Teoría de la medida. Pedro Alegría Departamento de Matemáticas Universidad del País Vasco Bilbao - España

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1 Teoría de la medida Pedro Alegría Departamento de Matemáticas Universidad del País Vasco Bilbao - spaña

2 Apuntes elaborados especialmente para mis alumnos del curso de Maestría en Matemáticas de la Universidad Nacional de Asunción (Paraguay), en agosto de 27.

3 Índice general 1. Integral de Lebesgue en R Motivación Deficiencias de la integral de Riemann Nueva forma de contar rectángulos Conceptos previos Tres principios de Littlewood Todo conjunto medible es casi unión finita de intervalos Toda función medible es casi continua Toda sucesión convergente de funciones medibles es casi uniformemente convergente Integral de Lebesgue Definiciones y primeros resultados Teoremas de convergencia l espacio L 1 de funciones integrables Convergencia en medida Derivación e integración de funciones medibles Diferenciación de funciones monótonas Funciones de variación acotada Derivación de una integral Continuidad absoluta Funciones convexas Cálculo integral de funciones integrables Fórmulas de integración Integrales dependientes de un parámetro jercicios Teoría de la medida abstracta 73 3

4 4 ÍNDIC GNRAL 2.1. spacios de medida Funciones medibles Integración de funciones medibles Teoremas generales de convergencia Medidas con signo Teorema de Radon-Nikodym jercicios spacios L p spacios normados. Definición y ejemplos Desigualdades de Hölder y Minkowski spacios L p Propiedades de los espacios normados Funcionales lineales acotados en L p Teorema de representación de Riesz spacio dual jercicios Construcción de medidas abstractas Medida exterior Teorema de extensión de Carathéodory Medidas producto jercicios

5 Cronología Construcción de Weierstrass de una función diferenciable en ningún punto Definición de Jordan de las funciones de variación acotada Definición de Cantor de medida de un conjunto acotado de R n Construcción de Peano de la curva que llena el espacio Definición de los conjuntos medibles Borel Presentación de la teoría de la medida e integración de Lebesgue Construcción de Vitali de conjuntos no medibles. 5

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7 Capítulo 1 Integral de Lebesgue en R Lo que el análisis te da con una mano te lo quita con la otra. Retrocedo con pánico frente a esta lamentable plaga de funciones continuas que no tienen derivada. C. Hermite 1.1. Motivación La teoría de integración de Riemann presentada en 1854 es una adaptación de la teoría de Cauchy debilitando las hipótesis necesarias para que una función sea integrable. Mientras Cauchy restringía la integrabilidad a funciones continuas, Riemann dio una condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de una función: una función acotada f(x) es integrable en [a, b] si y sólo si la suma de Cauchy S = n f(t k )(x k x k 1 ), k=1 donde a = x < x 1 <... < x n = b y t k [x k 1, x k ], se aproxima a un único valor límite cuando el tamaño de la partición del intervalo se aproxima a. ste único valor límite es por definición b a f(x) dx. Aunque lo que Riemann hizo nos pueda parecer ahora un paso casi trivial a partir de la integral de Cauchy, históricamente representó un gran salto, ya que involucraba un concepto radicalmente diferente de función. De hecho, en su tiempo, la teoría de Riemann parecía la más general posible: su condición de integrabilidad era la más débil usando la definición tradicional de Cauchy; de hecho, permitía extender el concepto de integral a funciones cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto denso, funciones cuya existencia ni siquiera había sido sospechada por la mayoría de los matemáticos de la época. Una nueva generalización parecía por lo tanto impensable. Impensable siempre y cuando la suma de Cauchy fuese tomada como punto de partida para la definición de integral. s en este sentido que la idea de medida se hace fundamental para sentar las bases de una nueva definición de integral, la cual se hacía cada vez más necesaria después de los trabajos de Fourier y Dirichlet para admitir funciones cada vez más discontinuas. 7

8 Motivación Deficiencias de la integral de Riemann l nuevo concepto de integral que desarrollamos en este curso tratará de solventar las deficiencias que presentaba la integral de Riemann y que se hicieron patentes a partir de 189. Básicamente, deseamos que la integral de Lebesgue resuelva alguna de las limitaciones que enumeramos a continuación. 1. La clase de funciones integrables Riemann es relativamente pequeña. Sólo alcanza las funciones con una cantidad numerable de puntos de discontinuidad finita. 2. La integral de Riemann no tiene propiedades de límite satisfactorias. Sin hipótesis adicionales, no se puede pasar al límite bajo el signo integral. 3. n muchos casos, la primitiva de una función integrable no es derivable. n muchos otros, la derivada de una función no es integrable Riemann. 4. Los espacios L p (p < ) no son completos bajo la integral de Riemann. jemplo 1. Si definimos la sucesión f n : [, 1] R por { 2 n si 1/2 n x 1/2 n 1 f n (x) = en el resto, entonces 1 = lím jemplo 2. 1 f n (x) dx 1 lím f n (x) dx =. Si definimos la sucesión f n : [, 1] R por { 1 si x {r 1,..., r n } f n (x) = en el resto, donde r n es el n-ésimo número racional en [, 1], entonces f n son integrables Riemann (porque tienen una cantidad finita de puntos de discontinuidad) pero lím f n (x), la función de Dirichlet, no es integrable Riemann (es discontinua en todo [, 1]). ste ejemplo pone de manifiesto que los teoremas de la convergencia monótona y convergencia dominada (ver sección 1.4.2) no son ciertos para la integral de Riemann Nueva forma de contar rectángulos Los Geómetras del siglo VII consideraban la integral de f(x) - el término integral no se había inventado aún, pero esto no tiene ninguna importancia - como la suma de una infinidad de indivisibles cada uno de ellos siendo la ordenada, positiva o negativa, de f(x). Y bien, nosotros simplemente hemos agrupado los indivisibles de tamaño comparable; hemos hecho, como se dice en álgebra, la reunión, la

