, l'altura va variar 200 m, després es van situar a m. b) En el tercer tram van aconseguir una altura de 936 m, després l'altura va variar m. 14

12 1.66 Durant dos mesos, Marta ha estalviat 6 euros a la setmana. Ha gastat 24 euros en un regal per a la seua avia. a) Expressa amb nombres enters l'estalvi setmanal i la despesa en el regal. b) Si quan va començar a estalviar ja tenia 15 euros, quants diners té ara? Variació Saldo 15 Setmana Setmana Setmana Setmana Setmana Setmana Setmana Setmana Compra a) Setmanalment, el saldo de Marta va variar 6 euros. Després de la compra, el saldo de Marta va variar 24 euros. b) Dos mesos comprenen 8 setmanes. El saldo final de Marta s'expressa per mitjà d'una operació combinada de la manera següent: euros. Nombres enters. Valor absolut REFORÇ Calcula. a) 8 ( 4) b) c) 2 9 d) 24 6 a) 8 ( 4) 8 ( 4) 32 b) c) d) Escriu els nombres que fan que el resultat de les operacions següents siga 0. a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 a) 5, perquè 5 ( 5) 0 0 c) 3, perquè 3 ( 3) b) 4, perquè d) 6, perquè 6 ( 6) Quin és el valor absolut de la suma de dos nombres oposats? Zero, perquè a op(a) 0 0 Suma i diferència d enters En cada cas, busca dos nombres negatius que complisquen la condició següent. a) La suma dels dos siga 18. b) La diferència entre els dos siga 3. a) ( 1) 16 ( 2) 15 ( 3) 14 ( 4) 13 ( 5) 12 ( 6) 11 ( 7) b) 3 4 ( 1) 5 ( 2) 6 ( 3) 7 ( 4) 8 ( 5) 9 ( 6) Calcula. a) 9 (6 8) b) 12 3 ( 6) c) 1 ( 9) ( 8) d) 1 (7 10) 5 a) 9 (6 8) c) 1 ( 9) ( 8) b) 12 3 ( 6) d) 1 (7 10) Busca el nombre que cal sumar a 8 perquè la meitat de la suma siga 1. a 8 2 ( 1) a 8 2 a 10, perquè

13 1.73 Escriu els nombres següents com a suma i com a diferència d altres dos. a) 12 b) 8 c) 5 d) 17 e) 0 Heus ací algunes respostes possibles: a) Com a suma: ( 1) 10 ( 2) 9 ( 3) 8 ( 4) Com a diferència: b) Com a suma: Com a diferència: ( 10) 3 ( 11) 4 ( 12) c) Com a suma: Com a diferència: d) Com a suma: ( 21) 5 ( 22) Com a diferència: e) Com a suma: 0 1 ( 1) 2 ( 2) 3 ( 3) Com a diferència: Multiplicació i divisió 1.74 Calcula el resultat de les operacions següents. a) 3 ( 9) 5 b) 8 ( 2) ( 4) c) 6 ( 5) 10 ( 2) d) 108 ( 3) e) 72 ( 6) f) a) 3 ( 9) b) 8 ( 2) ( 4) 64 c) 6 ( 5) 10 ( 2) 600 d) 108 ( 3) 36 e) 72 ( 6) 12 f) Busca el nombre que dividit per 7 dóna 5. Com que 7 ( 5) 35, Després el nombre buscat és Quin nombre multiplicat per 14 dóna 84? 84 ( 14) 6, després 6 ( 14) 84. El nombre buscat és 6. Operacions combinades 1.77 Primerament opera amb els parèntesis i després calcula n el resultat. a) 3 ( 5 9) b) 8 ( 4 10) c) 7 (6 2) d) 15 (6 11) a) 3 ( 5 9) 3 ( 4) 7 b) 8 ( 4 10) 8 ( 14) c) 7 (6 2) 7 ( 4) 3 d) 15 (6 11) 15 ( 17) 2 16

