2. MATRICES 2.1. CONCEPTO DE MATRIZ 2.2. TIPOS DE MATRICES 2.3. OPERACIONES CON MATRICES

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1 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2. MARICES 2.. CONCEPO DE MARIZ 2.2. IPOS DE MARICES 2.3. OPERACIONES CON MARICES PRODUCO DE UNA MARIZ POR UN ESCALAR SUMA DE MARICES PRODUCO DE DOS MARICES 2.4. MARIZ RASPUESA 2.5. MARIZ ADJUNA 2.6. MARIZ INVERSA DEFINICIÓN Y PROPIEDADES CALCULO DE LA MARIZ INVERSA 2.7. RANGO DE UNA MARIZ Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

2 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2.. CONCEPO DE MARIZ 2. MARICES Un mtriz rel de orden, tmño, tipo o dimensión ( m n) es un tbl o disposición bidimensionl ordend de números reles, dispuestos en m fils horizontles y en n columns verticles. ( ij ) i m M ( m n) ( ) A R. j n En notción expndid tmbién se escribe sí 2 L i L j L n 2 22 L 2i L 2 j L 2n L L L L L L L L i i2 ii ij in A L L L = L L L L L L L L j j2 L ji L jj L jn L L L L L L L L m m2 mi mj L L L mn Si m = l mtriz se l llm mtriz fil. Si n = mtriz column. Cundo m n l mtriz se denomin rectngulr. L mtriz que tiene igul número de fils que de columns m = n, recibe el nombre de mtriz cudrd. El conjunto de ls mtrices cudrds de orden n se represent por M n ( R ). Dos mtrices son igules si son del mismo orden y los elementos que ocupn el mismo lugr son igules. Cd fil o column de un mtriz se puede considerr como un vector fil o un vector column. En efecto, l fil i-ésim de l mtriz A d lugr l vector fil r i. r =,, K,, K,, K,. ( ) i i i2 ii ij in L column j-ésim es el vector r j de componentes. r j j 2 j M ij = M jj M mj Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

3 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2.2. IPOS DE MARICES ) Mtriz tringulr superior Un mtriz cudrd A de orden n se dice que es tringulr superior si todos los elementos de A situdos debjo de l digonl principl son nulos. ij = 0 pr i > j( i, j {,2,3, K,n}) Ejemplos: 2 2 A = 0 3 4, B = b) Mtriz tringulr inferior Un mtriz cudrd A de orden n se dice que es tringulr inferior si todos los elementos de A situdos por encim de l digonl principl son nulos. 0 i < j i, j,2,3, K,n Ejemplos: ij ( ) = pr { } A = 2 3 0, B= Propieddes de ls mtrices tringulres ) L sum de mtrices tringulres superiores A + B es un mtriz tringulr superior A + B = = ) El producto de mtrices tringulres superiores A B es un mtriz tringulr superior A B = = ) Si un mtriz tringulr superior A tiene invers, A es tmbién tringulr superior A = Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

4 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel c) Mtriz digonl Un mtriz cudrd A de orden n se dice que es digonl si es l vez tringulr superior y tringulr inferior. Utilizndo l notción de Kronecker. = si i = j δij = 0 si i j ij = δij di pr culesquier i, j {,2,3, K,n} con di R. Ejemplos: A = 0 2 0, B = d) Mtriz trspuest Se A M ( m n) ( R). Mtriz trspuest ( ) ( R) l mtriz A y vicevers. A m n M es l mtriz cuys fils son ls columns de Ejemplo: A =, A = 4 2 Propieddes de ls mtrices trspuests ) L trspuest de l trspuest de un mtriz es ell mism ( A ) = A 2) L trspuest del producto de un esclr por un mtriz es igul l esclr por l trspuest de l mtriz ( ) α A = α A 3) L trspuest de l sum o diferenci de mtrices es igul l sum o l diferenci de ls trspuests ( ) A ± B ± C ± LL ± P = A ± B ± C ± LL ± P 4) L trspuest del producto de mtrices es igul l producto de ls trspuests permutndo los fctores. ( ) A B C KK P = P KK C B A 5) El rngo de un mtriz es igul que el rngo de su trspuest rg A = rg A ( ) ( ) 6) Si existe l mtriz invers de A, entonces l invers de l trspuest es igul l trspuest de l invers Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

