lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
|
|
- Eugenio Hernández Fidalgo
- hace 2 años
- Vistas:
Transcripción
1 . ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: Definición: Si un punto (,y) se desplaza continuamente por una función y = f() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Veamos una gráfica: Como vemos en esta gráfica la recta r se aproima todo lo que queramos a la función (aunque no llega a cortarla o tocarla). A r se le llama asíntota vertical de f en =. Vemos que f ( ) De manera análoga, vemos que tiene una asíntota horizontal en +, que es la recta s: y =. Se observa que f ( ) Las asíntotas se clasifican en tipos: a. Asíntotas verticales Son paralelas al eje OY. Son de la forma f ( r a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún tipo de infinito: También vale cuando tendemos a a por la izquierda o por la derecha. Estos números a suelen ser los puntos etremos de los intervalos del dominio. Ejemplo : Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) Primero el dominio de la función: Dom ( f ) R,. Las posibles asíntotas verticales son = ó = - Veamos que pasa con la función alrededor de esos puntos, calculando los ites: En =, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a 0. = 0 = Al acercarnos por la derecha al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = a
2 = 0 = Al acercarnos por la izquierda al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en =. De manera general, decimos que la recta r: = es una asíntota vertical. En = -, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a 0. = 0 = Al acercarnos por la derecha al -, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = - = 0 = Al acercarnos por la izquierda al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en = -. De manera general, decimos que la recta r: = - es una asíntota vertical. Veamos gráficamente la información que nos ha aportado este estudio. Nos da una buena idea de la gráfica de la función En = En = - Las dos a la vez Ejemplo : Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) En este caso, el dominio de la función Dom( f ) R, con lo cual no tiene A.V. y no hay que hacer nada más Ejemplo : Calcula las asíntotas verticales de f ( ) ln Como sabemos, Dom (ln) (0, ). Por tanto puede presentar una A.V. en = 0. Veamos los ites laterales:
3 ln 0, como sabemos, luego r: = 0 es una A.V. por la derecha El ite lateral izquierdo en 0 no se puede calcular pues por ahí la función ln no está definida Gráficamente tenemos algo así: si Ejemplo 4: Calcular las asíntotas verticales de f ( ) sis si En este caso, también tenemos que Dom( f ) R, pero al ser definidas por partes, puede que tenga A.V. en los puntos que cambia de definición o en los puntos donde la función no este definida. Aquí sólo se plantea en =, y vamos a calcular los ites laterales. 0. Por la derecha hay A.V., que es r : = NO hay A.V. por la izquierda Gráficamente esta función es así:
4 b. Asíntotas horizontales Son rectas paralelas al eje OX, o sea, de la forma r: y = a. Ese nº a se calcula mediante los ites en el y en el. Es decir, calcular f () y f () Como máimo una función sólo puede tener dos A.H. Veamos ejemplos: 4 Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales de la función f ( ) En esta función su dominio es Dom ( f ) R 0,, que no influye para nada pues vamos a hacer ites en el infinito 4 horizontal en 4 Como el ite eiste, tenemos que la recta r: y = - es una asíntota 4 4 Como el ite eiste, tenemos que la recta r: y = - es una asíntota horizontal en. Como es la misma, podemos decir que la recta r: y = - es la asíntota horizontal Gráficamente, Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales de la función El dominio es todo R. Vamos calcular los ites en infinito: 5 e 0 La recta r: y = 0 es A.H. en f ( ) e 5 e 5 No tiene A.H. en Ejemplo 7: Calcular las asíntotas horizontales de la función Os dejo a vosotros comprobar que no tiene asíntotas horizontales. Observamos que tiene por un lado y por otro no f ( ) 5 c. Asíntotas oblicuas Son aquellas que son inclinadas (pendiente distinta de 0). Serán rectas de la forma r: y = m + n 4