14 1.78 Calcula. a) 3 (4 6 2) ( 15 5) ( 10) b) ( 9 4) (1 2) 4 ( 8) ( 16) c) 10 ( 2 6) ( 20) (7 4) d) 12 (3 7) 2 ( 14) e) 8 ( 9) [( 2) 3] 1 f) [6 (4 12) 10] ( 2) a) 3 (4 6 2) ( 15 5) ( 10) 3 (4 12) ( 20) ( 10) 3 ( 8) b) ( 9 4) (1 2) 4 ( 8) ( 16) ( 13) ( 1) ( 32) ( 16) c) 10 ( 2 6) ( 20) (7 4) 10 ( 8) ( 20) 3 80 ( 20) d) 12 (3 7) 2 ( 14) 12 ( 4) e) 8 ( 9) [( 2) 3] 1 72 ( 6) f) [6 (4 12) 10] ( 2) [6 ( 8) 10] ( 2) ( 48 10) ( 2) 58 : ( 2) 29 AMPLIACIÓ 1.79 A què és igual la suma dels valors absoluts de dos nombres enters oposats? 1.80 Dos nombres enters oposats tenen el mateix valor absolut. Per tant, la suma dels valors absoluts de dos nombres enters oposats és igual al doble del valor absolut de qualsevol d'ells. Exemple: El valor absolut de la suma de dos nombres negatius consecutius és 13. Quins nombres són? Hi ha més d una solució? La suma de dos nombres negatius és un nombre negatiu. Com el seu valor absolut és 13, la suma dels dos nombres és 13. Per tant, l'exercici consisteix a buscar dos nombres negatius consecutius que sumen 13. Podem fer-ho per tempteig: 1 ( 2) 3; 2 ( 3) 5; 3 ( 4) 7; ; 6 ( 7) 13 Els nombres que busquem són 6 y 7. L'exercici també podem fer-lo de la manera següent: a (a 1) 13 2 a a 14 a 7 y a 1 6 La solució és única Posa parèntesis en les operacions següents perquè les igualtats siguen certes: a) b) c) En algun cas es poden ometre els parèntesis? a) 9 (3 5) 8 10 b) 9 3 (5 8) 24 c) En aquest cas no cal l'ús de parèntesis La diferència de dos nombres negatius és igual a la meitat del més gran. Quins nombres són? Algunes possibles solucions són: 6 y 4, ja que 6 ( 4) 2 y ( 4) y 2, ja que 3 ( 2) 1 y ( 2) y 6, ja que 9 ( 6) 3 y

15 1.83 Escriu les barres de valor absolut on corresponga perquè aquestes igualtats siguen certes. a) 6 4 ( 2) 4 b) 6 4 ( 2) 8 c) 6 4 ( 2) 5 d) 6 4 ( 2) 4 a) 6 4 ( 2) 4 b) 6 4 ( 2) 8 c) 6 4 ( 2) 5 d) 6 4 ( 2) 4. No són necessàries les barres Quin és el resultat de dividir un nombre negatiu entre el seu valor absolut? El resultat és sempre Què s obté quan dividim un nombre positiu entre el valor absolut del seu oposat? Obtenim 1, ja que un nombre i el seu oposat sempre tenen el mateix valor absolut Quina relació hi ha entre un nombre positiu i el valor absolut de la diferència entre aquest i el seu oposat? I si el nombre és negatiu? Si és positiu, el valor absolut de la diferència entre ell i el seu oposat és el doble del nombre inicial, ja que si a és positiu, a ( a) 2 a 2 a. Exemple: Siga 5 el nombre que ens donen. El valor absolut de la diferència entre ell i el seu oposat és 5 ( 5) Si és negatiu, el valor absolut de la diferència entre ell i el seu oposat és el doble de l'oposat del nombre inicial, ja que si a és negatiu, a ( a) 2 a 2 a. Exemple: Siga 5 el nombre que ens donen. El valor absolut de la diferència entre ell i el seu oposat és PER A INTERPRETAR I RESOLDRE 1.87 El missatge A Segueix aquestes instruccions i utilitza la roda per a desxifrar el missatge del pergamí. Comença en la primera lletra del missatge. Un nombre negatiu et fa avançar en el sentit de les busques del rellotge tantes caselles com indica el seu valor absolut. Un nombre positiu et fa avançar en el sentit oposat al de les busques del rellotge tantes caselles com indica el seu valor absolut. El missatge secret és ATENCIÓ AMB ELS SIGNES!. 18

