Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel B. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo ÁLGEBRA

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1 Olimpid Costrricese de Mtemátics II Elimitori 011 Curso preprtorio Nivel B Elbordo por: Christopher Trejos Cstillo ÁLGEBRA

2 Iicimos demostrdo dos resultdos que puede ser importtes pr resolver problems olímpicos. Problem 1: Demostrr que si los coeficietes 1,,..., 1, 0 so úmeros eteros, l ecució e x: ecesrio que se igul 1). x + x x + = 0, o tiee ríces rcioles. (Note que es Solució: Supogmos co el fá de llegr u cotrdicció que co ( p, q ) = 1. Etoces: p x = es u solució q 1 p p p p p p q = = 1pq 0q q q q q Co esto, como el ldo derecho de l iguldd es u úmero etero, es ecesrio que q=1, es decir que x=p, por lo tto l ecució o puede teer solucioes rcioles. Problem : Demostrr que si, b y c so úmeros eteros impres, l ecució de segudo grdo e x: x + b x + c = 0, o tiee ríces rcioles o eters. (Bco de problems Fil Olimpid Costrricese de Mtemátics, 008, Nivel B) Solució: Supogmos co el fá de llegr u cotrdicció que co ( p, q ) = 1. Etoces: p x = es u solució q p p + b + c= p + bpq+ cq = q q 0 0 Como p y q so coprimos, etoces se debe dr que o mbos so impres o uo es pr y el otro es impr. Vemos cd uo de los csos: I Cso: p impr y q impr, los tres térmios p, bpq, cq so impres, lo cul o es posible pues l sum de tres úmeros impres d como resultdo u úmero impr y por tto diferete de cero. II Cso: Si pérdid de geerlidd, supogmos que p es impr y q es pr, de este modo los térmios p y bpq so úmeros pres, mietrs que cq es u úmero impr, lo cul o es posible pues l sum de úmeros pres y u úmero impr es igul u úmero impr y por tto diferete de cero.

3 De los csos teriores vemos que ls ríces de l ecució x + b x + c = 0 o puede ser úmeros rcioles o eteros. Lem del Fctor x divide P(x) si y solo si P()=0, es decir existe u poliomio Q(x), tl que P( x) = ( x ) Q( x). Fctorizció E muchs ocsioes, relizr u fctorizció tto de ls expresioes lgebrics y de los úmeros, puede ser l clve pr resolver u problem de olimpids. x 1 Ejemplo : Ecuetre ls solucioes eters positivs de l ecució x x = 768: (Bco de problems Fil Olimpid Costrricese de Mtemátics, 009, Nivel B) Solució: Fctorizmos l ecució, sí: ( x ) x 1 = 8 Los vlores que puede tomr x v de 9, esto pr que el expoete x 1, se meor que 8 y tmbié pr que el fctor x se positivo, probdo dichos vlores, vemos que el úico vlor de x que d u iguldd es x=8, pues ( ) = =. Problem 4: Se eteros distitos P ( x) = x 006 x x Probr que o existe, b tl que P ( ) = P( b + 006). (Bco de problems Fil Olimpid Costrricese de Mtemátics, 006, Nivel B) Solució: Supogmos e búsqued de u bsurdo que existe y b que cumple que P ( ) = P( b + 006), lo cul es equivlete : P( + 006) P( b+ 006 ) = ( + 006) ( b+ 006) 006 ( + 006) ( b+ 006) ( + 006) ( b+ 006) = 0 [ ] Fctorizdo cd uo de los térmios, sí: ( 006) ( b 006) + + = ( ) (( 006) ( b 006) )( 006) ( 006)( b 006) ( b 006) = ( b)( b b b + 006b+ 006) ( b) ( + b+ b + 006( + b+ 006) ) Fctorizmos el siguiete térmio, sí:

