Examen de Introducción a la Econometría 8 de septiembre de 2008
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- Josefa Domínguez Barbero
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1 NOMBRE DNI: GRUPO Firma: MODELO 1: SOLUCIONES Examen de Introducción a la Econometría 8 de septiembre de 008 Sólo una respuesta es válida. Debe justificar la respuesta de cada pregunta en el espacio que se le proporciona. Una respuesta sin justificación cuenta 0 puntos. Cada cuestión acertada y justificada contará 1/ punto mientras que cada fallo restará 1/8 de punto. En caso de no respuesta o respuesta no clara la puntuación de la cuestión será de 0 puntos. DISPONEDE90 MINUTOS PARA CONTESTAR EL EXAMEN. Responda en la plantilla que se le ha proporcionado en bolígrafo, rotulador o lápiz NEGRO. Recuerde que en la hoja de respuestas debe rellenar OBLIGATORIAMENTE los campos correspondientes al D.N.I., modelo de examen, fecha, firma y grupo. Al final del examen, deberá entregar todo el examen junto con la hoja de respuestas. LOS EXÁMENES QUE NO CONTENGAN ESTA INFORMACIÓN O NO TENGAN ALGUNA PÁGINA ENTREGADA NO SE CORREGIRÁN. 1. En el modelo de regresión y i =β 0 +β 1 x i + u i, en el que existe heterocedasticidad, se cumple que a. Los estimadores MCO de los parámetros β 0 y β 1 son sesgados b. Los estimadores MCO de los parámetros β 0 y β 1 no son consistentes c. No pueden calcularse los estimadores MCO, dado que se incumple una de las hipótesis básicas del modelo d. Ninguna de las demás respuestas es correcta (C) Si existe heterocedasticidad y se supone que se cumplen el resto de hipótesis básicas, tendremos que los estimadores MCO podrán calcularse (al no existir multicolinealidad exacta), serán insesgados y serán consistentes. Lo que ocurrirá es que los estimadores MCO ya no serán ELIO (al incumplirse una de las hipótesis necesarias para aplicar el Teorema de Gauss-Markov).. En la Tabla 1, se presenta la estimación realizada para analizar el gasto de 965 hogares biparentales a partir de los datos de la Encuesta de Presupuestos Familiares de Las variables incluidas son las siguientes: LFOOD_EXPEND (logaritmo del gasto en alimentación realizado por el hogar), LTOTAL_EXPEND (logaritmo del gasto total realizado por el hogar), WIFE_WORK (variable binaria que toma valor 1 si la mujer trabaja fuera de casa y 0 en otro caso), CHILDREN (número de niños en el hogar), ADULTS (número de adultos en el hogar), 1
2 HUSB_AGE (edad del marido) y WIFE_AGE(edaddelamujer). TABLA 1. A partir de los datos de la Tabla 1, se puede afirmar que a. Todas las variables son significativas al 5% b. Todas las variables son significativas al 1% c. Sólo son significativas al 5% las variables WIFE_AGE y HUSB_AGE d. Todas las variables son significativas al 1% yal5%, excepto las variables WIFE_AGE y HUSB_AGE (C) Para todas las variables explicativas, p-valor < 0.05, excepto para WIFE_AGE y HUSB_AGE. 3. En la Tabla, se presentan los resultados de la estimación para el mismo modelo que en la pregunta anterior, eliminando de la regresión la variable WIFE_AGE. TABLA.