16 1.88 Una ciutat curiosa Durant els mesos d hivern, en una ciutat succeeix un fenomen molt curiós: la temperatura màxima sempre varia, amb relació a la del dia anterior, segons la taula següent. Dies Dilluns, dimecres i divendres Dimarts, dijous i dissabtes Diumenges Variació 2 C 1 C 4 C Ahir, dilluns 16 de febrer, es va arribar als 2 C de màxima. Calcula la temperatura màxima de cadascun dels dies següents. a) Dilluns que ve. b) Dilluns passat. c) D ací a quatre dilluns. d) Fa quatre dilluns. e) El passat 20 de gener i el pròxim 18 de març. Nota: Enguany no és bixest. Dl. Dm. Dc. Dj. Dv. Ds. Dg La taula ens mostra un calendari des del 19 de gener fins el 22 de març. Apareixen ressaltats els dies corresponents al mes de febrer. Per a calcular la temperatura màxima en un dia posterior al 16, sumem a la temperatura del dia 16 de febrer la variació corresponent a cada dia transcorregut. Per a calcular la temperatura màxima en un dia anterior, sumem a la temperatura de tal dia l'oposat de la variació corresponent a cada dia transcorregut. És a dir, a l'avançar en el calendari sumem les variacions, i al retrocedir sumem els oposats de les variacions. a) Dilluns que ve, la temperatura màxima serà de C. És a dir, entre un dilluns i el següent, la temperatura varia C. b) Dilluns passat, la temperatura va ser de C. És a dir, entre un dilluns i l'anterior, la temperatura varia C. c) Dins de quatre dilluns, el 16 de març, la temperatura serà de 2 4 ( 1) C. d) Fa quatre dilluns, el 19 de gener, la temperatura va ser de C. e) El passat 20 de gener, la temperatura va ser de C (n hi ha prou amb restar un grau a la temperatura del 19 de gener). El pròxim 18 de març, la temperatura serà de C (n hi ha prou amb restar un grau pel dimarts i sumar 2 pel dimecres a la temperatura del dia 16 de març). 19

17 AUTOEVALUACIÓ 1.A1 Calcula: a) b) 2 ( 6) a) b) 2 ( 6) 2 ( 6) 12 1.A2 Calcula el valor absolut de la meitat de 32. La solució és 16, ja que i A3 Fes les operacions següents. a) 9 ( 3) 4 7 ( 6) c) 8 ( 11) 4 9 b) 12 ( 4) 15 ( 5) d) ( 2) 3 ( 6) a) 9 ( 3) 4 7 ( 6) b) 12 ( 4) 15 ( 5) c) 8 ( 11) d) ( 2) 3 ( 6) A4 Fes les operacions següents després de llevar els parèntesis. a) (16 13) 8 c) 9 ( 4 2) b) 12 ( 5 2) d) (6 14) 10 a) (16 13) b) 12 ( 5 2) c) 9 ( 4 2) d) (6 14) A5 Descobreix el nombre que compleix la condició: a) Sumat a 13 dóna 4. b) En restar-hi 2 dóna 9. c) Multiplicat per 3 dóna 24. d) En dividir-lo entre 6 dóna 2. a) a 13 4, per tant a El nombre que busquem és 17. b) a ( 2) 9, per tant a El nombre que busquem és 11. c) 24 ( 3) 8. El nombre que busquem és 8, ja que 8 ( 3) 24. d) El nombre que busquem és 12, ja que 12 ( 6) 2. 1.A6 Calcula. a) 3 (5 8) 24 ( 6) 1 b) 10 [7 2 (1 3)] c) 12 2 (9 15) d) 6 (5 15) ( 2) a) 3 (5 8) 24 ( 6) 1 3 ( 3) ( 4) b) 10 [7 2 (1 3)] 10 [7 2 ( 2)] 10 [7 ( 4)] c) 12 2 (9 15) 12 2 ( 6) d) 6 (5 15) ( 2) 6 ( 10) ( 2) A7 Calcula el resultat de les operacions següents. a) op( 4) 9 c) op(5 11) b) 6 op(10) d) 8 ( 7) a) op( 4) b) 6 op(10) 6 ( 10) c) op(5 11) op( 6) 6 d) 8 ( 7)

18 1.A8 Aplica la propietat distributiva i calcula. a) 3 (6 2) c) 2 ( 1 7) b) 5 ( 4 9) d) 6 (3 5) a) 3 (6 2) 3 6 ( 3) 2 18 ( 6) 24 b) 5 ( 4 9) 5 ( 4) c) 2 ( 1 7) 2 ( 1) 2 ( 7) d) 6 (3 5) A9 Escriu tots els nombres enters el valor absolut dels quals és major que 3 i menor que 6. Els nombres que busquem són 4, 4, 5 i 5. 1.A10 La diferència de dos nombres enters és 6. Calcula n el subtrahend si sabem que el minuend és 5. Tenim que 5 a 6. Per tant, a En efecte, 5 ( 11) 6. 1.A11 Busca l oposat de les quantitats següents. a) El quàdruple de 13. c) El doble de 25. b) La cinquena part de 115. d) La tercera part de 78. a) op[4 ( 13)] op( 52) 52 c) op[2 ( 25)] op[ 50] 50 b) op[( 115) 5] op( 23) 23 d) op[( 78) 3] op( 26) 26 MURAL DE MATEMÀTIQUES Jugant amb les matemàtiques Endevina quin nombre sóc Sóc positiu Sóc imparell Sóc menor que 16 Sóc major que (6 1) (6 8) [ ( 12)] 3 ( 3) ( 5) ( 2) 1 Fent les operacions la taula queda: Per tant, el nombre és