ARBOLES ARBOLES COMPUTACIONALES MATEMATICAS DISCRETAS II

Transcripción

1 ARBOLES ARBOLES COMPUTACIONALES MATEMATICAS DISCRETAS II

2 Contenido Concepto Características y Propiedades Tipos de Arboles 1. Libres 2. Binarios 3. Expansión Mínima Algoritmo de Kruskal Algoritmo Prim Recorrido de Arboles Búsqueda en Arboles

3 ARBOL COMPUTACIONAL Composición: Estructura de datos que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Nodo raíz no tiene padres. Hoja o Terminal : Nodo que no tiene hijos. Rama : Nodos (tienen padre y uno o varios hijos).

4 ARBOL COMPUTACIONAL Concepto: Un árbol es un grafo sin ciclos (a cíclico) Es conexo.

5 ARBOL COMPUTACIONAL Es una estructura no lineal de datos homogéneos tal que establece una jerarquía entre sus elementos. Los árboles representan las estructuras no-lineales y dinámicas de datos mas importantes en computación. Dinámicas, puesto que la estructura árbol puede cambiar durante la ejecución de un programa. No-lineales, puesto que a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos.

6 USO ARBOLES Los árboles se emplean para analizar circuitos eléctricos y para representar la estructura de fórmulas matemáticas, así como para organizar la información de bases de datos. Los árboles genealógicos y los organigramas jerárquicos son ejemplos comunes de árboles. Como ayuda para realizar búsquedas en conjuntos de datos. Organizar y relacionar datos en una BD y otras aplicaciones diversas.

7 Arboles Jerárquicos Ejemplo de Información representada con árboles.

8 REPRESENTACION DE UN ARBOL La representación en forma de Grafo es la que comúnmente se utiliza, y ha originado el termino árbol por su parecido abstracto con el vegetal (raíz, ramas, hojas). Es de notar que en esta representación la raíz se dibuja arriba, aun que en el vegetal se encuentra abajo.

9 REPRESENTACION DE ARBOLES La representación puede realizarse de diferentes formas. Las más utilizadas son: Representar cada nodo como una variable, con punteros a sus hijos y a su padre. Representar el árbol con un array donde cada elemento es un nodo y las relaciones padre-hijo vienen dadas por la posición del nodo en el array.

10 Características y Propiedades de Arboles Nodo : cada uno de los elementos de un árbol. Todo árbol que no es vacío, tiene un único nodo raíz. Un nodo X es descendiente directo de un nodo Y, si el nodo X es apuntado por el nodo Y. X es hijo de Y. Un nodo X es antecesor directo de un nodo Y, si el nodo X apunta al nodo Y. Todos los nodos que son descendientes directos (hijos) de un mismo nodo (padre), son hermanos. Todo nodo que no es raíz, ni terminal u hoja se conoce con el nombre de interior. Grado del Nodo: Es el numero de descendientes directos o numero de hijos de un determinado nodo. Así el grado de un nodo hoja es cero.

11 TERMINOLOGIAS DE LOS ARBOLES Raíz - El nodo superior del árbol. Padre - Nodo con hijos. Hijo - Nodo descendiente de otro nodo. Hermanos - Nodos que comparten el mismo padre. Hojas - Nodos sin hijos.

12 TERMINOLOGIAS DE LOS ARBOLES Grado del árbol es el máximo grado de todos los nodos del árbol. Nivel es el numero de arcos que deben ser recorridos para llegar a un determinado nodo. Altura del árbol es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol.

13 TERMINOLOGIAS DE LOS ARBOLES Un subárbol de un árbol es un nodo,junto con todos sus descendientes. Profundidad. La profundidad de un nodo es la longitud del único camino de la raíz a ese nodo Orden de los nodos. Los hijos de un nodo usualmente están ordenados de izquierda a derecha. Si deseamos explícitamente ignorar el orden de los dos hijos, nos referiremos a un árbol como un árbol no-ordenado.

14 Características y Propiedades de Árbol completo de altura a y grado g Arboles El que tiene el máximo número de nodos posible 2 0 = = 2 Ejercicio 1: Cuál es el número máximo de nodos de un árbol de altura 5 y grado 4?

15 Características y Propiedades de Camino de búsqueda interno Arboles Número de nodos que hay que recorrer para encontrar un determinado nodo L media C. I. 1 n n representa el número de nodos del árbol a i 1 n i * i B C D E F G H I Ejercicio 2: Cuál es la longitud media del camino interno del árbol mostrado?

16 Características y Propiedades de A Arboles B C D E F G Antecesor y descendiente H -Un nodo raíz -Todos los nodos son conectados desde un único nodo (nodo padre) -Sólo hay un camino desde el nodo raíz a cada nodo -Los nodos que no tienen hijos son nodos hoja Grado del nodo C? y del árbol?

17 Tipos de Arboles Arboles Libres : No se especifica ninguna Raíz.

18 Tipos de Arboles Árbol de Expansión Mínima Sus aristas tienen peso(valor) y sus vértices están relacionados.

19 Arboles Binarios Árboles Binarios Árbol de búsqueda binario auto-balanceable Árboles AVL Árboles Rojo-Negro Árbol AA Árbol de segmento Árboles Multicamino Árboles B (Árboles de búsqueda multicamino autobalanceados) Árbol-B+ Árbol-B*

20 ARBOLES BINARIOS Estructura de datos no lineal en el cual cada nodo siempre tiene un hijo izquierdo y un hijo derecho. Si algún hijo tiene como referencia a null, es decir que no almacena ningún dato, entonces este es llamado nodo externo. En el caso contrario el hijo es llamado un nodo interno. Usos comunes de los árboles binarios son los árboles binarios de búsqueda, los montículos binarios y Codificación de Huffman. Un árbol binario sencillo de tamaño 9, 4 niveles y altura 3 (altura = máximo nivel - 1), con un nodo raíz cuyo valor es 2.

21 ARBOLES BINARIOS Al igual que en otras estructuras la información que se almacena en todos y cada uno de los árboles, debe ser del mismo tipo para garantizar la integridad y coherencia de la información almacenada.

22 IMPLEMENTACION EN C Un árbol binario puede declararse de varias maneras. Algunas de ellas son: Estructura con manejo de memoria dinámica, siendo el puntero que apunta al árbol de tipo tarbol: typedef struct nodo { int clave; struct nodo *izdo, *dcho; }Nodo; Estructura con arreglo indexado: typedef struct tarbol { int clave; tarbol hizquierdo, hderecho; } tarbol; tarbol árbol[numero_de_nodos];

23 Árboles binarios de búsqueda autobalanceable Un árbol binario de búsqueda auto-balanceable o equilibrado es un árbol de búsqueda Binario que intenta mantener su altura, o el número de niveles de nodos bajo la raíz, tan pequeños como sea posible en todo momento, automáticamente. Las rotaciones internas en árboles binarios son operaciones internas comunes utilizadas para mantener el balance perfecto o casi perfecto del árbol binario. Un árbol balanceado permite operaciones en tiempo logarítmico.

24 Árbol binario de búsqueda auto-balanceable Estructuras de datos populares que implementan este tipo de árbol: ARBOL AVL : Es un tipo especial de árbol binario ideado por los matemáticos rusos Adelson- Velskii y Landis. Fue el primer arbol de busqueda binario autobalanceables que se ideó. árbol binario equilibrado (sí es AVL) árbol binario no equilibrado (no es AVL)

25 Arboles AVL Los árboles AVL están siempre equilibrados de tal modo que para todos los nodos, la altura de la rama izquierda no difiere en más de una unidad de la altura de la rama derecha o viceversa. Cada nodo, además de la información que se pretende almacenar, debe tener los dos punteros a los árboles derecho e izquierdo, igual que los arboles binarios de búsqueda (ABB), y además el dato que controla el factor de equilibrio. El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo: FE = altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo; Por definición, para un árbol AVL, este valor debe ser -1, 0 ó 1.

26 Factor de Equilibrio Si el factor de equilibrio de un nodo es: 0 -> el nodo está equilibrado y sus subárboles tienen exactamente la misma altura. 1 -> el nodo está equilibrado y su subárbol derecho es un nivel más alto. -1 -> el nodo está equilibrado y su subárbol izquierdo es un nivel más alto. Si el factor de equilibrio Fe >= 2 es necesario reequilibrar.

27 Árboles Rojo-Negro Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda en el que cada nodo tiene un atributo de color cuyo valor es rojo o negro. En adelante, se dice que un nodo es rojo o negro haciendo referencia a dicho atributo. Todo nodo es o bien rojo o bien negro. La raiz es negra. Todas las hojas (NULL) son negras. Todo nodo rojo debe tener dos nodos hijos negros. Cada camino desde un nodo dado a sus hojas descendientes contiene el mismo número de nodos negros.

28 Árbol Expansión Mínima Es una red conexa y ponderada que se refiere a utilizar los arcos de la red para llegar a todos los nodos de esta, de manera tal que se minimiza la longitud total. El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la redundancia es expansiva. El problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectarse entre ellos sin formar un ciclo.

29 Árbol Expansión Mínima Aplicación de estos problemas de optimización Redes de comunicación eléctrica, telefónica, carretera, ferroviaria, aérea, marítima, hidráulica o de gas, etc. Los nodos representan puntos de consumo eléctrico, teléfonos, aeropuertos, computadoras y Los arcos podrían ser de alta tensión, cable de fibra óptica, rutas aéreas, agua, gas etc..

30 Arboles de expansión Minimales "Hay que construir una red de cómputo con un acoplamiento vago para un sistema de siete computadores. El objetivo es enlazar todos los computadores minimizando el costo total de la construcción. El grafo G de la figura es un modelo de la situación. Los computadores se representan mediante los vértices del grafo, las aristas representan Líneas de transmisión que se tienen en cuenta para enlazar ciertos pares de computadores.

31 Arboles de Expansión Minimales Asociamos a cada arista e de G un número real positivo p(e), el peso de e. En este ejemplo, el peso de una arista indica el costo previsto para la construcción de esa línea de transmisión particular. Para hacer esto, se necesita un árbol de expansión T, tal que la suma de los pesos de las aristas en T sea mínima. La construcción de dicho árbol de expansión óptimo se puede realizar por medio de los algoritmos de: Joseph Kruskal.y Robert Prim.

32 ARBOLES - LISTAS Las listas tienen posiciones. Los árboles tienen nodos. Las listas tienen un elemento en cada posición. Los árboles tienen una etiqueta en cada nodo. Algunos autores distinguen entre árboles con y sin etiquetas. Un árbol sin etiquetas tiene sentido aunque en la inmensa mayoría de los problemas necesitaremos etiquetar los nodos. Es por ello por lo que a partir de ahora sólo haremos referencia a árboles etiquetados).

33 ARBOL EXPANSION MINIMA ALGORITMO DE KRUSKAL ALGORITMO DE PRIM Codificacion Huffman/Compresion Busqueda Arboles Binarios

34 RECORRIDO ARBOLES Una de las operaciones mas importantes a realizar en un árbol binario es el recorrido de los mismos Recorrer significa visitar los nodos del árbol en forma sistemática, de tal manera que todos los nodos del mismo sean visitados una sola vez. Existen 3 formas diferentes de efectuar el recorrido y todas ellas de naturaleza recursiva, estas son: PREORDEN INORDEN POSORDEN Hay un último recorrido que implementa a estos 3: RECORRIDO POR NIVELES: Este recorrido procesa los nodos comenzando en la raíz y avanzando de forma descendente y de izquierda a derecha

35 RECORRIDO ARBOLES la recursividad nos ayuda a que los procesos se repitan así mismos y sea más fácil su codificación. PREORDEN: En el que se procesa el nodo y después se procesan recursivamente sus hijos. Para recorrer un árbol binario no vacío en preorden, hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo, comenzando con el nodo de raíz: 1. Visite la raíz 2.Atraviese el sub-árbol izquierdo 3.Atraviese el sub-árbol derecho Preorden: ABDGEHICFJK

36 RECORRIDO ARBOLES la recursividad nos ayuda a que los procesos se repitan así mismos y sea más fácil su codificación. PREORDEN: En el que se procesa el nodo y después se procesan recursivamente sus hijos. Para recorrer un árbol binario no vacío en preorden, hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo, comenzando con el nodo de raíz: 1. Visite la raíz 2.Atraviese el sub-árbol izquierdo 3.Atraviese el sub-árbol derecho Preorden = [15, 9, 6, 14, 13, 20, 17, 64, 26, 72]

37 RECORRIDO ARBOLES ALGORITMO El algoritmo realiza el recorrido preorden en un árbol binario. NODO es un dato de tipo puntero. INFO, IZQ y DER son campos del registro nodo. INFO es una variable de tipo carácter, IZQ y DER son variables de tipo puntero. si NODO NULL entonces Visitar el NODO { Escribir NODO^.INFO} Regresar a PREORDEN con NODO^.IZQ {Llamada recursiva a preorden con la rama izquierda del nodo en cuestión} Regresa a PREORDEN con NODO^.DER {Llamada recursiva a preorden con la rama derecha del nodo en cuestión} Fin del condicional del paso I

38 RECORRIDO ARBOLES

39 RECORRIDO ARBOLES INORDEN: En este se procesa recursivamente el hijo izquierdo, luego se procesa el nodo actual y finalmente se procesa recursivamente el hijo derecho. Para recorrer un árbol binario no vacío en inorden (simétrico), hay que realizar las siguientes operaciones recursivamente en cada nodo: 1.Atraviese el sub-arbol izquierdo 2.Visite la raiz 3.Atraviese el sub-arbol derecho

40 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO INORDEN Inorden = [6, 9, 13, 14, 15, 17, 20, 26, 64, 72].

41 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO POSTORDEN En este caso se trata primero el subárbol izquierdo, después el derecho y por último el nodo actual. Postorden =[6, 13, 14, 9, 17, 26, 72, 64, 20, 15].

42 RECORRIDO ARBOLES void postorden(tarbol *a) { if (a!= NULL) { postorden(a->hizquierdo); postorden(a->hderecho); } } tratar(a); //Realiza una operación en nodo

43 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO POR NIVELES Concluimos implementando el recorrido por niveles. este recorrido procesa los nodos comenzando en la raíz y avanzando en forma descendente y de izquierda a derecha. El nombre se deriva del hecho de que primero visitamos: los nodos del nivel 0 (la raíz), después los del nivel 1 (los hijos de la raíz), los del nivel 2 (los nietos de la raíz), y así sucesivamente.

44 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO POR NIVELES Un recorrido por niveles se implementa usando una cola en lugar de una pila. La cola almacena los nodos que van a ser visitados. Cuando se visita un nodo,se colocan sus hijos al final de la cola, donde serán visitados después de los nodos que ya están en la cola. Es fácil ver que esto garantiza que los nodos se visitan por niveles.

45 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO POR NIVELES El Algoritmo PorNiveles se Muestra a Continuación.. ALGORITMO encolar(raiz); mientras(cola_no_vacia( )) inicio nodo=desencolar(); //Saca un nodo de la cola //Realiza una operación en nodo fin; visitar(nodo); encolar_nodos_hijos(nodo); //Mete en la cola los hijos del nodo actual

46 RECORRIDO ARBOLES RECORRIDO POR NIVELES CODIGO void amplitud(tarbol *a) { tcola cola; tarbol *aux; if (a!= NULL) { crearcola(cola); encolar(cola, a); while (!colavacia(cola)) { desencolar(cola, aux); visitar(aux); if (aux->hizquierdo!= NULL) encolar(cola, aux->hizquierdo ); if (aux->hderecho!= NULL) encolar(cola, aux->hderecho); } } }

47 FORMAS DE ARBOL

48 FORMAS DE ARBOL Árbol binario. Si B es la raíz de un árbol binario y D es la raíz del subárbol izquierdo/derecho, se dice que B es el padre de D y que D es el hijo izquierdo/derecho de B.

49 FORMAS DE ARBOL Un árbol estrictamente binario es aquel en el que cada nodo que no es hoja, tiene subárboles izquierdo y derecho que no están vacíos. Un árbol estrictamente binario con n hojas siempre contiene 2n-1 nodos. El nivel de un nodo en un árbol binario se define del modo siguiente: 1.La raíz del árbol tiene el nivel 0. 2.El nivel de cualquier otro nodo en el árbol es uno más que el nivel de su padre. La profundidad o altura de un árbol binario es el máximo nivel de cualquier hoja en el árbol.

50 FORMAS DE ARBOLES Ejemplo : Un grupo de ajedrecistas que luchan por un campeonato. Cada ajedrecista tiene una única oportunidad para enfrentar al campeón vigente, y que el perdedor de cualquier encuentro será eliminado de la contienda. El árbol que detalla esta situación, es el siguiente: Thursday, May 07, 2015

51 FORMAS DE ARBOL En este árbol binario, las hojas representan a los competidores en el torneo(8) y las ramas a los ganadores de los encuentros o, equivalentemente los encuentros jugados en el torneo. Si se llama r el número de ramas y h el número de hojas en un árbol binario, se puede demostrar que: r = h 1.

52 FORMAS DE ARBOLES El árbol anterior muestra el número de encuentros en un torneo de eliminación simple con 8 competidores. Se juegan un total 7 encuentros a saber: Cuatro encuentros en la primera ronda. Dos encuentros en la segunda ronda. El encuentro final. En total son 7 encuentros Thursday, May 07, 2015

53 En general FORMAS DE ARBOL

54 BUSQUEDA EN ARBOLES Consideremos árboles binarios, de cualquier tipo sobre el cual pueda definirse un orden lineal.

55 BUSQUEDA EN ARBOLES Recordemos las ideas de los algoritmos que recorren estructuras lineales (vectores, listas): Vectores: Listas:

56 BUSQUEDA EN ARBOLES Búsqueda en Arboles Esto implica examinar cada parte del árbol hasta que el vértice o la arista deseada sea encontrada. Podríamos profundizar moviéndonos a un vértice siempre que sea posible o podríamos desplegarnos comprobando todos los vértices en un nivel antes de pasar al siguiente. Búsqueda en profundidad: La idea básica de la búsqueda en profundidad es penetrar tan profundamente como sea posible antes de desplegarse a otros vértices.esto se consigue al tomar el nuevo vértice adyacente al ultimo de los posibles vértices anteriores.

57 BUSQUEDA EN ARBOLES

58 BUSQUEDA EN ARBOLES Busqueda en anchura: La idea basica de la busqueda en anchura es desplegarse a tantos vertices como sea posible antes de penetrar en profundidad dentro de un arbol. Esto significa que visitaremos todos los vertices adyacentes a uno dado antes de cambiar de nivel.

59 BUSQUEDA EN ARBOLES

60 APLICACIONES ARBOLES Aplicaciones de árboles binarios. Un árbol binario es una estructura de datos útil cuando deben tomarse decisiones en dos sentidos en cada punto de un proceso. Suponga que se desea encontrar todos los duplicados de una lista de números. Considérese lo siguiente: 1.El primer número de la lista se coloca en un nodo que se ha establecido como la raíz de un árbol binario con subárboles izquierdo y derecho vacíos. 2.Cada número sucesivo en la lista se compara con el número en la raíz, aquí se tienen 3 casos: a. Si coincide, se tiene un duplicado. b. Si es menor, se examina el subárbol izquierdo.

61 ARBOLES BINARIOS Se define un árbol binario como un conjunto finito de elementos (nodos) que bien esta vacío o esta formado por una raíz con dos arboles binarios disjuntos, es decir, dos descendientes directos llamados subarbol izquierdo y subarbol derecho. Los árboles binarios son llamados también de grado 2 Las aplicaciones de los arboles binarios son muy variadas ya que se les puede utilizar para representar una estructura en la cual es posible tomar decisiones con dos opciones en distintos puntos.

62 ARBOLES BINARIOS Arbol binario de búsqueda. Los árboles binarios se utilizan frecuentemente para representar conjuntos de datos cuyos elementos se identifican por una clave única. Si el árbol está organizado de tal manera que la clave de cada nodo es mayor que todas las claves su subarbol izquierdo, y menor que todas las claves del subarbol derecho se dice que este árbol es un árbol binario de búsqueda. Ejemplo:

63 ARBOLES BINARIOS Recorrido en amplitud Es aquel recorrido que recorre el árbol por niveles, en el siguiente ejemplo sería: 12-8,17-5,9,15 Recorrido en profundidad Recorre el árbol por subárboles. Tipos : Preorden, orden central y postorden.

64 CLASIFICACION ARBOLES BINARIOS Arbol Binario Distinto Se dice que dos árboles binarios son distintos cuando sus estructuras son diferentes. Ejemplo: Arbol Binario Similar Dos arboles binarios son similares cuando sus estructuras son idénticas, pero la información que contienen sus nodos es diferente. Ejemplo: Arbol Binario Equivalente Son aquellos arboles que son similares y que además los nodos contienen la misma información. Ejemplo: Arbol Binario Completo Son aquellos arboles en los que todos sus nodos excepto los del ultimo nivel, tiene dos hijos; el subarbol izquierdo y el subarbol derecho.