4º IEM Gestión de operaciones 25/06/2013 GESTIÓN DE PRODUCTOS FINANCIEROS (3.5 PUNTOS)

Transcripción

1 4º IEM Gestón de operacones GESTIÓN DE PRODUCTOS FINANCIEROS (3.5 PUNTOS) El gestor de una empresa dspone de un mllón de euros para nvertr durante un año. Analzado el mercado de productos fnanceros consdera que hay 10 productos nteresantes para analzar. En la tabla sguente se muestra su rentabldad anual esperada, la volatldad y la nversón mínma requerda para contratarlo. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Rentabldad anual [%] Volatldad [%] Inversón mínma [k ] La volatldad (o desvacón típca ) representa la mtad de la varacón posble de la rentabldad en un año con un nvel de confanza del 95%. Así por ejemplo el producto P4 tene una rentabldad anual esperada del 3.5% pudendo estar fnalmente entre un -0.5% y un 7.5% (3.5%± 2 x 2%). El gestor quere plantear un modelo de programacón lneal entera que le ayude a decdr qué productos escoger y cuánto dnero nvertr en cada producto con el fn de maxmzar la rentabldad meda anual tenendo en cuenta las sguentes condcones: El número de productos dferentes a nvertr debe ser superor a 1 e nferor a 7 La volatldad meda de la nversón ha de ser nferor a 2.5% S se contrata el producto P2 no se contrata el producto P1 S se contrata el producto P8 se han de contratar los productos P4 y el P5 S se contrata el producto P9 o el producto P10 o ambos por un mporte total se ha de contratar adconalmente por el msmo mporte anteror el conjunto de los productos P2 y P3. a) Se pde la formulacón de índces, parámetros, varables, funcón objetvo y restrccones de dcho modelo de programacón lneal. b) Basado en el anteror modelo se quere establecer un problema de programacón compromso dando un peso del 60% a la rentabldad y el restante 40% a la volatldad. Establecer los cambos necesaros en el modelo anteror. c) Basado tambén en el modelo anteror se quere mplantar un modelo de programacón por metas en el cual se tene una rentabldad meda objetvo del 2.6% y una volatldad objetvo del 2.3%. Establecer los cambos necesaros en el modelo anteror penalzando por gual las desvacones correspondentes en ambos objetvos. 1

2 4º IEM Gestón de operacones PROBLEMA NLP (3 PUNTOS) Sea este problema de optmzacón no lneal 2 y mnxe xy x y 4 x 1 1. Representar gráfcamente la regón factble para los valores x (0, 3) e y (0, 3) 2. Tene óptmo global este problema? Justfcar la respuesta 3. Determnar los tres puntos de nterseccón de las restrccones y dar los valores de la funcón objetvo para dchos puntos d u u du 4. Establecer las condcones necesaras de KKT. Nota: e e dx dx 5. Comprobar s para este problema se cumplen las condcones sufcentes de optmaldad. Justfcar la respuesta 6. Evaluar s los puntos (1,1), (1, 3 ) y ( 2 3, óptmos locales o globales o no son nada ) son canddatos a 2

3 4º IEM Gestón de operacones COMPRA DE ALIMENTOS (3.5 PUNTOS) Iñgo ha aprobado todos sus exámenes y quere celebrar semejante éxto como se merece, nvtando a su nova a cenar en casa. Aunque Iñgo es buen ngenero, sus conocmentos en la cocna son lmtados, ya que solamente sabe cocnar tres platos dferentes: paella, barbacoa y pollo asado. La tenda de almentos que tene al lado de casa después de muchos años de haber hecho estudos de los consumdores (y de Iñgo en partcular) ofrece una oferta cada día por conjunto de ngredentes que se usan en el plato. Sólo se elge una de tres ofertas dferentes por día aunque la tenda puede cambar de oferta cada día. Dependendo de la oferta que se ofrece este msmo día, el coste total de la compra de Iñgo varía tal y como está ndcado en la tabla abajo. En concreto, los números de la tabla sgnfcan lo que Iñgo tene que pagar a la tenda según el plato que vaya a preparar y la oferta del día del supermercado. Se supone que Iñgo y la tenda decden sus estrategas a la vez. Este dlema de la compra se puede expresar en un juego de suma nula que está recogdo en la sguente tabla. Iñgo Paella Barbacoa Pollo Oferta Tenda Oferta Oferta a) Indcar s hay estrategas domnadas en este juego y cuáles son. Exste un equlbro de Nash en estrategas puras? Justfca tu respuesta. b) Resolver el juego desde el punto de vsta de la tenda medante el método smplex. Indcar las estrategas óptmas de la tenda y el valor del juego. Nota: En el caso de hacer un cambo de varable, aplcarlo a la varable asocada a la estratega Oferta1. c) A partr de la solucón anteror obtener las estrategas óptmas de Iñgo. d) El dueño de la tenda de almentos tene que tomar una decsón concreta, y no le vale una probabldad con la que jugar cada oferta. Quere tomar una decsón óptma en enteras. Partr de la tabla óptma obtenda en la seccón b) mponer que las varables de decsón sean enteras (método ramfcacón y acotamento). Resolver el problema resultante de forma tabular hasta llegar a la solucón óptma. Empezar con la opcón de que la probabldad de la Oferta2 es 0. Indcar la solucón óptma entera de ambos jugadores y el valor del juego. 3

