Tema 4: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

Transcripción

1 Tema : Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.. Ecuaciones de º grado Ejemplo Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado:. 0 x x a Ecuación de º grado completa con La fórmula es x b b ac a b c Las soluciones son dos,, pues según el Teorema fundamental del Álgebra al tener la ecuación grado, ha de tener dos soluciones Cuál es el discriminante? b ac 9 0 la ecuación de º grado tiene dos soluciones. Vamos a aplicar las fórmulas de Cardano Vieta: b b b a c c c a. Sabiendo que las soluciones de una ecuación de º grado son, 6, utiliza las fórmulas de Cardano-Vieta para escribir todas las ecuaciones de º grado que tienen esa solución. Recordamos que una ecuación de º grado tiene la forma ax bx c 0 con a, b, c números reales y a 0 Será x x 6 Al aplicar las fórmulas de Cardano-Vieta tenemos: 6 b a a b a b 6 0 a c 0a c Finalmente será ax ax 0a 0 donde a R 0 pues de esa forma evitamos que desaparezca el x. Otra forma: Si x x 6 es que son las raíces del correspondiente polinomio de º grado. Entonces serán: ax x 6 ax ax 0a donde a R 0 Será 0 ax ax 0a donde a R 0 Vamos a comprobar que esta última ecuación de º grado completa tiene por soluciones

2 x x 6 Tenemos que a a b a c 0a La fórmula es x b b ac a a a 0a a a a a a a a 0a a a a a a a a a a a a a 6 0a a. x 0 Ecuación de º grado incompleta pues b 0 x 0 x x x 6 x 6 Tenemos dos soluciones distintas, Vamos a estudiar el discriminante de esta ecuación de º grado. b ac la ecuación tiene dos soluciones DISTINTAS.. x x 0 Ecuación de º grado incompleta pues c 0 Sacamos factor común en la expresión. x x 0 xx 0 x 0 x 0 x Es muy importante recordar que "el producto de dos números es cero si uno de ellos es cero" Tenemos dos soluciones distintas 0, Vamos a estudiar el discriminante de esta ecuación de º grado. b ac 0 0 la ecuación tiene dos soluciones DISTINTAS. Tareas --: todos los ejercicios de la página 7. Ejemplo Determina cuántas soluciones reales tienen las siguientes ecuaciones de º grado sin calcular dichas soluciones.. x 7 0 Para ello calculamos el discriminante: b ac la ecuación no tiene soluciones reales.. 9x 7x 0 Para ello calculamos el discriminante: b ac la ecuación tiene dos soluciones DISTINTAS.. x x 9 0 Para ello calculamos el discriminante: b ac 9 0 la ecuación tiene una solución doble, es decir, la misma solución dos veces.. Ecuaciones polinómicas de grado superior a dos Ejercicios de la página 7 7 Opera y resuelve las ecuaciones bicuadradas obtenidas. b x 6 x 6 x x 6x x 0 x 6x Hacemos un cambio de variable: x z 0 z 6z 0 z z

3 Ecuación de º grado completa con La fórmula es z b b ac a 6 6 a b c 6 6 Sustituimos estos valores de z para hallar los correspondientes valores de x: Si z x Si z x no tiene solución real; pero si compleja. Al final hemos obtenido dos raíces reales. Si es cierto que tiene cuatro soluciones, pero dos de ellas son complejas. Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización: a. x 6x 9x 0 El término independiente es. Sus divisores son, Aplicamos el método "fast factorización" resto x 6x 9x x x x Resolvemos x x 0, Solution is:, Aplicando la fórmula correspondiente a una ecuación de º grado completa. Las raíces son,,. Es decir, tenemos una raiz doble y una sencilla. Tareas --: todos los ejercicios que faltan de la página 7.. Ecuaciones racionales Ejercicios de la página 7 9 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. d x x 7 x x x x x 7x x x Como tenemos una igualdad entre fracciones que todas ellas tienen el mismo denominador, entonces se puede eliminar este. x x 7x 7x x x 0 El término independiente es. Sus divisores son,, Aplicamos el método "fast factorización" resto Resolvemos 7x 6x 0 Ecuación de º grado completa con La fórmula es z b b ac a a a x 7x 6x a 7 b 6 c a

