Las Ecuaciones de Lorenz

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1 Las Ecuaciones de Lorenz Pablo Aguirre Analysis & Mathematical Modeling Valparaíso Departamento de Matemática Universidad Técnica Federico Santa María, Chile

2 Las Ecuaciones de Lorenz ẋ = σ(y x) ẏ = ρx y xz, ż = xy βz. Edward Lorenz (1963): Modelo simplificado de convección de fluido en una capa bidimensional calentada desde debajo (aire en la atmósfera). Soluciones oscilan en forma irregular, sin repetirse nunca (aperiódicas), pero siempre permaneciendo en una región acotada del espacio de fase, convergiendo hacia un conjunto complicado: un atractor extraño. El atractor extraño no es un punto de equilibrio, ni una órbita periódica, ni siquiera una superficie. Es un fractal. Cómo llegó Lorenz a esa conclusión? [E. Lorenz, J. Atmosph. Sci. 20 (1963).]

3 Propiedades de las ecuaciones de Lorenz ẋ = σ(y x) ẏ = ρx y xz, ż = xy βz. Equilibrios: Origen 0, p ± = (± β(ρ 1), ± β(ρ 1), ρ 1). Consideramos β = 8/3 y σ = 10 fijos. ρ > 0 (Número de Rayleigh): Parámetro de bifurcación. Simetría: Al reemplazar (x, y) ( x, y), las ecuaciones no cambian: Si (x(t), y(t), z(t)) es una solución, también lo es ( x(t), y(t), z(t)). Todas las soluciones son, o bien, simétricas o poseen una contraparte simétrica. [E. Lorenz, J. Atmosph. Sci. 20 (1963).]

4 Contracción de Volumen El sistema es disipativo: los volúmenes en el espacio de fase se contraen bajo el flujo. Sea S(t) una superficie cerrada que encierra un volumen V (t) en el espacio de fase. Por ejemplo, S(t) podría estar formada de condiciones iniciales para trayectorias. Después de un tiempo dt, S evoluciona a una nueva superficie S(t + dt). Cuál es el volumen V (t + dt)?

5 Contracción de Volumen (cont.) Sea n el vector normal unitario a S y denotemos como f al campo de vectores. f es la velocidad instantánea de los puntos. f n es la componente de la velocidad perpendicular a S. En un tiempo dt, un área da barre un volumen f n dt da. Luego, Entonces V (t + dt) = V (t) + f n dt da. S V V (t + dt) V (t) = = f n da = f dv. dt S V

6 Contracción de Volumen (cont.) Para el sistema de Lorenz: f = [σ(y x)] + x y [ρx y xz] + [xy βz] = σ 1 β < 0. z Luego obtenemos la EDO V = (σ β)v < 0, con solución V (t) = V (0)e (σ+1+β)t. Por lo tanto, volúmenes en el espacio de fase se achican exponencialmente rápido. Trayectorias convergen a un conjunto ĺımite de volumen cero.

7 Consecuencias 1.- No hay soluciones cuasiperiódicas: Si las hubiera, dicha órbita tendría que estar sobre la superficie de un toro, fluyendo indefinidamente sin llegar a cerrarse. Luego, el toro sería invariante bajo el flujo. Entonces, el volumen dentro del toro sería constante en el tiempo, lo cual contradice la propiedad de contracción de volumen. 2.- No existen puntos de equilibrio repulsores ni ciclos inestables: Supongamos que encerramos un objeto repulsor con una superficie cerrada de condiciones iniciales (ej, una esfera alrededor del punto de equilibrio o un tubo delgado alrededor de una órbita periódica). Después de un lapso de tiempo, la superficie se habrá expandido pues las correspondientes trayectorias son repelidas. Luego, el volumen dentro de la superficie se incrementaría. Esto es claramente una contradicción.

8 Estabilidad local de puntos de equilibrio El origen 0 = (0, 0, 0) es equilibrio para todos los valores de parámetros. Para ρ < 1: 0 es un nodo atractor. De hecho, es globalmente asintóticamente estable. Para ρ = 1: 0 pasa por una bifurcación pitchfork. Para ρ > 1: 0 es una silla. p ± = (± β(ρ 1), ± β(ρ 1), ρ 1) existen para ρ > 1. Para 1 < ρ < ρ H : p ± son atractores. Para ρ = ρ H : p ± pasan por una bifurcación de Hopf subcrítica (c/u). Para ρ > ρ H : p ± son silla-focos.

9 Dinámica Global (a) W ss (p ) W u (0) p p + E s (0) W ss (p + ) (b) p p+ W ss (p + ) W ss (p ) W u (0) E s (0) (c) Γ Γ + p p + W ss (p + ) W ss (p ) W u (0) E s (0) (a) Para 1 < ρ < ρhom < ρ H : 0 es silla, p ± son atractores. (b) Para ρ = ρhom < ρ H : Se forman 2 órbitas homocĺınicas que se conectan a 0. (c) Para ρhom < ρ < ρ H : 2 órbitas Γ ± de tipo silla. Las ramas de W u (0) se intercambian de ω-ĺımite para ρ = ρhom. [PA, Doedel, Krauskopf & Osinga, Discrete and Continuous Dynamical Systems-A 29 (2011).]

10 Aparición de Preturbulencia (a) ρ hom < ρ < ρ het : Saddle (symmetric) periodic orbits. W u (0) converges to p ±. (b) ρ = ρ het : Heteroclinic bifurcation. W u (0) converges to Γ ±. (c) ρ > ρ het : Preturbulencia. Conjunto invariante extraño (no-atractor). [Doedel, Krauskopf & Osinga, Nonlinearity 19 (2006)]

11 Caos Transiente (ρ het < ρ < ρ A ) Una trayectoria pre-turbulenta típica deambula erráticamente por un largo tiempo T (ρ) al visitar al conjunto invariante caótico. Finalmente la órbita converge a alguno de los puntos atractores p ±. El conjunto invariante extraño consiste en un número infinito (numerable) de órbitas periódicas, un número infinito (no-numerable) de órbitas aperiódicas, y un número infinito (no-numerable) de órbitas que convergen a 0. Todas estas órbitas son (individualmente) no-estables. A medida que ρ se incrementa, el tiempo T (ρ) que le toma a una órbita en escapar del comportamiento caótico transiente también aumenta. En promedio de todas las órbitas que visitan al conjunto invariante extraño, T (ρ), cuando ρ ρ A [C. Sparrow, The Lorenz Equations, Springer, 1982.]

12 Aparición del Atractor Caótico (ρ = ρ A ) ρ = ρa : El conjunto invariante extraño se convierte en un atractor extraño. Después de un transiente inicial, las órbitas que convergen al atractor extraño se asientan en una oscilación irregular que persiste para t, pero nunca se repite exactamente: Movimiento aperiódico. Todavía hay órbitas que convergen a p ± (atractores). A medida que ρ se incrementa, el sistema pasa por una secuencia de explosiones homocĺınicas que generan nuevos conjuntos invariantes extraños. [C. Sparrow, The Lorenz Equations, Springer, 1982.]

13 En Resumen: Ruta al Caos ρ = ρhom : Primera explosión homocĺınica. ρhom < ρ < ρ A : 2 órbitas Γ ± de tipo silla. dimw s (Γ ± ) = 2, dimw u (Γ ± ) = 2. 0 es silla, p ± son atractores. + Caos transiente. ρ = ρa 24.06: Aparición de atractor extraño. Para ρ > ρh 24.74: Γ ± desaparecen. 0 es silla, p ± son silla-foco. dimw s (p ± ) = 1, dimw u (p ± ) = 2. El único conjunto atractor que queda es el Atractor de Lorenz.

14 Deducción de esta Ruta al Caos Aplicación de retorno de Poincaré en el plano z = ρ 1. Reducciones adicionales a mapeos unidimensionales. La variedad inestable W u (0) emerge como la frontera del atractor de Lorenz A.

15 Propiedades del Atractor de Lorenz (ρ > ρ H ) Órbitas convergen al atractor extraño A. No hay otros conjuntos atractores. Pero sí hay un número infinito de objetos de tipo silla: Trayectorias son repelidas desde un objeto inestable a otro. Sistema es disipativo: Trayectorias están confinadas (en el largo plazo) a un conjunto acotado de volumen cero. Sin embargo, permanecen para siempre en este conjunto sin autointersectarse ni intersectar a otras órbitas. Comportamiento aperiódico: Las órbitas recorren todo el atractor como si se esparcieran eternamente por toda la mariposa de Lorenz (mezcla topológica). Dependencia sensitiva a las condiciones iniciales: Soluciones cercanas se separan exponencialmente rápido. Predicción en el largo plazo: casi imposible!

16 El Atractor de Lorenz es caótico Decimos que el atractor de Lorenz A no sólo es un conjunto compacto e invariante, sino que también es caótico, pues presenta las características básicas de tal comportamiento, a saber, Dependencia sensitiva a las condiciones iniciales. Mezcla topológica (transitividad topológica). Por la invarianza y compacidad de A, lo anterior también implica que Las órbitas periódicas contenidas en A son densas en A.

