OPTIMIZACION DETERMINISTICA

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1 OPTIMIZACION DETERMINISTICA 1 PROBLEMA GENERAL Además de analizar los flujos de caja de las las alternativas de inversión, también se debe analizar la forma como se asignan recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (óptima) La programación n lineal es una buena herramienta que ayuda a solucionar este problema 2

2 Ejemplo Modelo Ejemplo Básico: B Saint Gobain es una empresa dedicada a la elaboración n de artículos de vidrio templado de alta calidad (puertas y ventanas) los cuales se hacen en 3 plantas diferentes. Planta 1 Molduras y marcos de aluminio Planta 2 Molduras y marcos en madera Planta 3 Se hace y se ensambla el vidrio. 3 Se tiene un programa de cambio de la producción n y se propone incursionar con 2 nuevos productos. Producto 1 Producto 2 Puerta de vidrio con marco en aluminio Ventana de vidrio con marco en madera Según el Dpto. de comercialización toda la producción de éstos puede colocarse en el mercado. 4

3 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Se debe determinar la tasa de producción de los 2 productos para maximizar las utilidades sujeto a las limitaciones que tiene la empresa. Cual es la ganancia por lote de cada tipo de producto? Cuantas horas por semana dispone cada planta para la elaboración de un lote de cada tipo de producto? Cual es el requerimiento en horas para producir 1 lote de cada tipo de producto en cada una de las plantas? 5 Los parámetros son los siguientes Planta Tiempo de producción por lote (horas) P1 (puertas) P2 (ventanas) Tiempo de producción disponible a la semana (horas) Ganancia por lote US$3000 US$5000 6

4 Formulación como un modelo de Programación lineal Variables de decisión. X 1 : Número N de lotes del producto 1 fabricados por semana. X 2 : Número N de lotes del producto 2 fabricados por semana. 7 Medida de la eficiencia (función n objetivo) Z : Ganancia semanal total (en miles de Dólares) por la producción n de los 2 productos. Z = 3x 1 + 5x 2 [US$/ art ] * [ art/sem sem] =[US$ [US$// semana] Se debe maximizar sujeto a las limitaciones en cuanto a capacidad de producción. 8

5 Restricciones. [horas/ art ] * [ art/sem sem] ] = [ horas/sem sem] R1: Horas disponibles en la planta 1 X 1 4 R2 : Horas disponibles en la planta 2 2X 2 12 R3 : Horas disponibles en la planta 3 3X 1 + 2X 2 18 R4 : Tasas de producción n no negativas. X 1, X Para resumir. El problema en lenguaje matemático tico sería: Maximizar Z = 3X 1 + 5X 2 Sujeto a X 1 4 2X X 1 + 2X 2 18 X 1, X

6 SOLUCIÓN GRÁFICA x 2 0 X 1 = 4 (planta 1) X 2 = 6 (planta2) 3X 1 + 2X 2 = 18 (planta 3) x 1 11 La solución óptima Se desplaza la recta de la función n objetivo paralelamente hasta que toque el último punto antes de abandonar la región factible. Veamos la siguiente gráfica. 12

7 x 2 0 R R1 (2,6) R2 Z = 36 x 1 13 La solución óptima es: X 1 = 2 X 2 = 6 La ecuación de la recta que pasa por estos puntos es Z = 3X 1 + 5X 2 = 3(2) + 6(5) = 36 14

8 Mas que el contexto, lo que caracteriza a un modelo de programación n lineal es el modelo matemático, tico, ya que básicamente b lo que cambia es el nombre de las actividades 15 SIMBOLOGÍA Z = Valor de la medida global de efectividad. X j = Nivel de la actividad j (para j = 1, 2,..., n). c j = Incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j. b i = Cantidad del recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1, 2,..., m) a ij = Cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j. El modelo general quedaría así 16

9 EN GENERAL MAX Z = c 1 X 1 + c 2 X c n X n Función objetivo Sujeto a a 11 X 1 + a 12 X a 1n X n b 1 a 21 X 1 + a 22 X a 2n X n b 2 a m1 X 1 +a m2 X a mn X n b m X i 0 para i = 1,2,...,n 17 El modelo en forma matricial será Sujeto a Max Z = c x A x b x 0 18

10 Uso del Solver Se debe cargar el complemento por Herramientas/Complementos/Solver. Se activa por Herramientas/Solver. Celda Objetivo: Es la referencia de la celda en donde se encuentra la fórmula (función de utilidad). Estimar: Estima todas las celdas que no contienen ninguna fórmula a las que se hace referencia en la fórmula del cuadro Definir celda objetivo y coloca sus referencias en el cuadro Cambiando las celdas. Agregar, cambiar y eliminar: Programación de las restricciones. Restablecer todo: Limpia todos los campos diligenciados. Resolver: Inicia el proceso de solución del problema definido. 19 Uso del Solver Opciones de Solver: Tiempo: Máximo tiempo que tarda el proceso de solución. Estimar: Limita el número de cálculos provisionales. Precisión: Controla la precisión de las soluciones utilizando el número que se introduce para averiguar si el valor de una restricción cumple un objetivo o satisface un límite inferior o superior (>0). No Negativos: Xi >=0 Tolerancia: El porcentaje mediante el cual la celda objetivo de una solución satisface las restricciones externas puede diferir del valor óptimo verdadero y todavía considerarse aceptable. Esta opción sólo se aplica a los problemas que tengan restricciones enteras Adoptar Modelo lineal: Acelera el proceso de solución cuando todas las relaciones en el modelo sean lineales. 20

