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1 Construyendo con Geogebra II Jornadas sobre Geogebra en Andalucía Abril 2011 Actividades para el Taller: Construyendo con EVA COSTA GAVILÁN Mª TRINIDAD CASTILLO CARA Mª ÁNGELES MARTÍN TAPIAS Cuadernillo de actividades

2 2

3 ÍNDICE 1. MEDIATRIZ Y BISECTRIZ 2. ÁNGULOS 3. ÁNGULOS DE POLÍGONOS 4. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 5. TEOREMAS RELACIONADOS CON LOS TRIÁNGULOS 6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 7. LA CIRCUNFERENCIA 8. MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES EN EL PLANO 9. FRISOS Y MOSAICOS 1

4 2

5 MEDIATRIZ Y BISECTRIZ LaMediatriz: LaMediatrizdeunsegmentoeslarectaperpendicularalsegmentoensupunto medio. ActividadesconGeogebra: Construyelamediatriz,mdeunsegmentoABmanualmente.Noutiliceselbotón mediatriz.mueveelpuntoayb, quépropiedadcumplenlospuntosdem,con respectoaellos? Dibuja dos segmentos AB y BC (que se corten en B). Construye sus respectivas mediatricesycompruebaquesecortanenunpuntod.razonaquedequidistade A,ByC. Actividadesparaelaula: 1. Enquépuntodeunavíaférreahayquesituarunaestación,demodoquese encuentrealamismadistanciadelospueblosayb? 3

6 LaBisectriz: LaBisectrizdeunánguloesunasemirrectaquedividealánguloenotrosdos ángulosiguales.lospuntosdelabisectrizequidistandelosladosdelángulo. ActividadesconGeogebra: Realizalaconstrucciónanterior:Construyelabisectriz,bdedossemirrectasrys. (manualmente, no utilices el botón bisectriz). Señala un punto D en b. Traza las perpendicularesdeydfrespectoderys.compruebaque DE = DF Haypuntos delabisectrizquenoesténalamismadistanciadeloslados? Porqué? Enunángulocualquiera,construyeunacircunferenciade4cm.deradioquesea tangente a los dos lados del ángulo (solo toque en un punto a cada lado del ángulo). Actividadesparaelaula: 1. En el ángulo ˆ A 80º 4256, trazamos su bisectriz, cuánto mide cada ángulo resultante? 4

7 ÁNGULOS Clasificacióndelosángulos: Unánguloesrecto,cuandomide90 Unánguloesllano,cuandomide180 Unánguloesagudocuandoesmenorqueunorecto,cuandoesmayorsellama obtuso. Unánguloesconvexocuandoesmenorqueunollano,cuandoesmayorsellama cóncavo. ActividadesconGeogebra: Mueve el deslizador y comprueba cómo se denomina cada ángulo dada su amplitud. Actividadesparaelaula: 1. A la vista de la construcción anterior, indica de que tipo son cada uno de los ángulossiguientes:140,35,100,270,85 y350. 5

8 Relacionesángulares: Dosángulossoncomplementarioscuandosusumaesunorecto,90.Son suplementarioscuandosusumaesunollano,180 Dosángulossonconsecutivoscuandotienenelmismovérticeyunladocomún. Dosángulossonadyacentescuandosonconsecutivosysuplementarios. Dosángulossonopuestosporelvérticecuandotienenelmismovérticeylosladosde unosonsemirrectasopuestasalosdelotro. ActividadesconGeogebra: SimueveselpuntoPverásdistintosparesdeánguloscomplementarios. Cuándo unánguloesigualasucomplementario? Hazunaconstrucciónsimilardondesemuestrenángulossuplementarios. Cuándo unánguloesigualasusuplementario? Actividadesparaelaula: 1. Indicaloscomplementariosdelosángulossiguientes:10,35,45 y85 2. Indicalossuplementariosdelosángulossiguientes:140,35,100 y85 6