9 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 9 reducción de los términos semejantes. Se puede decir que, con el método de Riemann, se intentaba sumar los indivisibles tomándolos en el orden suministrado por la variación de x, se procedía como lo haría un comerciante desorganizado que contara monedas y billetes según fueran cayendo estos en sus manos; en cambio nosotros procedemos como el comerciante metódico que dice: Tengo m( 1 ) monedas de 1 corona lo que hace 1 m( 1 ), tengo m( 2 ) monedas de 2 coronas lo que hace 2 m( 2 ), tengo m( 3 ) monedas de 5 coronas lo que hace 5 m( 3 ), etc. Así tengo en total: S = 1 m( 1 ) + 2 m( 2 ) + 5 m( 3 ) Ambos procedimientos conducirán al comerciante, sin ninguna duda, al mismo resultado ya que, por muy rico que sea, no hay más que un número finito de billetes que contar; pero para nosotros que tenemos que sumar una infinidad de indivisibles, la diferencia entre los dos métodos es capital. Sobre el desarrollo de la noción de integral H. Lebesgue, conferencia en Copenhague La integral de Riemann se define mediante particiones del dominio de la función y calculando el valor de la función en los puntos de cada intervalo de la partición. Sin embargo, para definir la integral de Lebesgue se realiza una partición de la imagen de la función y se mide el tamaño del dominio para los cuales la imagen de la función está comprendida entre dichos valores. Para medir los conjuntos {x D(f) : y j 1 y y j } es necesario desarrollar la teoría de la medida. A grandes rasgos, se pretende generalizar la noción de longitud en R, área en R 2 o volumen en R 3. Más concretamente, buscamos una función no negativa m definida en todos los subconjuntos de R, que pueda tomar el valor +. Intuitivamente se necesita que verifique: i) m([a, b]) = b a (la medida de un intervalo es su longitud). ii) m(a B) = m(a) + m(b), si A y B son disjuntos. n realidad, los argumentos de límite que se aplican en la teoría hacen necesaria la condición ii ) m( i N A i) = i N m(a i), con A i disjuntos dos a dos. iii) m(a + h) = m(a) (la medida es invariante bajo traslaciones). Un resultado importante de la teoría es la existencia y unicidad de tal medida, que llamaremos medida de Lebesgue, cuando nos referimos a una clase razonable de conjuntos, los llamados conjuntos medibles. sta clase de conjuntos contiene en particular a los abiertos y será cerrada bajo uniones numerables, intersecciones y complementos. Ahora bien, la idea previa de poder asignar una medida a todos los subconjuntos de R no es posible. Demostraremos que existen conjuntos que no son medibles cuando pedimos las condiciones i) a iii) anteriores. sta situación contraria a la intuición está relacionada con la famosa paradoja de Banach-Tarski: se puede descomponer la bola unidad de R 3 en cinco piezas, las cuales pueden recomponerse mediante traslaciones y rotaciones para formar dos bolas unitarias disjuntas (lo que violaría nuestra idea de conservación del volumen).

10 Conceptos previos Así, el nacimiento de medida puede ser atribuído a Émile Borel. Antes de que, en 194, Lebesgue publicara sus trabajos, Émile Borel publicó en 1898 el libro Leçons sur la théorie des fonctions, donde investigaba sobre ciertos conjuntos del intervalo [, 1]. Pretendía asignar medidas a subconjuntos más generales que los subintervalos, especialmente a aquellos engendrados mediante uniones numerables o paso al complementario de intervalos. De forma paralela pedía que estos subconjuntos cumplieran la propiedad de que la medida de la unión de cualquier familia finita o numerable de tales conjuntos disjuntos dos a dos es igual a la suma de sus medidas; y por otra parte, todos los subintervalos tienen como medida su longitud. Como podemos observar, esta definición de Borel es la definición de premedida, nombre que más adelante asignaría Lebesgue. Borel no probó la existencia y unicidad de dicha definición. Afirma que el lema fundamental demostrado [...] nos asegura que estas definiciones nunca serán contradictorias entre sí, y anotó en el pie de página de ese mismo libro que He omitido toda demostración ya que la redacción me pareció tener que ser larga y fastidiosa [...]. Por otra parte, Borel no hace absolutamente ninguna referencia o insinuación sobre una posible conexión entre su concepto de medida y la teoría de integración. Aunque Borel no fue capaz de probar dicho resultado, gracias a las aportaciones de Lebesgue el resultado de Borel queda incluido en la construcción de la integral de Lebesgue. Más adelante, a esos conjuntos a los que se refería Borel, Lebesgue los llamó borelianos por deferencia a su amigo Conceptos previos Un conjunto A R es abierto si x A, r > : (x r, x + r) A. Un conjunto F R es cerrado si su complementario F c es abierto. Una propiedad elemental de estos conjuntos es la siguiente: La unión arbitraria y la intersección finita de abiertos es abierto. Un conjunto R es acotado si existe r > tal que ( r, r). Si además es cerrado, entonces es compacto y cumple la propiedad de Heine-Borel: Si es compacto y α I A α, con A α abierto, entonces existe una familia finita {A α1,..., A αn } tal que A α1 A αn. Definición. Se dice que F F σ cuando F es unión numerable de cerrados. Análogamente, se dice que G G δ cuando G es intersección numerable de abiertos. Definición. Una colección A de conjuntos es un álgebra si i) A. ii) A, B A = A B A. iii) A A = A c A. Un álgebra A de conjuntos se dice que es una σ-álgebra cuando iv) (A i ) i N A = i N A i A. jemplos. 1) P (R) es la mayor σ-álgebra de R. 2) {, R} es la menor σ-álgebra de R.

11 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 11 3) Si A = {A R : A ó A c es finito}, entonces A es un álgebra pero no una σ-álgebra. Definición. La colección B de conjuntos de Borel es la menor σ-álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos. Veremos a continuación (proposición 1.2.1) que dicho conjunto existe. Además es también la mínima σ-álgebra que contiene todos los conjuntos cerrados y la mínima σ-álgebra que contiene los intervalos abiertos así como la mínima σ-álgebra que contiene los intervalos semiabiertos. jemplos de conjuntos de Borel son los conjuntos F σ y G δ. Proposición Dada cualquier colección de conjuntos C, existe la mínima σ-álgebra que contiene a C. Demostración. Llamamos F a la familia de todas las σ-álgebras que contienen a C y definimos A = {B : B F}. Por definición, C B, para todo B F, de modo que C A. Además A es una σ-álgebra (por serlo B, para todo B F). Por último, si B es una σ-álgebra que contiene a C, entonces B A. Proposición Sea A un álgebra de conjuntos y (A i ) i N A. ntonces existe (B i ) i N A tal que B i B j =, para i j, y B i = A i. i N i N Demostración. Definimos B 1 = A 1 B n = A n \ (A 1... A n 1 ) = A n A c 1... A c n 1. s evidente que B n A y que B n A n para todo n. Por tanto, B i A i. Además, si suponemos m < n, B m B n A m B n = A m A n A c 1 A c n 1 =. Por último, si x A i, supongamos que n es el menor valor de i N tal que x A i. Así pues, x B n y x B i Tres principios de Littlewood La cantidad de conocimientos necesarios en la teoría de funciones de una variable real no es tan grande como se puede suponer. Hay tres principios, que se expresan a grandes rasgos de la siguiente manera: Todo conjunto medible es casi una unión finita de intervalos; Toda función medible es casi continua; Toda sucesión convergente de funciones medibles es casi uniformemente convergente.