5 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel ( A ) = ( A ) 7) Si el producto de un mtriz por su trspuest es igul l mtriz nul, m n. entonces l mtriz es nul de orden ( ) e) Mtriz simétric Si A A = 0 A = 0 Un mtriz cudrd A de orden n es simétric si coincide con su trspuest. A = A = pr todo i, j =, 2,3, K, n Ejemplo: ij ji A = Propieddes de ls mtrices simétrics ) L sum de dos mtrices simétrics es un mtriz simétric Si A y B son simétrics A + B es simétric. El producto de un esclr por un mtriz simétric es otr mtriz simétric Si A es simétric αa es simétric α R 2. Si un mtriz simétric tiene invers, est es simétric A (simétric) A A es simétric 3. En generl A B y B A no hn de ser simétrics unque A y B lo sen f) Mtriz ntisimétric Un mtriz cudrd A de orden n es ntisimétric si sus mtrices opuest y trspuest coinciden. A = A = pr todo i, j =, 2,3, K, n Ejemplos: ij ji A = 2 3, B = Propieddes de ls mtrices ntisimétrics ) Si vris mtrices son ntisimétrics su sum tmbién lo es Si A, B, C, K, P son ntisimétrics A + B + C + K + P es ntisimétric 2) El producto de un esclr por un mtriz ntisimétric es otr mtriz ntisimétric. Si A es ntisimétric αa es ntisimétric α R Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

6 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 3) Si dos mtrices ntisimétrics cumplen l propiedd conmuttiv del producto de mtrices, entonces A B es simétric. Si A y B son ntisimétrics A B = B A A B es simétric. Est propiedd no es ciert si no se cumple l conmuttividd del producto A B B A de mtrices ( ) 4) Si un mtriz ntisimétric tiene invers, est es ntisimétric. A (ntisimétric) A A es ntisimétric g) Mtriz ortogonl Se dice que un mtriz cudrd A de orden n es ortogonl si se verific que A A = A A = I n o lo que es lo mismo, que ls columns de l mtriz A son vectores ortogonles dos dos y de módulo igul. Ejemplo: 0 A = 0 ; A A = = = I2; A = = 0 luego l mtriz A es ortogonl Propieddes de ls mtrices ortogonles ) Si A y B son ortogonles y se cumple que A B = B A entonces A B y B A son mtrices ortogonles. 2) Si A y Bson mtrices ortogonles, en generl, l mtriz A + B no es ortogonl. 3) Si A es un mtriz ortogonl y α R, l mtriz α A no es ortogonl. 4) Si un mtriz es ortogonl y dmite invers, entonces A = A Est últim propiedd signific que si un mtriz A es ortogonl entonces es inversible. 5) Si un mtriz A es ortogonl su determinnte A = ± h) Mtriz idempotente Un mtriz cudrd A de orden n se dice que es idempotente si y sólo se 2 verific A A = A = A Ejemplo: A = Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

7 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel A A = A = = 3 4 = A Propieddes de ls mtrices idempotentes ) L mtriz B C es idempotente únicmente si se cumple propiedd l conmuttiv respecto del producto de mtrices B C = C B 2) Si B es un mtriz idempotente, l mtriz tmbién es idempotente unque en generl no lo es i) Mtriz nilpotente Un mtriz cudrd A de orden n se denomin nilpotente si y sólo si se cumple 2 que A A = A = 0 n. Ejemplo: 0 0 A = 0 ; A A = A = = = 02; A = = Propieddes de ls mtrices nilpotentes ) Si un mtriz A es nilpotente su determinnte A = 0. 2) Si l mtriz A es nilpotente y In j) Mtrices unipotentes ( ) n A es invertible, su invers es igul I A = I + A Un mtriz A de orden n se llm unipotente si se verific que Ejemplo: A = n 2 A A = A = I n A A = A = = A = = Propiedd de ls mtrices unipotentes ) Si un mtriz A es unipotente entonces su determinnte A = ± Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

