Análisis de Señales y Sistemas Digitales. Concepto Algoritmo Implementación

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1 Aálisis de Señales y Sistemas Digitales FFT Cocepto Algoritmo Implemetació 2010

2 FFT Trasformada Rápida de Fourier Cocepto La trasformada rápida de fourier (FFT) es u algoritmo que permite él cálculo eficiete de la trasformada discreta de Fourier (DFT). Habíamos visto que la DFT de ua secuecia de muestras estaba dada por: X ( ) = 1 k= 0 x( k) e 2πk j Co el objeto de simplificar la otació podemos poer a la expresió previa como: 1 = k X ( ) x( k) dode k = 0 = e 2π j El factor es coocido co el ombre de twiddle factor y tiee las siguietes propiedades: Periodicidad k ( + ) k = Simetría k ( + / 2) k = FIG. 1: Propiedades de simetría y periodicidad de para = Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 1

3 Las propiedades del factor se puede aprovechar para reducir el úmero de cálculos e la DFT. Para poer e evidecia esto último comezaremos por dividir la DFT de muestras e dos partes, de maera que ua de ellas cotega las muestras pares mietras que la otra las impares. X ( ) = / 2 1 m= 0 x(2m) (2m) + / 2 1 m= 0 x(2m + 1) (2m+ 1) Como 2π 2m 2π m j j 2m / 2 m = e = e = / 2 Resulta que: X ( ) = / 2 1 m= 0 x(2m) / 2 1 m / 2 + x(2m + 1) m= 0 m / 2 X ( ) = Y ( ) + Z( ) = E la expresió previa esta implícita la periodicidad de X(), Y() y Z(). Obsérvese que Y() y Z() so dos DFT de /2 muestras cada ua de maera que mietras X() tiee período, Y() y Z() tiee período /2. Si bie e la expresió previa X() puede ser evaluada e el rago 0 a, podemos reducir el úmero de operacioes si usamos las propiedades de periodicidad y simetría del factor y evaluamos X() de la siguiete forma: Primera mitad del espectro: 0 /2 Seguda mitad del espectro: /2 1 Para evaluar la seguda mitad hacemos: X ( ) = X ( + / 2) = / = 0... / 2 1 Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 2

4 Es decir que: ( + / 2) X ( + / 2) = Y ( + / 2) + Z ( + / 2) ( + / 2) X ( + / 2) = Y ( ) + Z( ) = 0... / 2 1 Así el espectro total se calcula co las siguietes expresioes: X ( ) = Y ( ) + Z ( ) X ( + / 2) = Y ( ) + ( + / 2) Z( ) Evaluado ambas e el rago 0 a (/2) obteemos el siguiete diagrama de flujo: x(2) x(0) x(2) x(4) DFT /2 Y(0) Y(1) Y(2) 1 x(-2) Y(/2) (/2) X(/2) x(2+1) x(1) x(3) x(5) DFT /2 Z(0) Z(2) Z(2) /2 (/2+1) (/2+2) X(/2) X(/2+1) X(/2+2) x() Z(/2) () X() FIG 2: Descomposició de la DFT Haciedo uso de las propiedades de simetría la expresió de la seguda mitad del espectro queda: X ( + / 2) = Y ( ) Z( ) Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 3

5 Por lo tato las siguietes ecuacioes os permite calcular el espectro total X ( ) = Y ( ) + Z ( ) X ( + / 2) = Y ( ) Z( ) Podemos represetar estas ecuacioes mediate u diagrama de flujo de señal: 1 Y() X() 1 Z() - FIG 3 X(+/2) Este diagrama de flujo se cooce co el ombre de ButterFly o Mariposa y represeta el úcleo o kerel del algoritmo de la FFT. Podemos recoocer estos úcleos e el diagrama de la figura 2 e dode podemos ver que el úmero de multiplicacioes por cada mariposa es 2 mietras que e el la figura 3 es 1. Por lo tato si reemplazamos cada ua de las mariposas de la figura 2 por la de la figura 3, el úmero total de multiplicacioes será /2. El proceso de divisió e muestras pares e impares puede ser repetido para cada ua de las DFT de /2 muestras hasta llegar a ua DFT de 2 muestras o mariposa. El método cosiste e dividir sucesivamete las muestras temporales (Decimatio i Time) e dos grupos iguales y requiere que el úmero total de muestras sea potecia de dos, es decir: γ = 2 dode γ El úmero total de veces que se realiza la divisió será: γ = log 2 Por lo tato el úmero total de multiplicacioes será: = γ = 2 log 2 mult _ FFT 2 Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 4