9 Ángulosqueseformanalcortardosrectasparalelasporunasecante: Sidosrectasparalelassecortanporunarectasecanteaéstas,seformanocho ángulos,muchosdeloscualesigualesentresí. ActividadesconGeogebra: Simueveslosdeslizadorescomprobarásquealgunosángulossonigualesentresí. Porquémotivo? Realiza una construcción similar que demuestre gráficamente que los suplementariosdelosánguloscoloreadostambiénsoniguales. Actividadesparaelaula: 1. Calculalamedidadelosángulosdesconocidos: 7

10 ÁNGULOS DE POLÍGONOS Propiedaddelasumadelosángulosinterioresdeuntriángulo: Teorema: Lasumadelosángulosinterioresdeuntriánguloesiguala180. Algebraicamente: Disponiendolosángulosdeltriánguloenformaconsecutivaseobtieneunángulollano. 8

11 Corolarios: Entodotriángulo,cadaánguloesiguala180ºmenoslasumadelosotros dosángulos. Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantessonagudos. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. Actividadcongeogebra: Construyeuntriángulorectánguloycompruebaquelasumadesusánguloses 180 Actividadesparaelaula: 1. Si conocemos dos ángulos de un triángulo A ˆ 36º y B=48º ˆ, cuánto podemosdecirquemideelángulo Ĉ? 2. Si en un triángulo isósceles los ángulos iguales miden 36, cuánto medirá el ángulodesigual? 3. Determinaelvalordexsilosángulosinterioresdeuntriángulosonx,2xy3x. 9

12 Propiedaddelasumadelosángulosexterioresdeuntriángulo: Teorema: Entodotriángulo,cualquieránguloexteriorcoincideconlasumadelosinterioresno adyacentes. Algebraicamente: Disponiendolosángulosdeltriánguloenformaconsecutivaseobtieneunángulollano. 10

13 ActividadconGeogebra: Construye un triángulo ABC, rectángulo en A y comprueba que el ángulo exteriorenbcoincideconlasumadelosinterioresnoadyacentes. Actividadesparaelaula: 1. Calculalamedidadetodoslosángulosdelsiguientetriánguloisósceles: 2. Enuntriánguloisósceles,elánguloexteriordelvérticemide70. Cuántomiden losángulosinterioresdelabase? 3. Encuentraelvalordex: 11

14 Ángulosinternosenunpolígono: Lasumadelosángulosdecualquiercuadriláteroes360 ActividadesconGeogebra: Esposibleconstruiruncuadriláteroconunúnicoángulorecto? Ycondos? Ycon tres? Demuestraquelasumadelosángulosinternosdeuntriánguloes180. Cuálesel valordelasumadelosángulosinternosdeunpolígonocualquieradenlados? Actividadesparaelaula: 1. Uncuadriláterotieneunángulorecto,otromide º yotro º Cuánto mideelcuartoángulo? 12

15 Ángulosexternosdeunpolígono: Unánguloexterioroánguloexternoeselánguloformadoporunladodeun polígonoylaprolongacióndelladoadyacente. ActividadesconGeogebra: Realizalamismademostraciónparaunhexágono. Razonaqueocurreentrelosángulosexterioreseinterioresdeunpolígono, qué relaciónangularlosune? Engeneral, cuántomidelasumadelosángulosexterioresdecualquierpolígono? Actividadesparaelaula: 1. Calculalamedidadelosángulosdesconocidos: 13

16 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Lamediatrizdeunladodeltriánguloeslarectaperpendicularaél,quepasaporel puntomedio. ActividadesconGeogebra: Lastresmediatricesdelosladosdeuntriángulosecortanenunpunto,circuncentro, queequidistadelostresvérticesyqueeselcentrodelacircunferenciacircunscrita deltriángulo. ActividadesconGeogebra: 14

