CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROBOTS MANIPULADORES: RESPUESTAS DE EJERCICIOS UNIDAD 02. Roger Miranda Colorado

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1 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DE ROBOTS MANIPULADORES: RESPUESTAS DE EJERCICIOS UNIDAD Roger Miranda Colorado de mayo de 6

2 Índice. RESPUESTAS DE EJERCICIOS UNIDAD

3 . RESPUESTAS DE EJERCICIOS UNIDAD A continuación se presentan las respuestas a los ejercicios planteados en la Unidad del libro Cinemática y Dinámica de Robots Manipuladores. Es importante tomar en cuenta que las respuestas propuestas son una posibilidad, aunque pueden existir otros métodos de solución y respuestas que pueden seguir siendo válidas. Ejercicio Indiquecuál esla diferenciaentre un punto p y un vectorp i que lorepresente. Respuesta La diferencia radica en que el punto p es un elemento libre en el espacio, mientras que el vector p i representa a dicho punto, pero requiere la definición de un sistema de referencia {i}. Ejercicio Qué se entiende por un vector libre?. Respuesta Se trata de vectores que se caracterizan por su magnitud, dirección y sentido, sin importar el lugar en que se encuentren. Ejercicio Qué condición debe de satisfacerse para que, dados un conjunto de vectores, sea posible realizar operaciones básicas (suma, resta, etc.) con ellos?. Respuesta Se debe de cumplir el requerimiento de que dichos vectores se encuentren expresados con respecto al mismo sistema de referencia. Ejercicio 4 Qué es una matriz de rotación? Respuesta 4 Se trata de una matriz que permite representar la orientación de un sistema de referencia con respecto a otro sistema de referencia. Por ejemplo, para la matriz R, ésta representa la orientación de {} con respecto a {}. En este caso, sean {x,y,z } y {x,y,z } los vectores canónicos base de los sistemas de referencia {} y {}, respectivamente. Entonces, la primera columna de R representa la orientación de x con respecto a {}, la segunda columna representa la orientación de y con respecto a {} y finalmente la tercera columna de R representa la orientación de z con respecto a {}. Lo anterior es claro si se considera la expresión de la matriz de rotación empleando el producto punto: R (x,x ) (y,x ) (z,x ) (x,y ) (y,y ) (z,y ) (x,z ) (y,z ) (z,z )

4 Ejercicio 5 Indique cuál es el procedimiento que debe de seguirse en la composición de matrices de rotación con rotaciones sucesivas, dependiendo de si estas se efectúan con respecto a un conjunto de ejes absolutos o un conjunto de ejes actuales. Respuesta 5 Si las rotaciones se realizan con respecto a ejes actuales, la composición de matrices de rotación se hace postmultiplicando las matrices de rotación correspondientes. En el caso de rotaciones con respecto a ejes absolutos, la composición de matrices de rotación se hace premultiplicando las matrices de rotación respectivas. Ejercicio 6 Indique cuáles son las representaciones mínimas que permiten parametrizar a una matriz de rotación y cuál es una representación no mínima que igualmente permite parametrizar a una matriz de rotación. Respuesta 6 Las parametrizaciones mínimas son: ángulos de Euler, Roll-Pitch-Yaw y eje ángulo. La parametrización no mínima se hace empleando los cuaterniones. Ejercicio 7 Qué es una matriz de transformación homogénea y cuál es la estructura de la misma?. Respuesta 7 Se trata de una matriz que permite representar la posición y orientación de un sistema de referencia con respecto a otro. La estructura general de la matriz de transformación homogénea, considerando los sistemas de referencia {} y {}, es: T (x,x ) (y,x ) (z,x ) a (x,y ) (y,y ) (z,y ) b (x,z ) (y,z ) (z,z ) c donde (a,b,c) T representa el origen de {}con respecto a {}. Ejercicio 8 Cuando se aplica una matriz de rotación a un vector, cambia la magnitud del mismo? Explique su respuesta. Respuesta 8 No varía debido a que sólo se cambia su orientación, mas no su longitud. Ejercicio 9 Cuando se aplica una matriz de transformación homogénea a un vector homogéneo, cambia la magnitud del mismo? Explique su respuesta. Respuesta 9 No, sólo cambia su orientación y la ubicación del punto inicial.