12 Tres principios de Littlewood La mayoría de los resultados de la teoría consiste en aplicaciones intuitivas de estas ideas. H. Littlewood Realizaremos en este apartado el proceso de construcción de conjuntos medibles y funciones integrables en la recta real con el objetivo de cumplir los tres principios establecidos por Littlewood Todo conjunto medible es casi unión finita de intervalos l primer resultado en esta dirección no necesita ningún concepto especial de medida. Teorema Todo conjunto abierto A R se puede escribir de forma única como unión numerable de intervalos abiertos disjuntos. Demostración. Para cualquier x A, sea I x el mayor intervalo abierto que contiene a x y está contenido en A. Más concretamente, si I x = (a x, b x ), entonces a x = ínf{a < x : (a, x) A}, b x = sup{b > x : (x, b) A}. De este modo, A = x A I x. Veamos que la unión es disjunta. Para ello, supongamos que I x I y. Como I x I y A y además x I x I y, necesariamente I x I y I x. De forma análoga se prueba que I x I y I y, lo cual sólo puede ocurrir si I x = I y. Por último, cada intervalo I x debe contener un número racional y, al ser disjuntos dos intervalos distintos, deben contener racionales diferentes. sto quiere decir que la familia (I x ) x A es numerable. l primer concepto que nos permitirá el desarrollo de la teoría de la medida es el de medida exterior. Su definición obedece a ideas intuitivas pero carece de la propiedad de aditividad numerable. Definición. Dado un conjunto R, se define la medida exterior de como donde I n son intervalos abiertos. m () = ínf m(i n ), I n De la definición se deduce inmediatamente que m ( ) = y que m (A) m (B) si A B. Además, si A tiene sólo un punto, m (A) =. Observemos además que puede tomar el valor +. s también evidente que m es invariante bajo traslaciones. La definición intenta describir la medida de un conjunto aproximándolo desde el exterior (de ahí su nombre). Cuanto más fino sea el cubrimiento del conjunto, más próxima está su medida a la suma de las longitudes de los intervalos. n N Una definición completamente análoga se puede dar en R k. Proposición La medida exterior de un intervalo coincide con su longitud.

13 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 13 Demostración. Caso 1. Dado el intervalo [a, b], para cualquier ε >, [a, b] (a ε, b + ε). ntonces m ([a, b]) b a + 2ε, de modo que m ([a, b]) b a. Falta ver que m ([a, b]) b a lo cual equivale a probar que, si (I n ) n N es una sucesión de intervalos que cubren a [a, b], entonces n N m(i n) b a. Por la compacidad de [a, b], podemos aplicar el teorema de Heine-Borel. Así pues, basta N probar que m(i n ) b a, donde {I 1,..., I N } es un cubrimiento finito de [a, b]. n=1 Podemos suponer que a I 1 = (a 1, b 1 ). Si b 1 b, como b 1 [a, b], debe existir I 2 = (a 2, b 2 ) tal que b 1 I 2. Siguiendo este proceso, obtenemos una familia (a 1, b 1 ),..., (a k, b k ) contenida en (I i ) N tal que a i < b i 1 < b i (i = 2,..., k). Como el conjunto (I i ) N cubre al intervalo [a, b], necesariamente b (a k, b k ). ntonces N m(i n ) n=1 k m(a i, b i ) = b k a k + b k 1 a k b 1 a 1 > b k a 1 > b a porque a i < b i 1, b k > b y a 1 < a. Caso 2. Si I es un intervalo finito, dado ε >, existe J intervalo cerrado tal que J I y m(j) > m(i) ε. ntonces con lo que m (I) = m(i). m(i) ε < m(j) = m (J) m (I) m ( I) = m( I) = m(i), Caso 3. Si I es un intervalo infinito, dado cualquier M R, existe J intervalo cerrado tal que J I y m(j) = M. ntonces Por tanto, m (I) = = m(i). m (I) m (J) = m(j) = M. jemplo. l conjunto de Cantor juega un importante papel en la teoría de conjuntos y es un ejemplo de conjunto con medida exterior cero. Para construirlo, empezamos con el intervalo cerrado C = [, 1]. Si dividimos el intervalo en tres partes iguales y eliminamos la central, obtenemos C 1 = [, 1/3] [2/3, 1]. Repitiendo el proceso con los dos intervalos resultantes, tenemos C 2 = [, 1/3 2 ] [2/3 2, 1/3] [2/3, 7/3 2 ] [8/3 2, 1].

14 Tres principios de Littlewood C 1 C C Con este procedimiento, obtenemos una sucesión (C k ) k de conjuntos cerrados tales que C k+1 C k (k ). Por definición, el conjunto de Cantor es C = k C k. Sus propiedades más importantes son las siguientes: s compacto. Basta observar que es cerrado y está contenido en [, 1]. s perfecto (todo punto de C es de acumulación). Cada C k es unión de 2 k intervalos cerrados disjuntos cuyos extremos están en C (pues un extremo de cualquier intervalo de C k es extremo de algún intervalo de C k+1. Así pues, si x C, para cualquier k N, x C k. Por tanto x está contenido en alguno de los 2 k intervalos de longitud 3 k. Basta elegir x k x como uno de los extremos de dicho intervalo para que x x k 3 k. s denso en ninguna parte (int C = ). sto es consecuencia de que m (C) = pues, si existe (a, b) C, entonces b a m (C) =. s totalmente disconexo ( x, y C, x < y, z (x, y) con z C). Se deduce de la propia construcción. s no numerable. n primer lugar, establecemos la biyección entre el conjunto de sucesiones de ceros y unos quitando aquellas sucesiones que tienen todos los términos iguales a uno a partir de un cierto elemento, y el conjunto [, 1), definida por (x k ) k N x = x k k N (lo que 2 k equivale a escribir x mediante su representación binaria). A continuación establecemos la biyección que a cada sucesión anterior le asigna el punto de C \{1} mediante (x k ) k N y = 2x k k N = y k 3 k k N. De este modo, y 3 k 1 y 2... es la representación ternaria de y, la cual corresponde a un punto de C si y sólo si y k = ó y k = 2. Tiene medida exterior cero. Por construcción, C C k, donde C k es unión disjunta de 2 k intervalos cerrados, de longitud 3 k. Por tanto, m (C) (2/3) k, k, con lo que m (C) =. Proposición Si (A n ) n N es una sucesión de conjuntos en R, entonces m ( A n ) m (A n ). n N n N

