Métodos Avanzados para Análisis y Representación de Imágenes

Transcripción

1 Morfología Matemática p. 1/24 Métodos Avanzados para Análisis y Representación de Imágenes Morfología Matemática en niveles de gris Departamento de Informática - FICH Universidad Nacional del Litoral Septiembre de 2012

2 Morfología Matemática p. 2/24 Contenido 1. Conceptos preliminares Imágenes de grises como conjuntos 2. Morfología matemática en grises Elemento estructurante Operaciones básicas: dilatación, erosión, apertura y cierre 3. Algoritmos y aplicaciones Suavizado morfológico (Smoothing) Gradiente morfológico Transformaciones: Top-Hat y Botton-Hat Granulometría Segmentación de texturas Reconstrucción morfológica

3 Morfología Matemática p. 3/24 Conjuntos Imágenes de grises como conjuntos SiAes una imagen de grises, los elementos son coordenadas de pixels y su nivel de gris A = {(x,y,z) x,y,z Z} Dependiendo del número de bits(k) utilizados para representar z, se pueden representar K = 2 k 1 niveles de gris. Se puede definir el complemento del conjunto A como: A c = {(x,y,k z) (x,y,z) A}

4 Morfología Matemática p. 4/24 Elemento estructurante (EE) Características similares a las vistas para morfología binaria, a saber Se utilizan para probar propiedades de la imagen que se estudia Debe tener especificado un origen Se deben definir las condiciones de borde Pueden ser planos (todos ceros) o no-planos (no son frecuentemente usados) La reflexión del EE, similar a la definición previa, es:ˆb(x,y) = b( x, y)

5 Morfología Matemática p. 5/24 Erosión para niveles de gris La erosión deaconb (EE plano) en algún punto(x,y) se define como: [A B](x,y) = mín {A(x+s,y +t)} (s,t) B es el mínimo valor de la imagen en la región coincidente conb, conb centrado en(x,y). Dilatación para niveles de gris La dilatación deaconb (EE plano) en algún punto(x,y) se define como: [A B](x,y) = máx {A(x s,y t)} (s,t) B es el máximo valor de la imagen en la región coincidente con ˆB, con ˆB centrado en(x, y).

6 Morfología Matemática p. 6/24 Erosión y dilatación con EE planos Erosión -> valor mínimo -> imagen más oscura. el tamaño de las características oscuras aumenta y el de las brillantes disminuye. Dilatación -> valor máximo -> imagen menos oscura. el tamaño de las características brillantes aumenta y el de las oscuras disminuye.

7 Morfología Matemática p. 7/24 Erosión para niveles de gris La erosión deaconb N (EE no-plano) en algún punto(x,y) se define como: [A B N ](x,y) = mín (s,t) B N {A(x+s,y +t) B N (s,t)} No está acotada por los valores dea, puede ser muy difícil de interpretar el resultado y se debe tratar con valores fuera de rango. Dilatación para niveles de gris La erosión deaconb N (EE no-plano) en algún punto(x,y) se define como: Dualidad [A B N ](x,y) = máx (s,t) B N {A(x s,y t)+b N (s,t)} Dificultades similares a las de la erosión. (A B) c = (A c ˆB) y (A B) c = (A c ˆB)

8 Morfología Matemática p. 8/24 Apertura para niveles de gris Similar a su contraparte binara, se define como: A B = (A B) B Cierre para niveles de gris Similar a su contraparte binara, se define como: AB = (A B) B Dualidad (AB) c = A c ˆB (A B) c = A c ˆB

9 Morfología Matemática p. 9/24 Apertura y Cierre Apertura: elimina detalles luminosos pequeños, en relación al EE Cierre: elimina detalles oscuros pequeños, en relación al EE

10 Morfología Matemática p. 10/24 Apertura y Cierre Apertura: elimina detalles luminosos pequeños, en relación al EE Cierre: elimina detalles oscuros pequeños, en relación al EE

11 Morfología Matemática p. 11/24 Algoritmos: suavizado y remoción de ruido Filtrado secuencial alternado:a k = (A k 1 B)B EE de 1,3,5.