5 Ejercicio Se tienen dos sistemas de referencia {} y {}. La matriz de rotación que relaciona a dichos sistemas de referencia es: R Determinar p si p (,, ) T. Respuesta Nótese que: p R p por lo que: p + Ejercicio En el ejercicio anterior, dado p (,, ) T, calcular p. Respuesta En este caso se tiene: p R p ( ) R T p por lo que: p T Ejercicio Supóngase que se parte de un sistema de referencia base y se llevan a cabo el siguiente conjunto de rotaciones sucesivas:. Rotación con respecto al eje z absoluto un ángulo α. Rotación con respecto al eje y absoluto un ángulo β. Rotación con respecto al eje z absoluto un ángulo γ 4. Rotación con respecto al eje x absoluto un ángulo δ Determinar la matriz de rotación resultante de la combinación de las operaciones anteriores. Respuesta En este caso la matriz de rotación resultante es: R R x,δ R z,γ R y,β R z,α

6 Ejercicio Supóngase que se parte de un sistema de referencia base y se llevan a cabo el siguiente conjunto de rotaciones sucesivas:. Rotación con respecto al eje x absoluto un ángulo α. Rotación con respecto al eje z actual un ángulo β. Rotación con respecto al eje y absoluto un ángulo γ 4. Rotación con respecto al eje x actual un ángulo δ 5. Rotación con respecto al eje z absoluto un ángulo ω Determinar la matriz de rotación resultante de la combinación de las operaciones anteriores. Respuesta En este caso la matriz de rotación resultante es: R R z,ω R y,γ R x,α R z,β R x,δ Ejercicio 4 Dada la matriz de rotación: R Obtener la parametrización eje-ángulo de dicha matriz de rotación. Respuesta 4 Primero se determina el ángulo θ de la siguiente manera: ( ) ( θ cos r +r +r cos ++ ) ( ) cos Entonces se determina el eje de rotación: r r k r r sinθ r r sin() ( ) por lo que la parametrización es: θ,k (,,) T 4

7 Ejercicio 5 Sea el vector v (,,) T. Empleandocuaterniones, determinar el vector resultante ω que se obtiene al rotar v con respecto al eje y un águlo ξ π/. Respuesta 5 Para realizar rotaciones empleando cuaterniones se emplea la fórmula: ω Λ N v Λ N Nótese que el ángulo de rotación es ξ π y el eje de rotación es e (,,)T i. Ahora se calcula el cuaternión normalizado Λ N : Λ N cos ξ +esin ξ + i por lo que el vector ω se obtiene de la siguiente manera: ( ) ( ) ω + i (i i +i ) i donde: (i i +i ) entonces: ( ) i i i + [ ] i + i i +i, i + i i + i + [i,i i +i ] + i i + i + ( i +i ) + 5 i i + i ( ) ( ω + i + 5 i [ + 5 i i + i + i, 5 i 5 i i + i 5 i + i i i i i + i + ) i i ] 5

8 Este resultado se puede verificar fácilmente del siguiente modo: ω R y, π v Ejercicio 6 Sean los sistemas de referencia {A}y {B}. Inicialmente dichos sistemas de referencia son coincidentes. Luego se rota {B} con respecto a x A (eje x del sistema de referencia {A}) y se traslada unidades a lo largo del eje x A, unidades a lo largo de y A y unidades a lo largo del eje z A. Determinar la matriz de transformación T A B que relaciona dichos sistemas de referencia. Respuesta 6 En este caso se tiene: T A B R x A, Ejercicio 7 En el ejercicio 6 sea p B (,,) T. Determinar p A. Respuesta 7 Se tiene que: TB A ( ) R A B o A B por lo que: P A ( ) ( ) p A p T A BP B TB A B 8 entonces: p A 8 6

9 Ejercicio 8 En el ejercicio 6 calcular T A B. Respuesta 8 La inversa está dada por: donde: por lo que: T B A ( T A B) ( ( R A B ) T ( R A B) T o A B T ( ) R A T B T ( RB) A T o A B TA B ( ) TB A + ) + Para los siguientes ejercicios considérese el cuerpo mostrado en la fig.. Figura : Variedad de sistemas de referencia sobre cuerpo tridimensional. Ejercicio 9 Para el cuerpo de la fig. determinar T. Respuesta 9 Se tiene la siguiente posible solución: T Trans (6,4,4) Rot z, π