15 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 15 Demostración. Si algún A n tiene medida exterior infinita, la desigualdad es evidente. Si m (A n ) <, para todo n, dado ε >, existe una sucesión (I n,i ) i N de intervalos abiertos tal que A n i N I n,i y i N m(i n,i) < m (A n ) + 2 n ε. La sucesión doble (I n,i ) n,i N cubre a n N A n y m ( A n ) m(i n,i ) < n N n N i N n N(m (A n ) + 2 n ε) = m (A n ) + ε. n N n definitiva, m ( n N A n) n N m (A n ). Corolario Si A es numerable, m (A) =. Demostración. Basta escribir A = {x k : k N} k N (x k ε k, x k + ε k ), con k N ε k < ε/2. Así, m (A) k N m(x k ε k, x k + ε k ) < ε. Corolario l conjunto [, 1] no es numerable. Lema Dado un conjunto, a) para cualquier ε >, existe un abierto A tal que A y m (A) m () + ε; b) existe G G δ tal que G y m () = m (G); c) m () = ínf{m (A) : A abierto, A}. Demostración. a) Dado ε >, existe una sucesión (I n ) n N de intervalos abiertos tal que I n N n y m () + ε m(i n N n). Si llamamos A = I n N n, entonces m (A) m(i n ) m () + ε. n N b) Por el apartado a), dado n N, existe A n un abierto tal que m () + 1/n m (A n ), con A n. Si llamamos G = n N A n, entonces G G δ, G y m (G) m (A n ) m () + 1/n. Además m () m (G). c) Si A, m () m (A), de donde m () ínf m (A). Por otro lado, según el apartado a), m (A) m () + ε. ntonces ínf m (A) m (). Proposición Si = 1 2 y d( 1, 2 ) >, entonces m ( 1 2 ) = m ( 1 ) + m ( 2 ). Demostración. Sea δ > tal que d( 1, 2 ) > δ >. Dado ε > arbitrario, sea (I n ) n N una sucesión de intervalos abiertos tal que n N I n y n N m(i n) m () + ε.

16 Tres principios de Littlewood Además elegimos la sucesión para que la longitud de cada intervalo sea menor que δ. De este modo, cada intervalo sólo puede cortar a uno de los conjuntos 1 ó 2. Simbólicamente, podemos escribir 1 I j, 2 I j, j J 1 j J 2 donde J 1 J 2 =. ntonces m ( 1 ) + m ( 2 ) j J 1 m(i j ) + j J 2 m(i j ) j N m(i j ) m () + ε. sto implica que m ( 1 ) + m ( 2 ) m (). La otra desigualdad es evidente. Se puede probar también que, si = I n N n, con I n intervalos disjuntos, entonces m () = m(i n ). A pesar de ello, no podemos concluir que, si = 1 2, con 1 2 =, n N entonces m () = m ( 1 ) + m ( 2 ). Hará falta que dichos conjuntos sean medibles. Definición. Un conjunto es medible si, para todo conjunto A, m (A) = m (A ) + m (A c ). Lema Si m () =, entonces es medible. n particular, si F y m () =, entonces F es medible. Demostración. Dado un conjunto A, como A, entonces m (A ) m () =. Por otra parte, como A c A, entonces La otra desigualdad es evidente. m (A) m (A c ) = m (A c ) + m (A ). De esta propiedad deducimos en particular que el conjunto de Cantor es medible. Proposición La familia M = {A : A es medible} es un álgebra de conjuntos. Demostración. Hay que demostrar, en primer lugar, que, si 1 y 2 son medibles, entonces 1 2 es medible. Por una parte, m (A c 1 ) = m (A c 1 2) + m (A ( 1 2 ) c ). Por otra parte, m (A ( 1 2 )) m (A 1 ) + m (A 2 1 c ). Por tanto, m (A ( 1 2 )) + m (A ( 1 2 ) c ) m (A 1 ) + m (A c 1) = m (A). Para que M sea un álgebra de conjuntos, falta probar que, si A es medible, entonces A c es medible, pero esto es consecuencia de la propia definición. Veremos a continuación que la familia M es además una σ-álgebra.

17 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 17 Lema Si A es un conjunto y { 1,..., n } una colección disjunta de conjuntos medibles, entonces m ( n ) n A ( i ) = m (A i ). Demostración. (Por inducción) l caso n = 1 es evidente. Si suponemos cierta la propiedad para n 1, teniendo en cuenta que resulta n n A ( i ) n = A n y A ( m ( n A ( ) i ) = m (A n ) + m ( n 1 A ( n 1 i ) n c = A ( ) i ) = i ), n m (A i ). Proposición La familia M es una σ-álgebra de conjuntos. Demostración. Basta ver que, si = i N i, con i M, entonces M. Por la proposición 1.2.2, podemos suponer i j =, si i j. Dado cualquier conjunto A, si llamamos F n = n i, entonces F n M y c F c n. Por tanto, m (A) = m (A F n ) + m (A F c n) m (A F n ) + m (A c ). Por el lema 1.3.1, de modo que m (A) m (A F n ) = n m (A i ), n m (A i ) + m (A c ). Como la desigualdad es cierta para todo n, m (A) i N m (A i ) + m (A c ) m (A ) + m (A c ) por la subaditividad numerable de m. Veamos a continuación que la clase de conjuntos medibles contiene a la clase de conjuntos de Borel en R. Lema l intervalo (a, ) es medible.

18 Tres principios de Littlewood Demostración. Dado A, sean A 1 = A (a, ) y A 2 = A (, a]. Si m (A) =, es evidente que m (A 1 ) + m (A 2 ) m (A). Si m (A) <, dado ε >, existe una sucesión de intervalos abiertos (I n ) n N A I n N n y m(i n N n) m (A) + ε. Llamamos I n,1 = I n (a, ) e I n,2 = I n (, a]. ntonces tal que m(i n ) = m(i n,1 ) + m(i n,2 ) = m (I n,1 ) + m (I n,2 ). Como A 1 I n N n,1, tenemos: m (A 1 ) m ( I n,1 ) m (I n,1 ) n N n N y, como A 2 n N I n,2, tenemos m (A 2 ) m ( n N I n,2 ) n N m (I n,2 ). Así pues, m (A 1 ) + m (A 2 ) n N (m (I n,1 ) + m (I n,2 )) n N m(i n ) m (A) + ε. Al ser ε arbitario, m (A 1 ) + m (A 2 ) m (A). Proposición Todo conjunto de Borel es medible. n particular todos los conjuntos abiertos y cerrados son medibles. Demostración. Como (a, ) M, entonces (, a] M. Además, como (, b) = n N (, b 1/n], entonces (, b) M. Como (a, b) = (, b) (a, ), entonces (a, b) M. Si A es abierto, A = n N I n, con I n intervalos abiertos. ntonces A M. Como B es la menor σ-álgebra que contiene los conjuntos abiertos, B M. Observación. No todos los conjuntos medibles son de Borel (una demostración constructiva puede verse en [AB]). Definición. Dado un conjunto medible, se define la medida de Lebesgue de como m() = m (). De este modo, m es la restricción de m a la familia M. Proposición Si ( n ) n N es una sucesión de conjuntos medibles, entonces m( n N n ) n N m( n ). Si i j =, para i j, entonces m( n ) = m( n ). n N n N

