CAPÍTULO 5: SISTEMAS DE ECUACIONES

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4 APUNTES DE MATEMÁTICAS Notas: ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación que forma una línea al graficarse. Este tipo de ecuación puede redactarse en diferentes formas. Aunque estas formas parecen diferentes, son equivalentes; es decir, todas ellas grafican la misma línea. Forma estándar: una ecuación en la forma ax + by = c, como 6x + 3y = 18. Forma y = mx + b: una ecuación en la forma y = mx + b, como y = 2x + 6. Puedes encontrar rápidamente el factor de crecimiento y el punto de corte con el eje y de una línea en la forma y = mx + b. Para la ecuación y = 2x 6, el factor de crecimiento es 2, mientras que el y punto de corte con el eje y es (0, 6). punto de corte con el eje y x crecimiento y = 2x 6 crecimiento punto de corte con el eje y ECUACIONES EQUIVALENTES Dos ecuaciones son equivalentes si tienen todas las mismas soluciones. Hay muchas maneras de cambiar una ecuación a una ecuación diferente y equivalente. Las diferentes formas más comunes incluyen: agregar el mismo número a ambos lados, restar el mismo número de ambos lados, multiplicar ambos lados por el mismo número, dividir ambos lados por el mismo número (no incluye el cero) y volver a escribir uno o ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, las ecuaciones siguientes son todas equivalentes a 2x + 1 = 3: 20x + 10 = 30 2(x + 0.5) = 3 2x = x = Caja de herramientas 2014 CPM Educational Program. All rights reserved. 42

5 Notas: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON FRACCIONES (TAMBIÉN CONOCIDO COMO MÉTODO DE ROMPE FRACCIONES ) Ejemplo: Resuelve x 3 + x 5 = 2 para x. Esta ecuación sería mucho más fácil de resolver si no tuviera fracciones. Por lo tanto, el primer objetivo es encontrar una ecuación equivalente que no tenga fracciones. Para eliminar los denominadores, multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común. En este ejemplo, el mínimo común denominador es 15, multiplicando ambos lados de la ecuación por 15 elimina las fracciones. Otro método es multiplicar ambos lados de la ecuación por un denominador y luego por el otro. De cualquier manera, el resultado es una ecuación equivalente sin fracciones: Ese método utilizado para eliminar los denominadores se llama Método de rompe fracciones. Ahora la ecuación parece como muchas otras que ya has visto, y se puede resolver de la manera usual. Una vez que encuentres la solución, recuerda verificar tu respuesta. x 3 + x 5 = 2 El mínimo común denominador de x 3 y x 5 15 ( ) = 15 2 x 3 + x 5 15 x x 5 = x + 3x = 30 8x = 30 es 15. x = 30 8 = 15 4 = = = 2 VOCABULARIO DE SISTEMAS DE ECUACIONES El punto donde se cruzan dos líneas o curvas se llama punto de intersección. La importancia de este punto depende del contexto del problema. Dos o más líneas o curvas Punto de intersección utilizadas para encontrar un punto de intersección se llama un sistema de ecuaciones. Un Río de Janeiro sistema de ecuaciones puede representar una variedad de contextos y puede ser usado para comparar cómo dos o más San Francisco cosas están relacionadas. Por Momento del año, primavera ejemplo, el sistema de ecuaciones graficado arriba compara la temperatura en dos diferentes ciudades al transcurso del tiempo. Caja de herramientas 2014 CPM Educational Program. All rights reserved. 43 Temperatura

6 MÉTODO DE IGUALACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Notas: El Método de igualación de sistemas de ecuaciones es un método no gráfico para encontrar el punto de intersección o solución para un sistema de ecuaciones. Empieza con dos ecuaciones en la forma y = mx + b tal como y = 2x + 5 e y = x 1. Toma las dos ecuaciones que equivalen a y y colócalos iguales una a la otra. Luego resuelve esta nueva ecuación para encontrar x. Ve el ejemplo de la derecha. Ahora que sabes la coordenada x del punto de intersección, sustituye tu solución para x en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar y. En este ejemplo, se usó la primera ecuación. Un buen modo de revisar tu solución es sustituir tu solución para x en ambas ecuaciones para verificar que obtienes valores y iguales. Escribe la solución como un par ordenado que representa el punto en el gráfico donde se intersectan las ecuaciones. 2x + 5 = x 1 3x = 6 x = 2 y = 2x + 5 y = 2(2) + 5 y = 1 y = x 1 y = (2) 1 y = 1 (2, 1) SOLUCIONES PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES Una solución para un sistema de ecuaciones da un valor para cada variable que hace que ambas ecuaciones sean ciertas. Por ejemplo, cuando 4 se sustituye por x y 5 se sustituye por y en ambas ecuaciones de la derecha, ambas ecuaciones son ciertas. Así que x = 4 e y = 5 o (4, 5) es una solución a este sistema de ecuaciones. Cuando se grafican ambas ecuaciones, (4, 5) es el punto de intersección. Algunos sistemas de ecuaciones no tienen soluciones o tienen soluciones infinitas. Considera los ejemplos a la derecha. Observa que el Método de igualación de sistemas de ecuaciones produciría 3 = 4, que nunca es cierto. Cuando las líneas son graficadas, son paralelas. Por lo tanto, el sistema no tiene solución. En el tercer conjunto de ecuaciones, la segunda ecuación es solo la primera ecuación multiplicada por 2. Por lo tanto, las dos líneas son realmente la misma línea y tienen infinitas soluciones. Sistema con una solución: líneas que se cruzan Sistema con ninguna solución: líneas paralelas Sistema con infinitas soluciones: líneas coincidentes Caja de herramientas 2014 CPM Educational Program. All rights reserved. 44