Ejercicios Resueltos de Clasificación de Funciones

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1 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Ejercicios Resueltos de Clasificació de Fucioes.. Determie si f ( ) perteece a la clase idicada para g ( ) a) f g f g lg lg( ) ( ) = ; ( ) = ( ) ; ( ) Θ ( ( )) Solució usado simplificació de fucioes Cosidere que lg = log lg f( ) = Sea lg( ) g ( ) = ( ) Simplificado g ( ) + g ( ) = ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( )( ) lg( ) lg lg lg lg = = = lg lg lg lg lg lg lg lg f( ) lim = lim = lim = 0 lg g ( ) ( )( ) Se sigue que f Ω ( g ( )), es decir Θ( ) log lg( ) O( ) log lg( ) Solució usado la regla de L Hôpital lg d ( ) lg d dlg lg lg lge f '( ) = = lg ( ) + lg ( l ) = lg ( ) + l d d d lg ( ) lg lg lg lg e f '( ) = + lg e lg ( ) lg f '( ) == lg d(( ) lg d lg g' ( ) = = lg( )( ) + ( ) l d d lg lg( )( ) lg lge g' ( ) = + ( ) l lg lg( )( ) lg lg lg e g' ( ) = + ( ) lg e lg( )( ) + ( ) lg( ) lg( )( ) = = lg lg lg

2 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos lg lg f '( ) lg ( ) lg ( ) = = g'( ) lg( )( ) lg lg ) ( ) [ + ] lg lg + lg lg lg lg ( ) lg ( ) = = lg ) ( )( ) lg ) ( )( ) [ + ] [ + ] lg lg lg lg ( ) lg lg lg lg ) ( )( ) ( ) lg ) ( ) = = [ + ] [ + ] La regla de L'Hôpital se aplica uevamete dado que: f '( ) lg lim = lim = g'( ) + lg ) ( ) [ ] lg e f ''( ) d lg lg e = g''( ) d [ lg ) ]( ) = = lg + e lg (+ lge+ lg ) f ''( ) lg e lg e lim = lim = = 0 g''( ) ( + lg e+ lg ) f ( ) Θ( g( )) f ( ) O( g( )) #: f() ^LOG(, ) #: g() ()^LOG(, ) #: f()/g() #4: LIM(f()/g(),,, 0) #5: 0 b) f = g = f O g 000 ( ) 000 ; ( ) ; ( ) ( ( )) Sea f ( ) = 000 g ( ) = f( ) lim = lim = lim = 0 g ( ) 000

3 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Se sigue que f Og ( ( )), es decir 000 O 000 #: f() 000^ #: g() /000^ #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0 c) f ( ) = ; g( ) = log ; f( ) O( g( )) y g( ) O( f( )) Sea f ( ) = g ( ) = log f( ) ( ) ( ) ( ) lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim g ( ) log = lim = lim = = Ya que Ω (log ) Se sigue que O(log ) Aplicado la propiedad de simetría traspuesta se sigue que: log O( )

4 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() #: g() LOG() #: LIM(f()/g(),,, 0) #4:.. Cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas? Demuestre sus respuestas e los icisos g al j. a) O(log 5) = O(log ) V. b) O(log ) = O(log 5) V. c) O(log 8 ) = O(log ) V. d) O(log ) = O(log ) V. e) O(log 0.5 ) = O(lg ) V. f) log log0 O( ) = O( ) F. g) = O( ) V. h) =Ω ( ) F. i) + =Θ ( ) V. j)! =Θ (( + )!) F. DEMOSTRACIONES. a) y b) f ( ) = log 5 g( ) = log log lim log 5 = log5e loge f ( ) = g ( ) = log e 5 f ( ) log5 e lim = lim = = c g ( ) log e log e la expresió O(log ) O(log ) es verdadera 5

5 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() LOG(, 5) #: g() LOG(, ) #: LIM(f()/g(),,, 0) LN() #4: LN(5) c) f ( ) = log 8 g( ) = log log lim 8 = log log8 e log e f ( ) = g ( ) = log e 8 f ( ) log8 e = = = c lim g ( ) lim log e log e la expresió O(log ) O(log ) es verdadera 8 #: f() LOG(, 8) #: g() LOG(, 0) #: LIM(f()/g(),,, 0) LN(5) #4: + LN() d) Aplicado la ley log b a b = a teemos que log = lim = lim = 0 log Por tato: O(log ) = O(log )