17 Estructura Geométrica del Atractor de Lorenz Cada órbita da un número finito de vueltas alrededor de una rama, y luego cambia a la otra rama. Y repite de nuevo... infinitas veces (Comportamiento Aperiódico/Mezcla) El número de circuitos hechos en cada lado tiene características de una variable aleatoria. Soluciones se mueven en una superficie ramificada S. S W u (0). Las ramas de S parecen fusionarse en la parte baja del atractor. Esto contradice la unicidad de soluciones: Trayectorias no se pueden cruzar ni fusionarse!

18 Superficie Ramificada de A Dada una semiórbita positiva arbitraria en S, ésta eventualmente debe llegar al intervalo de ramificación [ a, a]. En ese momento, la órbita escoge a cuál rama irá a continuación. Además, esta solución se mueve (caóticamente) desde una rama a otra a medida que viaja por el atractor sin intersectarse con otras ni consigo misma (por la propiedad de unicidad de soluciones). Sin embargo, este comportamiento también es el mismo para toda otra trayectoria en A. Por lo tanto, la superficie S debe estar formada por un número infinito no-numerable de capas o láminas. Lorenz: Un complejo infinito de superficies. Por lo tango, el atractor de Lorenz A es un conjunto de puntos con volumen cero pero área infinita: Fractal (estructura tipo Cantor de superficies que se acumulan en sí mismas).

19 Investigación en Desarrollo Consecuencias de (múltiples) bifurcaciones globales para variedades invariantes. Organización de comportamiento caótico explicado por W s (0) (variedad de Lorenz). Conjuntos caóticos son separados por W s (0) y otras variedades bidimensionales presentes. Multimedia: ftp://ftp.aip.org/epaps/chaos/e-chaoeh /lorenz/index.html La variedad crece y se enrolla dentro del atractor de Lorenz La variedad crece y se forma una hélice alrededor del eje z (Krauskopf and Osinga, Two-dimensional global manifolds of vector fields, Chaos 9 (1999), pp ) Otros: Lorenz map, Atractores geométricos tipo Lorenz, etc.

20 Problemas para las Ecuaciones de Lorenz 1. Considerando la función de Lyapounov V (x, y, z) = 1 σ x2 + y 2 + z 2, demuestre que el origen (x, y, z) = (0, 0, 0) es un equilibrio globalmente estable si ρ < Verifique que el origen sufre una bifurcación pitchfork en ρ = Si ρ > 1, demuestre que el origen es una silla hiperbólica. 4. Demuestre que la ecuación característica para los valores propios de p ± es λ 3 + (σ + β + 1)λ 2 + (ρ + σ)βλ + 2βσ(ρ 1) = Busque valores propios de p ± de la forma ( λ = ±iω, ) donde ω 0, y demuestre que ocurre una bifurcación de Hopf cuando ρ = ρ H = σ σ+β+3. Encuentre también el tercer valor propio de los σ β 1 equilibrios p ±. 6. (Horizonte de tiempo) Para ilustrar el horizonte de tiempo después del cual predecir se vuelve imposible (sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales), integre numéricamente (use un computador) las ecuaciones de Lorenz para ρ = 28, σ = 10 y β = 8/3. Comience dos trayectorias desde condiciones iniciales cercanas, y grafique x(t) vs t para ambas en el mismo gráfico. 7. (Experimentos numéricos) Para cada uno de los valores de ρ dados abajo, use un computador para explorar la dinámica del sistema de Lorenz, asumiendo σ = 10 y β = 8/3. En cada caso, grafique x(t) vs t, y(t) vs t, y x vs z. Investigue las consecuencias de escoger condiciones iniciales distintas y diferentes tiempos de integración. Además, en algunos casos, podría ser conveniente ignorar el comportamiento transiente, y graficar sólo el comportamiento sostenido en el largo plazo. (a) ρ = 10. (b) ρ = 22 (caos transiente), (c) ρ = 24.5 (coexistencia de caos y equilibrios estables), (d) ρ = 100 (sorpresa), (e) ρ = , (f) ρ = 400.

21 Bibliografía E. Lorenz, Deterministic non-periodic flows, J. Atmos. Sci. 20, pp C. Sparrow, The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors, Springer, S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview, J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Springer, Publicaciones sobre las ecuaciones de Lorenz: hinke/crochet/scientific.html

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