Anexo. Aplicaciones de los Determinantes

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1 Anexo. Aplicaciones de los Determinantes 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1

2 Índice 1 Cálculo del rango usando determinantes Ejemplo: Estudio del Rango de la matriz resolviendo el determinante Cálculo de la matriz adjunta Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Ejemplo matriz 2x Ejemplo matriz 3x ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

3 1 Cálculo del rango usando determinantes 1.1 Ejemplo: Estudio del Rango de la matriz resolviendo el determinante. Determinar el rango de la siguiente matriz A = ( 2 2 1) El rango de una matriz nos indica el número de vectores linealmente independiente que forman esa matriz. Podemos en ocasiones podemos observar a simple vista si los vectores son linealmente dependientes o no. Cuando esto no es posible recurriremos a otros métodos como por ejemplo resolver el determinante de la matriz. Si el determinante es nulo, entonces existen vectores linealmente dependientes, y habrá que buscar un determinante de orden menor. Si el determinante es distinto de cero entonces el rango de la matriz equivale al número de vectores linealmente dependientes. En este caso el determinante es nulo eso quiere decir que por lo menos dos vectores son linealmente dependientes. Habrá que buscar un determinante de orden menor distinto de cero. Por ejemplo el que forman los dos primeros vectores. 03 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

4 Los vectores señalados son linealmente independientes porque su determinante es distinto de cero, luego podemos afirmar que el rango de la matriz es Rg=2Cálculo de la matriz inversa usando determinantes. 2 Cálculo de la matriz adjunta La matriz adjunta es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto. Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: El signo es + El signo es - si i+j es par. si i+j es impar. a 11 a 12 a C = a 21 a 22 a 23 = + a 31 a 32 a Los adjuntos para esta matriz son a 11 = a 22 a 23 a 32 a 33 a 12 = a 21 a 23 a 31 a 33 a 13 = a 21 a 22 a 31 a 32 a 21 = a 12 a 13 a 32 a 33 a 22 = a 11 a 13 a 31 a 33 a 23 = a 11 a 12 a 31 a 32 a 31 = a 12 a 13 a 22 a 23 a 32 = a 11 a 13 a 21 a 23 a 33 = a 11 a 12 a 21 a 22 3 Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (A ij ). 04 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

5 Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). 3.1 Ejemplo matriz 2x2 Obtener la matriz inversa de A = ( ) Para obtener la matriz inversa seguiremos 3 pasos. 1. obtener el determinante 2. obtener la matriz adjunta 3. obtner la matriz adjunta traspuesta 05 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

6 1 obtener el determinante 2. obtener la matriz adjunta A = = 3 A = ( ) = (+ + ) a 11 = 3, a 12 = 1 a 21 = 0, a 22 = 1 La matriz adjunta de A será A adj = ( ) 3 obtner la matriz adjunta traspuesta Obtemer la matriz traspuesta de una matriz dada significa que (definición) Es decir lo que actualmenete es fila pasa a colocarse como una columna viceversa. t A adj = ( ) 4. Aplicar la expresión A 1 = 1 3 ( ) = ( 1 0 1/3 1/3 ) Obtener la matriz inversa de A = ( ) 1 obtener el determinante 2. obtener la matriz adjunta A = = 1 A = ( ) = (+ + ) a 11 = 2, a 12 = 1 a 21 = 2, a 22 = 2 La matriz adjunta de A será 06 ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

7 3 obtner la matriz adjunta traspuesta A adj = ( ) t A adj = ( ) 4. Aplicar la expresión A 1 = 1 1 ( ) = ( ) 3.2 Ejemplo matriz 3x Obtener la matriz inversa de A = ( 1 1 1) obtener el determinante 2. obtener la matriz adjunta A = = A = ( 1 1 1) = ( + ) a 11 = = 1 a 12 = = 1 a 13 = = 0 a 21 = = 2 a 22 = = 1 a 23 = = 0 a 31 = = 1 a 32 = = 0 a 33 = = 1 La matriz adjunta de A será A adj = ( ) ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016

8 3 obtner la matriz adjunta traspuesta t = ( ) A adj 4. Aplicar la expresión A 1 = ( ) = ( ) ASTURIAS: RED DE UNIVERSIDADES VIRTUALES IBEROAMERICANAS 2016