3 A partir de los datos de las Tablas 1 y, se puede afirmar que a. La estimación de la Tabla 1 es mejor que la estimación de la Tabla, ya que el R es mayor en la Tabla 1 b. Se detecta que existe un problema de multicolinealidad exacta c. Se detecta que existe un problema de multicolinealidad aproximada (C) d. No existen problemas de multicolinealidad La variable HUSB_AGE es significativa en la segunda regresión. Sin embargo, en la primera regresión, ni esta variable ni la variable WIFE_AGE son significativas. Esto es debido a la alta correlación entre ambas variables, que hace imposible aislar el efecto individual de cada una de ellas sobre la variable dependiente LFOOD_EXPEND. 4. Cuál de los siguientes problemas puede hacer que los estimadores MCO de un modelo de regresión no sean insesgados? a. Heterocedasticidad b. Omisión de una variable explicativa relevante (C) c. Una correlación muestral de 0.95 entre dos de las variables explicativas inlcuidas en el modelo de regresión d. Ninguna de las demás respuestas es correcta Solución: b. Si existe omisión de una variable relevante, la esperanza del término de error no será nula. Si existe correlación entre la variable omitida y el resto de regresores, el estimador MCO no será insesgado. 5. Sea el modelo de regresión simple y i =β 0 +β 1 x i + u i,i = 1,...,n, con y i = Yi Y S y y x i = Xi X S X, donde S y y S x son las desviaciones típicas muestrales de Y y X, respectivamente. Al estimar la recta de regresión estimada mediante MCO, se cumple que a. β1 = r xy (C) b. β1 = r xy c. β1 = R d. No sabemos qué valor tomará β 1 Solución: a. β1 = (yi y )(xi x ) = (xi x ) Yi Y Sy X i X Sx X i X Sx = S x Yi Y Xi X S xs y Xi X = Sx S y S xy S x = Sxy S ys x = r xy 6. Sea el modelo de regresión y i = β 1 x 1i + β x i + u i,i = 1,...,n, estimado mediante MCO. Se puede asegurar que a. u i = 0 3
4 b. u i = 0 c. No sabemos qué valor tomará u i (C) d. u = 0 Por las CPO (condiciones de primer orden), sabemos que existe incorrelación entre los residuos y los regresores. Dado que en el modelo no aparece un término constante, no podemos asegurar, a priori, que la suma de residuos sea cero y, por tanto, no sabremos cuál será su valor. 7. Si los errores en un modelo de regresión son heterocedásticos, entonces a. El estimador MCO seguirá siendo ELIO, siempre y cuando los regresores del modelo no sean aleatorios b. La fórmula habitual para calcular los estimadores MCO no puede utilizarse c. El estimador MCO seguirá siendo ELIO, en todo caso d. El estimador MCO no es ELIO (C) Para que el estimador MCO sea ELIO, el teorema de Gauss-Markov señala que una de las hipótesis que se debe cumplir es que no existe heterocedasticidad ni autocorrelación. 8. En un modelo de regresión simple con constante, se cumple que a. La suma de cuadrados de residuos (SCR) nunca puede ser igual a la suma de cuadrados total (SCT) b. La suma de cuadrados de residuos (SCR) será igual a cero si el estimador MCO de la pendiente es igual a cero c. La suma de cuadrados explicada (SCE) será igual a cero si el estimador MCO de la pendiente es igual a cero (C) d. La suma de cuadrados de residuos (SCR) nunca puede ser igual a la suma de cuadrados explicada (SCE) SCE = y i y = β1 (x i x ) Si β 1 = 0, entonces SCE = Un estimador µ Y del valor poblacional µ Y es insesgado y consistente si se cumple que a. µy =µ Y y µ Y P µy b. µy µ Y y µ Y P µy c. E( µ Y ) =µ Y y P µ Y µy (C) d. E( µ Y ) µ Y y µ Y P µy 4
5 Insesgadez: E( µ Y ) =µ Y Consistencia: µ Y P µy 10. Sea Y el salario ( /hora) de los trabajadores españoles. Se quiere estudiar el salario medio (µ Y ).Para ello, se dispone de n variables aleatorias Y 1, Y,...Y n independientes e idénticamente distribuidas con media µ Y yvarianzaσ Y <. En tal caso, se cumple que la media muestral del salario (Ȳ) se distibuye a. Asintóticamente como N(0,1) b. En muestras finitas como N(µ Y,σ Y ) c. Asintóticamente como N(µ Y, σ Y n ) (C) d. En muestras finitas como N(µ Y, σ Y n ) Por el Teorema Central del Límite. 11. Suponga el siguiente modelo de regresión, que relaciona la productividad de las empresas con su tamaño y con el uso de TIC (tecnologías de la información y las comunicaciones): Y i =β 0 +β 1 TIC i +β G i + u i donde Y i representa la productividad de la empresa i, TIC i es una variable binaria que toma el valor 1silaempresai utiliza dichas tecnologías y 0 en caso contrario y G i es una variable binaria que toma el valor 1 si la empresa i es grande (más de 00 trabajadores) y 0 en otro caso. En tal caso, la diferencia entre la productividad esperada de las empresas pequeñas que usan TIC y las empresas grandes que no usan TIC viene dada por: a. β 1 +β b. β 1 c. β d. β 1 β (C) Productividad esperada de empresas pequeñas que usan TIC: a = E(Y i TIC i = 1,G i = 0) =β 0 +β 1 Productividad esperada de empresas grandes que no usan TIC: a = E(Y i TIC i = 0,G i = 1) =β 0 +β Diferencia: a b = (β 0 +β 1 ) (β 0 +β ) =β 1 β 1. Cuando en un modelo de regresión los errores son heterocedásticos, se cumple que a. Los estimadores de Mínimos Cuadrados Generalizados son ELIO, si se conoce la forma funcional de la heterocedasticidad (C) b. Los estimadores MCO son sesgados c. Los estimdores MCO son ELIO, puesto que no existe correlación serial en los términos de error 5