4 4º IEM Gestón de operacones SOLUCIÓN PROBLEMA MODELADO. a) Se pde la formulacón de índces, parámetros, varables, funcón objetvo y restrccones de dcho modelo de programacón lneal. Índces : productos fnanceros { P1,..., P 10} Parámetros r : rentabldad anual del producto [%] v : volatldad del producto [%] m : nversón mínma requerda por el producto [ ] vm : volatldad máxma permtda [%] p: presupuesto dsponble [ ] robj : rentabldad objetvo [%] vobj : volatldad objetvo [%] bg : valor numérco elevado Varables X : ndcador de que se nverte en el producto (bnaro) Y : dnero nvertdo en el producto [ ] Z : ndcador de nversón conjunta en P2 y P3 (bnaro) Funcón objetvo Se maxmza la rentabldad económca del conjunto de nversones realzadas Restrccones å max ry Se lmta el volumen de todas las nversones al presupuesto dsponble å Y p La nversón en el producto ha de ser como mínmo m Y px " Y ³ mx " El número de productos dferentes a nvertr debe ser superor a 1 e nferor a 7 2 X 6 La volatldad porcentual meda de la nversón ha de ser nferor a 2.5% å 4

5 4º IEM Gestón de operacones å å vy vm Y S se contrata el producto P2 no se contrata el producto P1 X 1- X P1 P2 S se contrata el producto P8 se han de contratar el producto P4 y el P5 X + X ³ 2X P4 P5 P8 S se contrata el producto P9 ó el producto P10 ó ambos por un mporte conjunto se ha de contratar por el msmo mporte anteror el conjunto de los productos P2 y P3. X + X 2Z P9 P10 Y + Y ³ Y + Y -bg -Z P2 P3 P9 P10 Y + Y Y + Y + bg -Z P2 P3 P9 P10 Naturaleza de las varables XZÎ, { 0,1} Y, RP, VP, RNP, VNP + Î ( 1 ) ( 1 ) b) Basado en el anteror modelo se quere establecer un problema de programacón compromso dando un peso del 60% a la rentabldad y el restante 40% a la volatldad. Establecer los cambos necesaros en el modelo anteror. La funcón objetvo se modfca calculando el valor obtendo de rentabldad expresado en por undad y lo msmo con la volatldad. Los valores extremos de rentabldad son del 6.5% y del 1% que aplcados a un mllón de euros dan lugar a un benefco de euros y euros respectvamente. En cuanto a la volatldad los valores extremos de volatldad son 5.5% y 0% que aplcados a una nversón de un mllón de euros darían una volatldad de y 0 euros respectvamente. Se ha de tener en cuenta que se quere maxmzar los valores en por undad de los ndcadores de rentabldad y volatldad. Sn embargo, para que ambos ndcadores expresen gualmente la bondad de la decsón el cálculo de un ndcador y otro se hace calculando el orden de la resta del numerador de forma dferente tal y como la expresón de la funcón objetvo muestra a contnuacón: 5