17 ActividadconGeogebra: Lastresbisectricesdeuntriángulosecortanenunpunto,incentro,queequidistade lostresladosdeltriánguloyqueeselcentrodelacircunferenciainscrita.construyela circunferenciainscritaauntriángulo. Actividadesparaelaula: 1. Construye la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A(0,0), B(3,1),C(5,7). 2. CalculaeláreadeltriánguloABCdelafigura,sabiendoquelacircunferenciaes deradio4. 3. Lasalturasdeuntriángulosonlaslongitudesdelossegmentosquepasanpor los vértices del triángulo y son perpendiculares a los lados opuestos o a sus prolongaciones. Las tres alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro. DibujaconGeogebrauntriánguloycompruebaquelastresalturassecortanen elortocentro. 4. Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por un vértice del triánguloyelpuntomediodelladoopuestoadichovértice.lastresmedianas deuntriángulosecortanenelbaricentroocentrodegravedaddeltriángulo. DibujaconGeogebrauntriánguloycompruebaquelastresmedianassecortan enelbaricentro. 15

18 TEOREMAS RELACIONADOS CON LOS TRIÁNGULOS TeoremadePitágoras: TeoremadePitágoras:Enuntriángulorectángulo,dehipotenusaaycatetosbyc,se cumpleque: Congeogebra: a 2 =b 2 +c 2 ActividadconGeogebra: ElTeoremadePitágorasesbastanteútilparaclasificartriángulos. Recuerdalasiguienteclasificacióndetriángulos: a 2 =b 2 +c 2,eltriánguloesrectángulo a 2 <b 2 +c 2,eltriánguloesacutángulo a 2 >b 2 +c 2,eltriánguloesobtusángulo Diseña una actividad con Geogebra que te permita clasificar triángulos utilizandoelteoremadepitágoras. 16

19 Actividadesparaelaula: 1. DibujaconGeogebrauntriángulorectánguloycompletaelsiguientetexto: Los lados del triángulo miden respectivamente, y. Los dos lados más cortos se llaman y el más largo se llama.vemosquesecumpleelteoremade. Laigualdadnuméricaqueseobservaes: elevadoalcuadrado más elevado al, es igual que elevado al. Perotambiénsepuedevercomounarelacióngeométrica.Eláreadel dibujado sobre el lado sumado con el área del dibujadosobreellado mideigualqueel del cuadradodellado. 2. Utiliza una construcción de Geogebra para hallar las longitudes de los lados señaladosconletras: 3. Uncuadradotieneunadiagonaldeunalongitudde16cm. Cuálessuárea? 17

20 Otrosteoremasdeltriángulo: Teoremadelaaltura:Elproductodelosdoscatetos,deuntriángulorectángulo, coincideconelproductodelahipotenusaporlaalturasobreella ConGeogebra: ActividadconGeogebra: HazunaconstrucciónconGeogebraparaprobarelTeoremadelCateto: TeoremadelCateto:Elcuadradodeuncatetoesigualalproductodelahipotenusa porlaproyeccióndelcatetosobrelahipotenusa. 18

21 Actividadesparaelaula: 1. Calculaeláreasombreadaenlafigurasiguiente: 2. AquédistanciadeAestásituadoelpuntoMsisesabequeladistanciaentreE ycesde8cm.,entrecyaesde5cm.yentredycesde2cm.? D B E C A M TeoremadeTales:Unaseriederectasparalelasquecortanadosrectasconcurrentes determinanenunadeellassegmentosproporcionalesaloscorrespondientes determinadosenlaotra.yalrevés,silossegmentossonproporcionales,lasrectas sonparalelas ConGeogebra: 19

22 ÁREAS DE FIGURAS PLANAS ConGeogebrapodemoscalcularáreassimplementeutilizandolaherramientaáreao bienutilizandolacuadrícula.inclusopodemoscalcularáreasdeimágenes. Peronosvamosadedicaraalgomásprofundo,lademostracióndelasrelacionesentre áreasdefigurasatravésdegeogebra. EláreadeunRomboeslamitadqueladelrectánguloenelqueestáinscrito: ActividadesconGeogebra: 1. Compruebaquealsuprimir,enunparalelogramo,eltriángulodelaizquierday ponerloaladerecha,seobtieneunrectángulo.luegopodemosconcluirqueel áreadeunparalelogramocualquiera,coincideconeláreadelrectánguloque seforma 2. Sinembargo,elperímetronoguardarelaciónconelárea.Demuestraquehay muchosparalelogramosconlosmismoslados,portanto,conigualperímetro, perocondistintaárea. 20