6 d. Los estimadores de Mínimos Cuadrados Generalizados son ELIO Solución: a. Cuando existe heterocedasticidad, los estimadores MCO ya no son ELIO. En tal caso, el estimador ELIO será el de Mínimos Cuadrados Generalizados. Este estimador puede obtenerse calculando el estimador MCO en el modelo resultante al dividir el modelo original por la raíz cuadrada de la varianza del término de error. Por tanto, para poder utilizar este estimador es necesario conocer la forma funcional de la heterocedasticidad. 13. Para estudiar los determinantes del gasto en I+D, se dispone de una muestra de 3 empresas de la industria química estadounidense. A partir de esta muestra, se estima el siguiente modelo de regresión por MCO: log(i + D i ) = log(Vent i ) log(Bene i ) donde, I + D i son los gastos en I+D (en millones de dólares) de la empresa i en el año 006, Vent i son las ventas (en millones de dólares) de la empresa i en el año 006 y Bene i son los beneficios después de impuestos (en millones de dólares) de la empresa i en el año 006. A partir de esta información, podemos afirmar que, manteniendo el resto de factores constantes, los gastos en I+D aumentarán a. En 0.31 millones de dólares ante un aumento del 1% en las ventas b. En 0.31 millones de dólares ante un aumento de 1 millón de dólares en las ventas c. Un 0.31% ante un aumento del 1% en las ventas (C) d. Un 0.31% ante un aumento de 1 millón de dólares en las ventas Al estar las variables expresadas en logaritmos, los parámetros estimados nos dan las elasticidades: cambio porcentual en la variable dependiente ante un cambio porcentual en el regresor. 14. Sea la siguiente función de producción Cobb-Douglas: log(y i )=β 0 +β 1 log(k i )+β log(l i )+u i donde Y i representa la producción de la empresa, K i el stock de capital instalado y L i el número de empleados. Se quiere contrastar la hipótesis de rendimientos constantes a escala, es decir, H 0 : β 1 +β = 1. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a. El contraste sólo se puede realizar a través de un estadístico t b. El contraste sólo se puede realizar a través de un estadístico F c. El contraste se puede realizar a través de un estadístico t o de un estadístico F y se tiene que el valor del estadístico t y del estadístico F coinciden d. El contraste se puede realizar a través de un estadístico t o de un estadístico F y se tiene que el valor del estadístico F es el cuadrado del valor del estadístico t (C) Al ser un contraste de hipótesis lineales, se utiliza el test de la F. Al ser una única restricción, el valor del estadístico F es el cuadrado del valor del estadístico t. 6
7 15. Se quiere analizar la relación entre el ahorro de las familias y algunas características familiares. La siguiente tabla muestra los resultados de estimación de diferentes modelos, donde Y es el ahorro de las familias, X 1 es el número de miembros del hogar, X son los años de educación del cabeza de familia y X 3 es la edad del cabeza de familia. (Entre paréntesis, los errores estándar de los parámetros estimados). Variable dependiente: Y Regresores Modelo 1 Modelo Modelo 3 Constante (90.6) X (1.3) (59.7) 7.5 (.4) X (3.9) 14.3 (50.5) 5.0 (1.9) (56.7) X (9.5) n R Suponiendo homocedasticidad, se quiere contrastar si la edad y la educación del cabeza de familia son conjuntamente significativas para explicar el ahorro de las familias. Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? Valores críticos: al 5%: χ = 5.99, χ 3 = 7.81 al 1%: χ = 9.1, χ 3 = a. La edad y la educación del cabeza de familia son conjuntamente significativas al 5% (C) b. La edad y la educación del cabeza de familia son conjuntamente significativas al 1% c. La edad y la educación del cabeza de familia son conjuntamente significativas al 5% yal1% d. La edad y la educación del cabeza de familia no son conjuntamente significativas al 1% ni al 5% Solución: a. Y i =β 0 +β 1 X 1i +β X i +β 3 X 3i + u i Contraste: H 0 : β = 0, β 3 = 0 H 1 : β 0y/o β 3 0 El modelo no restringido es el Modelo 3, mientras que el restringido es el Modelo 1. El estadístico para realizar el contraste es el siguiente: F = R R R q 1 R n k 1 = = 3.47 Este valor es mayor que el de una χ al 5% (3.00), pero menor al de una χ al 1% (4.61). Por tanto, las variables son conjuntamente significativas al 5%,peronoal1%. 16. Para estudiar las retribuciones de los ejecutivos de las empresas, se especifica el siguiente modelo de regresión: Re tr i =β 0 +β 1 Fact i +β IBEX i + u i 7