8 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2.3. OPERACIONES CON MARICES Producto de un mtriz por un esclr Se un mtriz A = ( ij ) M ( m,n ) y un esclr α k. El producto del esclr α A es un mtriz del mismo orden y definid por α A( ) = m,n ( α ij ). por l mtriz ( m,n) Sum de mtrices Sen ls mtrices A( ) = m,n ( ij ) y B( ) ( b m,n ij ) m,n definid por A + B = ( ij ) + ( bij ) = ( ij + bij ). ( ) =. Su sum es otr mtriz de orden Pr que dos mtrices se puedn sumr deben ser del mismo orden, es decir, equidimensionles. Ls propieddes de l sum de mtrices y el producto de un esclr por un mtriz se derivn de l estructur de espcio vectoril de ( M ( ), + m,n ), ( k, +, ), o Producto de dos mtrices A Sen ls mtrices A( ) = m,p ( ij ) y B( ) ( b p,n ij ) B es otr mtriz p,n C( ) ( c m,n ij ) ( m,p) ( ) =. El producto de mbs mtrices = en l que el término situdo en l fil i y l column j es el producto esclr cnónico de los elementos de l fil i-ésim de l mtriz A por los correspondientes elementos de l column j-ésim de l mtriz B. C = c = b ( m,n) ( ) ij ik kj pr i =, 2,3, KK, m j =,2,3, KK, n Propieddes del producto de mtrices ) Asocitiv ( A B) C = A ( B C) 2) Distributiv del producto respecto de l sum de mtrices por l izquierd A B + C = A B + A C ( ) 3) Distributiv del producto respecto de l sum de mtrices por l derech A + B C = A C + B C ( ) 4) Existenci del elemento neutro (Únicmente en ls mtrices cudrds) 0 L I L ( m,m) = L L L L 0 0 L Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

9 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 5) En lgunos csos si existe el elemento simétrico A de un mtriz dd A 6) En generl no se cumple l propiedd conmuttiv A B B A Se debe hcer notr que l no ser el producto de mtrices conmuttivo hy que distinguir entre producto por l derech y producto por l izquierd de un mtriz. En cd cso se debe tener previmente en cuent l condición pr que el producto de mtrices se fctible MARIZ RASPUESA Se denomin mtriz trspuest de un mtriz culquier A, l que se obtiene, cmbindo ls fils por columns y ests por quells sin lterr el orden reltivo entre ells. Se represent más comúnmente por A. Propieddes de l mtriz trspuest ) L trspuest de l trspuest de un mtriz dd es ell mism ( A ) = A 2) L trspuest de un sum de mtrices es igul l sum de ls trspuests de ls mtrices dds ( A B C M) ( ij ) ( bij ) ( cij ) ( mij ) ( ji ) ( b ji ) ( c ji ) K ( m ) ji ( ji ) ( b ji ) ( c ji ) KK ( m ji ) ( ji ) ( b ji ) ( c ji ) KK ( m ji ) KK + = KK + = K + = = = = A + B + C + KK + M = M + KK + C + B + A 3) L trspuest del producto de dos mtrices es igul l producto de ls trspuests permutndo el orden de los fctores 2.5. MARIZ ADJUNA A B C = C B A ( m n) ( n p) ( p q) ( q p) ( p n) ( n m) Se lm mtriz djunt de un mtriz cudrd A y se represent por l mtriz que result de sustituir cd uno de los elementos de su trspuest ( A ) por sus djuntos correspondientes. Propieddes de l mtriz djunt ) Si A es un mtriz cudrd de orden n, se cumple A A = A A = A I n 2) Si A es un mtriz cudrd de orden n, entonces A = n A Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