6 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() LOG(, ) #: g() LOG(, 0) f() #: lim g() #4: 0 e) 0.5 = log O(log ) lg log lg 0.5 lg lg lg 0.5 lim 0.5 = lim = = = Por tato: log 0.5 O(log ) #: f() LOG(, 0.5) #: g() LOG(, ) #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: - f) lg log = O( ) lg log 0.7 lim = lim = lim lim = log log Por tato: lg log O( ) #: f() ^LOG(, ) #: g() ^LOG(, 0) #: LIM(f()/g(),,, 0) #4:

7 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos g) h) = O( ) lim = lim = 0 Por tato: =Ω ( ) lim = lim = 0 Por tato: O( ) Ω ( ) #: f() ^ #: g() ^ #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0 i) + =Θ ( ) lim = lim = Por tato: + Θ ( ) + 0 #: f() ^ #: g() ^(+) #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: j)! =Θ (( + )!)! lim = lim = 0 ( + )! +

8 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Por tato:! Θ (( + )!) #: f()! #: g() ( + )! #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0.. Ecuetre la relació de orde de la fució f a la fució g, determiado el límite del cociete de f etre g. a) f ( ) = y g ( ) = + 4 Sea f ( ) = y g ( ) = + 4 f( ) lim = lim = g ( ) + 4 (Forma idetermiada) Debido a la forma idetermiada se aplica la Regla de L Hôpital f '( ) = g'( ) = / 4 f '( ) lim = = 4 g'( ) 4 Se sigue que f θ ( g ( )), es decir = Θ ( + ) 4

9 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() #: g() /4 + #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 4 b) f( ) = + y 4 g ( ) = Sea f( ) = + y 4 g ( ) = f( ) + lim lim 4 = = (Forma idetermiada) g ( ) #: f() /4 + Debido a la forma idetermiada se aplica la regla de L Hôpital f '( ) = 4 g'( ) = f '( ) lim = = = 0 g'( ) 4 Se sigue que f θ ( g ( )), es decir 4 + = O ( ) #: g() ^ #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0

10 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos a c) f ( ) = y g ( ) = log a Sea f ( ) = y g ( ) = log a f( ) lim = lim = (Forma idetermiada) g ( ) log Debido a la forma idetermiada se aplica la regla de L Hôpital a f '( ) = a g'( ) = a f '( ) a a a lim = = lim a = lim a = g'( ) Se sigue que f ( ) Ω ( g( )), es decir a =Ω(log ) a log = O( ) (Propiedad de simetría traspuesta) #: f() ^a #: g() LOG() #: LIM(f()/g(),,, 0) #4:? #5: LIM( (f(), )/ (g(), ),,, 0) a #6: a

11 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos.4. Ecuetre u valor de c y 0 para los cuales se cumpla f ( ) cg( ) para 0 a) g f ( ) = ; ( ) = + + Si existe ua costate c y ua etrada de tamaño 0 tal que f ( ) cg( ) para 0, etoces se demuestra que: f ( ) O( g( )) Así, usado la expresió: f ( ) c g( ) Se tiee que: + + c ( ) para = 0 y 0 = () + () + 0 ( ) 6 40 f ( ) O( g( )) 0 0 #: g() ^ #: f() ^ + + #: f() c g() #4: + c - #5: c = 0 #6: f() #7: 6 #8: 0g() #9: 40 #0: f() 0 g() #: true

12 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos.5. Aplique la regla del máximo. a) b) O ( + + log ) O( log, log + 6, 5 ) O ( ) O O ( log ) = ( log ).6. Supoga que u algoritmo ejecutat() = log pasos. Calcular el tamaño de etrada co la cual el algoritmo se ejecuta e 00 pasos. T ( ) = log = 00 = log 00 = = comprobació l.6 0 l 0 0 log.6 0 = = #: T() LOG(, ) #: T() = 00 #: SOLVE(T() = 00, ) #4: = #5: LOG(.6 + 0^0, ) #6: Supoga que el algoritmo ejecuta f() = +4 pasos e el peor caso, y el algoritmo ejecuta g() = 9 + pasos e el peor caso, co etradas de tamaño. Co etradas de qué tamaño es más rápido el algoritmo que el algoritmo (e el peor caso)? Se determia el puto e el cual los dos algoritmos tiee el mismo desempeño f( ) = g( ) + 4 = = 0 ( 5) ± (-5) - 4 () (-)] = () = 5., = 0. + como perteece a Z f( ) es más rápido que g( ) cuado 0,5 ( está e el rago de 0 a 5) [ ]

13 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos E la gráfica y tabla correspodiete, se puede apreciar que co valores de meores de 5., el algoritmo co fució f() es más rápido que el algoritmo co fució g() Comparacio de Fucioes f() g() f()=^+4 g()= #: f() ^ + 4 #: g() 9 + #: f() = g() #4: SOLVE(f() = g(),, Real) #5: = - = + #6: = =