5 Hay que hacer ites también en y en para calcular los valores de m y n y son los siguientes: En En f ( ) m n f ) m f ( ) m n f ( ) m ( Propiedad: Si una función y = f() tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas en el correspondiente infinito. Ejemplo 8: Calcular las asíntotas oblicuas de la función Tenemos que ( f ) R 0,5 m f ( ) 5 Dom, que no nos influye en el cálculo de las A. O. 5 En ( 5) n 5 ( 5 5 Su gráfica es así: La A.O. en es: r : y 5 5 ) En (todo es análogo a + ) n f ( ) m = Hacedlo vosotros f ( ) m =5 Hacedlo vosotros La A.O. en es: r : y 5 5
6 si 0 Ejemplo 9: Sea la función f ( ). Calcular sus A. Oblicuas si 0 El dominio de esta función es : Dom ( f ) R 0,, En los reales que no son del dominio es donde puede presentar asíntotas verticales. En m ( ) 0 La pendiente es 0, luego no puede ser una asíntota oblicua, en todo caso será horizontal. Veamos si tiene horizontal: asíntota horizontal en (esto no era necesario, pues no lo pedía el problema) En m ( ) n ( ) La recta s y es A. Oblicua en Para que veáis gráficamente lo calculado, la gráfica de la función con sus asíntotas es: r y es 6
7 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Vamos a intentar con los conocimientos que tenemos representar de forma aproimada de funciones y básicamente nos vamos a apoyar en el estudio de: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, etremos locales, intervalos de concavidad (f''()>0) y de conveidad (f''()<0), puntos de infleión y una tabla de valores para afinar. Vamos a hacerlo mediante ejemplos: Ejemplo 0: Representar gráficamente la función y 8 Dominio: Dom( y) R por ser polinómica. y( ) Simetrías: y( ) ( ) ( ) 8( ) 8. Luego no presenta simetría y( ) Periodicidad: Las funciones polinómicas no son periódicas Cortes con los ejes: Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: Resolvemos por Ruffini y nos queda: 0 (-,0) (0,) Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: y y 0. Por tanto, los puntos de corte son: (,0) y y 0 8 Asíntotas: Asín. verticales: No tiene pues su dominio es todo R y es continua Asín. Horizontales: En, calculamos ( 8 ), no tiene En y Punto de corte, calculamos ( 8 ), no tiene. Nos aportan información de por donde va el dibujo al irnos para infinito 8 Asín. Oblicuas: En, calculamos Con los datos ya calculados podemos intuir algo del dibujo:, no tiene. En, ocurre igual. 7
8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): Derivamos la función y 8 y ' 8. Igualamos a 0: Hacemos la tabla de signos: 4 4,,, y ' Creciente Decreciente Creciente Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada En, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es, 7 En, la función tiene un mínimo relativo. El punto en concreto es (,0) Intervalos de concavidad (curvatura): Hacemos la ª derivada: y' 8 y '' 6 Igualamos a 0: 6 0 Hacemos la tabla de signos correspondiente:,, y '' Cóncava Convea Puntos de infleión: Por lo visto en la curvatura, en la función tiene un punto de infleión cóncavo-conveo. El punto en 50 concreto con sus coordenadas es, 7 Pequeña tabla de valores: X Y Con lo cual ya podemos hacer un esbozo bastante curioso de la función: (sólo hemos puesto los etremos, puntos de infleión y puntos de corte con los ejes) 8