6 4º IEM Gestón de operacones å å æ ry 65ö æ55 vy ö - - max ç è ø çè ø c) Basado tambén en el modelo anteror se quere mplantar un modelo de programacón por metas en el cual se tene una rentabldad meda objetvo del 2.6% y una volatldad objetvo del 2.3%. Establecer los cambos necesaros en el modelo anteror penalzando por gual las desvacones correspondentes en ambos objetvos. La funcón objetvo camba y se formula sumando las desvacones penalzadas de la rentabldad y volatldad objetvos, RP y VP. Se añaden desvacones no penalzadas, RNP y VNP, en las restrccones de ambas metas con el fn de tener restrccones de gualdad que se ndcan a contnuacón. mn RP å å + VP ry + RP - RNP = robj vy + VNP - VP = vobj Modelo en GAMS: $TITLE Gestón de productos fnanceros OPTIONS OPTCR=0; SETS productos fnanceros /P1*P10/ ; PARAMETERS r() rentabldad anual del producto /P1 0.01,P2 0.02,P3 0.03,P ,P5 0.04,P ,P7 0.05,P ,P9 0.06,P / v() volatldad anual del producto /P1 0,P ,P ,P4 0.02,P ,P ,P7 0.03,P ,P ,P / m() nverson mnma del producto /P1 10,P2 50,P3 100,P4 100,P5 100,P6 200,P7 100,P8 50,P9 100,P10 50/ ; SCALARS vm volatldad maxma en valor medo /0.025/ p presupuesto dsponble [k ] /1000/ robj rentabldad meda objetvo [%] /0.026/ vobj volatldad meda objetvo [%] /0.023/ bg número grande /1000/ ; VARIABLES VFOBJ Valor de la funcón objetvo X() Indcador bnaro de nversón en el producto [0-1] Y() Cantdad nvertda en el producto [ ] Z Indcador de nversón conjunta en P2 y P3 RP Margen de rentabldad penalzada por no alcanzar objetvo [%] 6

7 4º IEM Gestón de operacones VP Margen de volatldad penalzada por no alcanzar objetvo [%] RNP Margen de rentabldad NO penalzada por no alcanzar objetvo [%] VNP Margen de volatldad NO penalzada por no alcanzar objetvo [%] ; BINARY VARIABLES X,Z; POSITIVE VARIABLES Y,RP,VP,RNP,VNP; EQUATIONS FOBJ_A Funcón objetvo apartado A FOBJ_B Funcón objetvo apartado B FOBJ_C Funcón objetvo apartado C PRES Lmtacón del presupuesto MIN1() Condcón 1 de mínma de nversón requerda para el producto MIN2() Condcón 2 de mínma de nversón requerda para el producto MINNUM Mínmo número de productos a nvertr MAXNUM Máxmo número de productos a nvertr VOLMAX Volatldad máxma permtda LOGP1P2 S se contrata el producto P2 no se contrata el producto P1 LOGP8P4P5 S se contrata el producto P8 se han de contratar el P4 y P5 LOG1P9P10P2P3 S se contrata P9 o P10 se contrata el msmo mporte de P2 y P3_1 LOG2P9P10P2P3 S se contrata P9 o P10 se contrata el msmo mporte de P2 y P3_2 LOG3P9P10P2P3 S se contrata P9 o P10 se contrata el msmo mporte de P2 y P3_3 RENOBJ rentabldad objetvo en multcrtero VOLOBJ volatldad objetvo en multcrtero ; FOBJ_A.. VFOBJ =E= SUM(, r()*y()); FOBJ_B.. VFOBJ =E= 0.60*[(SUM(, r()*y())-65)/(65-10)] +0.40*[55-(SUM(,v()*Y()))/(55-0)]; FOBJ_C.. VFOBJ =E= RP+VP; PRES.. SUM(, Y()) =L= p; MIN1().. Y() =G= m()*x(); MIN2().. Y() =L= p*x(); MINNUM.. SUM(, X()) =G= 2; MAXNUM.. SUM(, X()) =L= 6; VOLMAX.. SUM(, v()*y()) =L= vm*sum(, Y()); LOGP1P2.. X("P1") =L= 1-X("P2"); LOGP8P4P5.. X("P4")+X("P5") =G= 2*X("P8"); LOG1P9P10P2P3.. X("P9")+X("P10") =L= 2*Z; LOG2P9P10P2P3.. Y("P2")+Y("P3") =G= Y("P9")+Y("P10")-bg*(1-Z); LOG3P9P10P2P3.. Y("P2")+Y("P3") =L= Y("P9")+Y("P10")+bg*(1-Z); RENOBJ.. SUM(, r()*y())+rp-rnp =E= robj*p; VOLOBJ.. SUM(, v()*y())+vnp-vp =E= vobj*p; MODEL FINANCIERO_A /FOBJ_A,PRES,MIN1,MIN2,MINNUM,MAXNUM,VOLMAX,LOGP1P2,LOGP8P4P5, LOG1P9P10P2P3,LOG2P9P10P2P3,LOG3P9P10P2P3/; MODEL FINANCIERO_B /FOBJ_B,PRES,MIN1,MIN2,MINNUM,MAXNUM,VOLMAX,LOGP1P2,LOGP8P4P5, LOG1P9P10P2P3,LOG2P9P10P2P3,LOG3P9P10P2P3/; MODEL FINANCIERO_C /FOBJ_C,PRES,MIN1,MIN2,MINNUM,MAXNUM,VOLMAX,LOGP1P2,LOGP8P4P5, LOG1P9P10P2P3,LOG2P9P10P2P3,LOG3P9P10P2P3,RENOBJ,VOLOBJ/; SOLVE FINANCIERO_A MAXIMIZING VFOBJ USING MIP; SOLVE FINANCIERO_B MAXIMIZING VFOBJ USING MIP; SOLVE FINANCIERO_C MINIMIZING VFOBJ USING MIP; Resultados con GAMS: a) Se nverte en P1 20 k, en P6 880 k y en P7 100 k b) Se nverte en P1 10 k y en P6 990 k. Por lo tanto se está elgendo P6 para nvertr práctcamente todo el captal. c) Se nverte en P1 543 k y en P6 457 k. Por lo tanto se está repartendo el captal entre P1 y P6 con valores smlares entre ambos. 7

