CARLOS FORNER RODRÍGUEZ Departamento de Economía Financiera y Contabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE

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1 TEMA 7: Opciones V: Modelos de CARLOS FORNER RODRÍGUEZ Deparameno de Economía Financiera y Conabilidad, UNIVERSIDAD DE ALICANTE En emas aneriores hemos esudiado qué variables afecan a la prima que el comprador de una opción debe pagar al vendedor por adquirir el derecho y qué límies y relaciones deben cumplir dichas primas. En ese ema esudiaremos qué modelos se han desarrollado para poder esimar esas primas: el modelo binomial y el modelo Black-Scholes (en iempo coninuo). El modelo binomial es un modelo en iempo discreo donde suponemos que a lo largo de la vida de la opción el precio del subyacene experimena un número deerminado de movimienos al alza o a la baja. Por ejemplo, una opción con vencimieno denro de 3 meses donde el subyacene puede experimenar un cambio al alza o a la baja cada mes (un oal de res movimienos). El modelo Black-Scholes es un modelo en iempo coninuo donde el precio del subyacene puede experimenar cambios en cualquier momeno del iempo. 1

2 Apunes de Ingeniería Financiera TEMA 7: OPCIONES V: MODELOS DE VALORACIÓN Rodríguez Universidad de Alicane Deparameno de Economía Financiera y Conabilidad Índice dce 1.1. Opciones Europeas 1.. Opciones Americanas. Modelo Black-Scholes (iempo coninuo) 3. Convergencia enre ambos modelos Apéndice

3 1. Modelo o Binomial Supuesos de parida: Los mercados de capiales son perfecos. El ipo de inerés (r) permanece consane a lo largo de la vida de la opción. El acivo subyacene no genera rendimienos durane la vida de la opción. El precio del acivo subyacene sigue un proceso binomial muliplicaivo en iempo discreo Exise una probabilidad q de que la coización del subyacene aumene un U% y una probabilidad (1-q) de que baje un D%. U u (1 ) 100 D d (1 ) 100 muliplicador li al alza muliplicador a la baja 3 1. Modelo o Binomial Supongamos que enre la fecha inicial y la de vencimieno hay 3 periodos (n=3) la evolución del acivo subyacene será la siguiene: =0 =1 = =3 u P u 3 P up u dp P udp dp ud P P d P d 3 P 4 3

4 1. Modelo o Binomial Como el precio (prima) de una opción es una función del precio del subyacene P el precio (prima) de una opción ambién seguirá un proceso binomial muliplicaivo. Por ejemplo, si se raa de una pu: =0 =1 = =3 Pu uu Pu uuu =max(0;k-u 3 P) Pu u Pu u =max(0;k-u dp uud dp) Pu Pu udp ud Pu d Pu udd =max(0;k-ud P P) Pu dd Pu ddd =max(0;k-d 3 P) 5 1. Modelo o Binomial R ( )/ (1 r) T n facor de capialización ación para a un periodo (1/R: facor de descueno) p R u d d Probabilidad neural al riesgo La probabilidad neural al riesgo nos permie movernos en un mundo neural al riesgo la asa de descueno es el acivo libre de riesgo (ipo de inerés del mercado). 6 4

5 1 1.. Opciones europeas =0 =1 = =3 Pu uu =[ppu Pu uuu +(1 +(1-p)Pu uud ]/R Pu uuu Pu u u dp Pu uud Pu Pu ud =[ppu uud udp +(1-p)Pu udd ]/R Pu d PPuPu udd Pu dd =[ppu udd +(1-p)Pu ddd ]/R Pu ddd Opciones europeas =0 =1 = =3 Pu uu Pu uuu Pu u =[ppu uu +(1-p)Pu ud ]/R u dp Pu Pu uud Pu udp Pu ud Pu d =[ppu ud +(1-p)Pu dd ]/R PPuPu udd Pu dd Pu ddd 8 5

6 1 1.. Opciones europeas =0 =1 = =3 Pu uu Pu uuu Pu u u dp Pu Pu uud Pu =[ppu u +(1-p)Pu d ]/R udp Pu ud Pu d PPuPu udd Pu dd Pu ddd Opciones americanas El esquema del árbol de decisión de la opción es el mismo que para las opciones o europeas, pero ahora a el valor de los nódulos será el mayor de: el dado por la ecuación para opciones europeas el resulado de ejercer la opción anes de vencimieno =0 =1 = =3 Pu Pu u Pu uu = el mayor de: [ppu uuu +(1-p)Pu uud ]/R K-u P (ejercicio anicipado) Pu ud =el mayor de: [ppu uud +(1-p)Pu udp udd ]/R K-udP (ejercicio anicipado) Pu uuu u dp Pu uud Pu d PPu udd Pu dd =el mayor de: [ppu udd +(1-p)Pu ddd ]/R K-d P (ejercicio anicipado) Pu ddd 10 6