10 Ejercicio Para el cuerpo de la fig. determinar T. Respuesta Una posible solución es: T Trans (,9,7) 9 7 Ejercicio Para el cuerpo de la fig. determinar T. Respuesta Una posible solución es: T Trans (,, 4) Rot y, π Rot z,π 4 4 Ejercicio Para el cuerpo de la fig. determinar T 4. Respuesta Una posible solución es: T 4 Trans (7,,) Rot x, π Rot z,π 7 7 Ejercicio Calcular de modo directo T transformación dicho resultado. y verificar por composición de matrices de 8

11 Respuesta De modo directo se tiene: T Trans (5,6,) Rot z, π Empleando composición de matrices de transformación se obtiene nuevamente el mismo resultado: T T T Ejercicio 4 Calcular de modo directo T transformación dicho resultado. y verificar por composición de matrices de Respuesta 4 De modo directo se tiene: T Trans (8,4,7) Rot x, π Rot z, π y empleando la composición de matrices de transformación se obtiene el mismo resultado: T TT Ejercicio 5 Calcular de modo directo T4 transformación dicho resultado. y verificar por composición de matrices de 9

12 Respuesta 5 De modo directo se tiene la posible solución: T 4 Trans (8,6,) Rot y, π Rot x,π y nuevamente empleando las matrices de transformación se obtiene el mismo resultado: T4 T T Ejercicio 6 Diseñe un algoritmo en Matlab que permita graficar una señal, por ejemplo una señal sinusoidal. Nótese que debido a que esta gráfica se muestra con respecto al plano xy, el eje z se encuentra apuntando hacia afuera de la pantalla donde se muestre dicha señal. Posteriormente realice las siguientes operaciones:. Realice la rotación de dicha señal un ángulo determinado, por ejemplo θ 5, con respecto al eje z. Realice un programa en el cual de manera automática se indique un ángulo de rotación y un incremento. El programa debe de tomar la señal y rotarla hasta alcanzar el ángulo introducido, donde cada paso de cada iteración corresponderá a los incrementos con la magnitud introducida. Nótese que al realizar el programa anterior en el paso se debe de visualizar un tipo de animación, como si la señal se encontrara en movimiento continuo. Claramente se verá mejor dicha animación conforme se reduzca el incremento programado. Respuesta 6 Una posible solución se obtiene empleando el programa Rotación ( y ) incluido en la web. Ejercicio 7 Diseñe un algoritmo en Matlab que permita graficar una señal en tres dimensiones. Posteriormente realice las siguientes operaciones:

13 . Realice la rotación de dicha señal un ángulo determinado, por ejemplo θ, con respecto al eje y. Realice un programa en el cual de manera automática se indique un ángulo de rotación y un incremento. El programa debe de tomar la señal y rotarla hasta alcanzar el ángulo introducido, donde cada paso de cada iteración corresponderá a los incrementos con la magnitud introducida.. Ahora modifique el programa para introducir de modo adicional un vector que corresponda a una traslación del origen o. El programa debe de tomar de modo directo la señal y comenzar a rotar y desplazarse hacia las nuevas coordenadas establecidas. Nótese que al realizar el programa anterior en el paso se debe de visualizar una animación, como si la señal se encontrara en movimiento continuo, pero en este caso no sólo se debe de observar el movimiento rotacional, sino también el traslacional. Claramente se verá mejor dicha animación conforme se reduzca el incremento programado. Respuesta 7 Una posible solución se obtiene empleando el programa Traslación incluido en la web. Ejercicio 8 Repita el ejercicio 6 empleando cuaterniones. Respuesta 8 Puede resolverse el problema empleando el programa de repuesta del ejercicio 6, pero sustituyendo la matriz de rotación usual por la matriz de rotación con cuaterniones. Ejercicio 9 Repita el ejercicio 7 empleando cuaterniones. Respuesta 9 Puede resolverse el problema empleando el programa de respuesta del ejercicio 7, pero empleando la matriz de rotación con cuaterniones.