4 No tenemos solución real, dado que todo número real elevado al cuadrado es positivo o cero. Hemos obtenido sólo una raiz Vamos a hacer la comprobación: cierto La solución nos vale. Tareas 6--: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales. d x x 6 x x x x x x 6 x x x 6 x 6x x 6 x x x x 6x x 0 x x x 0 x x x 0 Un producto es cero, si alguno de los multiplicando es cero. x 0 x 0 x x 0 x x 0, Solution is:,6 Aplicando la fórmula para resolver una ecuación de º grado completa. Hemos hallado las siguientes raíces 0, 0,, 6. Ahora hemos de comprobar cada una: si x cierto, luego es válida si x 6 6 cierto, luego es válida 6 si x cierto, luego es válida Tareas 6--: todos los ejercicios que faltan del 0. Ecuaciones con radicales Ejercicios de la página 76 Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: d x x x x x x x x x x 0 x x x x 0 x 0 0 x x x x x x Vamos a comprobar la solución: 9 cierto, luego es válida. Tareas 6--: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales: d x 7 x x 7 x x 7 x x 7 x x x 7 x x x 7 x x x x x x x 6x 9 6x x 6x 9 6x 0 x 0x 9 0, Solution is: 9, Se resuelve aplicando la fórmula para una ecuación de º grado completa. Ahora hay que comprobar las soluciones: si x cierto, luego es válida si x 7 9 cierto, luego es válida Tareas --: todos los ejercicios que faltan del. Sistemas de ecuaciones. Soluciones

5 Página 77 Clasifica los siguientes sistemas en lineales y no lineales, e identifica las incógnitas, los coeficientes y los términos independientes. a. x xy x y x y 6 No es lineal pues en la primera ecuación aparece "xy" que tiene grado Las incógnitas son x, y. Los coeficientes son,,,. Los términos independientes son,, 6. Tareas --: todos los ejercicios que faltan del Indica si los pares de valores dados son soluciones del siguiente sistema de ecuaciones. 9x 0y x y b x, y, Sustituyendo estos valores en el sistema nos quedará: 9 0 Como se verifican las dos igualdades, es una solución del sistema. Tareas --: todos los ejercicios que faltan del.6 Sistemas de dos ecuaciones El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para igualar las expresiones obtenidas. Se trata de una ecuación de primer grado con la otra incógnita, que resolveremos para luego hallar la otra incógnita. PÁGINA 79 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por algún método algebraico y por el método gráfico. e x y 6 x 9 y x y 6 6x 7 y x y 6x y 6 e. método de reducción Elegimos la "x", por lo que multiplicamos la primera ecuación por. x y 6x y 6 6x 9y 6x y 6 Asi, restando en columna nos queda: y y Sustituimos este valor de y en una de las dos ecuaciones para hallar "x": x x 6 x 6 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 6, e. método de igualación x y 6x y 6 Despejamos la "x" en las dos ecuaciones:

6 y x y x 6x 6 y 6 y x 6 Igualamos las dos expresiones obtenidas: y 6 y y 6 y 9y 6 y 6 6 9y y y Sustituimos este valor de "y" para hallar el valor correspondiente de "x": x 6 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 6, e. método de sustitución x y 6x y 6 Elegimos la "y" despejándola en la primera ecuación: x y y x y x Este valor de "y" en la segunda ecuación: 6x x 6 6x 90 0x 6 x 90 0x 7 x 90 0x 7 x 90 0x 7 x 6 x 6 6 Sustituimos este valor de "x" para hallar el correspondiente de "y": y 6 6 Se trata de un sistema compatible determinado con solución 6, e. método gráfico x y 6x y 6 Hemos de pintar cada una de las rectas sobre unos mismos ejes de coordenadas. "Una recta queda determinada cuando conocemos dos de sus puntos" Para cada recta hemos de pintar dos puntos, por ello calcularemos una tabla de dos valores para cada recta: e..) x y x y Si x 0 0 y y Si y 0 x 0 x e..) 6x y 6 x y - 6 A 0, 6 9 B 9, 0 Si x 6 y 6 6 y 6 y 0 C, Si x 6 y 6 y 6 y. 6 D, E 6, 6