19 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 19 Demostración. La primera parte consiste precisamente en la subaditividad de la medida exterior (proposición 1.3.3). Si ( 1,..., k ) es una familia finita de conjuntos medibles disjuntos, por el lema con A = R, resulta que k k m( n ) = m( n ). n=1 Por último, si ( i ) i N es una sucesión infinita de conjuntos medibles disjuntos, entonces n i i, de modo que i N n=1 m( n i ) m( i ) = i N n m( i ). Como la desigualdad es cierta para todo n, m( i N n ) i N m( i ). Proposición Si ( i ) i N es una sucesión de conjuntos medibles y k k+1, para todo k N, entonces m( i N i ) = lím n m( n). Demostración. Construimos los conjuntos F 1 = 1, F k = k \ k 1, k 2. Así, (F k ) k N es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos y F k = k. Por tanto, m( k N k ) = k N m(f k ) = lím n n k=1 m(f k ) = lím m( n n k=1 F k ) = lím n m( n). Proposición Si ( n ) n N es una sucesión infinita de conjuntos medibles, tal que k+1 k, para todo k, y m( 1 ) es finita, entonces m( i N i ) = lím n m( n). Demostración. Llamamos = i N i y F i = i \ i+1. ntonces 1 \ = i N F i, y los conjuntos F i son disjuntos dos a dos. Por tanto, m( 1 \ ) = i N m(f i ) = i N m( i \ i+1 ).

20 Tres principios de Littlewood Ahora bien, m( 1 ) = m() + m( 1 \ ) y m( i ) = m( i+1 ) + m( i \ i+1 ), debido a que 1 y i+1 i. Teniendo en cuenta que m( i ) m( 1 ) <, resulta que Así pues, m( 1 \ ) = m( 1 ) m() y m( i \ i+1 ) = m( i ) m( i+1 ). m( 1 ) m() = i N[m( i ) m( i+1 )] = lím n n [m( i ) m( i+1 )] = lím[m( 1 ) m( n )] = m( 1 ) lím m( n ). Como m( 1 ) <, resulta que m() = lím m( n ). Observemos que el resultado puede ser falso si m( 1 ) =. Basta considerar los conjuntos n = (n, ). Veremos a continuación lo establecido por el primer principio de Littlewood, que todo conjunto medible es casi unión finita de intervalos. Proposición Dado un conjunto R, son equivalentes: a) es medible. b) Dado ε >, existe un abierto A tal que m (A \ ) < ε. c) Dado ε >, existe un cerrado F tal que m ( \ F ) < ε. d) xiste G G δ, con G, tal que m (G \ ) =. e) xiste F F σ, con F, tal que m ( \ F ) =. Si además m () es finita, las proposiciones anteriores son equivalentes a f) Dado ε >, existe U unión finita de intervalos abiertos tal que m (U ) < ε. Demostración. a) = b): Si m() <, por el lema 1.3.6, dado ε >, existe un abierto A tal que A y m (A) m () + ε. Como es medible, m (A) = m (A ) + m (A c ) = m () + m (A \ ) = m (A \ ) = m (A) m () ε. Si m() =, sea n = {x : n 1 x < n}. Dado ε >, como m( n ) <, para cada n existe un abierto A n n tal que m (A n \ n ) < ε/2 n. Ahora el conjunto A = n N A n es abierto y A. Como A \ n N (A n \ n ), entonces m (A \ ) n N m (A n \ n ) < ε.

21 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 21 b) = d): Para cada n N, existe A n abierto, con A n, tal que m (A n \ ) < 1/n. Si G = n N A n, entonces G G δ, G y Por tanto, m (G \ ) =. m (G \ ) m (A n \ ) < 1/n, n N. d) = a): Si m (G\) =, entonces G\ es medible. Como G es medible y = (G\) c G, entonces es medible. a) = c): Como c es medible, existe A abierto tal que c A y m (A \ c ) < ε. ntonces A c es cerrado y A c. Además m ( \ A c ) = m ( A) < ε. c) = e): Para cada n N, existe F n cerrado, con F n, tal que m ( \ F n ) < 1/n. Si F = n N F n, entonces F F σ, F y Por tanto, m ( \ F ) =. m ( \ F ) m ( \ F n ) < 1/n, n N. e) = a): Como m ( \ F ) =, entonces \ F es medible. scribiendo = ( \ F ) F, deducimos que es medible. a) = f): Sea (I j ) j N una sucesión de intervalos abiertos tal que j N I j y m ()+ε/2 j N m(i j). Como m () <, la serie es convergente y existe n N tal que j=n +1 m(i j) < ε/2. Si llamamos U = n j=1 I j, entonces m (U ) = m (U \ ) + m ( \ U) m ( j N I j \ ) + m ( j N m(i j ) m () + j=n +1 m(i j ) < ε. j=n +1 I j ) Corolario Todo conjunto medible con medida positiva contiene un conjunto cerrado con medida positiva. Demostración. Si es medible, dado ε >, existe F cerrado tal que F y m ( \F ) < ε. ntonces m(f ) = m() m( \ F ) > m() ε. Basta elegir ε < m()/2 para que m(f ) >. Otras propiedades deseables de la medida se refieren a la invariancia, como indicamos a continuación.

22 Tres principios de Littlewood Proposición Sea un conjunto medible. ntonces: a) Para todo k R, el conjunto k = + k = {x + k : x } es medible y m( k ) = m(). b) Para todo λ >, el conjunto λ = {λ x : x } es medible y m(λ) = λ m(). c) l conjunto = { x : x } es medible y m( ) = m(). Demostración. Veamos el apartado a) (el resto es similar). Dado A R, llamamos A = A k = {u R : u + k A}. ntonces m (A k ) + m (A k c ) = m (A ) + m (A c ) = m (A ) = m (A). Para terminar la sección, hagamos la construcción de un conjunto no medible, lo que demuestra que no puede extenderse la noción de longitud a cualquier subconjunto de R si se quiere que se cumpla la propiedad m (A B) = m (A) + m (B), con A y B disjuntos. ste resultado fue probado por Vitali en el trabajo Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta publicado en 195. n primer lugar, establecemos la siguiente relación de equivalencia en [, 1]: x y cuando x y Q. sta relación permite escribir [, 1] = α α, unión disjunta de clases de equivalencia. A continuación, definimos N = {x α : x α α } (llamado conjunto de Vitali) eligiendo exactamente un elemento de cada clase α (por el axioma de elección). Veamos que N no es medible. Si numeramos los racionales en [, 1] como {r k : k N}, consideramos los conjuntos trasladados N k = N + r k. Probaremos que estos conjuntos son disjuntos: Si N k N p, existen r k, r p racionales distintos, y existen α, β tales que x α + r k = x β + r p, o bien x α x β = r p r k Q. sto significa que x α x β, luego x α = x β pues N tiene un solo elemento de cada clase. Por tanto, r p = r k, lo que es absurdo. También es fácil probar que [, 1] k N N k [, 2]. n efecto, si x [, 1], x x α para algún α, de donde x x α = r k para algún k. Así x N k. La segunda inclusión es evidente. Por último, supongamos que N es medible. ntonces, para todo k, N k también lo es. Como (N k ) son disjuntos, las inclusiones anteriores implican 1 k N m(n k ) 2 = 1 k N m(n ) 2. sto es una contradicción, porque, si m(n ) =, entonces tendríamos 1 2 y, si m(n ) >, entonces 1 2. Observación. La construcción anterior de un conjunto no medible utiliza el axioma de elección. De hecho, R. Solovay, en Notices Am. Math. Society, 12 (1965), demuestra que no es posible construir conjuntos no medibles sin utilizar el axioma de elección.