9 0 5 y y 8 (-4/,500/7) (0,) (/,50/7) 5 (-,0) (,0) Ejemplo : Representar gráficamente la función f ( ) 9 Dominio: Por ser irracional de índice par tenemos que hacer una tabla de signos para saber dónde el radicando es positivo o 0. Veamos dónde se anula el radicando: 9 0 Tabla de signos:,,, No son del dominio Son del dominio No son del dominio f () 9 0 Por último vemos que ocurre en que tienen sentido y además hemos f ( ) 9 ( ) 0 calculado dos puntos por dónde pasa la función (,0) y (-,0) que son puntos de corte con el eje OX. Dom ( f ), En definitiva, Simetrías: f ( ) 9 ( ) 9 f ( ). Luego presenta simetría par. Es simétrica respecto al eje OY Periodicidad: Obviamente no es periódica Cortes con los ejes: y Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: los puntos de corte son: (,0) y (-,0) Asíntotas: 9 y 0 y Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: 9 0 Ya lo hemos resuelto en el dominio, y Punto de corte (0,) 9
10 Asín. verticales: No tiene pues es continua en su dominio y en = y = -, la función toma un valor (no se va a ningún infinito). Asín. Horizontales: En y, no podemos calcular los ites pues está fuera del dominio. Por tanto no hay Asín. Oblicuas: Lo mismo que en las horizontales Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): Derivamos la función f ( ) 9 f '( ) 9 9. Igualamos a 0: Observad además que la función no es derivable en 9 anulan el denominador de la derivada Hacemos la tabla de signos:,0 0, f '( ) Creciente Decreciente pues estos valores Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada. En 0, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es 0,. Además como la función es continua y en los etremos del dominio los valores que alcanza la función son menores que este máimo relativo, pues es un máimo absoluto. Intervalos de concavidad (curvatura): 9 ( ) Hacemos la ª derivada: f '( ) 9 f ''( ) 9 ( 9 ) 9 f ''( ) (9 9 ) f (9 ) 9 ''( ) (9 ) 0 y como vemos no se anula nunca. 9 f ''( ) Igualamos a 0: (9 ) 9 Hacemos la tabla de signos correspondiente: (en este caso no seria necesario siempre sale porque el, numerador es 9 y el denominador siempre es positivo al ser, 9 f ''( ) - (9 ) 9 Cóncava Puntos de infleión: No tiene pues no hay cambio de curvatura y además no se anula la derivada ª 0
11 Pequeña tabla de valores: X Y La gráfica es la siguiente: Como podéis observar es una semicircunferencia. Este problema se podía haber hecho con los conocimientos de cónicas dados en º Bachillerato, pues de la circunferencia y 9 (que tiene centro en (0,0) y radio ), si despejamos la y nos resulta y la otra semicircunferencia. 9. Si nos quedamos con el signo +, nos da la función y con el signo Ejemplo : Representar gráficamente la función f ( ) Dominio: Por ser racional tenemos que saber dónde se anula el denominador: 0 Dom ( f ) R, Así, ( ) Simetrías:. f ( ) f ( ) Luego presenta simetría impar. Es simétrica respecto al origen ( ) de coordenadas Periodicidad: Obviamente no es periódica
12 Cortes con los ejes: Asíntotas: Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: y y 0 y 0 0 Punto de corte (0,0) y 0 Punto de corte (0,0) Asín. verticales: Puede presentar A.V.. en = y en = -, que son los dos puntos que no son del dominio y anulan el denominador (al dividir por 0 puede que se vaya a infinito) En = : Hacemos los ites laterales: 0 y por la izquierda es una A.V. Por la derecha la función se va a En = -: Hacemos los ites laterales: 0 y por la izquierda a y por la izquierda 0 r: = - es una A.V. Por la derecha la función se va a Asín. Horizontales: En En 0 La recta vertical r: = y por la izquierda a, calculamos, no tiene, calculamos, no tiene. Nos aportan información de por donde va el dibujo al irnos para infinito. Asín. Oblicuas: En n m : La recta vertical, calculamos, y ahora 0. La recta b: y = (conocida como bisectriz del primer y tercer cuadrante) es A. Oblicua en En, el proceso es totalmente análogo y resulta que también la recta b: y = es A. Oblicua en NOTA: Una opción interesante una vez obtenidas las asíntotas, es calcular los puntos de corte de las asíntotas horizontales y oblicuas con la función, que nos pueden ayudar a determinar si la función va a un lado o a otro de la asíntota. Lo hacemos con la única asíntota oblicua: 0 El punto de corte es (0,0) y y