23 Eláreadeuntriánguloeslamitaddeladeunparalelogramo: ActividadesconGeogebra: 1. Compruebaqueeláreadeltrapecioeslamismaqueeláreadelparalelogramo debaselasumadelasbasesdeltrapecioydealturalamitad. 2. Calculaeláreadelaspistasdelinstituto. 3. Calculaeláreadelasiguientefigura 21

24 El área de un polígono regular se aproxima al área del círculo en el que está inscrito,amedidaquecreceelnúmerodelados: 22

25 LA CIRCUNFERENCIA Construccióndelacircunferencia: Teorema1:Circunferenciaquepasapordospuntos EllugargeométricodelcentrodelascircunferenciasquepasanpordospuntosAyB eslamediatrizdelsegmentoab. Geométricamente: Teorema2:Circunferenciaquepasaportrespuntos Portrespuntosdelplanonoalineadospasaunaysólounacircunferencia. Corolario: Doscircunferenciasdistintaspuedencortarse,alosumo,endospuntos. ActividadesconGeogebra: Demuestraelteorema2. Quiénesesacircunferencia? (Indicación:trespuntosnoalineadosformanuntriángulo) 23

26 PosiciónrelativaRecta Circunferencia: Larectapuedesertangente.Secortanenunúnicopunto Larectapuedesersecante.Secortanendospuntos. Larectapuedeserexterior.Nosecortanenningúnpunto. ActividadesconGeogebra: ConstruyeenGeogebraunacircunferenciayunarectas.Dibujaunradioypintael segmento t que representa la distancia más corta desde el centro de la circunferenciaalarectas, quéánguloformanlasrectassyt? Muestra la distancia del radio y del segmento que une el centro de la circunferenciaylainterseccióndesyt.muevelarectaydescriberazonadamente larelaciónentreesasdistanciasylaposicióndelarectaylacircunferencia. Apartirdeaquírazonaelteoremasiguiente. Teorema: SeanunarectasyunacircunferenciaC,concentroenOyradior,enelplano.Larecta sestangenteacsiysólosiesperpendicularalradioenelpuntodetangenciaa. 24

27 Posiciónrelativaentredoscircunferencias: Doscircunferenciaspuedenser: Secantes,sisecortanendospuntos. Tangentes,silohacenenunsolopunto.Estatangenciapuedeserinterioroexterior. Concéntricas,sitienenigualcentroperodistintoradio. ActividadesconGeogebra: Construyedoscircunferencias.Dibujasusradiosypintaelsegmentoqueunelos centros d. Muestra la distancia del radio y del segmento que une los centros. Muevelascircunferenciasydescriberazonadamentelarelaciónentrelasdistancias delosradiosyladelsegmentoqueuneloscentros. Teorema: SeandoscircunferenciassecantesenAyB.Entonces,elsegmentoqueunesus vértices,estáenlamediatrizdeab. Corolarios: 1)Endoscircunferenciassecantes,ladistanciaentreloscentrosesmenorquelasuma delosradiosymayorqueladiferenciadelosmismos 2)Endoscircunferenciastangentes,elpuntodetangenciaestáenlalíneaqueunelos centros. ActividadesconGeogebra: JustificarazonadamenteloscorolariosanterioresconGeogebra 25

28 Ángulosenunacircunferencia: Ángulocentraleselquetienesuvérticeenelcentrodelacircunferencia.Losqueno tienenelvérticeenelcentro,sellamanexcéntricos,ypuedenser:interiores, exterioresyperiféricos.dentrodelosperiféricosencontramos: Ánguloinscritoeselquetienesuvérticesobrelacircunferenciaysusladosson doscuerdas. ÁnguloSemiinscritoaquélcuyovérticeestásituadoenlacircunferenciayque tieneporladosunacuerdayunarectatangentealacircunferencia. Teoremas: 1. Lamedidadeunánguloinscritoenunacircunferenciaeslamitaddelarco comprendidoentresuslados 2. Lamedidadeunángulosemiinscritoeslamitaddelángulocentral correspondientealarcocomprendidoentresuslados 3. Lamedidadeunángulointeriordeunacircunferenciaeslasemisumaentreel arcocomprendidoentresusladosyelarcocomprendidoentrelaprolongaciónde ellos 4. Lamedidadelánguloexterioresigualalasemidiferenciaentrelosarcos comprendidosentresuslados 26