8 4º IEM Gestón de operacones SOLUCIÓN PROBLEMA NLP (4 PUNTOS) xy>=1 x>=1 0.17=x 2 e -y 0.37=x 2 e -y y [1,1.73] 1 x 2 +y 2 <=4 2.22=x 2 e -y x Este problema tene óptmo global por el teorema de Weerstrass, por ser la regón acotada y la funcón objetvo acotada en dcha regón. Los puntos de nterseccón son (1,1), (1, 3 ) y ( 2 3, ) y los valores de la f.o. son 0.37, y respectvamente. Para obtener las condcones necesaras de KKT dervamos f.o. y restrccones después de poner todas las restrccones como y 2xe y 2x 1 f, g, g, g 2 y xe x 2y Las condcones necesaras de KKT son el sstema de ecuacones más las condcones de factbldad de las restrccones y de los multplcadores de Lagrange 2xe y 2x 0 y y xe x 2y xy x y 4 ( xy 1) 0 1 x ( x y 4) 0 2,, ( x 1) 0 3 La condcón sufcente es que el hessano del lagrangano sea matrz semdefnda postva en el punto canddato a óptmo. 8

9 4º IEM Gestón de operacones y y 2e 2xe f, g, g, g y 2 y xe x e 1 2 y y 2e 2 2xe L y 2 y 2xe x e La prmera restrccón es cóncava al ser el hessano matrz defnda negatva, la segunda es convexa y la tercera es cóncava y convexa a la vez. Vamos a determnar el valor del hessano del lagrangano para los dferentes puntos y ver s la matrz es semdefnda postva para que sea mínmo. El prmer punto (1,1, e 1 1,0, 3e ) (1,1, ,0, ) no cumple las condcones necesaras. No es canddato a óptmo. 1 2e e e El segundo punto (1, 3,0,, e ) (1, ,0, , ) cumple las condcones necesaras. Es canddato a óptmo. 3 2e e Las condcones sufcentes son que el hessano del lagrangano sea matrz semdefnda postva 2e 2 0 y 1 2 y y 2e 2 2xe 2 1 y 2 y y 2 (2e 2 )( x e 2 ) (2 xe ) 1,2 y 2 y xe x e e 3 e (2 e )( e ) (2 e ) e (2 )(1 ) 4e Al tener los dos determnantes postvos el hessano a matrz defnda postva, luego el punto es mínmo local. El tercer punto ( 2 3, 1, , ,0) ( , , , ,0) 2 3 tampoco cumple las condcones necesaras. No es canddato a óptmo. 9

10 4º IEM Gestón de operacones opton dnlp=baron postve varables x, y varable z equaton fo, e1, e2 ; fo.. power(x,2)*rpower( ,-y) =e= z ; e1.. x*y =g= 1 ; e2.. power(x,2) + power(y,2) =l= 4 ; model p4 / all / ; x.lo = 1 ; solve p4 usng dnlp mnmzng z x1=0.001:0.1:3 ; x2=1./x1 ; plot(x1,x2) axs([ ]) xlabel('x') ylabel('y') hold on text(0.4,2.5,'\leftarrow xy>=1','horzontalalgnment','left') x2=sqrt(4-x1.^2) ; plot(x1,x2) text(1.7,1.2,'\leftarrow x^2+y^2<=4','horzontalalgnment','left') x2=0.001:0.01:3 ; x1=1 ; plot(x1,x2,'color','b','lnestyle','--') text(1,2.5,'\leftarrow x>=1','horzontalalgnment','left') x1=0.001:0.1:3 ; x2=-log(0.1769)+2*log(x1) ; plot(x1,x2,'color','r','lnestyle','--') text(1.5,2.5,'\leftarrow 0.17=x^2e^-^y','HorzontalAlgnment','left') x2=-log(0.3678)+2*log(x1) ; plot(x1,x2,'color','r','lnestyle','--') text(2.1,2.5,'\leftarrow 0.37=x^2e^-^y','HorzontalAlgnment','left') x2=-log(2.224)+2*log(x1) ; plot(x1,x2,'color','r','lnestyle','--') text(2.5,1,'\leftarrow 2.22=x^2e^-^y','HorzontalAlgnment','left') plot(1,1.73,'*r') text(1.1,1.73,'[1,1.73]','horzontalalgnment','left','color',[1,0,0]) 10