13 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): 4 4 Derivamos la función f ( ) f '( ). Igualamos a 0: ( ) ( ) 0 ( ) 0 Hacemos la tabla de signos: 4 f '( ) = ( ) Si nos fijamos, para el signo sólo hay que estudiar el factor,,,,, Creciente Decreciente Decreciente Decreciente Creciente Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada. En, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es En, la función tiene un mínimo relativo. El punto en concreto es En por no ser del dominio, no tiene sentido estudiar etremos.,, Intervalos de concavidad (curvatura): 4 4 (4 6)( ) ( ) ( Hacemos la ª derivada: f '( ) f ''( ) ( 4 ) ( ) factor común ( ) 4 ( ) (4 6)( ) ( ) 4 del numerador f ''( ) ( ) 6 operamos en el corchete, quedándonos: f ''( ) Igualamos a 0: ( ) 6 f ''( ) ( ) 0 0 es la única solución 4 ) Sacamos Simplificamos y Hacemos la tabla de signos correspondiente: (en este caso no sería necesario siempre sale porque el, numerador es 9 y el denominador siempre es positivo al ser,0 0,,, 6 f ''( ) ( ) Cóncava Convea Cóncava Convea
14 Puntos de infleión: En = 0 hay un punto de infleión conveo-cóncavo. Nuevamente = y = - no son tenidos en cuenta para ser candidatos a puntos de infleión pues no son del dominio. Pequeña tabla de valores: X Y - -7/8 - -8/ -/ /6 / -/6 8/ 7/8 Y la gráfica teniendo en cuenta todos los datos nos queda: 4
Eje OY (Vertical) => Se hace la x = 0, y se despeja la y. Corte (0,y)
Estudio de funciones y su representación gráfica. TIPO I. Funciones Polinómicas. Ejemplo: y 4 1º. Dominio. El dominio de una función es el conjunto de valores para los que está definida la función. En
Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10
página 1/20 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 02 - Problemas 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10 Hoja 2. Problema 2 Resuelto por Carmen Jiménez Cejudo (diciembre 2014)
REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES
REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES 1 REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES UNIDADES Pag. 1. DEFINICIÓN DE DOMINIO UNA FUNCIÓN.3 2. CORTES CON LOS EJES...5 3. SIMETRÍA..7 4. PERIODICIDAD 9 5. FUNCIONES INVERSAS....10
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.. Se pide: x
1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN IBJ05 1. Se considera la función f ( ). Se pide: a) Encontrar los intervalos donde esta función es creciente y donde es decreciente. ( puntos) b) Calcular las asíntotas.
APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA
Matemáticas º Bachillerato APLICACIONES DE LA DERIVADA: MONOTONIA Y CURVATURA CRECIMIENTO DECRECIMIENTO, CONCAVIDAD CONVEXIDAD Sea y = f() una función continua cuya gráfica es la de la figura. DEFINICIÓN
Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9
Asignatura: Matemáticas II ºBachillerato página 1/8 Problemas Tema 4 Solución a problemas de Repaso y Ampliación 1ª Evaluación - Hoja 01 - Problemas 8, 9 Hoja 1. Problema 9 Resuelto por José Antonio Álvarez
TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 2.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL . FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5. GRÁFICAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.5.1. DOMINIO, CORTES CON LOS
1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los nº reales ( R ) en otro subconjunto de R f : D R R Se representa de la siguiente forma: Una
ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN
ESTUDIO COMPLETO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Teoría Práctica Los pasos a seguir para el estudio completo y representación de una Función son los siguientes: ) Hallar el Dominio de la función. En dicho
SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES.
SOLUCIÓN. BLOQUE DE FUNCIONES. Análisis de funciones 1. a) y c) son funciones, porque para cada valor de hay un único valor de y. b) no es una función, porque para cada valor de hay dos valores de y. 2.
