ESTADISTICA INFERENCIAL DR. JORGE ACUÑA A.

Transcripción

1 ESTADISTICA INFERENCIAL DR. JORGE ACUÑA A. 1

2 PROBABILIDAD Probabilidad de un evento es la posibilidad relativa de que este ocurra al realizar el experimento Es la frecuencia de que algo ocurra dividido por la frecuencia de que todo ocurra Es un número real entre 0 y 1 (inclusive) o entre 0 y 100% En simulación determina la ocurrencia de eventos Es la base de la simulación 2

3 VARIABLES ALEATORIAS Es una forma de cuantificar y simplificar eventos asociados a probabilidades de ocurrencia Una variable aleatoria (VA) es un número cuyo valor está determinado por el resultado de una ocurrencia Se pueden obtener inferencias sin tener que trabajar con el universo. Es un número cuyo valor no conocemos con certeza pero que podemos conocer algo acerca de el. Su conducta probabilística se describe por medio de una distribución PROFESOR: DR. JORGE ACUÑA 3

4 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISCRETAS Hay dos formas básicas de VAs usadas para representar ocurrencias en un modelo Discreta puede tomar solamente ciertos valores enteros y el número de valores posibles puede ser finito o infinito Continua puede tomar cualquier valor en un rango tomando un número de valores infinito de manera que el intervalo puede ser abierto o cerrado en ambos o un lado 4

5 DISTRIBUCIONES DISCRETAS Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar valores x 1, x 2, (lista finita o infinita) tiene: Función densidad de probabilidad (FDP) p(x i ) = P(X = x i ) para i = 1, 2, Para calcular valores sumar los valores de p(x i ) para aquellos x i s que satisfacen la condición: 5

6 DISTRIBUCIONES DISCRETAS Distribución acumulada de probabilidad (DAP) probabilidad de que la VA sea a un valor fijo x: Propiedades de la DAP: 0 F(x) 1 para todo x Como x, F(x) 0 Como x +, F(x) 1 F(x) no es decreciente en x Estas cuatro propiedades son también verdaderas para variables continuas F(x) es una función continua de la derecha que brinca de un valor discreto a otro 6

7 VALOR ESPERADO DEL PROMEDIO El conjunto de datos tiene un centro el promedio Las variables aleatorias tienen un centro valor esperado Las VAs tiene medidas similares 7

8 DISTRIBUCIONES CONTINUAS Sea X una variable aleatoria continua VA Rango limitado a la izquierda o derecha o ambos No importa lo pequeño del rango, el número de valores posibles de X es siempre incontable (infinito) No es significativa la P(X = x) aunque x esté en el rango. Ese valor es un diferencial con valor cercano a 0 Se describe la conducta de X en términos de intervalos 8 PROFESOR: DR. JORGE ACUÑA

9 DISTRIBUCIONES CONTINUAS Función densidad de probabilidad (FDP) es una función f(x) con las siguientes tres propiedades: f(x) 0 para todos los valores reales de x El área total bajo la curva es f(x) es 1: Para cualquier valor fijo de a y b con a b, la probabilidad de que X caiga entre a y b es el área bajo f(x) entre a y b: 9

10 DISTRIBUCIONES CONTINUAS Distribución acumulada de probabilidad (FAP) probabilidad de que la VA sea a un valor fijo x: Propiedades de la FAP 0 F(x) 1 para todo x Si x, F(x) 0 Si x +, F(x) 1 F(x) no es decreciente en x Estas cuatro propiedades son también verdaderas para variables discretas F(x) es una función continua con pendiente igual a FDP: 10

11 VALOR ESPERADO Esperado o media de X es: Esperado de la varianza de X es: 11

12 MUESTREO Análisis estadístico estima o infiere algo acerca de una población o proceso basado en una única muestra extraída de ella. Muestra aleatoria es un conjunto de observaciones independientes e idénticamente distribuidas X 1, X 2,, X n En simulación, muestreo se aplica al hacer varias corridas del modelo recolectando datos 12

13 DATOS EN SIMULACION ENTRADA Distribuciones de entrada SALIDA Recolectar datos Ajustar distribuciones de probabilidad Probar H 0 : los datos se ajustan a la distribución seleccionada Comparar dos o mas diseños o modelos Probar H 0 : todos los diseños dan el mismo rendimiento, o H 0 : uno de los diseños es mejor que el otro u otros. 13

14 DATOS EN SIMULACION Los datos obtenidos de una simulación pueden ser de dos tipos: datos de observación o datos dependientes del tiempo. Datos de observación son aquellos para los cuales el tiempo de recolección no modifica su valor. Ejemplo: número de entidades procesadas en el sistema se recoleta al final de la corrida. Datos dependientes del tiempo son aquellos cuyo valor varía de acuerdo con el tiempo. Ejemplo: número de entidades residentes en una cola pues al calcular el valor se debe considerar el tiempo que duró esperando. 14