7 Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del menos el f. Ojo!!!! Cuatro ejercicios, cuatro métodos!!!!!!!!!! 6 Resuelve los siguientes sistemas de eucaciones de segundo grado. f x y xy 6 x y Despejamos la "y" en la segunda ecuación: y x Sustituimos este valor de "y" en la segunda ecuación: x x xx 6 x x x x 6 x x x 6 x x x x 6 x x 6 x x 6 0 x x 0 x x 0 Ecuación de º grado completa con a b c Se resuelve según la fórmula correspondiente: x b b ac 0 9 a No tiene solución real pues no podemos calcular la raíz de un número negativo. Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 6.7 Sistemas de tres ecuaciones lineales. Método de Gauss Página h) x y z x y z 0 x y z Como la última ecuación tiene todos los coeficienes iguales a uno, la paso a primer lugar. x y z x y z x y z 0 a la tercera ecuación le quito el doble de la primera. 0 a la segunda ecuación le quito el triple de la primera

8 El sistema me queda: x y z y z y z Como tercera ecuación voy a colocar el resultado de la suma de cuatro veces la tercera con tres veces la segunda El sistema me queda: x y z y z z De la última ecuació puede despejar la "z": z z Sustituyendo este valor de "z" en la segunda ecuación puedo hallar "y": y y y y 0 0 Sustituyendo los valores de "y", "z" en la primera ecuación se halla "x": x 0 x x Se trata de un sistema compatible determinado pues tiene una única solución x, y, z, 0, Tareas --: todos los ejercicios que faltan del 7;,9. Aplicaciones de las ecuaciones PÁGINA 0 La oferta y la demanda del mercado de un modelo de pantalones vaqueros en cierto momento vienen dadas por las expresiones: x O 0. p x 0p x 000 x D 0p x 70 0 p x 60 Calcula el punto de equilibrio del mercado. El punto de equilibrio: x O x D 0. p x 0p x 000 0p x p x 0p x 000 0p x p x 0p x 0 0 Ecuación de º grado completa con p x b b ac a a 0. b 0 c Según las restricciones 0 p x 60 ninguno de estos dos puntos sería el punto de equilibrio, pues están fuera los dos. Cómo tenemos una ecuación de º grado, esto está asociado a una parábola, que tiene forma de U, con las ramas hacia arriba si el coeficiente de la incógnita al cuadrado es positivo y con ellas hacia abajo si dicho coeficiente es negativo. El punto de equilibrio será el vértice de la parábola cuya abscisa es la semisuma de las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje OX.

9 sería el punto de equilibrio. 0 y x Tareas 0--: EJERCICIOS FINALES DEL TEMA Halla mentalmente las soluciones, si existen, de las ecuaciones siguientes: d) x.. 6 x, Solution is: Comprobación: Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: d x 0 x x x 0 x 6 0x Como a ambos lados del signo igual tenemos el mismo denominador, los elimino en ambos lados. x 0 x 0x 0 7x 0x 00 x 76 Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: f x x 0 x x x 0 x 9 x 9 Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones: xx x 6 x x x c x x x x 6 x x 9x x 6x Como a ambos lados del signo igual tenemos el mismo denominador, los elimino en ambos lados. x x x 6x 0 x 0x 0 9x x 7x x 9