29 Teorema:(Ánguloinscritoenunasemicircunferencia) Todoángulocuyovérticeestésituadoenunacircunferenciaycuyosladospasenpor losextremosdeundiámetro,esrecto. ActividadesconGeogebra: SobreunacircunferenciadecentroOsemarcantrespuntoscualesquieraABC. De quétipoeseseángulo? CuántomediráconrespectoalcentralAOC?. SiACesundiámetrodelacircunferencia, CómoeselánguloABC? DadounsegmentoAB,determinaellugargeométricodelospuntosdelplanoP, quecumplenqueelánguloapbesrecto Actividadesparaelaula: 1. Tenemos un triángulo inscrito en una semicircunferenciacomomuestralafigura. Sabiendo que el arco AC 40º halla los siguientes ángulos: CBA, CAB, ACB CBA, CAB, ACB 2. Hallaelvalordelosseisángulosseñaladosenlafigura: 27

30 SeaunsegmentoAB,sedenominaarcocapazdeABparaunánguloallugar geométricodelospuntosdelplanom,talesque AMB ˆ. Casosparticulares. Elarcocapazdeunángulorecto,construidosobreelsegmentoesuna semicircunferenciadediámetroab. EllugargeométricodelvérticeAdeunángulorecto ˆ BAC cuyosladospasanpor dospuntosfijosbyceslacircunferenciadediámetrobc. Untriángulorectánguloesinscriptibleenunasemicircunferenciacuyodiámetro sealahipotenusadeltriángulo,osea,<90º ActividadesconGeogebra: Realizaalgunodeloscasosparticularesanteriores. 28

31 MOVIMIENTOS Y TRANSFORMACIONES EN EL PLANO Traslación: Traslación(sindeslizadores) Traslacióndeunobjeto: Traslacióndeunaimagen: Actividadcongeogebra: Construyeunpentágonoregularytrasládalomedianteelvector u ( 10, 0) Traslación(condeslizadores) Traslacióndeunobjeto(condeslizador): Traslacióndeunaimagen(condeslizador): 29

32 Actividadcongeogebra: Construyeunpolígonode6ladosytrasládalomedianteelvectoru 12, 15utilizando undeslizador. Actividadesparaelaula: Inserta una imagen de un animal. Trasládalo mediante el vector u 10, 15. Experimenta con la figura (arrastrando los vértices del polígono) y describe lo que observas: Compara las dos imágenes: forma, posición, tamaño, orientación,... qué tienenencomúnyquélesdiferencia? Quérelaciónhayentreelvectorylasdosfiguras? 30

33 Simetrías: Simetríacentral Lasimetríacentral,engeometría,esunatransformaciónenlaqueacadapuntosele asociaotropunto,quedebecumplirlassiguientescondiciones: a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) Elpunto,suimagenyelcentrodesimetríapertenecenaunamismarecta. SimetríacentraldelpuntoA. SimetríacentraldeltriánguloABC, respectodelpuntoo. ActividadconGeogebra: Construyeunpolígonoirregularde5ladosytrazasusimétricorespectodeunpunto cualquiera,o. 31

34 Simetríaaxial Lasimetríaaxialeselmovimientoquetransformatodoslospuntosdeunobjetoen otroidéntico,tomandocomoreferenciaunejedesimetría.esdecir,enunasimetría axialacadapuntodeunafiguraseleasociaotropuntollamadoimagen,quecumple conlassiguientescondiciones: a) Ladistanciadeunpuntoysuimagenalejedesimetría,eslamisma. b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría. SimetríaaxialdelpuntoA. Simetríaaxialdeuntriángulo. Enunasimetríaaxialpermaneceninvariantessuspropiedadesgeométricas(ángulos, forma,tamaño,posición,alturas,bisectrices )aunquenoelsentidodelosángulos. ActividadconGeogebra: Deseamosembaldosarunsuelocontriángulosequiláteros.Utilizalassimetríasaxiales paraconseguirlo. 32

