TEMA 3. Árboles. Objetivos. Contenidos. Bibliografía. Básica

Transcripción

1 TEMA 3. Árboles Objetivos En este tema se estudia una de las estructuras de datos no lineal más importante en computación, el árbol. Comenzaremos introduciendo la terminología asociada a los árboles y continuaremos con definiciones de varios tipos de árboles y sus aplicaciones. Para cada tipo de árbol presentaremos su especificación e implementación, así como los principales algoritmos de manipulación. Contenidos 1. Introducción 2. Terminología fundamental 2.1. Recorridos de un árbol 3. Árboles binarios 3.1. Definición 3.2. Especificación 3.3. Implementación 4. Árboles binarios de búsqueda 4.1. Definición 4.2. Especificación 4.3. Implementación 5. Árboles binarios equilibrados 5.1. Árboles AVL 6. Árboles generales 6.1. Especificación 6.2. Implementación Bibliografía Básica Lewis J. y Chase J.; Estructuras de datos con Java. Diseño de estructuras y algoritmos. Departamento de informática 1 Reyes Pavón

2 Segunda Edición. Pearson Addisson Wesley Pags , Weiss, Mark Allen; Estructuras de datos en Java: compatible con JAVA 2, Addisson Wesley Págs , , , , , Rowe, Glen; An Introduction to Data Structures and Algorithms with Java, Prentice Hall,1998. Págs Complementaria Lewis, J. y Chase J. Estructuras de datos con Java. Diseño de estructuras y algoritmos. 2ª ed. Pearson. Addisson Wesley Págs , , Goodrich M. y Tamassia R., Data structures and Algorithms in JAVA 4ª ed. John Wiley & Sons Inc., 2006 Págs , , , , Weiss, Mark Allen, Estructuras de datos en Java: compatible con JAVA 2, Addisson Wesley Págs , Departamento de informática 2 Reyes Pavón

3 Tema 3. Árboles 1. Introducción Árbol: estructura no lineal y dinámica de datos más importante en computación Dinámica: puede cambiar durante la ejecución de un programa No lineal: a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos 2. Terminología fundamental Árbol: estructura jerárquica de una colección de objetos Colección de elementos llamados nodos, uno de los cuales se distingue como raíz, Una relación (de "paternidad") que impone una estructura jerárquica sobre los nodos Ejs. de árboles: árboles genealógicos, organigramas Formalmente, un árbol se puede definir de manera recursiva como: Una forma particular de árbol es el árbol nulo o vacío, que es un árbol sin nodos Un solo nodo es, por sí mismo, un árbol Ese nodo es también la raíz de dicho árbol Departamento de informática 3 Reyes Pavón

4 Supóngase que n es un nodo y que A 1, A 2,.., A K son árboles con raíces n 1, n 2,.., n K, respectivamente. Se puede construir un nuevo árbol haciendo que n se constituya en el padre de los nodos n 1, n 2,.., n K n es la raíz y A 1, A 2,.., A K son los subárboles (o árboles hijos) de la raíz Los nodos n 1, n 2,.., n K reciben el nombre de hijos del nodo n y el nodo n recibe el nombre de padre de dichos nodos Gráficamente la estructura árbol se suele representar mediante un grafo jerárquico A B C D E F G H I J K Hermanos: nodos hijos del mismo padre Ej: B,C,D y E son hermanos Camino del nodo n 1 al nodo n K : sucesión de nodos de un árbol n 1, n 2,.., n K, tal que n i es el padre de n i+1, i = 1, 2,.., K-1 Ej: A, E, J, K es un camino Longitud de un camino: número de nodos del camino menos 1. Caminos de longitud cero: aquellos que van de cualquier nodo a él mismo Ej: el camino A, E, J, K tiene longitud 3 Si existe un camino de un nodo n a otro m, entonces n es un antecesor de m, y m es un descendiente de n En un árbol, la raíz es el único nodo que no tiene antecesores Departamento de informática 4 Reyes Pavón

5 Hoja o nodo terminal: nodo sin descendientes Subárbol de un árbol: nodo junto con todos sus descendientes Grado de un nodo: número de subárboles que tiene. Los nodos terminales u hojas tienen grado 0 Ej: el grado de A es 4. Altura de un nodo: longitud del camino más largo de ese nodo a una hoja. La altura del árbol es la altura de la raíz Ej: B tiene altura 1, E altura 2 y H altura 0. La altura del árbol es 3 Nivel o profundidad de un nodo: longitud del único camino desde la raíz a ese nodo. Por definición, la raíz tiene nivel 0. La profundidad de un árbol se define como el máximo de los niveles de los nodos del árbol Ej: B tiene nivel 1, H nivel 2. La profundidad del árbol es 3 Departamento de informática 5 Reyes Pavón

6 2.1. Recorridos de un árbol Estrategias para recorrer un árbol y procesar sus nodos: Recorridos en profundidad Recorridos en anchura Recorridos en profundidad Tres formas de recorrer un árbol en profundidad: Preorden u orden previo Inorden u orden simétrico Postorden u orden posterior Definición recursiva: Si el árbol A es nulo la lista vacía es el listado de los nodos del árbol A en los órdenes preorden, inorden y postorden Si el árbol A tiene un solo nodo ese nodo constituye el listado del árbol A en los tres órdenes Si el árbol A tiene más de un nodo, es decir, tiene como raíz el nodo n y los subárboles A 1, A 2,.., A K : A A 1 A 2 A k Departamento de informática 6 Reyes Pavón

7 Listado en preorden de A: raíz del árbol A, seguida de los nodos del árbol A 1 en preorden, luego por los nodos de A 2 en preorden y así sucesivamente hasta los nodos de A K en preorden Ej: A, B, F, G, C, D, H, E, I, J, K Listado en inorden de A: nodos del árbol A 1 en inorden, seguidos de la raíz n y luego por los nodos de A 2,.., A K en inorden Ej: F, B, G, A, C, H, D, I, E, K, J Listado en postorden de A: nodos del árbol A 1 en postorden, luego los nodos de A 2 en postorden y así sucesivamente hasta los nodos de A K en postorden y por último la raíz n Ej: F, G, B, C, H, D, I, K, J, E, A Recorrido en anchura Exploración del árbol por niveles, listando los nodos de izquierda a derecha y empezando por el nivel 0, luego el nivel 1,... Ej: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K 3. Árboles binarios 3.1. Definición Árbol binario: un árbol donde cada nodo tiene como máximo grado 2 un árbol binario es Un árbol vacío, o Un árbol en que sus nodos tienen un hijo izquierdo y un hijo derecho. Cada uno de estos hijos es a su vez un árbol binario Departamento de informática 7 Reyes Pavón

8 Se distinguen los hijos de un nodo como izquierdo y derecho Ej: árboles binarios distintos Recorridos: Preorden: raíz, recorrido en preorden del subárbol izquierdo y recorrido en preorden del subárbol derecho Ejs: 1, 2, 3, 5, 4 (coincide en los dos árboles) Postorden: recorrido en postorden del subárbol izquierdo, recorrido en postorden del subárbol derecho y raíz Ejs: 5, 3, 4, 2, 1 (coincide en los dos árboles) Inorden: recorrido en inorden del subárbol izquierdo, raíz y recorrido en inorden del subárbol derecho Ejs: 3, 5, 2, 4, 1 1, 5, 3, 2, 4 Anchura: recorrido por niveles Ejs: 1, 2, 3, 4, 5 (coincide en los dos árboles) 3.2. Especificación Especificación cuasi-formal del TAD Árbol binario Departamento de informática 8 Reyes Pavón

9 public class ArbolBinario<E> // Declaración de tipos: ArbolBinario // Características: // Un árbol binario es un árbol vacío o un nodo con dos hijos (izquierdo // y derecho) que a su vez son árboles binarios // Los objetos son modificables // Constructores public ArbolBinario(); // Produce: Un árbol vacío public ArbolBinario(E elemraiz, ArbolBinario<E> hi, ArbolBinario<E> hd) throws NullPointerException; // Produce: Si hi o hd son null, lanza la excepción // NullPointerException. // En caso contrario, construye un árbol de raíz elemraiz, // hijo izquierdo hi e hijo derecho hd // Métodos public boolean esvacio(); // Produce: Cierto si this está vacío. Falso en caso contrario. public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el objeto almacenado en la raíz public ArbolBinario<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el subárbol izquierdo public ArbolBinario<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el subárbol derecho public boolean esta (E elemento); // Produce: Cierto si elemento está en this, // falso, en caso contrario public void setraiz(e elemraiz) throws ArbolVacioExcepcion; // Modifica: this // Produce: Si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino asigna el objeto elemraíz a la raíz del árbol this public void sethijoizq(arbolbinario<e> hi) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException; // Modifica: this Departamento de informática 9 Reyes Pavón

10 // Produce: Si hi es null, lanza la excepción NullPointerException. // En caso contrario, si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino asigna el árbol hi como subárbol izquierdo de this public void sethijoder(arbolbinario<e> hd) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException; // Modifica: this // Produce: Si hd es null, lanza la excepción NullPointerException. // En caso contrario, si this está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino asigna el árbol hd como subárbol derecho de this public void suprimir (); // Modifica: this // Produce: El árbol binario vacío Ejemplo de uso del TAD Árbol binario public static <E> void preorden(arbolbinario<e> a) if (!a.esvacio()) System.out.print(a.raiz() + " "); preorden(a.hijoizq()); preorden(a.hijoder()); public static <E> void anchura(arbolbinario<e> a) Cola<ArbolBinario<E>> c = new EnlazadaCola<E>(); c.insertar(a); do a = c.suprimir(); if (!a.esvacio()) System.out.print(a.raiz() + " "); c.insertar(a.hijoizq()); c.insertar(a.hijoder()); while (!c.esvacio()); Departamento de informática 10 Reyes Pavón

11 3.3. Implementación Definición de una interfaz que describa los nombres de los métodos que soporta el TAD y cómo tienen que ser declarados y usados public interface ArbolBinario<E> public boolean esvacio(); public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion; public ArbolBinario<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion ; public ArbolBinario<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion; public boolean esta (E elemento); public void setraiz(e elemraiz) throws ArbolVacioExcepcion; public void sethijoizq(arbolbinario<e> hi) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException; public void sethijoder(arbolbinario<e> hd) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException; public void suprimir(); Para poder realizar una implementación mediante nodos enlazados es necesario definir una clase NodoBinario<E> public class NodoBinario<E> private E elemento; // referencia al elemento del nodo private NodoBinario<E> izq; // referencia al nodo izquierdo private NodoBinario<E> der; // referencia al nodo derecho public NodoBinario(E e, NodoBinario<E> hi, NodoBinario<E> hd) // Produce: Un nodo con valores e, hi y hd en sus atributos // elemento, izq y der, respectivamente elemento = e; izq = hi; der = hd; // métodos public E getelemento() // Produce: Devuelve el atributo elemento de this return elemento; public NodoBinario<E> getizq() // Produce: Devuelve el atributo izq de this return izq; Departamento de informática 11 Reyes Pavón

12 public NodoBinario<E> getder() // Produce: Devuelve el atributo der de this return der; public void setelemento(e e) // Modifica: this // Produce: Modifica el atributo elemento de this elemento = e; public void setizq(nodobinario<e> hi) // Modifica: this // Produce: Modifica el atributo izq de this izq = hi; public void setder(nodobinario<e> hd) // Modifica: this // Produce: Modifica el atributo der de this der = hd; Implementación de la interfaz ArbolBinario<E> usando la clase NodoBinario<E> public class EnlazadoArbolBinario<E> implements ArbolBinario<E> private NodoBinario<E> nodoraiz; // constructores public EnlazadoArbolBinario() nodoraiz = null; public EnlazadoArbolBinario(E elemraiz, ArbolBinario<E> hi, ArbolBinario<E> hd) throws NullPointerException if (hi==null hd ==null) throw new NullPointerException(); nodoraiz = new NodoBinario<E>(elemRaiz, ((EnlazadoArbolBinario<E>) hi).nodoraiz, ((EnlazadoArbolBinario<E>) hd).r); Departamento de informática 12 Reyes Pavón

13 private EnlazadoArbolBinario<E>(NodoBinario<E> raiz) nodoraiz = raiz; // métodos public boolean esvacio() return nodoraiz == null; public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("raiz: Árbol vacío"); return nodoraiz.getelemento(); public ArbolBinario<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("hijoIzq: Árbol vacío"); return new EnlazadoArbolBinario<E>(nodoRaiz.getIzq()); public ArbolBinario<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("hijoDer: Árbol vacío"); return new EnlazadoArbolBinario<E>(nodoRaiz.getDer()); public boolean esta(e elemento) return esta(nodoraiz,elemento); private boolean esta(nodobinario<e> raiz, E elemento) if (raiz==null) return false; if (raiz.getelemento().equals(elemento)) return true; boolean temp = esta(raiz.getizq(),elemento); if (!temp) return esta(raiz.getder(),elemento); return temp; Departamento de informática 13 Reyes Pavón

14 public void setraiz(e elemraiz) throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("raiz: Árbol vacío"); nodoraiz.setelemento(elemraiz); public void sethijoizq(arbolbinario<e> hi) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException if (hi==null) throw new NullPointerException(); if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("setHijoIzq: Árbol vacío"); nodoraiz.setizq(((enlazadoarbolbinario<e>) hi).nodoraiz); public void sethijoder(arbolbinario<e> hd) throws ArbolVacioExcepcion, NullPointerException if (hd==null) throw new NullPointerException(); if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("setHijoIzq: Árbol vacío"); nodoraiz.setder(((enlazadoarbolbinario<e>) hd).nodoraiz); public void suprimir() nodoraiz = null; 4. Árboles binarios de búsqueda 4.1. Definición Estructura de datos básica para almacenar elementos que están clasificados siguiendo algún orden lineal Propiedades: Para todo nodo A del árbol, Todos los valores de los nodos del subárbol izquierdo de A deben ser menores al valor del nodo A, y Departamento de informática 14 Reyes Pavón

15 Todos los valores de los nodos del subárbol derecho de A deben ser mayores o iguales al valor del nodo A Un recorrido en inorden del árbol proporciona una lista en orden ascendente de los valores almacenados en los nodos Operaciones: Búsqueda: determinar si x está en el árbol Si x = r localizado Si x < r buscar en el subárbol izquierdo Si x r buscar en el subárbol derecho Proceso análogo a una búsqueda binaria en un array Inserción: añadir un nuevo elemento x al árbol 1. Avanzar en el árbol comparando x con r 2. Repetir el paso 1 hasta que el subárbol donde deba insertarse sea el árbol vacío 3. Insertar el elemento Eliminación: borrar un elemento x del árbol 1. Si x es hoja se suprime x 2. Si el elemento a borrar tiene un solo descendiente se sustituye por ese descendiente 3. Si el elemento a borrar tiene los dos descendientes se sustituye por el menor elemento del subárbol derecho. Después se elimina el nodo correspondiente a dicho elemento 4.2. Especificación Especificación cuasi-formal public class ArbolBusqueda<E> // Declaración de tipos: ArbolBusqueda // Características: // Es un árbol binario donde para cada nodo se cumple la propiedad de // que todos los nodos con clave menor que la suya están en su Departamento de informática 15 Reyes Pavón

16 // subárbol izquierdo y todos los nodos con clave mayor o igual se // encuentran en el subárbol derecho. // Los objetos son modificables // Constructores public ArbolBusqueda(); // Produce: Un árbol vacío // Métodos public boolean esvacio(); // Produce: Cierto si el árbol está vacío. Falso en caso contrario. public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si el árbol está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el objeto almacenado en la raíz public ArbolBusqueda<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si el árbol está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el subárbol izquierdo public ArbolBusqueda<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion; // Produce: Si el árbol está vacío lanza la excepción // ArbolVacioExcepcion, // sino devuelve el subárbol derecho public void insertar(e o); // Modifica: this // Produce: Añade el objeto o a this public void eliminar(e o) throws ElementoIncorrecto; // Modifica: this // Produce: Si o no existe en el árbol, lanza la excepción // ElementoIncorrecto // sino elimina el objeto de this. public boolean buscar(e o) ; // Produce: Devuelve cierto si el objeto está en el árbol // y falso en otro caso 4.3. Implementación Cómo comparar los elementos de los nodos? Solución: los elementos deben ser instancias de una clase que implemente la interface Comparable<E> existente en java. Departamento de informática 16 Reyes Pavón

17 public interface Comparable<E> public int compareto(e e); Interfaz Java para el TAD Árbol Binario de Búsqueda public interface ArbolBusqueda <E extends Comparable<E>> public boolean esvacio(); public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion; public ArbolBusqueda<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion; public ArbolBusqueda<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion; public void insertar(e elemento); public void eliminar(e elemento) throws ElementoIncorrecto; public boolean buscar(e elemento); Escribir una clase concreta que implementa los métodos de la interfaz asociada con el TAD. Dicha clase hace uso de la clase NodoBinario<E>, definida anteriormente, que contiene una referencia a cada uno de los hijos del nodo además de una referencia al elemento que contiene. public class ArbolBinarioBusqueda<E extends Comparable<E>> implements ArbolBusqueda<E> private NodoBinario<E> raiz; public ArbolBinarioBusqueda() raiz=null; private ArbolBinarioBusqueda(NodoBinario<E> r) raiz=r; public boolean esvacio() return raiz==null; public E raiz() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("raiz: Árbol vacío"); return raiz.getelemento(); public ArbolBusqueda<E> hijoizq() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("hijoIzq: Árbol vacío"); return new ArbolBinarioBusqueda<E>(raiz.getIzq()); Departamento de informática 17 Reyes Pavón

18 public ArbolBusqueda<E> hijoder() throws ArbolVacioExcepcion if (esvacio()) throw new ArbolVacioExcepcion("hijoDer: Árbol vacío"); return new ArbolBinarioBusqueda<E>(raiz.getDer()); public void insertar(e elemento) raiz=insertar(raiz, elemento); protected NodoBinario<E> insertar(nodobinario<e> r, E elemento) if(r==null) return new NodoBinario<E>(elemento,null,null); else if (elemento.compareto(r.getelemento())<0) r.setizq(insertar(r.getizq(),elemento)); else r.setder(insertar(r.getder(),elemento)); return r; public void eliminar(e elemento) throws ElementoIncorrecto raiz=eliminar(raiz, elemento); protected NodoBinario<E> eliminar (NodoBinario<E> r, E elemento) throws ElementoIncorrecto if (r==null) throw new ElementoIncorrecto("eliminar: elemento no existe"); else if (elemento.compareto(r.getelemento())<0) r.setizq(eliminar(r.getizq(),elemento)); else if (elemento.compareto(r.getelemento())>0) r.setder(eliminar(r.getder(),elemento)); else if (r.getizq()!=null && r.getder()!=null) r.setelemento(getmasizq(r.getder())); r.setder(eliminarmasizq(r.getder())); else return(r.getizq()!=null)?r.getizq():r.getder(); return r; protected E getmasizq(nodobinario<e> r) while (r.getizq()!=null) r=r.getizq(); return r.getelemento(); protected NodoBinario<E> eliminarmasizq(nodobinario<e> r) if (r.getizq()==null) return r.getder(); else r.setizq(eliminarmasizq(r.getizq())); return r; Departamento de informática 18 Reyes Pavón

19 public boolean buscar(e elemento) return buscar(raiz, elemento); protected boolean buscar (NodoBinario<E> r, E elemento) if (r==null) return false; else if (elemento.compareto(r.getelemento())==0) return true; else if (elemento.compareto(r.getelemento())<0) return buscar(r.getizq(),elemento); else return buscar(r.getder(),elemento); Los métodos buscar, insertar y eliminar llaman a un método protected que recibe como parámetro la raíz del árbol y una referencia al elemento. Los métodos que desde un punto de vista lógico son privados, tienen como atributo de visibilidad protected, en lugar de private. Esto es debido a que se usarán posteriormente en una clase derivada de ArbolBinarioBusqueda. Los métodos getmasizq y eliminarmasizq se usan cuando se elimina un nodo del árbol binario de búsqueda que tiene dos descendientes. Para simplificar el código se emplea recursión, pero sería posible una implementación no recursiva. Departamento de informática 19 Reyes Pavón