10 7x x x 0 Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 6 Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas: d x 0 x c x x x Es una ecuación de º grado incompleta pues b 0 x x 0 xx 0 "El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero" x 0 x 0 x Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Indica el número de soluciones reales de las siguientes ecuaciones sin resolverlas. d x x 0 Estudiamos el discriminante: b ac Tenemos dos raíces reales distintas. Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 7 Escribe en cada caso una ecuación de segundo grado que tenga las soluciones indicadas. b x (doble) Es decir, hablando en términos de polinomios, es dos veces raíz. Por lo tanto, el polinomio de º grado tendrá la forma: ax ax x 6 La ecuación sería ax ax 6a 0 donde a R 0 Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 9 Calcula la suma y el producto de las soluciones de las siguientes ecuaciones sin resolverlas: d ax ax 0 Hay que emplear las fórmulas de Cardano-Vieta x x b a a x x a c a a Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Escribe una ecuación de segundo grado tal que sus soluciones sumen y el producto de las mismas sea. Las fórmulas de Cardano-Vieta dicen que: x x b a b a a b x x c a c a a c con a 0 La ecuación sería ax ax a 0 a x x Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas. f x 7x 0 Hacemos un cambio de variable: t x Así nos queda la siguiente ecuación de º grado completa: 0 con a R 0 0

11 a t 7t 0 con b 7 c t b b ac a Ahora hemos de hallar los valores correspondientes de x : 7 si t x x si t x no tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero. Tareas 0--: todos los ejercicios que faltan del Resuelve las siguientes ecuaciones estudiando los valores que anulan cada factor. d x ax x 0 x a 0 O x x 0 Recordamos que un producto es cero si uno de los multiplicandos es cero. x a 0 x a x a x x 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a 6 a b c 6 Los valores que anulan la ecuación son a, a,, Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del Escribe en cada caso una ecuación cuyas soluciones sean las indicadas: d a, b, c, 0 Pensando en polinomios, esto significa que estos números son las raíces, de ahí que la ecuación quede: x ax b x c x 0 Se puede multiplicar para obtener un polinomio de grado cuatro. Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del 6 Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas por factorización: f x x xx x x xx 0 x x x 0 x 0 O x x 0 x 0 x

12 x x 0 xx 0 x 0 x O x 0 Las soluciones son,, 0 Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del 6 7 Resuelve las siguientes ecuaciones racionales: h x a x a x a x a x a x a x a x a Como todos los denominadores son iguales, a ambos lados de la igualdad, los puedo quitar: x a x a x x Hay que comprobar la solución: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a CIERTO!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Luego es solución. Tareas 09--0: todos los ejercicios que faltan del 7 9 Halla mentalmente la solución de las siguientes ecuaciones con radicales: d x 9 La raiz cuadrada me ha de dar 9, por lo tanto el radicando ha de ser. Qué número elevado a cuatro me da? Pues es, Tareas 09--0: todos los ejercicios que faltan del 9 0 Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales: c x x x x x x x x 0 x x x 0 x x 7 0 x x 7 0 x x 7x 7 0 x x x 79 00x 00 x 6x 9 0 Ecuación de º grado completa con x b b ac a a b 6 c

13 Hay que comprobar las soluciones: si x nos quedará: 6 7 Falso!!!!!!!!!!!!!Entonces no vale si x nos quedará: 9 Cierto!!!!!!!!!!!!! Entonces si vale x x x 0 x x x 0 x Tareas 09--0: todos los ejercicios que faltan del 0 Tareas 09--0: Comprueba en cada caso si los valores indicados forman una solución de los sistemas dados. b x y 6z x y z 0 x y z x, y, z,, No es solución pues no se verifica la segunda ecuación: 0 Falso!!!!!!!!!!!!!!!!! Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones: x y d x y Hacemos un cambio de variable: t x z y t z Asi el sistema queda: t z Como es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y lo resolvemos por el método de reducción. Multiplicamos la segunda ecuación por. t z t z t z 6t z 9, Solution is: t, z Asi al sumar en columna nos queda: 7t 9 7t 9 t 7 Sustituimos este valor de t, para hallar z: z z z Ahora hemos de deshacer el cambio de variable:

14 x y x y x y Tareas 0--0: todos los ejercicios que faltan del empleando tres de los cuatro métodos posibles. Resuelve los siguientes sistemas de segundo grado: x x y 6 d x y, Solution is: x 6, y 6, x 6, y 0 Despejamos la x en la segunda ecuación: x y x y y 0 x Sustituimos este valor de x en la primera ecuación: y 0 y 0 y 6 0 0y y y 0 y y y 0 y y y 0 00y y y y y 0y 900 0y y y 0y 6y 0y 0 Ecuación de º grado completa con y a 6 b 0 c Hay que sustituir estos valores de y para hallar los correspondientes de x: si y 6 x si y 0 0 x Tareas 0--0; todos los ejercicios que faltan del. Tareas 0--0; 9 Al dividir dos números que suman 7 se obtiene de cociente y 9 de resto. Cuáles son esos números? Llamamos x a un número y al otro número Las condiciones quedan expresadas de la forma siguiente: suman 7 x y 7 al dividir dos números se obtiene de cociente y 9 de resto x 9y pues se cumple que:

15 D r d c D d c r Nos queda por tanto el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x y 7 x 9y Se resuelve por el método de sustitución: 9y y 7 0y y 0 7 Sustituimos este valor de y para hallar x: x Los números serían: 66, 7 Tareas 0--: 0 Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija. Dentro de cinco años sólo tendrá tres veces la edad de la hija. Cuáles son las edades actuales del padre y la hija? Llamamos x a la edad del padre y a la edad de la hija Tenemos la tabla siguiente: edad actual edad dentro de cinco años padre x x hija y y Las relaciones son: Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija x y Dentro de cinco años sólo tendrá tres veces al edad de la hija x y Nos queda el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: x y x y Se resuelve por el método de sustitución: dado que la primera ecuación nos da x en función de y. Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. y y y y y 0 Sustituimos este valor de y para obtener el correspondiente valor de x: x 0 0 Finalmente la hija tiene 0 años y el padre 0. Tareas --0: Se han pagado 00 euros con billetes, unos de 0 euros y otros de. Cuántos billetes de cada cantidad se entregaron? Llamamos x al número de billetes de 0 y al número de billetes de Se han pagado 00 euros 0x y 00 con billetes x y Nos queda el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 0x y 00 x y

16 Se resuelve por el método de reducción: 0x y 00 x y 0x y 00 x y 60 Se resta en columna para obtener: x 0 x 0 6 Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente de y: 6 y y 6 6 Hemos entregado 6 billetes de 0 y otros 6 de cinco. Tareas --0:,,6 7 Una fábrica de perfumes dispone de 600 l de un producto A y de 00 l de un producto B. Mezclando ambos productos se obtienen esencias diferentes. Se quieren preparar dos clases de perfumes, la primera debe llevar tres partes de A y una de B, y se vende a 0 euros el litro; y la segunda clase debe llevar los productos A y B al 0% y se venderá a 60 euros el litro. a. Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar? b. Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados? Llamamos Tenemos la siguiente tabla: x al número de litros del perfume y al número de litros del perfume producto A producto B perfume x x perfume y y x y 600 x y 00 Da lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 600 x y 00, Solution is: x 00, y 600 Lo resolvemos por el método de reducción: x y 600 x y 00 Restando en columna nos queda x 00 x Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y: 00 y y 00 y a. La solución sería 00 litros del perfume 600 litros del perfume b euros son los ingresos totales por la venta de la fabricación. 6 En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. La suma de los precios que marcan los dos productos es de euros, pero el dependiente informa al cliente que los libros se les aplica una rebaja del 6%, y a las pulseras, una rebaja del %, por lo que en realidad debe pagar.0 euros. Qué precio marcaban el libro y la pulsera? Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de estos dos productos? Llamamos x al precio del libro y al precio de la pulsera 6

17 suma de los precios que marcan los dos productos es de euros x y libros se les aplica una rebaja del 6% 00 9 x a las pulseras, una rebaja del % 00 y debe pagar.0 euros 00 9 x 00 y. 0 Da lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. x y 9 00 x 00, Solution is: x 0. 0, y. 0 y. 0 Lo resolvemos por el método de sustitución: Despejamos la x en la primera ecuación: x y Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación. 9 y y y y 0 y Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x: x 0 Los productos sin rebajar son Los productos rebajados son: euros para la pulsera euros para el libro 00 0 euros el libro euros la pulsera 7