14 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos.8. Sea k p( ) = a + a + + a+ a u poliomio e de grado k co a k > 0. k k k 0 Demuestre que p() está e Θ( k ). k k a k + ak + + a + a0 ak a a0 ak a a0 lim = lim a k k = a k k k = a k k como a k es ua costate etoces p( ) O( ) #: p(, k) (a sub i ^i, i, 0, k) #: ^k #: p(, k)/^k #4: LIM(p(, k)/^k, a,, 0) #5: VECTOR(LIM(p(, k)/^k,,, 0), k, 0, 0, ) a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a #6: Añada ua fila a la tabla. que idique el tamaño máximo aproximado de las etradas que se puede resolver e u día para cada columa. Algoritmo 4 5 fució de tiempo T() 46 lg.4 Tamaño de la etrada () Tiempo para resolver s s 0.00 s s 0.00 s s 0.0 s 0. s.4 s 4*0 6 años s 0.45 s s 0.94 h s 6. s mi 9 días s. mi.5 días 08 años Tiempo permitido Tamaño de la etrada máxima posible (aprox.) segudo 0,000, miuto 800,000 8,000, día (86400 segudos),68,8,88 7,000,000 8,54,940 6

15 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Algoritmo El tiempo de solució teórico T() tiee relació co el tiempo de solució experimetal t (expresado e segudos) mediate ua costate de proporcioalidad. Para el algoritmo la costate de proporcioalidad es la siguiete: T ( ) = t c = = = = = 0 T ( ) (0) (00) (000) 6 Esta costate de proporcioalidad permite obteer el tamaño de etrada que se puede resolver e u tiempo dado e segudos. t = c t = 0 = t 0 T ( ) 6 6 para t = dia = seg ,68,8,88 = = #: T() #: 0.000/T(0) = 86400/T() 9 #: = Algoritmo Se obtiee el mismo resultado e si se utiliza log 0 e lugar de lg, por lo que para simplificar los cálculos se utlizará el logaritmo e base 0. T ( ) = 46lg t c = = = = = 6 0 T ( ) 46(0)lg0 46(00)lg00 46(000)lg000 t = c T ( ) t = lg 8 t lg =

16 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Para t = día = seg = = 46 6 por tateo se obtiee: 8 lg (lg ) = #: T() 46 LOG(, ) #: 0.005/T(0) = 86400/T( -0 #: = LN() #4: NSOLVE(/( LN()) = ^(-0),, Real) 7 #5: = Resumiedo, para calcular el valor de para t = dia = 86400*06 segudos Para Algoritmo : = t *0 6 Para Algoritmo : por aproximació usado la expresió t lg = Para Algoritmo : 6 t *0 = 854 #: T() ^ #: 0.004/T(0) = 86400/T() 4 4 #: = =

17 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Para Algoritmo 4: t *0.4 6 = 940 #: T().4 ^ #: 0.004/T(0) = 86400/T() #: = Para Algoritmo 5: 6 log ( t *0 ) = 6 log () #: T() ^ #: 0.00/T(0) = 86400/T() 0 #: = #4: NSOLVE(^ = ^0,, Real) #5: = Sea α y β úmeros reales tales que 0 < α < β. Demuestre que α está e O( β ) pero β o está e O( α ). Como 0<α<β, etoces φ = β-α, siedo φ u etero positivo (φ R + ). α lim lim lim 0 = = β β α ϕ = α β O( ) β β α ϕ lim = lim = lim = α β α O( )

18 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos.. Haga ua lista de las fucioes siguiete, de la de más bajo orde asitótico a la de más alto orde asitótico. Si hay dos (o más) que tega el mismo orde asitótico, idique cuales. a),,, lg, lg, + 7 5,, + lg. lg.. lg 4. ( ) y ( + lg) so del mismo orde b) Icorpore las fucioes siguietes a su respuesta para la parte (a). Supoga 0< ε <: e, l,, (lg ), -,!, lg lg, + ε. lg lg. (l ) y (lg ) so del mismo orde. (lg ) ε lg 8. ( ) y ( + lg ) so del mismo orde ( - ) y ( ) so del mismo orde. e.!.. Demuestre que se cumple o o se cumple i= i Θ( ) i= i = f( ) = g ( ) =

19 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos lim = lim + + = lim + + = + + = i= i Θ( ) #: f() = (i^, i,, ) #: g() = ^ #: f()/ g() #4: LIM(f()/g(),,, 0) #5:.. Cosidere las siguietes dieciocho fucioes: log log log + log (log )! l /log log log ( ) (/ ) 6 Agrupe estas fucioes de maera que f ( ) y g ( ) este e el mismo grupo si y solo si f ( ) = O( g( )) y g ( ) = O( f( )) y liste los grupos e orde creciete. Listado de fucioes e forma creciete:. ( ). 6. log log 4. log y l 5. (log ) 6. + log /log 9.