10 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel 2.6. MARIZ INVERSA Definición y Propieddes Se un mtriz cudrd A de orden n, se dice que A es un mtriz invertible, o que existe mtriz invers de l dd, si existe un mtriz A de orden n tl que se cumple A A = A A = I Es decir, l mtriz invers A es el elemento simétrico de l mtriz A, respecto l ley de composición intern sum de mtrices. Se dice que un mtriz es regulr si es invertible (dmite invers). En cso contrrio se dice que l mtriz es singulr. Propieddes de ls mtrices inverss ) Si l mtriz invers de A existe,!a es únic 2) L invers de l invers de un mtriz es ell mism: ( A ) Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez = A 3) Si dos mtrices A y B dmiten invers, l mtriz invers del producto de ls mtrices es igul l producto de ls inverss con el orden permutdo: ( ) A B = B A 4) Si l mtriz A dmite mtriz invers, l mtriz invers de l trspuest de A es igul l trspuest de l invers de A: ( A ) = ( A ) 5) Si l mtriz A es invertible y se cumple A B = A C B = C 6) Si l mtriz A es invertible y se cumple B A = C A B = C Un plicción importnte de l mtriz invers es l resolución de sistems de ecuciones lineles. Se un mtriz A de orden n que dmite mtriz invers A, el sistem de ecuciones lineles con n incógnits A x = b es COMPAIBLE DEERMINADO cuy solución únic es. A x b A = A x = A b Como A A = I I x = x x = A b Cálculo de l mtriz invers Pr relizr el cálculo de l mtriz A se puede utilizr el método de Guss- Jordn en el que ls operciones elementles trnsformn l mtriz A en l mtriz identidd I, ests misms operciones trnsformn l vez l mtriz identidd en l mtriz invers. Operciones elementles por fils o columns Se denomin operción elementl por fils (columns) de un mtriz A, ls siguientes: ) Sumr un fil o column de A un múltiplo de otr fil o column b) Multiplicr un fil o column de A por un esclr no nulo

11 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel c) Intercmbir entre sí dos fils o dos columns Ls operciones elementles se pueden plicr directmente o utilizndo mtrices elementles. Mtriz elementl Se un mtriz E cudrd de orden n. Se denomin mtriz elementl l que result de relizr un operción elementl l mtriz unitri del mismo orden. L mtriz elementl es del mismo tipo que l operción elementl plicd. E λ, es un mtriz. Un mtriz elementl del tipo I, representd por ( ) cuyos elementos cumplen: eij = si i = j EkI ( λ ) = ( eij ) = e ij = λ si i = k, j = eij = 0 en otro cso Es decir, l mtriz identidd pero con el elemento e ki = λ. 2. Un mtriz elementl del tipo II, representd por E ( ) cuyos elementos cumplen: k ki λ, es un mtriz eii = si i k Ek ( λ ) = ( eij ) = e kk = λ si i = k eij = 0 en otro cso Es decir, l mtriz identidd pero con el elemento e kk de l digonl igul λ. 3. Un mtriz elementl del tipo III, representd por P ( ) cuyos elementos cumplen: ki λ, es un mtriz pii = si i k, pkk = p = 0 PkI ( λ ) = ( p ij ) = pk = pk = 0 en otro cso Es decir, l mtriz identidd pero con ls fils y k intercmbids. Premultiplicr un mtriz A por un mtriz elementl equivle relizr un operción elementl por fils sobre A. Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