35 Composicióndesimetrías Siseaplicalamismasimetríadosveces,seobtieneunaidentidad. Siseaplicandossimetríasrespectodeejesparalelos,seobtieneunatraslación cuyodesplazamientoeseldobledeladistanciaentredichosejes. SiseaplicandossimetríasrespectodeejesquesecortanenO,seobtieneun giroconcentroeno,cuyoánguloeseldobledelqueformandichosejes. Actividadesparaelaula: 1. Dibuja un pentágono de vértices A(2,2), B(2,8), C(10,0), D(4,4) y E(0,2). Construyesuimagensimétricarespectoalpunto(0,0). Cuáleslaimagendel puntoc? Construye su imagen simétrica respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante. CuálesahoralaimagendelpuntoC? 2. Se quiere embaldosar un patio con figuras geométricas planas iguales (triángulos, cuadriláteros, figuras compuestas, ). Intenta construir un patrón quetepermitaembaldosarlosindejarhuecosenblanco. 33

36 Giros: Girosindeslizador UngirodecentroOyánguloesunmovimientoqueacadapuntodelplanoB,lehace corresponderotropuntodelplanob',deformaqueladistanciadeoabeslamisma queladistanciadeoab'yelánguloformadoporlossegmentosobyob'vale.al puntob'sedenominahomólogodeb. ActividadconGeogebra: Construyelas4aspasdeunmolinoutilizandogiros. Girocondeslizador Sepuedeañadirundeslizadorquenospermitagirardeformagradualunafigura. ParaellohayqueañadirenlabarradeentradaRota[polígono,,C] 34

37 ActividadconGeogebra: Construyeunpentágonoregularyhazlogirarconundeslizadorsobresucentro Actividadesparaelaula: 1. Construyeunhexágonoregularyhazlogirarsobresucentroconunángulode giro (entre 0 y 360 grados). Observa su comportamiento y contesta a las siguientespreguntas: a) Encuántasocasiones,yparaquéángulosdegiro,lafiguragiradacoincide conladepartida? b) Setratadeunafiguraconsimetríadegiro, dequéorden? c) Ademásdesimetríadegiro, tienelafigurainicialalgúnejedesimetría? 2. Enmuchosdeloslogotiposdelasmarcasyempresaspodemosencontrarnos conformascreadasaplicandogiros. Podríasencontrarelcentroyángulode girodelossiguienteslogotipos? 35

38 Homotecias: Homotecia SellamahomoteciadecentroOyrazónk(distintodecero)alatransformaciónque hace corresponder a un punto A otro A, alineado con A y O, tal que:oa =koa. Sik>0sellamahomoteciadirectaysik<0sellamahomoteciainversa. ActividadconGeogebra: ConstruyeelpentágonodevérticesA(1,2),B(3,2),C(3,3),D(2,4)yE(1,3).Aplícaleuna homoteciacuyofactordeescalasea2ycentrodehomoteciaelpuntof(1,0) Homoteciacondeslizador Podemosutilizarundeslizadorquenoscambielefactordeescala: 36

39 Actividadesparaelaula: 1. ConstruyeenGeogebrauncuadriláterocomoelsiguiente: a) Aplícaleunahomoteciaderazón2ycentrocualquierpuntoqueelijas. b) CuáleslarazónentreOA yoa? c) Quérelaciónexisteentrelamedidadelosladosdeambospolígonos? d) Cómosonlosángulosdelasdosfiguras? e) Quérelaciónexisteentrelosperímetrosdeambasfiguras? f) Quérelaciónexisteentrelasáreasdeambasfiguras? 37