6 Mietras que para la DFT el úmero total de multiplicacioes era: mult _ DFT = 2 Por lo tato el ahorro e la catidad de operacioes e ambos algoritmos estará dado por el cociete: mult _ FFT mult _ DFT = 2 log 2 Por ejemplo para = 1024 esta relació da 204,8!!!!!! 250 Comparacio temporal etre DFT / FTT 200 Tiempo de DFT / Tiempo de FFT FIG 4 Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 5

7 Algoritmo La primera descomposició de la DFT de muestras e dos DFT de /2 muestras cada ua, costituye la primer etapa del proceso. La seguda etapa cosistirá e la descomposició de las dos DFT de /2 muestras e cuatro de /4 muestras cada ua. Así cotiuamos hasta la etapa e que todas las DFT tega 2 muestras, es decir ua mariposa cada ua. Las etapas se umera de derecha a izquierda mediate el ídice l ( es decir l = 1,2,.γ). El úmero total de etapas será: γ El úmero total de DFT ( o grupos de mariposas) por etapa será: 2 l La distacia etre grupos cosecutivos es: /2 l. Dado que cada grupo tiee la mitad de muestras que los de la etapa previa, los factores aparecerá e la siguiete secuecia: dode / 2, / 2, / 4, / 8... = j 2π 2π j 2 l 1 l 1 / 2 l 1 e = e = A su vez cada vez que os corremos /2 l muestras (distacia etre dos grupos cosecutivos) detro de la etapa l el expoete del factor se vuelve a repetir. E efecto: 2 l 1 ( + / 2 l 1 )2 l 1 = ( 2 l 1 + ) = 2 l 1 = 2 l 1 Dicho de otra maera, al pasar de u grupo al siguiete detro de ua etapa dada, los expoetes del factor se repite. Por lo tato sólo ecesitamos evaluar los factores del primer grupo para = 0.. /2 l 1 y repetir los restates. El proceso completo de descomposició de la DFT para = 8 puede verse e la figura 5. Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 6

8 x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) x(5) x(6) x(7) x(0) x(2) x(4) x(6) x(1) x(3) x(5) x(7) /2 / x(0) x(2) x(4) x(6) /4 / x(1) x(3) x(5) x(7) /4 / FIG 5 Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 7

9 FIG 5 (Cot.) xxx xx0 xx1 x00 x10 x01 x FIG 6 E la ultima etapa de la descomposició se observa que las etradas o está e orde secuecial si o e u orde aparetemete arbitrario. Se puede justificar este hecho co la ayuda de la figura 6. Cada vez que se efectúa la descomposició e dos DFT, se divide las muestras e pares e impares de maera que tedremos ua DFT de muestras pares y otras de impares. Para cotiuar co el proceso de descomposició debemos reumerar las muestras que perteece a cada DFT. Por ejemplo las muestras pares (0,2,4,6) ahora será (0,1,2,3) mietras que las impares (1,3,5,7) será (0,1,2,3). Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 8