12 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel EOREMA Sen: E un mtriz elementl obtenid l plicr l mtriz identidd un determind operción elementl, y A un mtriz cudrd del mismo orden. L mtriz E A es el resultdo de plicr es mism operción elementl ls fils de l mtriz A. Ls mtrices elementles son invertibles y sus inverss (tmbién son mtrices elementles), tienen el efecto de deshcer ls operciones relizds por ests. EOREMA Ls mtrices elementles son regulres y sus inverss son:. E ( λ ) = E ( λ) kl kl (Se rest l fil k l fil l multiplicd por λ) k λ = Ek 2. E ( ) 3. ( P ) lk lk λ (multiplic l fil k por λ ) = P (intercmbi ls fils l y k) El método de Guss-Jordn utiliz mtrices elementles pr desrrollr un lgoritmo que permit clculr l invers de un mtriz, prtir de operciones elementles sobre sus fils. MÉODO DE GAUSS-JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MARIZ INVERSA Se A un mtriz cudrd y se I l mtriz identidd, mbs del mismo orden. Si A dmite invers A se puede trnsformr en l mtriz I medinte operciones elementles por fils. Sen E, E 2,E 3, KK,En ls mtrices elementles que trnsformn A en I, de modo que cd un de ells correspond un operción linel Se tiene: E KK E E E A = E A = I ( ) ( ) ( ) n 3 2 n n n donde E = En KK E3 E2 E. Como A es invertible y E A = I se debe cumplir que E = A. L mtriz E se obtiene plicndo ls misms operciones elementles l mtriz A. E KK E E E I = E I = E = A n 3 2 n n n ( ) ( ) ( ) Por tnto, ls operciones elementles que trnsformn l mtriz A en l A - mtriz identidd I trnsformn l identidd en l mtriz invers n ( ). Este resultdo permite utilizr el denomindo lgoritmo de Guss-Jordn pr clculr l invers de un mtriz A. Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

13 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel /I n,2n Operndo sobre ls fils de l mtriz A n ( ) de orden ( ) se trnsform A - A en l identidd I y l identidd en l invers n ( ), resultndo finlmente /A - I n ( ). Ls operciones por fils se plicn en tres etps. ª EAPA: GENERAR CEROS POR DEBAJO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL Pr hcer un cero en l posición ( i, j ) en l column " j", se tom l fil j- F y se trnsform l fil i-ésim ( F ) medinte l ésim como fil pivote ( j ) operción elementl: Si el elemento pivote jj 0 Fi Fi + x F j siendo x = = de l fil pivote ( j ) i j j j i F entonces l operción elementl no puede relizrse. En ese cso se intercmbirá l fil pivote por otr que esté debjo de ell ( k) y tl que kj 0, es decir que el nuevo pivote se distinto de cero, continundo ls operciones elementles. 2ª EAPA: GENERAR UNOS EN LA DIAGONAL PRINCIPAL Finlizd l etp, pr hcer un uno en l digonl en l posición ( i,i ) se multiplic l fil i-ésim ( F i ) por Fi x F i siendo x = i i 3ª EAPA: GENERAR CEROS POR ENCIMA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL Es importnte tener en cuent que se comienz por l últim column, después l penúltim,, tercer y sí hst llegr l segund column, se reliz igul que en l ª etp. Pr hcer cero el elemento ( ) i, j situdo en l column j se utiliz l fil j- ésim como fil pivote ( F j ) y se trnsform l fil i-ésim con l operción elementl: 2.7. RANGO DE UNA MARIZ Fi Fi + x F j siendo x = Cálculo del rngo de un mtriz medinte determinntes Se un mtriz cudrd A se cumple que:. Rngo ( A) 2. Rngo ( A) < n ssi, A = 0 = n ssi, A 0 i j j j Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez

14 Mtrices Herrmients informátics pr el ingeniero en el estudio del lgebr linel Se un mtriz rectngulr A ( m,n) se cumple que:. Rngo ( A) = r < min{ m, n} ssi, existe l menos un submtriz Ar orden ( r,r ) / Ar 0 y tods ls submtrices de orden ( r, r ) A de + + de A sus determinntes son nulos. A estos últimos determinntes se les llm r + de A. menores de orden ( ) 2. Rngo ( A) = k = min{ m, n} ssi, existe l menos un submtriz Ak orden ( k, k ) / Ak 0. A de Cundo el sistem teng solución interesrá clculrl y pr lo que se utilizrá lgún método idóneo que permit obtenerl. Entre otros existe el llmdo método de Guss que no sólo proporcion l solución sino que indic el número de soluciones que tiene. Mª Isbel Egui Ribero Mª José González Gómez