23 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R Toda función medible es casi continua Una vez establecida la noción de conjunto medible, vamos a utilizarla para definir las funciones medibles. n primer lugar, estableceremos algunas propiedades equivalentes. Proposición Sea f : R R una función cuyo dominio D es medible. Son equivalentes: i) α R : {x : f(x) > α} es medible. ii) α R : {x : f(x) α} es medible. iii) α R : {x : f(x) < α} es medible. iv) α R : {x : f(x) α} es medible. Todas estas proposiciones implican v) α R : {x : f(x) = α} es medible. Demostración. i) iv) porque {x : f(x) α} = D \ {x : f(x) > α}. ii) iii) por la misma razón. i) = ii) porque {x : f(x) α} = n N {x : f(x) > α 1/n}. ii) = i) porque {x : f(x) > α} = n N {x : f(x) α + 1/n}. Por último, si α R, {x : f(x) = α} = {x : f(x) α} {x : f(x) α} de modo que, en este caso, ii) y iv) implican v). Además, {x : f(x) = } = n N {x : f(x) n} con lo que ii) implica v) si α = (análogamente con α = ). Observación. n el caso de que la función sólo tome valores reales, las propiedades anteriores son equivalentes a que la imagen inversa de cualquier abierto sea medible y a que la imagen inversa de cualquier cerrado sea medible. Definición. Una función f : R R se dice que es medible Lebesgue cuando su dominio es medible y verifica una cualquiera de las cuatro afirmaciones equivalentes de la proposición anterior. La definición involucra así a los conjuntos más importantes relacionados con una función como son las imágenes inversas de intervalos. De la definición se deduce que toda función continua es medible; toda función escalonada es medible; la restricción de una función medible a un subconjunto medible del dominio es también medible. Una caracterización interesante se demuestra en el siguiente resultado. Proposición Sea R un conjunto medible y f : R. ntonces f es medible si y sólo si f 1 (B) es medible, para todo B de Borel en R. Demostración. Si f es medible, definimos A = {A R : f 1 (A) es medible}.

24 Tres principios de Littlewood s claro que A. Además, f 1 (A c ) = f 1 (R) \ f 1 (A) = \ f 1 (A). Por tanto, si A A, entonces A c A. Por último, si (A n ) n N A, entonces f 1( ) A n = f 1 (A n ) es medible. n N n N Así pues, A es una σ-álgebra. Como además entonces (a, b) A. f 1 (a, b) = f 1 (a, ) f 1 (, b], Por tanto, A contiene todos los conjuntos abiertos, con lo que contiene también a todos los conjuntos de Borel. l recíproco es trivial. Proposición Si c R y f, g : D R R son funciones medibles, entonces f + g, c f y f g son medibles. n consecuencia, f k es medible para todo k N. Demostración. a) Dado α R, sea x D tal que f(x) + g(x) < α. ntonces f(x) < α g(x) y, como consecuencia de la propiedad arquimediana de los números reales, existe r Q tal que f(x) < r < α g(x). Por tanto, {x : f(x) + g(x) < α} = r Q{x : f(x) < r} {x : g(x) < α r}. Como Q es numerable, este conjunto es medible. b) Como {x : c f(x) < α} = {x : f(x) < α/c}, entonces c f es medible. c) Si α, entonces y, si α <, entonces {x : f 2 (x) > α} = {x : f(x) > α} {x : f(x) < α} {x : f 2 (x) > α} = D. n ambos casos, se deduce que f 2 es medible. Como f g = 1 [ 2 (f + g) 2 (f 2 + g 2 ) ], entonces f g es medible. Teorema Para cada n N, sea f n : D R medible. ntonces sup n N f n, ínf n N f n, lím sup f n y lím inf f n son medibles. Demostración. Si llamamos g(x) = sup n N f n (x), entonces {x : g(x) > α} = n N{x : f n (x) > α}, de modo que g es medible (análogamente con el ínfimo pues ínf f n = sup( f n )). Como lím sup f n = ínf k N sup n k f n, entonces es una función medible (análogamente con el límite inferior).

25 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 25 Corolario Si (f n ) n N entonces f es medible. es una sucesión de funciones medibles y f(x) = lím f n (x), jemplo. Para probar { que la función de Dirichlet f = χ Q es medible en [, 1], consideramos 1 si x {r 1,..., r n } la sucesión f n (x) = donde {r 1,..., r n,... } es una ordenación de los en el resto, racionales en [, 1]. s fácil comprobar que cada f n es medible (basta determinar el conjunto {x : f n (x) > r} en los casos r 1, r < 1 y r < ). Como lím f n (x) = f(x), x [, 1], entonces f es medible. Definición. Decimos que una propiedad se cumple en casi todo punto (o casi seguramente, abreviadamente c.s.) cuando el conjunto donde no es cierta tiene medida cero. n particular se dice que f = g c.s. cuando ambas funciones tienen el mismo dominio y m({x : f(x) g(x)}) =. Del mismo modo, decimos que f n f c.s. cuando existe un conjunto de medida cero tal que f n (x) g(x), para todo x. Proposición Si f es medible y f = g c.s., entonces g es medible. Demostración. Sean A = {x : f(x) > α} y B = {x : g(x) > α}. Por hipótesis, A es medible y m(a \ B) = m(b \ A) =. ntonces es medible. B = (B \ A) (B A) = (B \ A) (A \ (A \ B)) Los ejemplos básicos de funciones medibles son las funciones escalonadas y las funciones simples: las primeras son los elementos básicos en la teoría de integración de Riemann mientras las segundas lo serán en la teoría de integración de Lebesgue. Definición. Se llama función escalonada a una función que se puede escribir como combinación lineal de funciones características de intervalos en R. Así, si f es escalonada, existen constantes {a 1,...,, a N } e intervalos {I 1,..., I N } tales que f(x) = N a i χ Ii (x). Por otra parte, diremos que ϕ es una función simple si ϕ(x) = donde i son medibles y de medida finita. N a i χ i (x), sta representación no es única pero una función es simple si y sólo si es medible y toma sólo un número finito de valores. n Si ϕ es simple y su conjunto de valores no nulos es {a 1,..., a n }, entonces ϕ = a i χ Ai, con A i = {x : ϕ(x) = a i }. sta es la llamada representación canónica de ϕ y se caracteriza porque A i son disjuntos y a i son distintos y no nulos.