7 1 1.. Opciones americanas =0 =1 = =3 Pu uuu Pu Pu u = mayor de: [ppu uu +(1-p)Pu ud ]/R K-uP (ejercicio anicipado) Pu d = mayor de: [ppu ud +(1-p)Pu dd ]/R K-dP (ejercicio anicipado) Pu uu udp Pu ud u dp Pu uud PPu udd Pu dd Pu ddd 11. Modelo o Black-Scholes Supuesos: Los mercados de capiales son perfecos. El ipo de inerés (r) y la volailidad () permanecen consanes a lo largo de la vida de la opción. El acivo subyacene no genera rendimienos durane la vida de la opción. La opción es europea. La coización del acivo subyacene sigue un recorrido aleaorio (random walk), lo que significa que cambios proporcionales en el precio de las acciones en un coro periodo de iempo se disribuye como una normal. Eso implica, por oro lado, que el precio de las acciones en cualquier momeno fuuro iene lo que se conoce como una disribución ib ió lognormal. l 1 7

8 . Modelo o Black-Scholes rc ( T) 1 Call P N ( d ) K e N ( d ) donde: d 1 P Ln r ( T ) c K T d d T 1 r c : ipo de inerés en iempo coninuo r c y(t-) expresados en la misma unidad de iempo. 13. Modelo o Black-Scholes Exensiones de la fórmula Black-Scholes: - Subyacene repare dividendos renabilidad por dividendos = q qt ( ) Call P e N ( d ) K e N ( d ) d 1 P q c K Ln r ( T ) T rc ( T) 1 d d T 1 - El subyacene es un Fuuro (modelo de Black) q=r : rc ( T ) rc ( T) F e 1 Call N ( d ) K e N ( d ) d 1 F K Ln ( T ) T d d T

9 . Modelo o Black-Scholes Fuene: Convergencia enre e ambos modelos os El modelo Binomial converge a Black-Scholes cuando n y: u e ( T ) n d 1 u R e ( T) rc n 16 9

10 Apéndice MEFF ofrece una calculadora de opciones: Fune:

11 APUNTES DE INGENIERÍA FINANCIERA CARLOS FORNER EJERCICIOS Ejercicio 7.1 El precio de unas acciones es de 40 u.m. Durane cada uno de los dos próximos periodos de res meses se espera que suba en un 10% o que baje en un 10%. El ipo de inerés libre de riesgo es el 1% anual. Cuál es el valor de una opción pu europea a 6 meses con un precio de ejercicio de 4 u.m.? Cuál es el valor de una opción pu americana a seis meses con un precio de ejercicio de 4 u.m.? Ejercicio 7. Consideremos una opción americana de vena a cinco meses sobre acciones que no disribuyen dividendos siendo el precio de las acciones 50 dólares, el precio de ejercicio 50 dólares, el ipo de inerés libre de riesgo el 10% coninuo anual, y la volailidad del 40% anual. Supongamos que dividimos la vida de la opción en cinco inervalos de duración un mes (=0,0833 años).valore esa opción con el modelo Binomial. Ejercicio 7.3 El precio de las acciones acualmene es de 50 dólares. Durane cada uno de los dos próximos periodos de res meses se espera que suba en un 6% o que baje en un 5%. El ipo de inerés libre de riesgo es del 5% anual compueso coninuo. Cuál es el valor de una opción europea de compra a seis meses con un precio de ejercicio de 51 dólares? Cuál es el valor de una opción europea de vena a seis meses con un precio de ejercicio de 51 dólares? Cuál es el valor de una opción americana de compra a seis meses con un precio de ejercicio de 51 dólares? Cuál es el valor de una opción americana de vena a seis meses con un precio de ejercicio de 51 dólares? Ejercicio 7.4 Consideremos la siuación en la que el precio de las acciones seis meses anes del vencimieno de una opción es de 4 dólares, el precio de ejercicio es de 40 dólares, el ipo de inerés coninuo libre de riesgo es el 10% anual, y la volailidad es el 0% anual. Cuál será el valor de la opción si es de compra?, y si es de vena? (Uilice el modelo Black-Scholes). 11