11 Ejemplo 1:Uso del Solver CALCULO DE UNA ANUALIDAD EN EXCEL: Construya una tabla de amortización con: N = 60 meses i = 1% Principal: Calcule el valor de la anualidad usando la Función pago, 2. Calcule el valor de la anualidad con Buscar Objetivo. 3. Calcule el valor de la anualidad con Solver tomando como celda objetivo el saldo final en el periodo 60, con valores de 0 y cambiando la celda del pago (sin restricciones). 4. Calcule el valor de la anualidad con Solver SIN definir celda objetivo, cambiando la celda en donde está el pago y con la restricción de que el balance final en n=60 sea igual a cero. 21 Ejemplo 2: Puertas y Ventanas Encuentre la solución al problema de programación lineal: Planta Tiempo de producción por lote (horas) P1 (puertas) P2 (ventanas) Tiempo de producción disponible a la semana (horas) Ganancia por lote US$3000 US$5000 La solución obtenida gráficamente es igual a la solución obtenida en el computador. 22

12 Ejemplo 2: Puertas y Ventanas INFORMES: Respuestas: Muestra una lista con la celda objetivo y las celdas ajustables con sus valores originales y sus valores finales, las restricciones y la información acerca de las mismas. Sensibilidad: Costos Reducidos (Diferencia entre el valor actual un coeficiente de la función de utilidad y el mínimo valor requerido para que su variable aparezca en la solución) y precios sombra (Contribución marginal del lado derecho de la restricción al valor óptimo de la función objetivo) Límites: Valores mínimos y máximos que pueden tomar las celdas ajustables mientras se mantienen todas las demás celdas ajustables fijas y se continúa satisfaciendo las restricciones. 23 Ejemplo 2: Puertas y Ventanas INFORME DE SENSIBILIDAD: CELDAS CAMBIANTES: Aumento y disminución permisible para los coeficientes objetivo: Es un intervalo abierto para los coeficientes de la función de utilidad, que indica que mientras estos coeficientes (los de la función de utilidad) se encuentren en ese intervalo, los valores (resultado) de las variables de decisión (xi) en la solución óptima no cambiarán. 24

13 Ejemplo 3: Asignación de Capitales La programación lineal, permite asignar de forma óptima, recursos escasos de capital, dentro de una serie de alternativas bajo consideración. Ejemplo: Una compañía tiene 9 proyectos bajo consideración. Los flujos de caja de los proyectos son los siguientes (en millones): La compañía cuenta con los siguientes recursos: 50 millones en el año 1 y 20 millones en el año 2. Si el costo del capital es del 10% anual, determine qué proyectos debe seleccionar la compañía si: a. Es posible invertir en fracciones de cada proyecto. b. Solo se puede invertir en proyectos completos (no fracciones). c. Si el proyecto 4 es seleccionado, entonces obligatoriamente debe seleccionar el proyecto 5 (además de que no puede invertir en fracciones de proyectos). * Utilice el criterio VPN 25 SOLVERTABLE Es un complemento de Excel que permite generar una tabla con los resultados de una optimización, dadas las variaciones en uno de los parámetros o hasta en dos parámetros. El complemento está disponible en varias páginas de Internet (Free), se recomienda bajar el instalador de: Para el ejemplo 3, realice un análisis de qué tan importantes son las restricciones de recursos en cada uno de los años. Cuáles recursos tienen mayor impacto en la decisión, los recursos disponibles en el año 1 o los recursos disponibles durante el año 2? 26

14 Ejemplo 4: Selección de alternativas de Inversión Una entidad Financiera, debe invertir durante un mes 500 millones de pesos que tiene disponibles. Para ello existen 4 alternativas de inversión: Money Market: Es una inversión a la vista (Disponibilidad inmediata) que renta un 10% efectivo mensual. Títulos de Deuda Privada: Son títulos emitidos por el sector real y financiero, que renta un 16% efectivo mensual. Títulos de Deuda Pública: Son títulos emitidos por el gobierno y rentan un 13% efectivo mensual. Créditos hipotecarios: Es una inversión que renta un 20% efectivo mensual. El área de riesgo de la institución, tiene las siguientes políticas internas: El monto invertido en cartera hipotecaria debe ser como máximo lo invertido en Money Market. El monto invertido en títulos de deuda privada debe ser como máximo el monto invertido en títulos de deuda pública. El monto total invertido en Money Market, Títulos de deuda privada y títulos de deuda pública debe ser como mínimo, 3 veces lo invertido en Cartera hipotecaria. Cuánto debe invertir la entidad en cada una de las alternativas de inversión? 27 Ejemplo 5:Optimización de Portafolio (H. Markowitz) Cómo podemos seleccionar un portafolio, tal que se minimice la varianza de éste, dada una rentabilidad esperada? Realicemos la selección de activos a partir de algunas acciones de la BVC. Supuestos: Rentabilidad y volatilidad de cada activo Correlaciones entre los activos. Rentabilidad de un portafolio: X1*U1 + + Xi*Ui+ +Xn*Un Donde Xi corresponde a la proporción invertida en el activo i Varianza de los retornos de un portafolio (matricial): [x1*s1 x2*s2 xn*sn] * P * [x1*s1 x2*s2 xn*sn] T P: Es la matriz de correlaciones entre los rendimientos de los activos. Encuentre y grafique la frontera eficiente descrita por H. Markowitz para activos de renta variable local. 28

15 EVOLVER En algunas oportunidades, SOLVER de Excel puede presentar inconvenientes en la solución de problemas no lineales. Para éstos, se recomienda el uso del EVOLVER. Un problema de optimización pierde la linealidad cuando intervienen funciones SI, MAX, MIN, ABS. Solver puede encontrar la solución SOLO si la solución inicial está cerca de la solución óptima. Los ALGORITMO GENÉTICOS, son usados para la solución de problemas no lineales. 29

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