Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

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1 Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá: lulr l invers de un mtri Determinr el rngo de un mtri Epresr l soluión de un sistem de euiones lineles Resolver situiones diverss de medids en geometrí Determinntes de orden Dd un mtri udrd de dimensión nn le podemos soir un número rel que denominremos determinnte de de orden n lo denotremos por det) ó. L otenión de este número se efetú prtir de los elementos de l mtri eige el onoimiento de un regls uo fundmento no es trivil, pero de pliión reltivmente senill.. Orden Se un mtri de dimensión definimos det Este resultdo se orresponde on l sum de todos los posiles produtos de dos elementos que se pueden formr tomndo un elemento solo uno de d fil un elemento solo uno de d olumn fetdo d produto por el signo + ó -, según uns determinds propieddes inversión pr o impr). Ejemplo: - / -.G.Onndí

2 Determinntes hillerto º. Orden Se un mtri de dimensión definimos det Regl de Srrus Este número tmién se otiene relindo todos los produtos posiles de ftores tlque en d produto entrn formr prte un elemento solo unos de d fil un elemento solo uno de d olumn fetdo d produto por el signo + ó -, según uns determinds propieddes inversión pr o impr). Ejemplos Not: Por l propi definiión de determinnte, es evidente, que en el so de mtries tringulres o digonles el determinnte es el produto de los elementos de l digonl prinipl. Enseñr lulrlos de form práti ñdiendo ls dos primers fils l finl. Ejemplo: Resolver l euión Ejeriios:.- lulr: - / -.G.Onndí

3 Determinntes hillerto º.- Resolver ls euiones: Determinntes de orden superior L pliión del proeso desrito pr el desrrollo de un determinnte on l formión de todos los produtos posiles, result mu lorioso undo el orden es superior. Un determinnte de orden preis el álulo de produtos de ftores d uno el de orden neesit produtos de ftores,.lo uál dist muho de ser ómodo sí mu propenso l omisión de errores. Se puede onstruir un proedimiento lterntivo pr el álulo de estos determinntes, pero es preiso desriir previmente los oneptos siguientes:. Menor omplementrio Se M nn se llm menor omplementrio del elemento ij de, lo representremos por α ij, l determinnte de l mtri udrd de orden n- que se otiene de suprimir l fil i-ésim l olumn j-ésim de. Ejemplo: Se Menor omplementrio del Menor omplementrio del Menor omplementrio del - / -.G.Onndí

4 Determinntes hillerto º. djunto de un elemento. Mtri djunt Pr un mtri udrd M nn de orden n, se llm djunto del elemento ij de, lo representmos por ij, l menor omplementrio del elemento ij nteponiéndole el signo + ó según se l sum de i los suíndies i+j pr o impr: j ij α ij Pr el ejemplo nterior: Definiión: L mtri uos elementos son los djuntos de los orrespondientes elementos de un mtri udrd se llm mtri djunt de se denot por dj). Pr nuestro ejemplo: dj Ejemplo: lulr l mtri djunt de dj)= = Se hor estmos en ondiiones de poder lulr determinntes de orden superior. M nn el vlor de su determinnte se otiene sumndo los produtos de los elementos de un de sus línes por sus djuntos orrespondientes: i j i j i j i j in in desrrollo por l i ésim fil) desrrollo por l j ésim olumn) El vlor del determinnte es independiente de l líne elegid. - / -.G.Onndí

5 Determinntes hillerto º Ejemplo: lulr Por Srrus desrroll ndo por l ª fil Se h elegido l fil que más eros tiene pr simplifir ls operiones, tmién se podrí her elegido l primer olumn. Ejemplo: Resolver Elegimos l líne que teng el mor número de eros pr simplifir ls operiones, en este so l segund olumn. Y hemos el desrrollo por es líne. = POR SRRUS Proposiión: Dd un mtri líne por los djuntos de otr líne prlel es ero. M nn se umple que l sum de los produtos de los elementos de un desrrollo i j i j i j por los elementos de l i ésim fil on los djuntos de in jn j ésim fil) Est proposiión nos permitirá más delnte onstruir l mtri invers. - / -.G.Onndí

6 Determinntes hillerto º Propieddes de los determinntes. t.. Si multiplimos todos los elementos de un líne de un determinnte, el determinnte qued multiplido por diho número. K K K K. El determinnte de un produto es el produto de los determinntes.... Si en un determinnte permutmos dos línes el determinnte mi de signo.. Si un determinnte tiene un líne de eros vle ero.. Si un determinnte tiene dos línes igules vle ero.. Si un determinnte tiene dos fils proporionles vle ero.. Si un determinnte tiene un líne ominión linel de ls restntes vle ero.. Si en un determinnte un líne se le sum otr prlel su vlor no mi.. Si en un determinnte un líne se le sum otr prlel multiplid por un número su vlor no mi - / -.G.Onndí

7 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí.. El determinnte de un mtri tringulr es igul l produto de los elementos de su digonl. Ejemplo:.- Siendo que, lulr el vlor de los siguientes determinntes, sin desrrollrlos: ) ) ) Sol: ) ) ) ) ).- Demostrr, sin desrrollr, que el siguiente determinnte es múltiplo de : Sol:.- Demostrr, sin desrrollr, que Sol:

8 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí Métodos prátios pr el álulo de determinntes de grdo superior. Método HIO Utilindo ls propieddes de los determinntes se trt de her eros todos los elementos de un líne pr luego desrrollrlo por los djuntos de es líne Ejemplo:... por Desrrollndo... por Desrrollndo. Método de GUSS Utilindo ls propieddes de los determinntes se trt de onseguir un determinnte tringulr superior o inferior) de tl mner que su determinnte se el produto de los elementos de l digonl Ejemplo :.. Ejemplo : lulr el determinnte:

9 Determinntes hillerto º álulo del rngo de un mtri Reordemos que el rngo de un mtri es el número de fils o olumns linelmente independientes. demás semos que el número de fils L.I. es igul l número de olumns L.I. Eisten fundmentlmente dos métodos pr relirlo: Método de Guss, Método del Orldo. Método de Guss Y lo hemos visto.. álulo por determinntes. Método del Orldo Introduión: onsidermos un mtri M mn, supongmos que m n est restriión no rest generlidd), si tommos todos los determinntes de ls sumtries de orden m menores de orden m) vemos que se nuln, podemos deduir que l fuer eiste un ominión linel entre sus fils o ien sus olumns. Dndo l vuelt est deduión podemos deir que si un mtri M mn m n) eiste lgún determinnte de orden m no nulo, tods ls fils olumns son linelmente independientes )=m. Definiión: Se M mn si en est mtri se presinde de un o vris fils o olumns de form que quede un mtri udrd de pp, el determinnte orrespondiente se llm menor de l mtri de orden p. Definiión: Se M mn se die que el rngo de, ), es K, si eiste por lo menos un menor de orden K no nulo siendo nulos todos los menores de orden superior K. El orden del mor menor no nulo d el rngo de l mtri) prtir de quí vmos ver el método prátio del Orldo pr el álulo de rngos. Definiión: Se M mn elegido en ell un menor de orden K, se entenderá por orlr diho menor, l formr otro menor de orden K+ ñdiendo l primero los elementos de un fil un olumn que no formen prte del menor ddo. Se puede demostrr que si orlndo un menor de orden K distinto de ero todos los determinntes de orden K+ que se pueden formr son nulos entones ulquier otro menor de orden superior K es tmién nulo, por lo tnto el rngo de es K - / -.G.Onndí

10 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí Not importnte: según lo nteriormente epuesto si tenemos un mtri udrd de orden n, tlque su determinnte se no nulo entones su rngo es n. En l práti pr lulr el rngo de un mtri se us un menor de orden no nulo. Se elige un olumn se orl on ls fils restntes: Si todos los orldos son nulos se suprime l olumn se repite l operión on otr olumn. Si h un orldo no nulo omenmos de nuevo lo orlmos igul que el nterior. El proeso termin undo no quedn olumns. Ejemplos:.- lulr el rngo de omo es un mtri udrd primero lulremos su determinnte pr ver si su rngo es. Vemos que por tnto su ). Seguidmente onsidermos un menor de orden no nulo por ejemplo: Orlmos por l siguiente olumn: mimos de fil omo.- lulr el rngo, dependiendo de los diferentes vlores de, de omo es un mtri udrd primero hemos su determinnte, hiendo eros en l primer olumn: f f f f f f

11 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí Luego Si )= Si = tommos un menor de orden no nulo lo orlmos por tnto todos los menores de orden son nulos )=. Ejeriios: - Disutir en funión del prámetro el rngo de ) ) ) d) D Sol: ) / ontrrio so en si si ) si si ) si si d) D si D si álulo de l mtri invers. Reordemos que l mtri invers de un mtri regulr es otr mtri del mismo orden tl que : I.. siendo I l mtri identidd del mismo orden que l mtri. Y hemos visto que l mtri invers se podí lulr de tres mners: por l definiión, por Guss- Jordn por djuntos. Ls dos primers forms ls onoemos, vmos desrrollr l terer. Teorem: Un mtri udrd de orden n nn n n n n

12 Determinntes hillerto º tiene invers si, sólo si,, su invers es: dj ) t. n. n.... n n. nn Demostrión: Hemos. dj t n n n n nn n n n n = nn j j j j j j j j j j j j teniendo en uent ls dos siguientes proposiiones que hemos visto nteriormente, n i i i i in in ij ij desrrollo por l i ésim fil) j desrrollo por i j i j in i j los elementos de l i ésim fil on los djuntos de jn i j ij ij j ésim fil) I tenemos: t t dj. dj I. I ddo que. I dj t. Ejemplo:.- lulr l mtri invers de Primero tenemos que hllr pr ver si es inversile o no: - / -.G.Onndí

13 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí inversile o regulr. lulmos dj) ) ) ) ) ) ) ) ) ) dj t dj Por último: / / / / / / dj t.- Dds ls mtries: resolver l euión mtriil X+=+I). Lo primero que h que her pr resolver euiones mtriiles es despejr l mtri inógnit. X=+I- X= - X= -. hor lulmos - llevándol l euión: X = =

14 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí Ejeriios:.- lulr l invers de ls siguientes mtries: D D E E.- Hllr pr los vlores de que lo hgn posile l mtri invers de : G lulr su invers Sol.: G.- verigur pr que vlores de l mtri H tiene invers. lulrl pr =. Sol: pr H pr = H

15 Determinntes hillerto º - / -.G.Onndí.- Hllr l invers de M Sol: M.- Se l mtri lulr = - - Sol:.- Resolver: X Sol: no tiene sol.,.- Dds ls mtries, D resolver -X=D. Sol: X.- Enontrr un mtri X que verifique X- = siendo Sol X.- lulr X verifindo X on, Sol: X.- Hllr X pr que se verifique.-i)=x+ on Sol: X

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