26 Tres principios de Littlewood Veamos que las funciones medibles pueden aproximarse por funciones simples. Proposición Sea f : D R. a) xiste una sucesión de funciones simples que converge puntualmente a f. b) Si f es acotada, se puede elegir la sucesión para que converja uniformemente a f. Demostración. Supondremos que f (en el caso general se descompone f como diferencia de funciones no negativas a las que se aplica el razonamiento siguiente). a) Para cada n N y cada i con 1 i n 2 n, sea { ni = x D : i 1 2 n f(x) < i } 2 n. Así, ni nj =, si 1 i, j n 2 n, i j, y Definimos n = ϕ n (x) = n 2 n n 2 n ni = {x D : f(x) < n}. i 1 2 n χ ni + n χ c n, n 1, la cual es una función simple. Veamos que lím ϕ n (x) = f(x), x D: Dado x D, si f(x) <, para cualquier ε >, existe n N tal que 1/2 n < ε y f(x) < n. Por tanto, x n, para todo n n, con lo que existe i [1, n 2 n ] tal que x ni. ntonces i 1 2 n f(x) < i 2 n y ϕ n(x) = i 1 2 n. Así pues, f(x) ϕ n (x) < 1/2 n < ε, n n. n el caso de que f(x) =, entonces f(x) n, n N, es decir x c n, n N. Por tanto, ϕ n (x) = n con lo que lím ϕ n (x) = = f(x). b) Si f es acotada, existe M tal que f(x) < M, x D. n este caso, D = n, n M, con lo que, dado ε >, podemos elegir n N tal que 1/2 n < ε. ntonces f(x) ϕ n (x) < ε, x D, n n, con lo que la convergencia es uniforme. Observación. También es posible aproximar una función medible por una sucesión de funciones escalonadas. n este caso, sin embargo, la convergencia sólo será en casi todo punto. l caso particular de las funciones continuas en un intervalo cerrado sí permite la convergencia uniforme mediante funciones escalonadas como veremos a continuación. Si f es continua en [a, b], entonces es uniformemente continua. Por tanto, para cada m N, existe δ > tal que, x, y [a, b], x y < δ = f(x) f(y) < 1/m. Dado n N tal que δ > 1/n, sea a i = a + i(b a) n, i n. ntonces, si x [a i 1, a i ), x a i 1 1/n < δ.

27 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 27 Definimos g m (x) = n f(a i 1) χ [ai 1,a i )(x), x [a, b), g m (b) = f(b). ntonces (g m ) es una sucesión de funciones escalonadas que converge uniformemente a f. A continuación enunciamos el segundo principio de Littlewood, mediante el que aproximamos cualquier función medible por funciones continuas. Proposición Sea f : [a, b] R una función medible tal que {x : f(x) = ± } tiene medida cero. ntonces, dado ε >, existe una función escalonada g y una función continua h tales que f g < ε y f h < ε, excepto en un conjunto de medida menor que ε. Si, además, m f M, entonces podemos elegir g y h de modo que m g M y m h M. squema de la prueba. Paso 1. Sea f : [a, b] R una función medible tal que {x : f(x) = ± } tiene medida cero. ntonces, dado ε >, existe M R tal que f M excepto en un conjunto de medida menor que ε/3. Paso 2. Sea f : [a, b] R una función medible. Dados ε > y M R, existe una función simple ϕ = n α iχ Ai, con A i = {x : ϕ(x) = α i }, tal que f(x) ϕ(x) < ε excepto donde f(x) M. Si m f M, podemos elegir ϕ de modo que m ϕ M. Paso 3. Dada una función simple ϕ en [a, b], existe una función escalonada g en [a, b] tal que ϕ(x) = g(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3 (usar la proposición ). Si m ϕ M, podemos elegir g de modo que m g M. Paso 4. Dada una función escalonada g en [a, b], existe una función continua h tal que g(x) = h(x), excepto en un conjunto de medida menor que ε/3. Si m g M, podemos elegir h de modo que m h M Toda sucesión convergente de funciones medibles es casi uniformemente convergente l tercer principio de Littlewood establece la casi convergencia uniforme de las sucesiones convergentes de funciones medibles. Su formulación exacta es la siguiente. Proposición (teorema de gorov). Sea un conjunto medible con m() < y, para cada n N, f n : R una función medible. Sea f : R R una función tal que f n (x) f(x), para casi todo x. ntonces, dados ε > y δ >, existe un conjunto medible A, con m(a) < δ, y N N tales que f n (x) f(x) < ε, x A y n N. Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que f n (x) f(x) para todo x. sto asegura que la función f es medible. Sea G n = {x : f n (x) f(x) ε} y, para cada N N, llamamos N = G n = {x : f n (x) f(x) ε, para algún n N}. n=n

28 Integral de Lebesgue Así, N+1 N y, si x, existe n tal que x n (debido a que f n (x) f(x)). sto quiere decir que N N N =, de donde lím m( N ) = (por la proposición ). De este modo, dado δ >, existe N tal que m( N ) < δ, o bien m({x : f n (x) f(x) ε, para algún n N}) < δ. Si llamamos A a dicho conjunto N, entonces m(a) < δ y A c = {x : f n (x) f(x) < ε, n N}. Por tanto, (f n ) converge uniformemente a f en A c. Observaciones. 1) l teorema no asegura que puede obtenerse la convergencia uniforme en n 2 x si x [, 1/n] todo el conjunto. Si consideramos, por ejemplo, la sucesión f n (x) = n 2 x + 2n si x [1/n, 2/n] en el resto, entonces f n en [, 1] pero la convergencia no es uniforme en todo [, 1]. 2) Ni siquiera puede asegurarse la convergencia uniforme salvo en un conjunto de medida cero. Para comprobarlo, sea g n = χ (,1/n), n N. La sucesión (g n ) n N converge puntualmente a cero en [, 1] y, por el teorema de gorov, la convergencia es casi uniforme. Sin embargo, dicha sucesión no converge uniformemente salvo un conjunto de medida nula. 3) La hipótesis m() < es esencial. Un ejemplo que lo prueba es la sucesión (χ [n,n+1) ) definida en = [, ) Integral de Lebesgue Los conjuntos medibles y las funciones medibles serán los elementos básicos en la definición de la integral de Lebesgue. Dicha integral será una generalización de la integral de Riemann, manteniendo las propiedades básicas de linealidad pero aplicable a familias más amplias de funciones. n particular, su interpretación como área de figuras planas también es válida en los casos usuales. Definiremos el concepto de integral de Lebesgue progresivamente para familias de funciones cada vez mayores. n cada paso estableceremos las propiedades básicas, como la linealidad, aditividad y monotonía, las cuales deberán mantenerse en las sucesivas extensiones. l primer paso será establecer la integral de funciones simples, para luego extenderla a funciones medibles acotadas y medibles no negativas Definiciones y primeros resultados Definición. Si ϕ es una función simple que se anula fuera de un conjunto de medida finita, se define su integral de Lebesgue como ϕ = ϕ(x) dx = n a i m(a i )