8 donde Re tr i es la retribución media de los ejecutivos de la empresa i, Fact i es la facturación media de la empresa i e IBEX i es una variable binaria que toma valor 1 si la empresa i está cotizada en el IBEXy0encasocontrario. Este modelo se estima por MCO, obteniéndose que β = 1.34, con el siguiente intervalo de confianza para este parámetro a un nivel de significación del 1%: (0.5;.43) a. Se acepta a un nivel de significación del 1%, peronodel5%, que no existen diferencias retributivas entre los ejecutivos de las empresas cotizadas y no cotizadas en el IBEX b. Se rechaza a un nivel de significación del 1%, pero no del 5%, que no existen diferencias retributivas entre los ejecutivos de las empresas cotizadas y no cotizadas en el IBEX c. Se rechaza a niveles de significación del 1% ydel5% que no existen diferencias retributivas entre los ejecutivos de las empresas cotizadas y no cotizadas en el IBEX (C) d. Se acepta a un nivel de significación del 5%, peronodel1%, que no existen diferencias retributivas entre los ejecutivos de las empresas cotizadas y no cotizadas en el IBEX Dado que el valor 0 no se encuentra dentro del intervalo de confianza a un nivel de significación del 1%, se rechaza a ese nivel (y al 5%) que no existan diferencias retributivas entre los ejecutivos de las empresas cotizadas y no cotizadas en el IBEX. 17. En un modelo de regresión simple, el estimador de la pendiente coincide con la covarianza muestral entre x e y, si se cumple que: a. La varianza muestral de y es igual a 1 b. La varianza muestral de x es igual a 1 (C) c. La correlación muestral entre x e y es igual a 1 ó -1 d. Nunca Solución: b. β1 = Sxy S x Si S x = 1, entonces β 1 = S xy. 18. Para explicar la influencia del tabaco sobre la natalidad, se ha estimado el siguiente modelo de regresión por MCO: peso i = Cig i donde peso i es el peso (en kilos) de un bebé al nacer y Cig i es el número medio de cigarrillos fumados al día por su madre durante el embarazo. A partir de esta información, podemos afirmar que a. El peso medio al nacer de un bebé de madre fumadora es de 4.05 kgs. b. El peso medio al nacer de un bebé, independientemente de que su madre sea fumadora o no, es de 4.15 kgs. c. A un nivel de significación del 5%, podemos asegurar que el peso del recién nacido se ve afectado negativamente por el hecho de que su madre sea fumadora d. Los hijos de mujeres que fuman un paquete de tabaco (esto es, 0 cigarrillos) al día durante el embarazo pesarán, de media,.15 kg. al nacer (C) 8
9 E(Peso i Cig i = 0) = 4.15 (0.10 0) = 4.15 = Suponga que tiene un problema por omisión de alguna variable relevante y se viola el supuesto E(u i X i )=0. Esto implica que a. La suma de los residuos no es cero b. Existe otro estimador, llamado de mínimos cuadrados ponderados, que es el estimador lineal insesgado óptimo (ELIO) c. La suma del producto de los residuos por cualquiera de las variables explicativas no es cero d. El estimador MCO no es consistente (C) Al violarse ese supuesto, el estimador MCO dejará de ser sesgado y el sesgo no desaparecerá ni asintóticamente (por lo que el estimador MCO no será consistente). 0. Se ha obtenido una muestra a partir de la Encuesta de Población Activa, con datos relativos a ganancias semanales de los individuos, su edad y su sexo, para contrastar la hipótesis de que las mujeres ganan un 30% menos que los hombres. Para realizar este contraste, se estima por MCO una regresión de las ganancias (gan i ) sobre una constante, una variable ficticia (muj i ) que toma valor 1 si el individuo es mujer y 0 si es hombre, y la edad del individuo (edad i ) medida en años. Los resultados obtenidos son los siguientes: gan i = muj i edad i (1.18) (13.06) Valores críticos: N(0,1) 1% =.57, N(0,1) 5% = 1.96 Sabiendo que hay 850 mujeres y 894 hombres en la muestra, determine cuál de las siguientes respuestas es verdadera a. La diferencia esperada en las ganancias entre un hombre y una mujer de 0 años será de 56.9 y esta diferencia no es estadísticamente significativa al 5%,perosíal1% b. La diferencia esperada en las ganancias entre un hombre y una mujer de 0 años será de 46.7 y esta diferencia es estadísticamente significativa al 1% c. La diferencia esperada en las ganancias entre un hombre y una mujer de 0 años será de y esta diferencia es estadísticamente significativa al 1% yal5% (C) d. La diferencia esperada en las ganancias entre un hombre y una mujer de 0 años será de y esta diferencia es estadísticamente significativa al 1%,peronoal5% a = E(gan i muj i = 1,edad i = 0) = (5.15 0) b = E(gan i muj i = 0,edad i = 0) = (5.15 0) Diferencia: b a = Contraste: t = = Al ser este valor mayor que el valor crítico de una N(0,1) al 5% (1.96) yal1% (.57), se rechaza que la diferencia no sea significativa: es decir, es estadísticamente significativa al 1% yal5%. (0.55) 9
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