20 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos 0. log. y + log (/ ) 5. 6.! #: F [(/)^, 6, LOG(LOG(, 0), 0), LOG(, 0), LN(), LOG(, 0)^, ^(/) + LOG(, 0),, /LOG(, 0),, LOG(, 0), ^ + LOG(, 0), ^, ^, - ^ + 7 ^5, (/)^, ^,!] #: LIM(F/F sub,,, 0) #: [,,,,,,,,,,,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub,,, 0) #5: [0,,,,,,,,,,,,,,,,, ] #6: LIM(F/F sub,,, 0) #7: [0, 0,,,,,,,,,,,,,,,, ] #8: LIM(F/F sub 4,,, 0) #9: [0, 0, 0,, LN(0),,,,,,,,,,,,, ] #0: LIM(F/F sub 5,,, 0) #: 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,,, LN(0) #: LIM(F/F sub 6,,, 0) #: [0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub 7,,, 0) #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,, ] #6: LIM(F/F sub 8,,, 0) #7: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,, ]

21 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #8: LIM(F/F sub 9,,, 0) #9: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,, ] #0: LIM(F/F sub 0,,, 0) #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,, ] #: LIM(F/F sub,,, 0) #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub,,, 0) #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,, ] #6: LIM(F/F sub,,, 0) #7: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,, ] #8: LIM(F/F sub 4,,, 0) #9: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,, ] #0: LIM(F/F sub 5,,, 0) #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, ] #: LIM(F/F sub 6,,, 0) #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, ] #4: LIM(F/F sub 7,,, 0) #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, ]

22 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos.4. Dibuje ua líea que va desde cada ua de las cico fucioes que está e el cetro al mejor valor Ω-grade de la izquierda y al mejor valor O-grade de la derecha. Ω ( ) Ω () Ω ( log log ) Ω Ω ( log ) Ω ( log ) Ω Ω ( ) ( log ) Ω ( ).0000 Ω ( ) ( log ) Ω ( log ) Ω ( ) Ω ( ) Ω ( ) Ω ( 5 ) Ω ( ) Ω ( ) log ( + ) ( log + log ) log ( ) O O () O O O O ( log log ) ( log ) ( log ) ( ) ( log ) O O( ).0000 O( ) ( log ) ( log ) O O O( ) O( ) O ( ) O ( 5 ) O( ) Ο ( ) Paso : Ordear las fucioes Listado de fucioes e forma creciete:... log log 4. log 5. log log 8.

23 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos log. log #: F [/,, LOG(LOG(, 0), 0), LOG(, 0), LOG(, 0)^, ^(/), /LOG(, 0),, ^.0000, ^(/), ^/LOG(, 0)^, ^/LOG(, 0), ^, ^, 5^, ^, ^^] #: LIM(F/F sub,, ) F #: [,,,,,,,,,,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub,, ) F #5: [0,,,,,,,,,,,,,,,, ] #6: LIM(F/F sub,, ) F #7: [0, 0,,,,,,,,,,,,,,, ] #8: LIM(F/F sub 4,, ) F #9: [0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,, ] #0: LIM(F/F sub 5,, ) F #: [0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,, ] #: LIM(F/F sub 6,, ) F #: [0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub 7,, ) F #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,, ]

24 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #6: LIM(F/F sub 8,, ) F #7: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,, ] #8: LIM(F/F sub 9,, ) F #9: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,, ] #0: LIM(F/F sub 0,, ) F #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,, ] #: LIM(F/F sub,, ) F #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,, ] #4: LIM(F/F sub,, ) F #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,, ] #6: LIM(F/F sub,, ) F #7: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,, ] #8: LIM(F/F sub 4,, ) F #9: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, ] #0: LIM(F/F sub 5,, ) F #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, ] #: LIM(F/F sub 6,, ) F #: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,, ]

25 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Paso : Ecotrar la mejor Ω y O para cada fució a) Para log es ( ) Ω y O ( ) #4: g() /LOG (, 0) #5: LIM(F/g(),, ) #6: [0,,,,,,,,,,,,,,,, ] #7: #8: F sub #9: #40: F sub #4: b) Para + es Ω ( ) y O ( ) 5 7 #4: g() 7^5 - + #4: LIM(F/g(),, ) #44: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,, ] #45: F sub #46: #47: F sub 4 #48:

26 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos c) Para ( + ) ( log + log ) es Ω ( log ) y O( log ) #49: g() (^ + )/ (LOG(, 0) ^ + LOG(, 0)) #50: LIM(F/g(),, ) #5: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,, ] #5: F sub LN(5) + LN() LN(5) + LN() #5: LN() d) Para log es Ω ( ) y O ( ) #54: g4() ^ LOG(, 0)^ #55: LIM(F/g4(),, ) #56: 0, 0, 0, 0, 0, 0,?, 0, 0, 0,?,?, 0,,,, #57: F sub #58: #59: F sub 4 #60:

27 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos e) Para es Ω ( ) y O ( 5 ) #6: g5() ^ #6: LIM(F/g5(),, ) #6: [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,, ] #64: F sub 4 #65: #66: F sub 5 #67: 5.5. Para cada par de fucioes f () y g (), se cumple que f ()=O(g()) o g()=o(f ()), pero o ambos. Determie cual es el caso. a) = = f ( ) ( )/, g( ) 6 Utilizado simplificació de fucioes para evitar / f( ) ( ) lim = lim = lim = lim = lim = = f ( ) Ο ( g( )) g ( ) 6 c g ( ) 6 c lim = lim = lim = lim = lim = = 0 g ( ) O( f( )) f( ) ( )

28 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() ^ ) / #: g() 6 #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: #5: LIM(g()/f(),,, 0) #6: 0 b) f ( ) = +, g( ) = ( ) f( ) lim = lim = lim = lim = lim 0 g ( ) + = + = f( ) O( g( )) #: f() + #: g() ^ #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0 c) f ( ) = + log, g( ) = Utilizado la regla de L Hopital y simplificació de fucioes para evitar / ( ) g ( ) ( + ) + lim = lim = lim = lim = lim = lim = lim f( ) + log ( + ) c = g ( ) O( f( ))

29 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() + LOG(, 0) #: g() #: LIM(g()/f(),,, 0) #4: d) f ( ) = + + 4,. g( ) = f lim g ( ) = lim = ( ) Utilizado la regla de L Hopital para evitar / f '( ) + lim = lim = lim + = lim + = 0 g'( ) f( ) O( g( )) Utilizado la regla de dividir etre la potecia mayor para evitar / lim = lim = lim = lim = = 0 f( ) g ( ) f( ) O( g( )) E el otro caso: g ( ) lim = lim = lim + = f( ) g ( ) Ω( f( ))

30 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() ^ #: g() ^ #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0 #5: LIM(g()/f(),,, 0) #6: e) f( ) = log,. g( ) = f( ) log log lim = lim = lim = g ( ) Utilizado la regla de L Hopital. loge f '( ) log e lim = lim = lim = 0 g'( ) 4 f( ) O( g( )) E el otro caso: Utilizado la regla de L Hopital. g'( ) 4 lim = lim = = f '( ) log e log e g ( ) Ω( f( ))

31 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos #: f() LOG(, 0) #: g() ( ) / #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: 0 #5: LIM(g()/f(),,, 0) #6: f) f ( ) = + log,. g( ) = f( ) + log log lim = lim = lim + = g ( ) f Ω( g( )) E el otro caso: g ( ) lim = lim = f( ) log g'( ) log e lim = lim = lim = 0 f '( ) log e g O( f( )) #: f() LOG(, 0) #: g() #: LIM(f()/g(),,, 0) #4: #5: LIM(g()/f(),,, 0) #6: 0

32 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos g) Probar que log =Ο( ) f( ) f O( g) si lim = c g ( ) dode 0 c < (log ) (log e ) + (log ) lim = lim (log e) log e c = lim = lim = = 0 = O log ( ) #: LIM( FLOOR(LOG(, 0))/^,,, 0) #: 0

33 Istituto Tecológico de Ciudad Madero Uidad I. Complejidad Computacioal Capitulo. Clasificació de Algoritmos Ejercicios Propuestos de Clasificació de Fucioes.6. Cuáles de las siguietes afirmacioes so verdaderas? Demuestre sus respuestas e los icisos a al d. a) + = O( ). b) =Ω ( ). c) + =Θ ( ). d)! =Θ (( + )!). e) + log =Θ ( ). f ( ) = log y g( ) = log+, determia si f ( ) = O( g( )) o g ( ) = O( f( ))..7. Para ( ).8. Para f g ( ) ( ) = 4 log y ( ) = /, determia si f ( ) = O( g( )) o g ( ) = O( f( ))..9. De u ejemplo de dos fucioes, f, g: N R*, tales que f Og ( ) y g O( f).

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