29 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 29 si ϕ = n a i χ Ai es la representación canónica de ϕ. Si es un conjunto medible, definimos ϕ = ϕ χ. Veamos en primer lugar que la definición de integral no depende de la representación de la función. n Lema Sea ϕ = a i χ i, con i j =, para i j. Si cada i es un conjunto medible con medida finita, entonces ϕ = n a i m( i ). Demostración. Llamamos a = {x : ϕ(x) = a} = a i =a i. ntonces los conjuntos a son disjuntos y a m( a ) = a i =a a i m( i ) por la aditividad de m. Además, ϕ = a a χ a, de donde ϕ = a m( a ) = a i m( i ). Proposición Sean ϕ, ψ funciones simples que se anulan fuera de un conjunto de medida finita. ntonces a) (a ϕ + b ψ) = a ϕ + b ψ. b) Si ϕ ψ c.s., entonces ϕ ψ. c) Si A B =, entonces ϕ = ϕ + ϕ. A B A B d) ϕ es también una función simple y ϕ ϕ. Demostración. a) Sean {A i } y {B j } los conjuntos correspondientes a las representaciones canónicas de ϕ y ψ, y A y B los conjuntos donde sea anulan ϕ y ψ, respectivamente. ntonces los conjuntos k = A i B j forman una familia disjunta de conjuntos medibles y podemos escribir N N ϕ = a k χ k, ψ = b k χ k k=1 k=1

30 Integral de Lebesgue de modo que Por el lema anterior, N aϕ + bψ = (a a k + b b k ) χ k. (aϕ + bψ) = a k=1 ϕ + b ψ. b) Como la integral de una función simple no negativa c.s. es no negativa, entonces ϕ ψ = (ϕ ψ). c) Teniendo en cuenta que, si A y B son disjuntos, χ A B = χ A + χ B, de modo que ϕ = ϕ χ A B = ϕ χ A + ϕ χ B = ϕ + ϕ. d) Si ϕ(x) = Por tanto, k=1 A B N N a k χ k (x) es la representación canónica de ϕ, entonces ϕ(x) = a k χ k. ϕ = N N a k m( k ) a k m( k ) = k=1 k=1 A ϕ. B k=1 Observación. De este resultado deducimos que la restricción establecida en el lema anterior de que i j = no es necesaria. l siguiente paso del proceso consiste en definir la integral para funciones acotadas. Para ello, necesitaremos el siguiente resultado previo. Proposición Sea f : R acotada con m() finita. Son equivalentes: a) ínf ψ = sup ϕ, para todas las funciones simples ϕ, ψ. f ψ f ϕ b) f es medible. Demostración. Supongamos que f(x) M, x y que f es medible. Los conjuntos k = {x : km/n f(x) > (k 1)M/n}, n k n son medibles y disjuntos y n k= n k =. ntonces m() = n k= n m( k). Si definimos las funciones simples ψ n (x) = M n ϕ n (x) = M n n k χ k (x) k= n n (k 1) χ k (x) k= n

31 Capítulo 1. Integral de Lebesgue en R 31 entonces ϕ n (x) f(x) ψ n (x), de donde ínf ψ ψ f sup ϕ f ϕ ψ n = M n ϕ n = M n n k m( k ) k= n n (k 1) m( k ). k= n Por tanto, Como n es arbitrario, ínf ψ f ínf ψ sup ϕ M ψ f ϕ f n ψ = sup ϕ f Recíprocamente, supongamos que ínf ψ f que ϕ n (x) f(x) ψ n (x) y ψ n ϕ n < 1/n. ϕ. n k= n m( k ) = M n m(). ψ = sup ϕ. Dado n N, existen ϕ n y ψ n tales ϕ f ntonces las funciones ψ = ínf ψ n y ϕ = sup ϕ n son medibles y ϕ (x) f(x) ψ (x). Por otra parte, el conjunto = {x : ϕ (x) < ψ (x)} es unión de los conjuntos ν = {x : ϕ (x) < ψ (x) 1/ν}. Como ν {x : ϕ n (x) < ψ n (x) 1/ν} y la medida de este último conjunto es menor que ν/n, entonces m( ν ) =. n consecuencia, m( ) =, lo que significa que ϕ = ψ excepto en un conjunto de medida cero, y ϕ = f excepto en un conjunto de medida cero, con lo que f es también medible. Definición. Si f : R, con m() <, es medible y acotada, se define la integral de Lebesgue de f sobre como { } f = ínf ψ : ψ es una función simple con ψ f. Proposición Sea f : [a, b] R acotada. Si f es integrable Riemann en [a, b], entonces b b es medible y R f = f (donde indicamos por R f a la integral de Riemann de f). a [a,b] Demostración. Como toda función escalonada es simple, R b a f sup ϕ ínf ψ R ϕ f [a,b] ψ f [a,b] Como f es integrable Riemann, todas las desigualdades son igualdades y f es medible. Proposición Si f, g : R, con m() <, son medibles y acotadas, entonces i) (af + bg) = a f + b g. ii) Si f = g c.s., f = g. a b a f.

32 Integral de Lebesgue iii) Si f g, c.s., f g. n consecuencia, f f. iv) Si α f(x) β, α m() f β m(). v) Si A y B son conjuntos medibles disjuntos de medida finita, Demostración. i) Si ψ es simple, aψ también. ntonces - si a >, a f = ínf aψ = a ínf ψ = a f. ψ f ψ f - si a <, a f = ínf aϕ = a sup ϕ = a ínf ϕ f ϕ f ψ f A B ψ = a f. f = A f + f. B Si ψ 1 y ψ 2 son funciones simples mayores o iguales que f y g, respectivamente, entonces ψ 1 + ψ 2 es una función simple mayor o igual que f + g. Así pues, (f + g) (ψ 1 + ψ 2 ) = ψ 1 + ψ 2. Tomando ínfimos en el miembro de la derecha, resulta (f + g) f + Análogamente, si ϕ 1 f y ϕ 2 g, entonces ϕ 1 + ϕ 2 f + g, de donde (f + g) (ϕ 1 + ϕ 2 ) = ϕ 1 + ϕ 2. Tomando supremos sobre las funciones simples ϕ 1 y ϕ 2, resulta (f + g) f + g. ii) Como f g = c.s., si ψ f g, entonces ψ c.s., de donde ψ = (f g). Análogamente se prueba que (f g). iii) Visto en ii). iv) Basta observar que 1 = m(). v) Basta observar que χ A B = χ A + χ B y aplicar i). g Teoremas de convergencia Llegados a este punto, ya estamos en condiciones de probar los resultados de convergencia que convierten a la integral de Lebesgue en una herramienta básica del análisis y a la que no puede llegar la integral de Riemann.