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
8 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 86 Descripción de una gráfica. Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos y sin mirar la gráfica que aparece al principio, representa esta
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES I ) DOMINIO DE DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN: Es el conjunto de puntos donde tiene sentido realizar las operaciones indicadas en el criterio de definición de la
Estudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Apuntes Matemáticas 2º de bachillerato. Tema 5. Estudio de funciones
Apuntes Tema 5 Estudio de funciones 5.1 Dominio Hay que determinar para qué intervalos de números reales, o puntos aislados, la función existe o está definida. Para ello tenemos que prestar atención a
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES a. Dominio de definición: D = Dom f() = { R eiste f()} b. Puntos de corte con los ejes: Con el eje OX (abscisas): f() = 0 : (,0). Ninguno, uno o más puntos. Con el eje
tiene por límite L cuando la variable independiente x tiende a x , y se nota por L, cuando al acercarnos todo lo que queramos a x lím( x
UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Diremos que una función y f () tiene por ite L cuando la variable independiente tiende a, y se nota por f ( ) L, cuando al acercarnos
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones
Tema 7: Aplicaciones de la derivada, Representación de Funciones 0.- Introducción 1.- Crecimiento y Decrecimiento de una función. Monotonía..- Máimos y mínimos de una función.1.- Etremos relativos...-
Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo:
www.juliweb.es tlf. 69886 Ejercicios de representación de funciones: Primer ejemplo: f ( ) º) Dominio. Dom f ( ) R {} º) Simetrías. f ( ) No es par f ( ) f ( ) No es impar No hay simetría. º) Puntos de
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
APLICACIONES DE LA DERIVADA
APLICACIONES DE LA DERIVADA Crecimiento y decrecimiento. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto: Una función f() es creciente en un punto
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. f : R R
TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. Concepto de función. Definición Se llama función (real de variable real) a toda aplicación f : R R f() que a cada número le
= +1. A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos.
Ejemplo 1 Dibujar la función: = +1 A la hora de representar funciones tenemos que tener en cuenta los siguientes puntos. Dominio Puntos de corte con los ejes Simetría Asíntotas Crecimiento decrecimiento/máximos
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN
2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando
APLICACIONES DE LA DERIVADA. Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Crecimiento y decrecimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente
Representaciones gráficas
1 MAJ99 Representaciones gráficas 1. Se considera la función 3 f ( ) 1 60 3 (a) Hállense sus máimos y mínimos. (b) Determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. (c) Represéntese gráficamente.
a) f(x) (x 1) 2 b) f(x) x c) h(x) 1 2 a) f (3) 8 0 f es creciente en x 3.
6 Aplicando la definición de derivada, calcula la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican: a) f() en Aplicando la definición de derivada, calcula f () en las funciones que se
UNIDAD 8.- Funciones racionales (tema 8 del libro)
(tema 8 del libro). FUNCIÓNES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA k Las funciones de proporcionalidad inversa son funciones cuya epresión es de la forma f ( ) Las gráficas de estas funciones son o se llaman hipérbolas
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 006 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
I. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
el blog de mate de aida CS II: Representación de funciones y optimización.
Pág.1 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. En la figura se observa la recta tangente a una función creciente. La recta tangente es siempre creciente también para cualquier punto, por lo que su pendiente será positiva
COL LECCIÓ DE PROBLEMES RESOLTS
DEPARTAMENT DE MATEMÀTICA ECONOMICOEMPRESARIAL DEPARTAMENT D ECONOMIA FINANCERA UNIVERSITAT DE VALÈNCIA LLICENCIATURA EN ECONOMIA LLICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D EMPRESES DIPLOMATURA EN CIÈNCIES
La variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Conocer las posibles asíntotas de una función nos ayudará en su representación gráfica. Vamos a distinguir tres tipos distintos de asíntotas:
1. Dominio, periodicidad y paridad de una función A la hora de representar una función lo primero que se ha de determinar es dónde está definida, es decir, para qué valores tiene sentido hablar de f(x).
Funciones 1. D = Dom ( f ) = x R / f(x) R. Recuerda como determinabas los dominios de algunas funciones: x x
Funciones. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable real. "Es toda correspondencia, f, entre un subconjunto D de números reales y R (o una parte de R), con la condición de que
Problemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos
página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos
-, se pide: b) Calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica, el eje horizontal y la vertical que pasa por el máximo relativo de la curva.