10 El proceso de reumerar es equivalete a dividir los ídices por 2. Al dividir por 2 se pierde la iformació de cual era la muestra origial. El árbol biario de la figura 6 os sirve para determiar cual es el orige y destio de las muestras (algo así como u árbol geealógico). La iterpretació del árbol es la siguiete: Se escribe el ídice e biario (XXX), luego se ubica los ídices pares (bit meos sigificativo e 0) e la rama superior, y los impares (bit meos sigificativo e 1) e la rama iferior, se reumera y se repite el proceso. Co el objeto de o perder el orige de la muestra se va dejado aotados los bits meos sigificativos ates de reumerar. Para coocer el destio de las muestras se usa el mismo árbol (que represeta el proceso de descomposició) dode las últimas ramas estará e orde secuecial comezado por arriba. Por ejemplo, la muestra origial 001 (1) realizó el siguiete recorrido: [I P P] (I = impar rama iferior, P = Para rama superior) es decir que ahora ocupa la posició 100 (4). Como puede apreciarse, la posició fial de la muestra origial se obtiee ivirtiedo el orde de los dígitos biarios. Este proceso es coocido como iversió de bits o bits reverse. Formalmete: Sea y 0 2 γ tiee γ dígitos = (b γ, b γ-2,.., b 1, b 0 ) Si expresamos e biario: = BR γ 1 ( ) = i= 0 2 i γ i 1 BR() = (b 0, b 1,.., b γ-2, b γ ) b γ 1 b i i 0 i = 2 dode b {0,1 } i Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 9

11 Ejemplos: BR() FIG 7 Salidas Ordeadas Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 10

12 FIG 8 Etradas Ordeadas Cuado se realiza la FFT e tiempo real, las muestras de etrada proviee del muestreo de ua señal aalógica, e igresa secuecialmete e la memoria del procesador de señales. Es por eso que coviee teer las muestras de etrada e orde secuecial y o ivertidas (bit reversed). Ua forma de lograr este objetivo es poer las etradas del diagrama de flujo de la figura 7 e orde secuecial, para lo cual debemos itercambiar todos los odos de la etrada 4 co la 1 y de la 6 co la 3 mateiedo las relacioes existetes co los demás odos del diagrama. El resultado de esta trasformació se puede ver e la figura 8, e la cual se observa los siguietes cambios: 1. Las salidas quedaro ivertidas (bit reversed) 2. El umero de grupos por etapa se duplica cuado os movemos desde la etrada a la salida. Dado que los cálculos comieza e la etrada vamos a umerar las etapas de cálculo comezado por la etrada, es decir que l se icremeta de izquierda a derecha. Los odos de cada etapa del diagrama de flujo los seguiremos umerado igual que ates, es decir comezado por la parte superior del diagrama. Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 11

13 Habíamos visto que los factores se calculaba usado la expresió: 2 l 1 Dado que las relacioes etre los odos del diagrama y la umeració de los mismos cotiúa siedo las mismas, el uevo valor de será BR(). A su vez como l se umera de izquierda a derecha, por lo tato la ueva expresió de los factores será: BR ( )2 ( γ l ) Dado el odo de la etapa l, el valor del expoete se calcula de la siguiete forma: 1. Se expresa e biario (γ bits). 2. Se ivierte los bits del mismo. 3. Se desplaza γ - l bits hacia la izquierda completado co ceros por la derecha. Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 12

14 A) B) γ = 3 l = 1 γ l = BR() << γ = 3 l = 2 γ l = BR() << C) γ = 3 l = 3 γ l = BR() << E el diagrama de la figura 8 esta implícita la propiedad de simetría del factor. La aplicació de dicha propiedad puede verse e la figura 9. Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 13

15 1 3 FIG 9 E dicha figura se puede hacer las siguietes observacioes: El úmero de grupos se duplica al pasar de ua etapa a la próxima. La catidad de mariposas por grupo se reduce a la mitad al pasar de ua etapa a la próxima. Las mariposas de cada grupo está afectadas por el mismo factor. Por ejemplo las cuatro mariposas del primer grupo de la primera etapa está afectadas por, las dos mariposas del primer grupo de la seguda etapa por, las dos mariposas del segudo grupo de la seguda etapa por, etc. E el siguiete cuadro se preseta todos los expoetes para = 8. Etapa( l ) Grupo(g) Expoete Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 14