15 DIGITOS SIGNIFICATIVOS Los valores finales de una medida de efectividad se deben reportar en forma puntual, pero con cuántas cifras significativas? Si un determinado valor del tiempo de ciclo da minutos, qué tan significativas son así últimas tres cifras? Si en tres corridas se obtienen los valores de , , es poco probable que nos equivoquemos si reportamos 14.8 minutos. En realidad la respuesta se da en términos de que tan grande es la desviación estándar del conjunto de tiempos de ciclo. 15

16 DIGITOS SIGNIFICATIVOS Procedimiento: 1. Recolectar los n-valores de la medida de efectividad. 2. Agrupe los valores según teorema del límite central 3. Calcule el promedio de promedios. 4. Calcule el valor de la desviación estándar s. 5. Calcule el valor de 2(s/ n) 6. Identifique el dígito mas significativo. Ejemplos: es el (5) es el (1) es el (1) 7. Reporte el valor de la variable basado en el promedio calculado en 3), pero con un dígito menos que el valor calculado en 5). 16

17 EJEMPLOS Promedio 2(s/ n) Puntual Intervalo

18 INTERVALOS DE CONFIANZA Un estimador puntual es un simple número, con alguna incertidumbre o variabilidad asociada a el Intervalo de confianza cuantifica la imprecisión probable del estimador puntual Un intervalo que contiene el parámetro poblacional desconocido con una probabilidad alta especificada 1 Intervalo de confianza para media poblacional : x t n * s 1,1 2 n 1 t n-1,1- /2 bajo el cual el área es 1 /2 en t student con n 1 grados de libertad 18

19 EJEMPLO Se han obtenido 10 corridas de una simulación que han generado los siguientes tiempos de ciclo: 93, 113, 107, 103, 112, 103, 112, 100, 98 y 105 minutos. Se desea un intervalo de confianza del 95%, cuál es? 19

20 SOLUCION 1. Calcular el promedio, media= Calcular la desviación estándar, s = Calcular el intervalo s 6.59 x t 9,1 t n ,1 2 t * 9,0.975 n * (99.6,109,6) 9 4. Con 95% de confianza se puede afirmar que el promedio del ciclo está entre 99.6 y minutos. t 9, * 9 20

21 PRUEBA DE HIPOTESIS Prueba alguna conjetura sobre la población o sus parámetros Nunca determina algo verdadero o falso con certeza, solamente da evidencia para tomar una de las dos direcciones Hipótesis nula (H 0 ) lo que va a ser probado Hipótesis alternativa (H 1 or H A ) negación de H 0 H 0 : = 6 vs. H 1 : 6 H 0 : < 10 vs. H 1 : 10 H 0 : 1 = 2 vs. H 1 : 1 2 Desarrolla una regla de decisión para decidir sobre H 0 o H 1 basado en los datos de la muestra 21 PROFESOR: DR. JORGE ACUÑA

22 VALORES DE p Calcular el valor de p de la prueba p-value (valor p) = probabilidad de obtener un resultado mas en favor de H 1 que lo obtenido en la muestra Pequeño p (< 0.01) evidencia convincente en contra de H 0 Gran p (> 0.20) indica falta de evidencia contra H 0 Conección con el método tradicional Si p <, rechazar H 0 Si p, no rechazar H 0 22

23 CORRIDAS DE SIMULACION No sacar conclusiones en simulación con base en una sola corrida. Se debe aplicar muestreo. Para ello: 1. Hacer un número inicial de corridas n i (10). 2. Calcular la desviación estándar para la medida de efectividad mas importante del modelo. 3. Estimar el valor de h = t /2,n-1 *s/ n 4. Calcular n = n i *(h/h ) 2 h es el valor deseado de intervalo 5. Correr la simulación por el número de corridas faltantes sea por n - n i, cambiando la semilla de número aleatorios, de lo contrario se repite la salida. Si n i n entonces no hay necesidad de mas corridas. 23

24 EJEMPLO Se han obtenido 10 corridas de una simulación que han generado los siguientes tiempos de ciclo: 93, 113, 107, 103, 112, 103, 112, 100, 98 y 105. Se desea un h de Calcular la desviación estándar, s = Estimar h=t /2,n-1 *s/ n = 2.262*6.59/ 9 = 4.97 t 0.975,9 = (en tablas) 3. Calcular n = n i *(h/h ) 2 = 10 * (4.97/3) 2 = ~ Obtener 18 corridas mas de la simulación. 24