4 (( ) ( b )) = (( ) ( b ))( ( ) ( b )) ( b)( + b+ ) = Relizmos ls rests e el último térmio y llegmos : (( ) ( b )) = 100 ( b) Combimos ls tres fctorizcioes teriores, otdo que ( b) divide todos: ( 006) P( b 006) P + + = ( b) ( b b 006( b 006) 006( b 006) 100) ( b)( + b+ b ) = ( b)( + b+ b ) = = Como b, etoces se sigue que + b+ b = 0, es decir + b+ b = , lo cul o tiee solució pues y b debe ser mbos pres, esto y que si uo de los dos es impr y el otro pr ó mbos so impres, se obtedrá por resultdo u úmero impr, de este modo debe cumplirse que y b so úmeros pres, pero si y b so pres etoces cotrdicció, y que 4 + b+ b = (pruéblo), lo cul os llev u Problem 5: Determir todos los pres ordedos (m,) tles que: m 0 m m = Solució: L segud codició se covierte e: m + + m m + + m = + m m + ( ) 99 ( ) ( m + ) = m( m + ) ( m + )(( m + ) + ( m + ) + m) = 0 ( m + )( m + m + m + + ) = 0 ( m + )(( m ) + ( + ) + ( m + ) ) = 0

5 De quí ls solucioes será los pres (m,), tles que m+=, de los cules hbrá pres ordedos y demás el cso e que m==, solució que prece l igulr 0 el segudo fctor. Poliomios y l ecució cudrátic U herrmiet muy útil e problems de poliomios, so ls fórmuls de Viète, ls cules dice lo siguiete: Fórmuls de Viète: Pr u poliomio de grdo, ( ) co coeficietes o ceros se cumple que: P x x x x 1 = , j reles o complejos y co = 0. Siedo x1, x, x,..., x, sus.ríces 1 x1+ x x= ( x1x + x1x x1x ) + ( xx+ xx xx) x 1x= 0 x1x... x= ( 1) Pr u poliomio de segudo grdo ( ) P x x bx c b c ecució se cumple que: x + 1 x = y x1x =. Problem 6: Cosidere el poliomio ( ) = + +, siedo x1 y x ls ríces de l P x x bx c = + + co b y c eteros o egtivos. Ecuetre el vlor de b y c sbiedo que ls ríces de P(x) so úmeros eteros, que c es primo y que P(c+1) = 15, dode P(c+1), es el vlor umérico de P(x) cudo x = c+1. (Bco de problems Fil Olimpid Costrricese de Mtemátics, 009, Nivel B) Solució: Por ls fórmuls de Viète, siedo x1 y x ls ríces de P(x), se tiee que c b x1x = = c() 1 y x1+ x= = b ( ), de l ecució (1), como c es u úmero 1 1 primo, se sigue que x1=± c y x=± 1, co esto teemos csos: I Cso: c+ 1= b b= c 1 II Cso: c 1= b b= c+ 1. P(c+1)=15, etoces sustituyedo el vlor de b e el I Cso:

6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) P c+ 1= c+ 1 + b c+ 1+ c= c+ 1 c+ 1 c+ 1+ c= c+ 1 c+ 1 + c= c= 15 este cso se descrt pues c es u úmero primo y c=15 o es u úmero primo, pues 15 es divisible por 5. Sustituyedo el vlor de b e el II Cso: ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) P c+ = c+ + b c+ + c= c+ + c+ c+ + c= c+ + c+ + c= ( ) ( ) = c+ 1 + c= c + c+ 1+ c= c + 5c+ = 15 De lo terior, c c c c ( c )( c ) c=7 y b=c+1=7+1= = = = 0, de quí Sistems de Ecucioes Problem 7: Hlle ls solucioes reles del sistem de ecucioes x + y = 5 x y+ xy = Co l codició de que es rel y o es igul 0. Solució: Summos l primer ecució más veces l segud ecució, se tiee que: ( ) x+ y = 8 x+ y=, lo cul se cumple pues buscmos ls solucioes reles del sistem. Sustituyedo e l segud ecució ( ) obteemos el sistem de ecucioes ecució cudrátic, ( ) + = = =. Co esto xy x y xy x+ y=, xy=. De lo terior obteemos l x x = x x+ = 0. Ls solucioes l ecució x= +, y=, x =, y = +. so 1 1