12 Morfología Matemática p. 12/24 Algoritmos: gradiente morfológico Se define a partir de dilatación y erosión, como: Grad = (A B) (A B) Las áreas homogéneas no son afectadas y la diferencia tiende a eliminarlas

13 Morfología Matemática p. 13/24 Algoritmos: transformaciones Top-Hat y Bottom-Hat Se definen a partir de apertura y cierre utilizando substracción de imágenes T hat = A (A B) B hat = (AB) A Remoción de objetos en una imagen: Utilizando EE específicos a ciertos objetos se pueden remover otros, y luego con la diferencia obtener los objetos deseados. Top-Hat: resalta objetos brillantes en fondos oscuros. Bottom-Hat: lo opuesto. Top-Hat: para corregir efectos de iluminación no uniforme (segmentación). A B A - ( A B ) B A

14 Morfología Matemática p. 14/24 Algoritmos: transformaciones Top-Hat y Bottom-Hat

15 Morfología Matemática p. 15/24 Algoritmos: granulometría Se requiere determinar la distribución del tamaño de las partículas en una imagen. Las partículas suelen estar solapadas, lo cual complejiza el problema de contarlas. Se puede estimar la distribución de forma indirecta con aperturas morfológicas. Solución propuesta: Aplicar sucesivas aperturas con EE de tamaño creciente. El mayor efecto se da en imágenes con partículas similares al EE. En cada apertura, se realiza una suma de los valores de los píxeles. La suma decrece con el incremento de EE, porque la apertura quita intensidad a lo brillante. Se realiza una diferencia con el valor anterior, para resaltar los cambios. El ploteo de estos valores expondrá picos en los tamaños predominantes.

16 Morfología Matemática p. 16/24 Algoritmos: granulometría

17 Morfología Matemática p. 17/24 Algoritmos: segmentación por texturas Encontrar una frontera entre dos regiones, dependiendo del tamaño de las manchas EE definido para extraer sólo las manchas grandes Objetos oscuros en fondo claro => operación de Cierre Operación de Apertura => eliminar espacios claros entre manchas Gradiente morfológico => frontera de segmentación por texturas

18 Morfología Matemática p. 18/24 Algoritmos: reconstrucción morfológica Consideremos la imagenf y la imagen máscaragen escala de grises, tal quef G. Las operaciones de dilatación y erosión dependerán del EE (plano o no-plano). Dilatación geodésica (tamaño 1): D (1) G (F) = (F B) G Dilatación geodésica (tamaño n): D (n) G (F) = D(1) G [D(n 1) G (F)], D (0) G (F) = F Erosión geodésica (tamaño 1): E (1) G (F) = (F B) G Erosión geodésica (tamaño n): E (n) G (F) = E(1) G [E(n 1) G (F)], E (0) G (F) = F

19 Morfología Matemática p. 19/24 Algoritmos: reconstrucción morfológica Reconstrucción por dilatación: R D G(F) = D (k) G (F), hasta qued(k) G (F) = D(k+1) G (F) Reconstrucción por erosión: R E G(F) = E (k) G (F), hasta quee(k) G (F) = E(k+1) G (F) Apertura por reconstrucción (preservar formas presentes después de la erosión): O (n) R (F) = RD F [(F nb)], paranerosiones def yb Cierre por reconstrucción: C (n) R (F) = RE F [(F nb)], parandilataciones def yb Por dualidad:c (n) R (F) = [O(n) R (Fc )] c

20 Morfología Matemática p. 20/24 Algoritmos: Top-Hat por reconstrucción

21 Morfología Matemática p. 21/24 Algoritmos: Top-Hat por reconstrucción 1. Eliminar la reflexión horizontal arriba de las teclas Apertura por reconstrucción usando una línea horizontal como EE para erosión Resultado: fondo con teclas y sus reflexiones 2. Eliminar reflexiones horizontales y variaciones de fondo Substraer la imagen original y el resultado anterior (Top-Hat por reconstrucción) 3. Eliminar reflexiones verticales Apertura por reconst. usando una línea del ancho de las reflexiones como EE Resultado: se eliminan las reflexiones y caracteres (como ser la letra I)

22 Morfología Matemática p. 22/24 Algoritmos: Top-Hat por reconstrucción [a][b][c] [d][e][f]

23 Morfología Matemática p. 23/24 Algoritmos: Top-Hat por reconstrucción [g][h][i] Recuperar partes verticales eliminadas Dilatación horizontal de caracteres (porque originalmente están muy cercanos) Generar imagen de punto mínimo entre [g] y [d] =>[h] (aun sin letra I) Hacer reconstrucción de grises con [h] y usando [g] como máscara Imagen de todos los caracteres, sin irregularidades del fondo y fondo de teclas!

24 Morfología Matemática p. 24/24 Fin de teoría Bibliografía J. Serra (1982): Image Analysis and Mathematical Morphology, Academic Press, London. R. Gonzales and R. Woods (2007): Digital Image Processing (3rd Edition), Prentice Hall. E. R. Davies (2005) Machine Vision: Theory, Algorithms, Practicalities (3rd Edition), Elsevier. F. Shih (2009) Image Processing and Mathematical Morphology: Fundamentals and Applications, CRC Press. W. Burger and M. J. Burge (2010) Digital Image Processing - An algorithmic Introduction Using Java, Springer. J. Goutsias, L. Vincent and D. S. Bloomberg (Editors). (2000) Mathematical Morphology and Its Applications to Image and Signal, Springer. Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish).