Estimación de una probabilidad

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1 Estimación de una probabilidad Introducción En general, la probabilidad de un suceso es desconocida y debe estimarse a partir de una muestra representativa. Para ello, deberemos conocer el procedimiento adecuado para llevar a cabo dicha estimación y los distintos conceptos implicados. A continuación, empezaremos por situar el problema, pasando después a comentar la solución estadística. Finalmente, desarrollaremos algunos problemas de aplicación. Probabilidades y porcentajes La probabilidad de un suceso es una medida de la incertidumbre acerca de su aparición al realizar una observación aleatoria. Así, al hablar de la probabilidad de que un paciente de 55 años presente un infarto en el siguiente año, lo que intentamos establecer es en qué medida se espera este suceso en este tipo de paciente. Desde un punto de vista formal, la probabilidad es un valor entre y 1, de manera que la probabilidad anterior puede indicarse como P(Infarto/Edad>55)=p, donde p será un valor entre y 1. Desde un punto de vista práctico, en muchos casos nos referimos a la probabilidad en términos de porcentajes. Así, diremos que hay una probabilidad de un 5% de que el sexo de un recién nacido sea varón y un 5% de que sea hembra. Al realizar esta interpretación, estamos utilizando el porcentaje como un sinónimo de probabilidad. Aunque esto es correcto en muchos casos, debemos ser prudentes al utilizar el concepto de porcentaje, ya que no todos los porcentajes son probabilidades. El porcentaje de resultados en una muestra no es una probabilidad Cuando decimos que un 84.4% de las mujeres encuestados prefieren la anestesia epidural, nos estamos refiriendo a un porcentaje muestral (frecuencia relativa) y no a una probabilidad. En todo caso, este porcentaje puede tomarse como una estimación de la probabilidad del suceso observado. Obviamente, el porcentaje muestral cambiará con cada muestra, pero el valor de la probabilidad es constante. Por lo tanto, vamos concretar esta diferencia. Consideremos la probabilidad de que un individuo de una población se infecte por el virus de la gripe en un año determinado. Esta probabilidad es P(G). Como tal, esta probabilidad es una propiedad de la población objeto de estudio y es esencialmente desconocida. Si realizamos un encuesta de salud, podemos aproximar el valor de esta probabilidad a partir del porcentaje de personas que se han infectado. Este porcentaje muestral será dependiente de la muestra escogida y, por lo tanto, será tan solo una aproximación al valor de P(G). No todos los porcentajes son probabilidades En un estudio clínico podemos establecer que un fármaco reduce en un 15% el peso de un individuo. Este tipo de porcentajes indican una variación porcentual respecto a un valor de referencia y no son indicativos de una probabilidad. Por lo tanto, los métodos de cálculo y estimación de probabilidad no son de aplicación a este tipo de porcentajes. ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 1 -

2 La probabilidad es un parámetro característico de la población objeto de estudio La probabilidad de un suceso es un parámetro característico de la población objeto de estudio. Así, la probabilidad de padecer un infarto dependerá de la población a la que nos estemos refiriendo. Probabilidad de infarto en un individuo de la población general Probabilidad de infarto en un varón Probabilidad de infarto en un varón hipertenso Probabilidad de infarto en un varón hipertenso de más de 55 años P(I) P(I/V) P(I/V H) P(I/ V H (Edad>55)) En cada caso, deberemos obtener información pertinente al grupo de referencia considerado para poder estimar el valor de la probabilidad. La probabilidad la encontramos en muchas situaciones diferentes bajo nombres especiales. Algunos ejemplos en el caso de pruebas diagnósticas son: Sensibilidad de una prueba diagnóstica Especificidad de una prueba diagnóstica Probabilidad de falsos positivos Probabilidad de falsos negativos Valor pronóstico positivo Valor pronóstico negativo P(+/E) P(-/S) P(+ S) P(- E) P(E/+) P(S/-) En todos estos casos, el problema es el mismo: estimar el valor de la probabilidad desconocida a partir de los resultados muestrales. ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - -

3 Estimación de una probabilidad Estimación puntual Llamaremos π a la probabilidad desconocida (sea la que sea en cada caso). De manera general, si A es el suceso de interés, entonces P (A) = π. Si disponemos de una muestra de tamaño n de la población a la que se refiere la probabilidad, entonces la frecuencia relativa de apariciones del suceso A en la muestra es el estimador de π : f A (1) n P(A) = π Intervalo de confianza La estimación puntual, por sí sola, es de poco valor dado que en cada muestra vamos a obtener un resultado distinto. El intervalo de confianza establece un rango de valores donde se encuentra el valor de π con una cierta probabilidad. El intervalo de confianza ( 1 α) correspondería al rango de valores que incluiría el valor de π con una probabilidad ( 1 α). Si llamamos p f / = A N a la frecuencia relativa del suceso en una muestra de tamaño n y q = 1 p, entonces el intervalo de confianza ( 1 α) se define como: pq p ± z1 α / n () z ( 1 α). En el caso ( 1 α ) =. 95, tenemos que ( 1 α / ) = El valor 1 α / corresponde al valor de una normal N(,1) que delimita un intervalo z..975 = y por lo tanto Este intervalo es válido para muestras de cierto tamaño y proporciona una estimación de los posibles valores de π. En el apéndice se comentarán algunas alternativas a este tipo de intervalo. ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 3 -

4 Ejemplo básico Consideremos que un 3.3% de un total de 35 hombres encuestados responden que son contrarios a estar presentes en el parto. Cuál seria la estimación de la probabilidad de que un hombre sea contrario a estar presente en el parto? Si la muestra de 35 se ha obtenido al azar y es representativa de la población general, es decir no existen sesgos de selección en la muestra, entonces podemos utilizar el intervalo de confianza anterior para estimar la probabilidad buscada. En este caso p y n = 35. Por lo tanto, para una confianza de.95 : =.33.33± ±.54 (.179,.87) (3) Por lo tanto, estimamos con una confianza de.95 que el valor de la probabilidad buscada se encuentra entre.179 y.87. Tabla y porcentajes La estimación de una probabilidad es complementaria al cálculo de porcentajes en una tabla. De hecho, los porcentajes de la tabla deberían complementarse siempre con el correspondiente intervalo de confianza. Veamos el siguiente ejemplo. Un estudio clínico evalúa un tratamiento frente a un grupo control. En cada caso, se determina si se ha producido o no una mejora respecto al estado de referencia antes del tratamiento. Los resultados son: Tabla de contingencia MEJORA * MEJORA Total Si No Control Tratamiento Total ,7% 7,% 68,3% ,3% 8,% 31,7% ,% 1,% 1,% Podemos ver que el porcentaje de mejoras en el grupo de tratamiento es del 7%, mientras que en el grupo control es del 65.7%. Esta observación parece indicar que el tratamiento es eficaz. Gráficamente, se obtiene: ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 4 -

5 8 6 4 Porcentaje Si No Control Tratamiento MEJORA Casos ponderados por OBS Veamos el resultado de estimar la probabilidad de mejora en cada grupo. Para el gupo control tendremos: (4).7.7 ±.18 (.54,.9) Para el grupo control tendremos: ±.16 (.5,.8) (5) Podemos observar que los intervalos de confianza se solapan. Esto es indicativo de que no podemos descartar que las probabilidades de mejora sean iguales en cada grupo, aunque la muestra presente un resultado favorable al tratamiento. Gráficamente: 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 Control Tratamiento 1,9,8,7,6,5,4,3,,1 ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 5 -

6 Cálculo del tamaño muestral necesario para estimar una probabilidad La precisión con la que se estima un determinado parámetro poblacional depende, siempre, del tamaño muestral empleado. En el caso de la estimación de una probabilidad, la precisión de la estimación puede indicarse como: p ± (6) = z 1 α / pq n Para conseguir una precisión adecuada, debemos emplear un tamaño muestral igual a: z1 / = α p q n (7) En este caso, p hace referencia a una estimación previa de la probabilidad buscada. Esto puede conseguirse mediante una muestra piloto. En caso de no disponer de esta estimación previa, entonces utilizaremos un valor de.5. Este valor representa la situación más desfavorable. La precisión dependerá del problema en particular. Así, en una encuesta electoral, podríamos utilizar =. 3, lo que indicaría una precisión de ± 3% en los resultados de la encuesta. Sin embargo, si queremos estimar la probabilidad de presencia de una determinada enfermedad que afecta alrededor de un 1 por mil de la población, entonces deberíamos utilizar una precisión mucho menor, p.e. de un.3 por mil. Veamos los resultados de ambos ejemplos. En el caso de la encuesta electoral tendríamos: n = = (8) p En este caso, utilizamos un valor =. 5 para realizar el cálculo del tamaño muestral que asegura la precisión buscada para cualquier resultado de la muestra. En el caso de la estimación de la probabilidad de la enfermedad tenemos que 1. Si fijamos una precisión =.3/ 1, el tamaño muestral requerido será: p 1/ 1.96 n = = = (9) ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 6 -

7 Problemas resueltos Estimación de la sensibilidad y la especificidad de una prueba diagnóstica En una ensayo clínico, se dispone de 35 individuos que padecen una determinada enfermedad y de 45 individuos sanos. Se quiere validar un procedimiento diagnóstico rápido para esta enfermedad. En el estudio, dan positivo 9 individuos del grupo de enfermos y 18 del grupo de sanos. Se pide estimar la sensibilidad y la especificad de la prueba diagnóstica. En este caso, podemos calcular la estimación puntual de la sensibilidad como P ( + / E) = 9/35 =.83. De acuerdo con los datos, la especificidad sería: P. A partir de estos resultados, podemos estimar: ( / S) = 7 / 45 =.6 Sensibilidad: π = P ( + / E) ±.1 Especificidad: π = P( / S) (.71,.95).6.6 ±.14 (.46,.74) (1) (11) Por lo tanto, aunque en la muestra la especificidad es del 6%, podría ser que fuera inferior al 5%, según resulta del intervalo de confianza. Qué tamaño muestral sería necesario para estimar la sensibilidad con una precisión del %?. En este caso, podemos tomar p =. 83 y =.. El tamaño muestral necesario sería: 1.96 n = = (1) ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 7 -

8 Comparación de tratamientos En un ensayo clínico, se obtienen los siguientes resultados: Tabla de contingencia MEJORA * MEJORA Total Si No Tratamiento Control Total ,5% 4,6% 58,5% ,5% 57,4% 41,5% ,% 1,% 1,% De acuerdo con este resultado, se pide estimar el probabilidad de mejora en ambos grupos y comparar los resultados. La proporción observada de mejoras en el grupo de tratamiento es del 74.5%, mientras que en el grupo control es de 46.%. La estimación de la probabilidad de mejora en el grupo de tratamiento seria: ±.15 (.6,.87) (13) En el grupo control tendríamos: ±.143 (.3,.61) (14) De acuerdo con estos resultados, la estimación de la proporción de mejoras en ambos grupos proporciona dos intervalos que no se solapan. En tal caso, podemos concluir que la probabilidad de mejora en el grupo de tratamiento es más elevada. Para completar esta interpretación, sin embargo, sería conveniente comparar ambas probabilidades. Veremos más adelante que esto se puede hacer mediante un intervalote confianza de la diferencia de probabilidades o mediante la estimación del cociente de dos probabilidades. ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 8 -

9 Problemas de aplicación PREGUNTA 1 En una encuesta realizada a 34 personas, un 67% contestan afirmativamente a la pregunta: Está usted de acuerdo con la utilización de células madre en investigación médica?. Estima la proporción de personas favorables a esta iniciativa en la población original. (95% de confianza) 1) (.61,.73) ) (.63,.71) 3) (.59,.75) 4) (.64,.7) PREGUNTA Un estudio epidemológico de cohortes proporciona los resultados siguientes: Tabla de contingencia EXPOSICI * EXPOSICI Total Expuestos No expuestos Casos Controles Total Calcula una estimación (95% de confianza) de la proporción de expuestos que han desarrollado la enfermedad. 1) (.51,.67) ) (.57,.75) 3) (.5,.66) 4) (.5,.68) PREGUNTA 3 En una encuesta realizada a 9 personas, 74 contestan afirmativamente a la pregunta: Está usted de acuerdo con la utilización de células madre en investigación médica?. Cuántas personas deberíamos encuestar para estimar la proporción de personas favorables a esta iniciativa en la población original con un 95% de confianza y una precisión del %? 1) 1418 ) 41 3) 183 4) 385 ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 9 -

10 PREGUNTA 4 En un ensayo clínico, se quiere determinar la sensibilidad de un método diagnóstico. Los resultados obtenidos son: Tabla de contingencia DIAGNOST * DIAGNOST Total (+) (-) Enfermos Sanos Total Estima la sensibilidad con una confianza del 95%. 1) (.63,.8) ) (.81,.91) 3) (.65,.78) 4) (.78,.93) PREGUNTA 5 En un ensayo clínico, se quiere determinar la especificidad de un método diagnóstico. Los resultados obtenidos son: Tabla de contingencia DIAGNOST * DIAGNOST Total (+) (-) Enfermos Sanos Total Estima la especificidad con una confianza del 95%. 1) (.63,.8) ) (.78,.93) 3) (.65,.78) 4) (.81,.91) PREGUNTA 6 De acuerdo con los resultados de la pregunta anterior, Cuántas personas deberíamos incluir en el grupo correspondiente, para estimar la especificidad con una precisión del 3% y una confianza del 95%? 1) 715 ) 89 3) 63 4) 868 ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD - 1 -

11 Respuestas a las preguntas Pregunta Respuesta ESTIMACIÓN DE UNA PROBABILIDAD

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