7 Poliomios simétricos U poliomio es simétrico si cumple que f( x, y) f( y, x) =, pr todo x, y. Muchos problems olímpicos puede ser resueltos utilizdo l siguiete fórmul pr expresr u poliomio simétrico e x, y; que icluye los poliomios simétricos fudmetles σ 1= x+ y y σ = xy. 1 1 ( )( ) ( ) s = x + y = x+ y x + y xy x + y = σ s σ s 1 1 Problem 8: Ecuetre ls solucioes reles l ecució 97 x+ x= Solució: Se y= x, z= 97 x, co lo que obteemos que 4 4 y z x x + = + 97 = 97. Etoces teemos el sistem de ecucioes: y+ z= y + z = 4 4 5, 97 Siedo σ 1= x+ y y σ = xy, llegmos l sistem de ecucioes equivlete: ( ) ( ) 0 0 ( ( y z) ( y z) ) ( ( y z) ( y z) ) 0 0 ( ( y z) ( y z) ) σ = 5, y + z = σ y + z σ y + z = σ σ + σ + σ σ + σ = σ σ + σ + σ σ σ σ + σ = σ σ σ σ σ σ σ + σ = σ 4σ σ + σ = Sustituyedo el vlor de σ 1= x+ y= 5 result que: 5 4 5σ + σ = 97, lo que es lo mismo que 4 σ 100σ = σ 100σ + 58= σ 50σ + 64= 0. L ecució cudrátic terior tiee como solucioes σ= 6, óσ= 44. E el primer cso σ = yz= 6, esto juto y+z=5, lo cul es equivlete z = 5 y, sustituyedo lo terior e el producto os llev l ecució cudrátic ( ) y 5 y = 6 y 5y+ 6= 0. L ecució terior tiee como solucioes y= y y =, lo cul llev x 4 4 = = 81 ó x= = 16.

8 El cso σ = yz= 44, os llev l ecució cudrátic y 5y+ 44= 0, l cul o tiee solucioes reles. Por lo tto, ls úics solucioes reles de l ecució so x=81 y x=16. Problem 9: L ecució de tercer grdo x x x, b y c. Ecuetre el vlor umérico de l expresió Solució: Por ls fórmuls de Viête se sigue que : = 0, posee tres solucioes reles b + c. +b+c=6, b+ c +bc=5, bc=1 Ahor vliédoos de l relció de recurreci b c b c b c b bc c b c bc b c = ( + + )( + + ) ( + + )( + + ) + ( + + ) Y obteiedo que: b + c = = + b + c = b c b c b bc c + + = ( + + ) ( + + ) =6-5=6 Grcis l recurreci y ls fórmuls de Viète se sigue que: + b + c = = b + c = =650, co lo cul obteemos el resultdo desedo. 6 Medi Potecil-Medi Aritmétic- Medi Geométric-Medi Armóic Ls desigulddes MQ-MA-MG-MH, permite resolver u gr ctidd de problems olímpicos icluso de olimpids itercioles, cá mostrmos ls desigulddes y lguos ejemplos de iterés. x + x x1 x+ x x1 x x 1... x x x x El cso de iguldd de ls desigulddes teriores es cudo x1= x =... = x. 1 1 El mtlet deberá itercmbir diferetes vlores de e ls desigulddes teriores, pr sí llegr desigulddes de utilidd.

9 Problem 9: Muestre que Solució: Por MA-MG, se sigue que: + b + c b+ c+ bc. + b, + c, b + b = b c = c c b c = bc Sumdo ls desigulddes teriores obteemos que: Que es lo que querímos probr. + b + c b+ c+ bc Ejercicios Propuestos Ejercicio 1: Muestre que: x y z xyz ( x y z)( x y z xy xz yz) + + = Ejercicio : Muestre que b b 5 + b+ c+ d+ e b c d e Ejercicio : Muestre que: ( ) Ejercicio 4: Cosidere dos úmeros rcioles positivos + b es u úmero rciol. Demuestre que y b, tles que l sum y b so úmeros rcioles. (Bco de problems Fil Olimpid Costrricese de Mtemátics, 006, Nivel B) Ejercicio 5: Existe lgú poliomio P(x), pr los cules xp( x ) = ( x+ ) P( x) 1 1? Ejercicio 6: Ecuetre tods ls solucioes positivs de l ecució ( ) 1 x x = 0 Ejercicio 7: E el poliomio otros dos. Muestre que x + px + qx+ r s cumple que u cero es l sum de los = 0. p pq r Ejercicio 8: Resuelv el sistem de ecucioes: x + xy+ y = 4 x+ xy+ y=

10 + 1 Ejercicio 9: Muestre que:!., co ( )( )! = Ejercicio 10: Se, b Z. Resuelv ( uméricmete!) l ecució ( ) ( ) x b + bx = x sbiedo que dmite u ríz eter. (M. Becheu, Gzet Mtemtic, Rumi) Bibliogrfí Egel, A. (000). Problem-Solvig Strtegies. Frkfurt: Spriger. Lidski, V. B. (1978). Problems de mtemátics elemetles. Moscú: Mir.Moscu.

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