1. Conceptos fundamentales de la estadística. Estadística descriptiva.

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1 BLOQUE. VALORACÓ MOBLARA. SSTEMAS DE LA FORMACÓ. GESTÓ PATRMOAL. T E M A 9 Estadístca y valoracó urbaa (): Coceptos fudametales de la Estadístca. La Estadístca descrptva. Represetacoes gráfcas. Meddas de poscó y meddas de dspersó. úmeros ídces.. Coceptos fudametales de la estadístca. Estadístca descrptva. La Estadístca es la dscpla que proporcoa strumetos e deas que permte utlzar datos umércos y así profudzar e la compresó de dsttos temas. E la práctca, la estadístca se utlza e campos ta dspares como el estudo de la efectvdad de los tratametos médcos, de la reaccó de los cosumdores frete a u determado auco televsvo, predccó de valores detro del mercado moblaro, y de muchas cosas más. La Estadístca se cofgura como la tecología del método cetífco que proporcoa strumetos para la toma de decsoes cuado éstas se adopta e ambete de certdumbre, sempre que esta certdumbre pueda ser medda e térmos de probabldad. Por ello, la Estadístca se preocupa de los métodos de recogda y descrpcó de datos, así como de geerar téccas para el aálss de esta formacó. E la Estadístca se puede establecer tres campos de estudo: - El aálss de datos se ocupa de los métodos y las deas ecesaros para orgazar y descrbr datos utlzado gráfcos, resúmees umércos y descrpcoes matemátcas más elaboradas. La revolucó formátca ha devuelto de uevo el aálss de datos al cetro de la estadístca aplcada. - La obtecó de datos proporcoa métodos para obteer datos que permte dar respuestas claras a pregutas cocretas. - La fereca estadístca va más allá de los datos dspobles para obteer coclusoes sobre u uverso más amplo. La fereca estadístca o sólo obtee coclusoes, so que acompaña estas coclusoes co ua afrmacó sobre su fabldad. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

2 La estadístca se puede dvdr, por tato, e dos partes: La Estadístca descrptva o deductva trata del recueto, ordeacó y clasfcacó de los datos obtedos por las observacoes. Se costruye tablas y se represeta gráfcos que permte smplfcar, e gra medda, la complejdad de todos los datos que tervee e la dstrbucó. Asmsmo se calcula parámetros estadístcos que caracterza la dstrbucó. E esta parte de la estadístca o se hace uso del cálculo de probabldades, y úcamete se lmta a realzar deduccoes drectamete a partr de los datos y parámetros obtedos. La Estadístca ferecal o ductva platea y resuelve el problema de establecer prevsoes y coclusoes geerales sobre ua poblacó a partr de los resultados obtedos de ua muestra. Utlza resultados obtedos medate la estadístca descrptva y se apoya fuertemete e el cálculo de probabldades. dvduos y varables La estadístca es la ceca de los datos. Cualquer cojuto de datos cotee formacó sobre u grupo de dvduos. La formacó se orgaza e forma de varables. Los dvduos so las persoas, amales o cosas descrtos e u cojuto de datos. Ua varable es cualquer característca de u dvduo. Las varables puede tomar dsttos valores para los dsttos dvduos. Alguas varables smplemete clasfca a los dvduos e categorías. Otras, e cambo, toma valores umércos co los que podemos hacer cálculos artmétcos. Ua varable categórca dca a qué grupo o a que categoría perteece u dvduo. So caracteres estadístcos cualtatvos y se deoma modaldades a cada ua de las dferecas que se puede establecer detro de u msmo carácter estadístco cualtatvo. A esta varables o cuattatvas se las suele desgar co el ombre de atrbutos. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

3 Ua varable cuattatva toma valores umércos, para los que tee setdo hacer operacoes artmétcas como sumas o promedos. So caracteres estadístcos cuattatvos y báscamete se suele establecer dos tpos: varables cuattatvas dscretas y varables cuattatvas cotuas. Ua varable estadístca es dscreta cuado puede tomar u úmero fto de valores o fto umerable. Ua varable estadístca es cotua cuado puede tomar, al meos teórcamete, todos los valores posbles detro de u certo tervalo de la recta real. S embargo, desde el puto de vsta estadístco quzá adquera mayor relevaca aquella clasfcacó que hace refereca a las propedades métrcas de las escalas bajo las cuales puede aparecer las observacoes, dstguedo así: Escala omal. Se dce que la formacó sobre u determado carácter vee dada e escala omal cuado ésta se puede clasfcar e categorías o umércas mutuamete ecluyetes, etre las cuales o se puede establecer gua relacó de orde, o pudédose fjar, por tato, gú orge de refereca. Escala ordal. Las meddas e escala ordal so aquellas que partcpado de las propedades de la escala omal, se dfereca de éstas e que sí se puede establecer algú tpo de orde, estedo, pues, algú orge de refereca para tal ordeacó. Escala de tervalos. E este caso puede establecerse de atemao algú tpo de udad de medda, pudédose cuatfcar umércamete la dstaca estete etre dos observacoes cualesquera. Ésta es ua escala verdaderamete cuattatva. Escala de proporcó. E esta categoría se cluye aquellas medcoes e las que además de ser relevates las propedades de la escala de tervalos, tee pleo setdo la fjacó de u puto de orge que marque u cero absoluto, como puede ocurrr co la edad de los dvduos o el úmero de udades físcas de u stock vetarado, etre otros. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 3

4 La mportaca de la dstcó etre estos cuatro tpos de escala provee de su flueca e la eleccó de los métodos de estadístca más adecuados, e cada caso, para el aálss de los datos. La dstrbucó de ua varable os dce qué valores toma ua varable y co que frecueca. Poblacó y muestra Por otra parte, el aálss estadístco puede etederse o o, a todo el cojuto de elemetos que partcpa del carácter objeto de uestra vestgacó. Recbe el ombre de poblacó, colectvo o uverso el cojuto de todos los elemetos que cumple ua determada característca. Los elemetos de la poblacó se llama dvduos o udades estadístcas. o sempre es factble estudar todos y cada uo de los elemetos de la poblacó ya sea por razoes de coste, de rapdez e la obtecó de la formacó, o porque los elemetos se destruye e el propo proceso de vestgacó, por lo que es ecesaro acudr a eamar sólo ua parte de esta poblacó, que se deoma muestra. Por tato, ua muestra será todo subcojuto represetatvo de la poblacó. El úmero de elemetos de ua muestra se deoma tamaño. E el caso de que uestra vestgacó se drja a toda la poblacó se dce que se realza u ceso, metras que la recogda de la formacó muestral recbe el ombre de ecuesta. A veces se suele emplear la epresó ecuesta ehaustva como sómo de ceso. Detro de la estadístca los procedmetos de que hoy se dspoe para la etesó de las coclusoes muestrales a toda la poblacó es, precsamete, lo que le otorga la cualdad de ser el prcpal strumeto de vestgacó para el cetífco. DSTRBUCOES DE FRECUECAS Varables estadístcas El vestgador socal teta captar de la ampla realdad que le crcuda ua sere de feómeos. Dchos feómeos puede dar lugar a observacoes de tpo cuattatvo o cualtatvo. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 4

5 Los feómeos de aturaleza cuattatva so aquéllos cuyas observacoes vee epresadas e forma cuattatva: ua cocrecó del feómeo estatura de u dvduo es, por ejemplo,,74 metros. Los feómeos de aturaleza de aturaleza cualtatva o categórca so, por cosguete, aquellos cuyas observacoes o tee carácter umérco. Así, la cocrecó sobre el estado cvl, seo, o profesó costtuye ejemplos putuales de dchos feómeos. E deftva, por ahora, teemos al vestgador co ua formacó que ha obtedo de la realdad, y que teta aalzar. Para ello, o be tedrá que crear u leguaje uevo, o be ecestará utlzar u modelo co u leguaje ya coocdo. El vestgador socal opta por aplcar u modelo matemátco. Así, e el modelo matemátco este el cocepto varable y el cocepto de valor o dato. Para emplear el modelo matemátco hacemos correspoder la dea de feómeo al cocepto de varable, y la cocrecó del feómeo, al cocepto de dato. Cuado el feómeo es de aturaleza cualtatva la dea de atrbuto susttuye a la de varable. Al observar las dferetes varables o atrbutos se obtee u cojuto, umérco o o, deomado cojuto de datos. El dato estadístco puede ser udmesoal s correspode a ua sola varable (o atrbuto) o multdmesoal s correspode a varas varables (o atrbutos). Los resultados obtedos al medr u observar varables se deoma valores y los correspodetes a atrbutos, modaldades. Varable dscreta y varable cotua Detro de las varables este dos tpos: dscretas y cotuas. Varable dscreta. Se defe como aquella varable que, etre dos valores prómos, puede tomar a lo sumo u úmero fto de valores. Varable cotua. Es aquella que puede tomar los ftos valores de u tervalo. Por otra parte, y hacedo etesva la ocó de varable estadístca cotua, ua magtud que pueda tomar u gra úmero de valores y BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 5

6 muy prómos auque sea valores aslados- será cosderada como ua varable cotua. o obstate, o hay que olvdar la aturaleza dscreta o cotua de la varable, ya que e los modelos teórcos de la Estadístca dcha dstcó tee gra mportaca. Dado que la varable es u símbolo matemátco que represeta a u cojuto de valores, establecemos que s este cojuto toma u úmero fto de valores, la varable se represeta por el símbolo X, Y, Z, S, por el cotraro, teemos u cojuto fto represetaremos la varable por X, Y, Z, Frecueca absoluta y relatva Frecueca absoluta o repetcó es el úmero de veces que se repte cada valor o dato de la varable. E geeral, se represeta por. Frecueca relatva es gual a la frecueca absoluta dvdda por el úmero total de datos. Se represeta por f. S es el úmero total de datos f Frecuecas acumuladas Frecueca absoluta acumulada. os dce el úmero de datos que hay gual al cosderado e ferores a él. Su símbolo es. Frecueca relatva acumulada. Es el resultado de dvdr cada frecueca acumulada por el úmero total de datos. Se desga por F. Es evdete que: a) La suma de todas las frecuecas relatvas es gual a la udad. b) La últma frecueca relatva acumulada es la udad. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 6

7 Dstrbucó de frecuecas de ua sola varable Llamaremos dstrbucó de frecuecas al cojuto de valores que ha tomado ua varable co sus frecuecas correspodetes. Para que quede determada ua dstrbucó de frecuecas debemos coocer los dferetes valores de y cualquera de las columas de frecuecas, ya que el paso de ua a otra es medato. Recorrdo, tervalos y marcas de clases Hay que dstgur, por otra parte, dos tpos fudametales de dstrbucoes de frecuecas: las o agrupadas e tervalos y las agrupadas e tervalos. Ua vez recogda y tabulada la formacó, ésta se dspoe asocado a cada valor su frecueca. E este caso, tedremos ua dstrbucó o agrupada e tervalos. S las frecuecas so todas guales a, la dstrbucó se deoma de frecuecas utaras. Pero s el úmero de valores dsttos que ha tomado la varable es sufcetemete grade parece acosejable, para mayor comoddad e el tratameto de la formacó, agrupar estos valores e clases o tervalos, teedo e cueta que lo que gaamos e maejabldad lo perdemos e formacó. E la agrupacó hay tres aspectos que debemos cotemplar: prmero, que el mámo de formacó lo teemos al recogerla, dsmuyedo al realzar la operacó de agrupacó por tervalos. Segudo, que e las dstrbucoes agrupad, as e tervalos, estos tervalos o se preseta realmete así, so que es el vestgador el que los crea para maejar los datos más fáclmete. Tercero, que al agrupar hay que teer e cueta las frecuecas. E geeral, represetaremos ua dstrbucó de frecuecas agrupada e tervalos por el par (L - L ; ), dode L es el etremo superor del tervalo y L - su etremo feror. Para agrupar los datos e tervalos o clases, debemos comezar determado el recorrdo de la varable, que se defe como la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable. Es decr, Re má - mí BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 7

8 Este recorrdo se dvde etoces e tervalos. S deomamos ampltud de u tervalo a la dfereca etre los etremos superor e feror del msmo, o sea, c L L - Los tervalos puede ser de ampltud (o logtud) costate o varable, sedo mas cómodo para el mejor tratameto de la formacó que sea de ampltud costate. S la ampltud es costate se verfcará que Re º de tervalos. c Esta relacó os permte deducr el úmero de tervalos s fjamos la ampltud, o esta últma s fjamos el úmero de tervalos. E la fjacó del úmero de tervalos o este reglas fjas, hasta tal puto de que a veces se hace varos esayos. U tervalo queda especfcado por sus etremos; e geeral, para el tervalo -ésmo se represetará por L - L. Aparece u problema cuado u valor de la varable cocde eactamete co u etremo de tervalo, co lo que hay dudas sobre su clusó o o e u determado tervalo. Por eso se establece, como regla geeral que los tervalos so abertos por la zquerda y cerrados por la derecha, es decr, del tpo (a, b], lo que quere decr que el tervalo se compoe de todos los putos compreddos etre a y b, cludo b y ecludo a. Por últmo cabe señalar que, como represetate de cada tervalo o clase, elegmos su puto medo al cual deomamos marca de clase ( ). así, e el tervalo -ésmo la marca de clase será L L BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 8

9 . Represetacoes gráfcas Auque las tablas estadístcas cotee toda la formacó dspoble, parece útl y coveete epresar, esta formacó, medate u gráfco, de modo que la refereca vsual srva de puto de partda para el aálss estadístco. Segú como sea la aturaleza del carácter estudado, utlzaremos uo u otro tpo de represetacó gráfca. Las dstrbucoes de frecuecas puede de datos s agrupar y de datos agrupados, presetado estas últmas la partculardad de que los valores de la varable o aparece dvdualzados, so agrupados e tervalos. E geeral se cosdera los tervalos abertos por la zquerda y cerrados por la derecha. Tpos de gráfcos a) Para feómeos cualtatvos:. Dagramas sectorales.. Cartogramas. 3. Pctogramas. b) Para feómeos cuattatvos:. Dagrama de barras para dstrbucoes o agrupadas.. Hstograma de frecuecas para dstrbucoes agrupadas e tervalos. Dagrama de sectores Los dagramas de sector o de pastel, así como també los dagramas de rectágulo represeta las dsttas modaldades de u carácter medate sectores crculares o rectágulos e los que el prcpo de represetacó es el de la proporcoaldad de las áreas de los gráfcos a las frecuecas absolutas. E este sstema de represetacó los sectores crculares tee u águlo cetral proporcoal a la frecueca absoluta correspodete y, por cosguete, u área proporcoal a la frecueca absoluta. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 9

10 Los dagramas de rectágulos tee ua base costate y ua altura proporcoal a la frecueca absoluta correspodete. Su superfce es proporcoal a la frecueca absoluta. Cartogramas Se llama cartogramas a los gráfcos que se realza sobre u mapa, señalado sobre determadas zoas co dsttos colores o rayados lo que se trate de poer de mafesto. Se puede utlzar los gráfcos de sectores para comparar, por ejemplo, categorías de poblacó de dversas áreas geográfcas. De este modo, represetado e u mapa dvddo e regoes o áreas geográfcas los dferetes círculos subdvddos segú los valores que e cada ua de ellas toma las dversas categorías de poblacó, se cosgue e ua sola represetacó gráfca troducr u gra volume de formacó que permte obteer ua buea mage del cojuto. Este tpo de gráfco os proporcoa ua ampla formacó al permtros comparacoes terregoales. Pctogramas Los pctogramas so dbujos alusvos a la dstrbucó que se pretede estudar y que medate su forma, tamaño, etc., ofrece ua descrpcó lo más epresva posble de la dstrbucó estadístca. Dagrama de barras E la represetacó gráfca de varables cuattatvas, cabe señalar que aquí també se fja el prcpo geeral de la proporcoaldad para la obtecó de gráfcos, e este caso de las alturas o áreas a las frecuecas absolutas. Los dagramas de barras o de bastoes so especalmete útles cuado se desea comparar datos cuattatvos de tpo dscreto. Para trazarlos se represeta sobre el eje de abscsas los valores de la varable, y sobre el eje de ordeadas las frecuecas absolutas, relatvas segú proceda. A cotuacó, por los putos marcados e el eje de abscsas se levata trazos gruesos o barras, de logtud gual a la frecueca correspodete. Las frecuecas acumuladas da lugar a u dagrama de escalera o escaloado. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 0

11 Los polígoos de frecuecas se forma uedo los etremos de las barras medate ua líea quebrada. De forma aáloga se puede represetar polígoos de frecuecas relatvas y relatvas acumuladas. Hstogramas Los hstogramas se utlza geeralmete para dstrbucoes de varable estadístca cotua, o be para dstrbucoes de varable estadístca dscreta, co gra úmero de datos, y que se ha agrupado e clases. Se costruye levatado sobre cada tervalo u rectágulo de área proporcoal a la frecueca absoluta correspodete a dcho tervalo. S los tervalos so de ampltud costate, las alturas de los rectágulos será guales a las frecuecas absolutas respectvas, ya que la ser las bases de los rectágulos guales las áreas depederá sólo de las alturas. S las ampltudes de los tervalos so desguales, las alturas de los rectágulos debe calcularse dvdedo la frecueca absoluta por la logtud del tervalo y este coefcete se cooce como desdad de frecueca. El área de cada tervalo vale eactamete su frecueca absoluta, por lo que la suma de todas las áreas será gual a la frecueca total. 3. Meddas de dspersó y meddas de poscó MEDDAS DE POSCÓ CETRALES Aterormete hemos vsto ua prmera forma de reducr la complejdad de los datos estadístcos de ua dstrbucó, medate la costruccó de tablas y represetacoes gráfcas. Au cuado las tablas estadístcas y las represetacoes gráfcas permte obteer, de ua maera rápda, ua dea apromada del comportameto de ua dstrbucó, desde el puto de vsta cetífco covee poder estudar las dstrbucoes de ua forma más rgurosa. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

12 Para ello vamos a estudar el sgfcado, cálculo e terpretacó de los parámetros estadístcos más utlzados. Estos parámetros permte resumr y stetzar u gra úmero de datos, e uos pocos úmeros que proporcoa ua dea, lo más apromada posble, de toda la dstrbucó. Evdetemete, todo proceso de sítess colleva ua pérdda de formacó; pero se gaa e el hecho de que es más fácl trabajar co uos pocos parámetros co sgfcacó muy precso que co la totaldad de los datos. Toda sítess de ua dstrbucó se cosderará como operatva s: tervee e su determacó todos y cada uo de los valores de la dstrbucó. Es sempre calculable. Es úca para cada dstrbucó de frecuecas. E este proceso de sítess buscamos uos valores que os fje el comportameto global del feómeo a partr de los datos dvduales recogdos e la formacó dspoble. E ua prmera etapa se resumrá las característcas báscas de la formacó e alguos valores stétcos que recbe tradcoalmete el ombre de meddas de poscó. Se llama meddas de poscó o meddas de cetralzacó a las meddas o parámetros que tede a stuarse haca el cetro del cojuto de datos ordeados. A las meddas de cetralzacó també se las llama meddas de tedeca cetral o promedos. Meda artmétca Se llama meda artmétca de ua varable estadístca a la suma de todos los valores de dcha varable dvdda por el úmero de valores. La meda artmétca de la varable X se represeta por. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

13 ( K ) / E el caso de que tuvésemos ua dstrbucó co datos agrupados, los valores dvduales de la varable sería descoocdos y, por tato, o podríamos hacer uso de la formulacó ormal. E este supuesto se postula la hpótess de que el puto medo del tervalo de clase (marca de clase) represeta adecuadamete el valor medo de dcha clase; y se aplca la fórmula orgal de la meda smple para dchos valores. Hay que hacer refereca al tema de la llamada meda artmétca poderada, que se produce cuado se otorga a cada valor de la varable ua poderacó o peso, dstto de la frecueca o repetcó. E este caso, e el cálculo de la meda artmétca tedríamos e cueta dchas poderacoes. Propedades de la meda artmétca:. La suma de las desvacoes de los valores de la varable respecto a su meda es cero.. La meda de las desvacoes al cuadrado de los valores de la costate k varable respecto a ua costate k cualquera, se hace míma cuado esa es gual a la meda artmétca. (Teorema de Kog). 3. S a todos los valores de ua varable les sumamos ua costate k, la meda artmétca queda aumetada e esa costate. Es decr, la meda artmétca queda afectada por los cambos de orge. 4. S todos los valores de ua varable los multplcamos por ua costate k, su meda artmétca queda multplcada por la msma costate. Es decr, la meda artmétca queda afectada por los cambos de escala. 5. S de u cojuto de valores obteemos dos o más cojutos dsjutos, la meda artmétca de todo el cojuto se relacoa co todas las medas artmétcas de los dferetes subcojutos dsjutos. Como vetajas podemos ctar las tres que se le ege a ua medda de sítess, es decr: Cosderacó de todos los valores de la dstrbucó. Ser calculable. Ser úca. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 3

14 S embargo tee el coveete de que, a veces, puede dar lugar a coclusoes o muy atadas. Esto ocurre e el caso de que la varable presete valores aormalmete etremos que puede dstorsoar la meda artmétca, hacédola, cluso, poco represetatva. La meda artmétca, como medda de poscó, es la fórmula más adecuada para el resume estadístco e caso de dstrbucoes e escala de tervalos o de proporcó, co las cuales dcha medda alcaza su mámo setdo. Meda geométrca La meda geométrca, que represetaremos por G, se defe como la raíz -ésma del producto de los valores de la dstrbucó. G / ( ) La propedad fudametal es que el logartmo de la meda geométrca es gual a la meda artmétca de los logartmos de los valores de la varable. Como vetajas cabe señalar: E su determacó tervee todos los valores de la dstrbucó. Es meos sesble que la meda artmétca a los valores etremos. Como coveetes, destaquemos: Es de sgfcado estadístco meos tutvo que la meda artmétca. Su cómputo es más dfícl. E ocasoes o queda determada. Cuado la varable toma al meos u valor gual a cero etoces G se aula. S la BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 4

15 varable toma valores egatvos se puede presetar ua gama de casos partculares e los que tampoco queda determada G. El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar porcetajes, tasas, úmeros ídces, etc., es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas. Meda armóca La meda armóca, H, de ua dstrbucó de frecuecas se defe como H K ótese que la versa de la meda armóca es la meda artmétca de los versos de los valores de la varable. Como vetajas, mecoaremos la tervecó e su cálculo de todos los valores de la dstrbucó y que, e certos casos, es más represetatva que la meda artmétca. Por otra parte, sempre se puede pasar de ua meda armóca a ua meda artmétca trasformado adecuadamete los datos. Como coveetes, hay que ctar la flueca de los valores pequeños, y su o determacó e las dstrbucoes co alguos valores guales a cero; por ello o es acosejable su empleo e dstrbucoes e que esta valores muy pequeños. Se suele utlzar para promedar velocdades, tempos redmetos, etc. E geeral, para promedar todo aquello cuyas udades vega epresadas como el cocete de dos magtudes smples. Medaa Se llama medaa, Me, de ua varable estadístca a u valor de la varable, tal que el úmero de observacoes meores que él es gual al úmero de observacoes mayores que él. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 5

16 Es decr, el úmero de datos que precede a la medaa es gual al úmero de datos que la sgue. Cálculo de la medaa: Varable estadístca dscreta. Datos smples. E esta caso se ordea los datos de meor a mayor y la medaa será el térmo o valor cetral. S el úmero de datos es mpar, el valor cetral de la varable es úco. S el úmero de datos es par o este térmo cetral, so dos térmos cetrales, y por ello se dce que hay dos medaas, que so los valores cetrales. o obstate, acostumbra tomarse como medaa la semsuma de los dos valores cetrales, auque dcho valor o perteezca al cojuto de datos. Varable estadístca dscreta. Datos agrupados. Para calcular la medaa podríamos proceder ordeado los datos como s fuera datos smples. Ahora be, se comprede que este método resulta muy laboroso ormalmete, por lo que para abrevar el proceso calcularemos las frecuecas absolutas acumuladas. La medaa vee dada por el prmer valor de la varable cuya frecueca absoluta acumulada ecede a la mtad del úmero de datos. E el caso de que la mtad del úmero de datos cocda co la frecueca absoluta acumulada correspodete a u valor, la medaa es la semsuma etre ese valor y el sguete de la tabla. Varable estadístca cotua. E esta caso se procede de forma aáloga a como se acaba de hacer, resulta fácl detectar cuál es la clase medaa (dode se alcaza la mtad de los datos), pero para obteer el valor cocreto de la varables que deja a la zquerda gual úmero de datos que a su derecha, aplcaremos la sguete epresó: BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 6

17 M L F c f Dode: L c límte feror de la clase medaa. ampltud del tervalo. úmero total de datos. F - frecueca absoluta acumulada de la clase ateror a la clase meda f frecueca absoluta de la clase medaa. La propedad fudametal de la medaa se cfra e que hace míma la suma de todas las desvacoes absolutas. La medaa es partcularmete útl e los sguetes casos: Cuado etre los datos este alguo ostesblemete etremo que afecta a la meda. Cuado los datos e clases y algua de ellas es aberta La medaa tee mayor setdo e casos de dstrbucoes e escala ordal (datos susceptbles de ser ordeados), de la cual es la medda más represetatva por descrbr la tedeca cetral de la msma, ya que, e estos casos, o tee demasado setdo la utlzacó de promedos. Moda La moda es el valor de la varable que más veces se repte y, e cosecueca, e ua dstrbucó de frecuecas, es el valor de la varable que vee afectada por la máma frecueca de la dstrbucó. La moda se represeta por Mo. La moda o tee por que ser úca, puede haber varos valores de la varable co la mayor frecueca. E este caso se drá que la dstrbucó es bmodal, trmodal, etc., segú que sea, 3, etc., los valores de la varable que preseta mayor frecueca. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 7

18 Como cosecueca de la defcó, el cálculo de la moda resulta muy secllo e los casos de datos smples y datos agrupados. Ahora be, e el caso de datos agrupados e tervalos es fácl determar la clase modal (clase co mayor frecueca), pero el valor detro del tervalo que se presume tega mayor frecueca se obtee a partr de la sguete epresó: Mo L D c D D Dode: L límte feror de la clase modal c ampltud de los tervalos D dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca absoluta de la clase ateror D dfereca etre la frecueca absoluta de la clase modal y la frecueca absoluta de la clase sguete. Para las dstrbucoes cuyos datos se ecuetra clasfcados e tervalos este u método gráfco que permte obteer la moda co certa apromacó. Para ello se represeta el hstograma de frecuecas absolutas, a ser posble sobre papel mlmetrado co el f de poder coteer ua mayor precsó. Segudamete se ue, co líeas de putos, los etremos de la clase modal co las cotguas. La moda vee dada por la abscsa del puto de corte. Observacoes:. Puede ocurrr que esta dstrbucoes que o tega moda; eso ocurre cuado las frecuecas de todos los datos so guales.. La moda es meos represetatva que la meda artmétca, pero e alguas ocasoes es más útl que ésta: por ejemplo, cuado se trata de ua dstrbucó de datos cualtatvos. 3. E la moda o tervee todos los datos de la dstrbucó. 4. Au cuado la moda se cosdera ua medda o parámetro de cetralzacó, o sempre tee por qué stuarse e la zoa BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 8

19 cetral; es frecuete ecotrar la moda próma a los valores etremos de la dstrbucó. 5. E deftva, la moda represeta el valor domate de la dstrbucó. MEDDAS DE POSCÓ O CETRALES Al estudar la medaa se ha vsto que, ua vez ordeados de meor a mayor los datos de ua dstrbucó, la medaa dvde a éstos e dos grupos dsttos. Aálogamete tee terés estudar otros parámetros que dvde a los datos de ua dstrbucó e fucó de otras cuatías o valores otables pero que o va a reflejar gua tedeca cetral: los cuatles. So valores de la dstrbucó que la dvde e partes guales, es decr, que comprede el msmo úmero de valores. Etre los cuatles podemos ctar, por ser de uso más frecuete, los cuartles, los decles y los precetles. Cuartles So los tres valores que dvde la dstrbucó e cuatro partes guales, es decr, e cuatro tervalos detro de cada cual está cludos el vetcco por ceto de los valores de la dstrbucó. Se represeta por C, C y C 3, y se desga cuartel prmero, segudo y tercero, respectvamete. Decles So los ueve putos que dvde a la dstrbucó e dez partes guales de forma que, detro de cada ua, está cludos el dez por ceto de los valores. Se represeta por D, D,, D 9, y se desga decl prmero, segudo,, oveo, respectvamete. Percetles BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 9

20 So los oveta y ueve valores que dvde la dstrbucó e ce partes guales. Se represeta por P, P,, P 99, y se desga percetl prmero, segudo,, oveta y ueve, respectvamete. La medaa cocde co el cuartl segudo Q ; el decl quto, D 5, y el percetl de orde 50, P 50. Me C D 5 P 50 Para el cálculo de los cuatles para dstrbucoes o agrupadas e tervalos se procede del sguete modo: Cuartles: C es el valor que ocupa el lugar 4 C es el valor que ocupa el lugar 4 3 C 3 es el valor que ocupa el lugar 4 Decles: D es el valor que ocupa el lugar 0 D es el valor que ocupa el lugar D 9 es el valor que ocupa el lugar 0 Percetles: P es el valor que ocupa el lugar 00 P es el valor que ocupa el lugar P 99 es el valor que ocupa el lugar 00 Para determarlos se calcula prevamete las frecuecas acumuladas, y se busca el valor que ocupe el lugar r/k. de la dstrbucó. Para el cálculo de los cuatles para dstrbucoes agrupadas e tervalos se procede del sguete modo: BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 0

21 El problema que se preseta es smlar al que se tee al calcular la medaa. Para elegr el represetate para u determado cuartel se sgue el crtero: Q r k L r k c Dode: para k 4 y r,,3, tedremos los cuartles para k 0 y r,,, 9 tedremos decles para k 00 y r,,, 99 tedremos percetles La fórmula ateror se obtee de forma aáloga a la desarrollada e la medaa. Como últmo cometaro, reseñaremos que e el cojuto de meddas de poscó (medaa, moda y cuatles) o tervee para su cálculo todos los valores de la dstrbucó, que era la prmera codcó que se mpoía a ua buea medda de sítess. MEDDAS DE DSPERSÓ Se ha defdo aterormete ua sere de meddas de tedeca cetral cuyo objetvo es stetzar la formacó de la que se dspoe. E este epígrafe se va a estudar hasta qué puto, para ua determada dstrbucó de frecuecas, estas meddas de tedeca cetral so represetatvas como sítess de toda la formacó. Medr la represetatvdad de estas meddas equvale a cuatfcar la separacó de los valores de la dstrbucó respecto a dcha medda. Por ejemplo, s queremos estudar e qué grado ua medda artmétca os marca ua tedeca cetral geeralzable del comportameto de todos los elemetos del cojuto estudado (poblacó o muestra), tedremos que fjaros e la separacó (e la desvacó) de cada valor respecto a la meda. S todos los valores está cercaos al valor medo, éste será represetatvo de ellos. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

22 A la mayor o meor separacó de los valores respecto a otro, que se pretede que sea su sítess, se le llama dspersó o varabldad. Será tato más represetatva la meda artmétca de ua varable cuato más agrupados e toro a ella esté los valores promedados y, por el cotraro, será tato más rechazable, por o ser represetatva, cuato mayor dspersó esta respecto a la meda. Resulta, pues, ecesaro para completar la formacó que pueda deducrse de la meda artmétca, acompañar este promedo de uo o varos coefcetes que os mda el grado de dspersó de la dstrbucó de la varable. Estos coefcetes so los que llamamos meddas de dspersó. Para ua mejor sstematzacó, vamos a dstgur etre meddas de dspersó absolutas y relatvas. MEDDAS DE DSPERSÓ ABOLUTAS Ua prmera apromacó para medr la dspersó e ua dstrbucó es calcular su recorrdo. Rago o recorrdo Se llama recorrdo (o rago), Re, de ua dstrbucó a la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable estadístca. Es decr: Re Se trata, por cosguete, de u medo burdo para medr la dspersó, aplcable sólo a alguos casos. Observacoes:. Cuato meor es el recorrdo de ua dstrbucó mayor es el grado de represetatvdad de los valores cetrales.. El recorrdo tee la gra vetaja de su secllez de cálculo. 3. Tee gra aplcacó e procesos de cotrol de caldad, y de ua maera geeral, e aquellos procesos que se preteda verfcar BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9

23 logtudes, pesos, volúmees, estado prefjados de atemao los límtes permtdos. 4. El recorrdo preseta el coveete de que sólo depede de los valores etremos. De esta forma basta que uo de ellos se separe mucho, para que el recorrdo se vea sesblemete afectado Para palar esos coveetes se utlza e ocasoes otros dos ragos: Rago tercuartílco: R C 3 C Rago etre percetles: P P 90 P 0 Estos ragos so algo más estables que el rago, ya que tede a elmar aquellos valores etremadamete alejados. El rago o recorrdo tercuartílco os dca que e u tervalo de logtud R está compreddos el 50% de los valores cetrales. S R es pequeño, sempre e térmos relatvos de acuerdo co las udades e que vega dada la dstrbucó, podemos tur ua pequeña dspersó. El objetvo últmo que se debe persegur es determar la represetatvdad de las meddas de poscó, pues las meddas cotempladas aterormete o hace refereca específca a gú promedo. Se ecesta meddas de dspersó que volucre a los promedos. Desvacó meda respecto a la meda artmétca La desvacó meda (respecto a la meda artmétca), D, se puede defr como la meda artmétca de los valores absolutos de las dferecas etre los valores de la varable y la meda artmétca. D BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 3

24 Desvacó meda respecto a la medaa La desvacó meda (respecto a la medaa), D Me, se puede defr como la meda artmétca de los valores absolutos de las dferecas etre los valores de la varable y la medaa. D Me Me Las desvacoes medas tee u sgfcado precso como promedo de las desvacoes, auque, precsamete por corporar valores absolutos, tee el coveete de o ser muy adecuadas al cálculo algebraco. Varaza De todas las meddas de dspersó absolutas respecto a la meda artmétca, la varaza y su raíz cuadrada, la desvacó típca, so las más mportates. Se defe la varaza, S, como la meda artmétca de los cuadrados de las desvacoes de los valores de la varable a la meda artmétca. Se epresa, por tato del sguete modo: S ( ) Propedades de la varaza:. La varaza uca puede ser egatva.. La varaza es la medda cuadrátca de dspersó óptma. 3. La varaza es gual al mometo de segudo orde respecto al orge meos el de prmer orde elevado al cuadrado. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 4

25 4. S e la dstrbucó de frecuecas sumamos a todos los valores de la varable ua costate, la varaza o varía. 5. Al multplcar los valores de ua dstrbucó de frecuecas por ua costate k, la varaza queda multplcada por el cuadrado de la costate. Desvacó típca o estádar Así como las desvacoes medas vee epresadas e las msmas udades de meddas que la dstrbucó, la varaza o, ya que vedrá dada e las udades correspodetes pero elevadas al cuadrado. Esto dfculta su terpretacó, y hace ecesaro defr la desvacó típca. La desvacó típca, que se represeta por S, es la raíz cuadrada, co sgo postvo, de la varaza S S ( ) Al ser la raíz cuadrada de la varaza vedrá epresada e las msmas udades de medda que la dstrbucó, lo cual la hace más apta como medda de dspersó. Propedades de la desvacó típca:. S 0.. Es ua medda de dspersó óptma. 3. S a a. 4. o le afecta los cambos de orge. 5. Le afecta los cambos de escala, sedo S' k.s. Hay que hacer otar que e la desvacó típca tee más flueca las desvacoes de los valores muy etremos que e la desvacó meda, ya que estas desvacoes, e la prmera medda, está prevamete elevadas al cuadrado. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 5

26 MEDDAS DE DSPERSÓ RELATVAS A veces, que se os platea coocer cual de los promedos, correspodetes a dos dstrbucoes de frecuecas dsttas, es más represetatvo. Sucede que esa comparacó o la podemos efectuar por sus respectvas meddas de dspersó, ya que las dstrbucoes, e geeral, o vedrá dadas e las msmas udades de medda. Tampoco e el caso de que las udades de medda sea las msmas, s los promedos so umércamete dferetes. Es precso, pues, costrur meddas admesoales, es decr, que o vega afectadas por las udades de medda. Estas meddas de dspersó, llamadas relatvas, sempre se cocreta e forma de cocete, es decr, de ídce. Coefcete de apertura Se defe como la relacó por cocete etre el mayor valor y el meor de ua dstrbucó dada: A El cocete ha elmado las udades y ahora os es posble comparar dos dstrbucoes a través de este coefcete. S be es verdad que este coefcete es el más fácl de calcular, preseta ua sere de coveetes, etre los cuales se puede ctar los sguetes: mde la dstrbucó s hacer refereca a gú promedo, por lo que o resuelve el problema de la comparacó etre éstos; por otra aprte, como o tee e cueta más que los dos valores etremos de la dstrbucó os dará ua gra dspersó s estos valores está muy separados, a pesar de que puede ocurrr que el resto de los valores esté cocetrados. Recorrdo relatvo Se defe como el cocete etre el recorrdo y la meda artmétca: R r R e BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 6

27 os dca el úmero de veces que el recorrdo cotee a la meda artmétca. Recorrdo sem-tercuartílco Se defe como el cocete etre el recorrdo tercuartílco y la suma del prmer y el tercer cuartl: R s C C 3 3 C C Coefcete de varacó de Pearso U teto para resolver el problema de comparacó de medas artmétcas de dos dstrbucoes que puede ver, e geeral, e udades dferetes, o e las que las medas o sea guales, es el que Pearso propuso. Se defe el coefcete de varacó de Pearso, V, como la relacó por cocete etre la desvacó típca y la meda artmétca: V S E prmer lugar, observamos que al efectuar el cocete elmamos las udades, y por tato V es admesoal, como cabía esperar. E segudo lugar V represeta el úmero de veces que S cotee a, y es claro que cuato mayor sea V más veces cotedrá S a, luego relatvamete a mayor V meor represetatvdad de. Este coefcete també se suele epresar e tatos por ceto empleádose: S V 00 Como tato e S como e ha tervedo todos los valores de la dstrbucó, V preseta la garatía, frete a otros coefcetes, de que utlza toda la formacó. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 7

28 Covee señalar el caso partcular para el cual V o es sgfcatvo. S 0, esto haría que V tedera a fto, aquí la utlzacó de V o teresa, ya que su resultado umérco os puede llevar a coclusoes estadístcas equvocadas. Además se puede argür otros coveetes metodológcos como, por ejemplo, que este coefcete o es varate ate cambos de orge. 4. úmeros ídces E los apartados aterores se ha caracterzado las dstrbucoes de ua varable por ua sere de meddas que tetaba stetzar el cojuto de toda la formacó dspoble (meddas de poscó), pasado después por el estudo de la varabldad (meddas de dspersó) y de las meddas de forma (asmetría y curtoss). El problema que ahora se os preseta es la comparacó de ua sere de observacoes respecto a ua stuacó cal, fjada arbtraramete. Cuado las observacoes tee carácter cuattatvo, que es el caso que se va a estudar, este dos sstemas alteratvos para efectuarla: la comparacó por dfereca y la comparacó por cocete. ormalmete se utlzará las comparacoes por cocete, ya que permte la agregacó de comparacoes de magtudes que puede ver dadas e dferetes udades de medda, como resultado de que proporcoa comparacoes admesoales al realzarse por cocete. Por otra parte, para las comparacoes habrá també que teer e cueta los dos aspectos sguetes: - Fjacó arbtrara de la stuacó cal a la que se referrá las comparacoes. La eleccó de la stuacó cal codcoa el resultado de la comparacó y, por tato, dcho puto de refereca cal debe ser lo más adecuado posble a los objetvos que se persga. - Comparacó de magtudes smples o complejas. Esto os troduce e el problema de la agregacó de magtudes y de la costruccó de sstemas de comparacó adecuados. Defremos u úmero ídce como aquella medda estadístca que os permte estudar los cambos que se produce e ua magtud smple o BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 8

29 compleja co respecto al tempo o al espaco; es decr, vamos a comparar dos stuacoes, ua de las cuales se cosdera de refereca. Co esto se quere decr que es posble comparar, por ejemplo, el coste de vda e ua cudad co el habdo respecto al período ateror o be co el coste de ua cudad veca. Al período cal se le deoma período base o de refereca, por cotraposcó, la stuacó que queremos comparar es deomada período actual o correte. ÚMEROS ÍDCES SMPLES Sea X ua magtud smple y, sea 0 y t los valores de dcha magtud e los períodos base y actual, respectvamete. El úmero ídce smple para la magtud ctada se defe como: t () 0 t 0 Que os mde la varacó, e tato por uo, que ha sufrdo la magtud X etre los dos períodos cosderados. Los úmeros ídces smples más usuales so los sguetes: Preco relatvo Es la razó etre el preco de u be e el período actual (p t ) y el preco del msmo e el período base (p 0 ). p t 0 p p t 0 Catdad relatva Se defe como la razó etre la catdad producda o vedda de u be e sus períodos actual (q t ) y base (q 0 ) q t 0 q q t 0 BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 9

30 Valor relatvo S defmos el valor de u be e u período cualquera como el valor de u be e u período cualquera como el producto del preco de ese be la catdad producda (o vedda), etoces el valor relatvo será la razó etre los valores de ese be e el período actual (p t q t ) y e el período base (p 0 q 0 ) V t 0 p p t 0 q q t 0 p p t 0 q q t 0 Como se puede ver, el valor relatvo de u be es gual al producto de su preco relatvo y su catdad relatva, es decr t t t V0 p0 q0 Geeralmete, estos ídces se suele epresar e porcetajes, multplcádolos por ce. ÚMEROS ÍDCES COMPLEJOS E la realdad, sucede que, geeralmete, o estamos teresados e comparar precos, catdades o valores de bees dvduales, so que se compara dchas magtudes para grades grupos de bees. Como cosecueca de ello, la formacó sumstrada por los ídces smples de cada uo de los dferetes bees debe ser resumda e u úco ídce al que vamos a deomar complejo. La costruccó de u ídce complejo o es tarea fácl. S quséramos, por ejemplo, elaborar u ídce que os mostrase la evolucó del coste de vda e u país (así, e España sería el PC) habría que seleccoar u grupo de bees que reflejase dcho coste, teedo e cueta la mportaca relatva de cada uo de esos bees e el cojuto elegdo, la esteca de caldades dsttas para u msmo be, y, falmete, habría que decdr la forma de ufcar toda esta formacó y obteer u úco ídce. El objetvo es llegar a u úmero ídce secllo, pero que a la vez reúa la mayor catdad posble de formacó. Así, se puede cosderar dos tpos de ídces complejos, e los que va a prmar, e mayor o meor medda, cada ua de las característcas aterores. S se prefere BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 30

31 secllez tedremos los ídces complejos o poderados y s, por el cotraro, lo que se desea es que cotega la mayor catdad de formacó posble se utlzará los ídces complejos poderados. úmeros ídces complejos o poderados Para resumr la formacó obteda a través de los ídces smples es lógco promedar éstos. Así los ídces compuestos va a ser medas artmétcas, geométrcas, armócas y agregatvas de los ídces smples. Ídce meda artmétca de ídces smples Ua prmera solucó para resumr los dferetes ídces smples sería cosderar su meda artmétca t 0 K K Ídce meda geométrca de ídces smples G t 0 L L Ídce meda armóca de ídces smples t H? 0 L L Ídce meda agregatva Otra solucó dferete podría ser cosderar, e vez de los dferetes ídces smples, la relacó etre las sumas de los dferetes valores e los dos períodos, e el caso de que sea agregables t t t t t A L L L L BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 3

32 úmeros ídces complejos poderados E todos estos ídces complejos aterores o se tee e cueta la dferete mportaca relatva que puede teer cada ua de las magtudes smples detro del cojuto de todas ellas. Esto equvaldría, por ejemplo, a cosderar que la varacó e el preco del pa tedría la msma mportaca que ua msma varacó porcetual e el preco de la care, s lo que estamos estudado es la magtud compleja preco. Como esto, tato e este caso como e la mayoría de los que se pueda cosderar, o es así, es ecesaro afectar a cada magtud smple, y por tato a sus ídces, de uas poderacoes que mda su peso relatvo detro del cojuto e que se cosdere Supogamos que las dferetes poderacoes o pesos asgados so:,,,,,. De esta forma obtedríamos los sguetes úmeros ídces: Ídce meda artmétca poderada. * L L L L Ídce meda geométrca poderado. G L L Ídce meda armóca poderado. H L L L L BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 3

33 Ídce meda agregatva poderado A L L t t t t 0 L 0 L 0 t 0 PROPEDADES DE LOS ÚMEROS ÍDCES. Esteca. Todo úmero ídce debe estr, ha de teer u valor fto dstto de cero. Por ejemplo, los ídces de meda geométrca y armóca se aula s algú t es cero y por lo tato, e este caso, o está determados.. detdad. S se hace cocdr el período base y el período actual el úmero ídce debe ser gual a la udad. Esta propedad debe cumplrse ecesaramete puesto que los úmeros ídces mde varacoes etre dos períodos y, al hacer cocdr éstos, el úmero ídce o debe reflejar gua varacó 3. versó. 4. Crcular. 5. Proporcoaldad. S e el período actual ÍDCES E CADEA Los ídces e cadea se obtee a través de elaces relatvos que so ídces para los cuales la base es sempre el período precedete, co lo que cada uo de ellos represeta ua comparacó porcetual respecto al perodo ateror. A los ídces cosegudos por medo de elaces relatvos, se les deoma ídces e cadea relatvos a ua base fjada. A través de este procedmeto y partedo de ua sere de elaces relatvos podemos cosegur ua sere de ídces referdos a ua base comú. La ueva sere obteda permtría efectuar comparacoes a medo y largo plazo. BLOQUE. ESTADÍSTCA Y VALORACÓ URBAA. TEMA 9 33