11 4º IEM Gestón de operacones SOLUCIÓN. SUMA NULA a) Indcar s hay estrategas domnadas en este juego y cuáles son. Exste un equlbro de Nash en estrategas puras? Hay una estratega domnada de Iñgo: en concreto la estratega de Paella domna la estratega del Pollo. Iñgo Paella Barbacoa Pollo Oferta Tenda Oferta Oferta La tabla resultante sería: Tenda Iñgo Paella Barbacoa Oferta1 2 3 Oferta2 5 1 Oferta3 0 4 No hay más estrategas domnadas en este juego. Iñgo Paella Barbacoa Mn Oferta Tenda Oferta Oferta Max 5 4 No hay un equlbro de Nash en estrategas puras porque no concde el mnmax de Iñgo con el maxmn de la tenda. b) Resolver el juego desde el punto de vsta de la tenda medante el método smplex. Indcar las estratégas óptmas de la tenda y el valor del juego. Se plantea el problema de optmzacón que tene que resolver la tenda. max

12 4º IEM Gestón de operacones Antes que nada, se elmna una varable usando la restrccón de gualdad (se elmna x1). max Lo cual se puede smplfcar a (y poner en forma estándar): mn Se escrbe en forma tabular: x2 3 v Cotas h Una teracón de smplex: x2 3 v Cotas v Otra teracón de smplex: x2 3 v Cotas 0 1/5 0 2/5 3/5 13/5 v 0 1/5 1 2/5 3/5 13/5 1-3/5 0-1/5 1/5 1/5 Esta tabla es óptma y se obtene que el valor del juego es 2.6, es decr, Iñgo tene que pagar 2.6 Euros a la tenda en térmnos medos. La estratéga óptma de la tenda es x=(0.8, 0.2,0). c) Obtener las estrategas óptmas de la tenda de almentos. 12

13 4º IEM Gestón de operacones Las estrategas óptmas de Iñgo se pueden obtener o resolvendo el problema gráfcamente (ya que solamente tene dos estrategas), o drectamente de la tabla óptma anteror. Para eso hace falta saber que los costes reducdos de las varables de holgura contenen el valor óptmo del problema dual, las cuales son las estrategas óptmas de Iñgo. Por tanto la estratega óptma de Iñgo sería y=(0.4, 0.6). d) El dueño de la tenda de almentos tene que tomar una decsón concreta, y no le vale una probabldad con la que jugar cada oferta. Quere tomar una decsón óptma en enteras. Partr de la solucón óptma obtenda en la seccón b e mponer ntegraldad de las varables (método ramfcacón y poda). Resolver el problema resultante de manera algebráca hasta llegar a la solucón óptma. Empezar con la opcón x2 0. Indcar dcha solucón y el valor del juego. Partendo de la solucón óptma de la seccón b, se ntroduce una nueva restrccón al problema: x2 <= 0 (ya que las varables se hacen bnaras). Hay que tener en cuenta que x3=0 sempre así que solamente hay dos opcones reales: x=(1,0,0) o x=(0,1,1). x2 3 v Cota s 0 1/5 0 2/5 3/5 0 13/5 v 0 1/5 1 2/5 3/5 0 13/5 1-3/5 0-1/5 1/5 0 1/ Poner en forma estándar: x2 3 v Cota s 0 1/5 0 2/5 3/5 0 13/5 v 0 1/5 1 2/5 3/5 0 13/5 1-3/5 0-1/5 1/5 0 1/5 0 3/5 0 1/5-1/5 1-1/5 Se aplca una teracón del smplex dual: 13

14 4º IEM Gestón de operacones x2 3 v Cota s v Esta solucón es óptma y nos da un valor del juego de 2 y estratégas óptmas x=(1,0,0). Como todos los valores del problema son números enteros, no se puede obtener un valor del juego mayor que el obtendo. Por tanto no se tene que segur ramfcando con la probabldad de que la Oferta2 sea 1. 14