40 FRISOS Y MOSAICOS Frisos: DadaunaregiónR,sellamaCUBRIMIENTODELAREGIÓNRaunconjuntodefiguras geométricasquesepuedencolocardetalmaneraquetodopuntodelaregiónr perteneceaunaysólounadedichasfiguras. FormasdeConstruirFrisos Losfrisossoncubrimientosderegionesdelongitudinfinitaperodeanchurafinita.Por ellolasúnicasisometríasquepuedenformarpartedeellosson: lastraslacionesdevectorparaleloalosbordesdelaregión. losgirosde180ºcuyocentroequidistadelosbordesdelaregión. lassimetríascuyoejeeslarectaqueequidistadelosbordesdelaregiónoes perpendicularadicharecta. lassimetríasendeslizamientocuyoejeeslarectaqueequidistadelosbordes delaregión. ActividadesconGeogebra: Existen siete formas de construir un friso con los movimientos que hemos comentado,dibujauntriángulocongeogebrayrealizalosotros5tiposdefrisos. Creaundeslizadorparaqueaparezcanlasfigurasenelejercicioanterior. Actividadesparaelaula: 1. EnlasiguientecenefaquepuedesencontrarenlaAlhambrabuscacualeselpatrón mínimoderepetición,márcaloydiquemovimientosaplicas. 38

41 MosaicosRegularesySemiregulares: Sellamamosaicoatodocubrimientodelplanomediantepiezasllamadasteselasque nopuedensuperponerse,nipuedendejarhuecossinrecubrir. Portantolosángulosqueconcurrenenunvérticedebendesumar360grados. Hay3tipos: Regulares Semiregulares Otros Enlosmosaicosregularesseutilizacomomotivomínimounúnicopolígonoregular. Sóloesposibleconstruir3mosaicosutilizandocomoteselaunpolígonoregular. ActividadesconGeogebra: Aquítenemosdosdelasformasdecubrirelplanoconpolígonosregulares: ActividadesconGeogebra: Construyeelcubrimientodelplanoconelhexágono. Actividadesparaelaula: 1. Paracubrirelsuelodelaclaseconlasmismaslosasconformadepolígonoregular, sólopodemosusarlosasdetresformasdistintas. Quépolígonospodránserestas losas? Porquénopodemosusarotrospolígonosregulares? 39

42 Enlosmosaicossemiregulares,elmotivomínimoson2omáspolígonosregulares diferentes,siemprequesusladoscoincidan.lacondiciónaverificaresquelos ángulosqueconfluyanencadavérticesumen360º. Solamenteexisten8mosaicosconestascaracterísticas. Estosmosaicossemiregularessonlossiguientes: Estaseríaunadelasformasdecubrirelplanoconestosmosaicos: ActividadesconGeogebra: Construye uno de los anteriores cubrimientos del plano con mosaicos semi regulares. Actividadesparaelaula: 1. Hazunmosaicosemiregularaescalaparacubrirelsuelodeunahabitaciónde5x8 metros 40

43 MosaicosenlaAlhambra: Pezvolador ActividadconGeogebra: Crealatesela pezvolador conayudadegeogebra 41

44 Hueso Sepuedeañadirundeslizadorquenospermitagirardeformagradualunafigura. ActividadconGeogebra: Construyelatesela hueso conayudadegeogebra ActividadconGeogebra Construyeunaviónnazaríyunmosaicollenodeestasteselas. Esinteresantecreardeslizadoresparacrearlaconstruccióndeformagradual 42

45 MosaicosdeEscher(Ampliación): EnloscuadrosygrabadosdeEscher,unadelascaracterísticasmásrelevantesesla utilizacióndelaparticiónperiódicadelplano.consisteenrecubrirelplanoconla mismapieza,queserepitedeformaconstante,sindejarhuecos. ConstrucciónReptilesdeEscher(conplantilla) El objetivo es encontrar la estructura de una pieza que tras una sucesión de movimientosgeométricosrelleneporcompletoelplano. ActividadconGeogebra: CrealateseladelamariposadeEscherconayudadeunaplantilla. ActividadconGeogebra: Construyelaanteriorconstrucciónsinelusodelaplantilla,sepuedeusardeguíala imagensiguiente 43

46 AplicacióndelacreacióndeHerramientas. ActividadesconGeogebra: Resultamuyútilenlaconstruccióndemosaicoscontarconunaherramientaque construyasegmentoscirculares,creadichaherramienta. Aplicaestaherramientaparalaconstruccióndecualquieradelosdosmosaicosque podemosencontrarenlaalhambra 44

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