16 E la tabla aterior se observa que cada vez que se pasa de ua etapa a otra los valores de los expoetes de los grupos de la etapa previa se vuelve a repetir e la misma secuecia a los que se agrega uevos valores. Dicha secuecia es la misma que tiee los factores de los grupos de la ultima etapa. Esta secuecia esta dada por: BR[ 2( g 1)] dode l 1 g = y l = 1... γ La razó por la cual aparece g e lugar de es que las potecias del factor se repite para todas las mariposas (o valores de ) perteecietes a u grupo dado. Es por esta razó que sólo se ecesita los /2 primeros valores de para realizar el cálculo de todas las etapas. Implemetació De lo expuesto ateriormete surge las pautas básicas para el desarrollo de u programa. El cálculo total se realizará e γ etapas, dode cada etapa comprede el cálculo de 2 l grupos y a su vez cada uo de éstos últimos de /2 l mariposas. Por lo tato se requiere 3 cotadores y cada uo de ellos determiará u loop. Los valores iiciales de esos cotadores será: E = γ G = 1 M = /2 Como se mecioó ates de cada vez que se pasa de ua etapa a la siguiete G se duplica mietras M se reduce a la mitad. Para calcular todas las mariposas perteecietes a u grupo sólo se ecesita u úico valor de. Cuado se realiza la FFT e tiempo real se puede acelerar el tiempo de cálculo si se calcula previamete las primeras /2 potecias del factor y se almacea e ua tabla de memoria. Al iiciar ua ueva etapa el programa comezará a leer desde le pricipio de ésta tabla recorriedo la misma e orde BR[2(g)] dode g es el úmero de grupo de la etapa e cálculo. Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 15

17 El cálculo de todas las mariposas perteecietes a ua etapa se almacea e u vector de elemetos. Si se observa la Fig.9, cada par de odos de salida que perteece a ua mariposa dada (llamados odos duales) está separados /2 l posicioes. Estos odos depede úicamete de los odos que se ecuetre la misma posició () e la etapa previa, por lo tato ua vez calculada la mariposa, el resultado se puede almacear e la posició ocupada por estos últimos (odos de etrada). Por ejemplo, para calcular la primera mariposa de la etapa 1 (odos 0 y 4) sólo ecesitamos los valores de las muestras x(0) y x(4), ua vez realizado el cálculo podemos almacear los resultados e x(0) y x(4) dado que los valores origiales ya o se usará mas. Es decir que úicamete se ecesita u solo vector de posicioes de memoria para almacear los resultados de cada etapa, aprovechado así la memoria del procesador. Esta propiedad es coocida co el ombre i place computatio. Si se desea las salidas ordeadas, lo que hay que hacer es almacear los resultados del cálculo de la última etapa e el orde BR() e lugar de hacerlo e orde secuecial. Referecia: THE FAST FOURIER TRASFORM AD ITS APPLICATIOS E. Ora Brigham - Eglewood Cliffs, J, Pretice Hall Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 16

18 Ejemplo de código de FFT e MATLAB: %FFT3LOOP fuctio X=fft3loop(x) =legth(x); GA=log10()/log10(2); % Geeracio de "twiddle factors" =exp(-j*2*pi*(0:(/2))/); % GA: gamma = log2() = umero de etapas % gr: umero de grupos por etapa % mar: umero de mariposas por grupo % Iicializacio de mar y gr mar=/2; gr=1; for l=1:ga for g=1:gr for m=1:mar A= x(m+2*mar*(g-l)); B= x(m+2*mar*(g-l)+/(2^l)); C= (bitrev(2*(g-l),ga)+1); T=B*C; ed ed x(m+2*mar*(g-l))=a+t; x(m+2*mar*(g-l)+/(2^l))=a-t; ed % Actualizacio de mar y gr mar=mar/2; gr=gr*2; % BITREVERSE => Ordeamos las salidas for k=1:; g=bitrev(k,ga); I=g+1; if (I>k) % o itercambiar por seguda vez T3=x(k); % Swap x(k)=x(i); x(i)=t3; ed ed Aálisis de Señales y Sistemas Digitales Págia 17

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