AJUSTE DE CURVAS. Cálculo Numérico Ing. Frednides Guillén Guerra Maracay - Venezuela

Transcripción

1 JUSTE DE CURVS Cálculo umérico Ing. Frednides Guillén Guerra Maraca - Venezuela

2 juste de Curvas Consiste en determinar los parámetros de un modelo f() que se ajuste mejor a los datos (, ),..., (, ) que están sujetos a errores aleatorios producidos por incertidumbres en las mediciones, por un deficiente control de las condiciones en el que se realiza un eperimento.

3 juste de Curvas Cuando se consideran datos que están sujetos a errores aleatorios, se emplea: EL MÉTODO DE LOS MÍIMOS CUDRDOS

4 juste de Curvas partir del método de los mínimos cuadrados se obtienen las Ecuaciones de Regresión tienen varias aplicaciones: Descripción construcción de modelos Predicción estimación Estimación de parámetros Control

5 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo: partir de un ensao eperimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproimada:

6 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados La recta de regresión consiste en el análisis de regresión simple del método de los mínimos cuadrados: Lo que se desea es encontrar una ecuación simple que aproime lo mejor posible los puntos de estudio La recta o cualquier otra función elegida para aproimar los datos es llamada modelo

7 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la recta: f() Que minimiza el error cuadrático medio E(f) E( f ) f ( ) / ()

8 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados El error medio cuadrático está dado por la siguiente ecuación: / E( f ) f ( ) () El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar porque no es tan complejo de minimizar computacionalmente.

9 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Sea un conjunto de puntos (, ) donde hasta, cuas abscisas { } son todas distintas, la recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de ecuación f () que minimiza el error medio cuadrático E (f). El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente epresión es mínima: ( E ( f )) f ( ) ()

10 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la recta, entonces: E(, ) ( ) (3) El valor mínimo de la función E(,) se calcula igualando a cero sus derivadas parciales: E(, ) E(, ) 0 0 (4)

11 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Desarrollando el cálculo, tenemos: Luego: ( )( ) ( ) ( ) ( ) E E ), ( ), ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,

12 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Despejando: este sistema de ecuaciones se le conoce como: ECUCIOES ORMLES DE GUSS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5),

13 Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Ejemplo: partir de un ensao eperimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos (-, 0), (0,9), (,7), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (6, -). Obtener la ecuación de la recta aproimada. Primero se calculan los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss: ( ) plicamos la ecuación (5)

14 juste Potencial M lgunos casos eperimentales se modelan mediante una función del tipo M, donde M es una constante conocida. Usando la técnica de los mínimos cuadrados: E( ) ( M ) En este caso particular basta con calcular la derivada de E() e igualar a cero:

15 juste Potencial M El desarrollo de las ecuaciones es el siguiente: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Por lo tanto se obtiene : 0 0 ) '( 0 ) ( ; ) ( M M M M M M M M M E E E

16 juste Potencial M Ejemplo: fin de medir la aceleración de la gravedad, se recogieron unos datos eperimentales del tiempo que tarda en llegar un objeto al suelo. La relación funcional es d0.5gt. donde d es la distancia de caída media en metros t el tiempo medio en segundos. Con estos datos calcule el valor aproimado de la aceleración de la gravedad g. Tiempo t (s) Distancia d (m)

17 juste Potencial M plicamos la ecuación (6) ( M ) ( M ) Tiempo t (s) Distancia d (m) d t 4 t ( ) ( 4 d t t ) d t Despejando la gravedad : g * g m/s

18 juste de Curvas Supóngase que se quiere ajustar un conjunto de datos a una curva eponencial de la forma: Ce plicamos logaritmo en ambos miembros de la ecuación ln( ) ln( ) ln( ) ln ( ln Ce ) ( C ) ( ln e ) ( C ) Y X De esta manera queda linealizada la ecuación se pueden hacer los siguientes cambios de variable: ln Yln(), X, ln(c)

19 juste de Curvas Mediante el cambio de variable los datos quedan de la siguiente forma: (X, Y ) (, ln( )); a este proceso se le conoce como método de linealización de datos. Luego se aplican las ecuaciones normales de Gauss. Luego que se obtienen, se calcula el parámetro C: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7), Y X Y X X X e C

20 juste de Curvas Ejemplo: Utilice el método de linealización de datos para hallar el ajuste eponencial Ce a los cinco datos: (0,.5), (,.5), (, 3.5), (3, 5.0) (4, 7.5). plicando los cambios de variable: X Y ln( ) X X Y

21 juste de Curvas plicando la ecuación (7) para el cálculo de los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss, se tiene: C e e

22 juste de Curvas Cambios de variables para linealizar datos: Función, f() Linealización, Y Cambios / / X /, Y / ( ) / X, Y / ln() ln() X ln(), Y C e C ln() ln() ln() X, Y ln(), ln(c), Ce X ln(), Y ln(), ln(c), Ce