EJERCICIOS PARA PREPARAR EL EXAMEN GLOBAL DE ANÁLISIS ln ) Dada la función f ( ) = +, donde ln denota el logaritmo - 4 neperiano, se pide: a) Determinar el dominio de f y sus asíntotas b) Calcular la recta
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS (Grado en Ingeniería Informática) Práctica 4. DERIVACIÓN 1.- Derivada de una función en un punto. El estudio de la derivada de una función en un punto surge con el problema geométrico
UNIDAD 6.- Funciones reales. Propiedades globales (temas 6 del libro)
(temas 6 del libro). EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera ila o columna iguran los valores
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva
Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama x e y. Viene representado por: y f (x)
TEMA 9: :.- CONCEPTO DE FUNCIÓN: Función es una relación entre dos variables a las que, en general, se les llama e y. Viene representado por: y (, donde es la variable independiente e y es la variable
FUNCIONES. Función. π k π +, k } (los puntos que quitamos anulan el coseno). 2. tg x: {x / x =
Función FUNCIONES Es una relación entre dos magnitudes variables, de tal manera que a cada valor de la primera, llamada independiente, le corresponde un único valor de la segunda, llamada dependiente.
Procedimiento para determinar las asíntotas verticales de una función
DETERMINACIÓN DE ASÍNTOTAS EN UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición
DERIVADAS LECCIÓN 22. Índice: Representación gráfica de funciones. Problemas. 1.- Representación gráfica de funciones
DERIVADAS LECCIÓN Índice: Representación gráfica de funciones. Problemas.. Representación gráfica de funciones Antes de la representación de la gráfica de una función se realiza el siguiente estudio: º)
Ecuación de la recta tangente
Ecuación de la recta tangente Pendiente de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. Recta tangente a una curva en un punto
UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES
UNIDAD 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. EXPRESIÓN DE UNA FUNCIÓN - Epresión mediante una tabla de valores La tabla de valores de una unción está ormada por dos ilas o columnas. En la primera
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD 1.- CONTINUIDAD
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Continuidad. Derivabilidad. 1.- CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: Lim f( ) = f( a) a Para que una función sea continua en un punto
Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización
Matemáticas II TEMA 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la
INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. a) Eplicar el concepto de función primitiva. b) Sea f () = e + 8, justificar si es primitiva de alguna de las siguientes funciones: g () = e + 8 h
Tema 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización
09 Tema 9 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera
entonces las derivadas laterales existen y son iguales. y vale lo mismo. Si existen las derivadas laterales y son iguales, entonces existe f (a)
DERIVADAS. TEMA 2. BLOQUE 1 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se llama derivada de la función y = f ( en el punto de abscisa x = a al límite f ( f ( a f ( a = lím x a x a Si existe f (a entonces
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Tema 7. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización
Tema 7 Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Aplicaciones de la derivada primera para el estudio de la variación de una función El signo de la derivada primera
Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Derivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
. DOMINIO CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN inio de o campo de eistencia de es el conjunto de valores para los que está deinida la unción, es decir, el conjunto de valores que toma la variable independiente.
1. Estudia la derivabilidad de la función )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg(x) tiene pendiente 2?.
ejerciciosyeamenes.com EXAMEN DERIVADAS. Estudia la derivabilidad de la función si f ()= si > 3. )En qué punto del intervalo (0,ð) la recta tangente a y=tg() tiene pendiente?. 4. Ecuación de la recta tangente
= 1. x = 3: Lím = Asíntota vertical en x = 3: = 0 ; No se anula nunca. Punto de corte con OY es (0, 3) 3 x
Modelo 4. Problema A.- (Calificación máima: puntos) 4 si Se considera la función real de variable real f ( ) si > a) Determínense las asíntotas de la función y los puntos de corte con los ejes. a. Asíntotas
1.- Concepto de derivada de una función
º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMA 7.- FUNCIONES. DERIVADAS Y APLICACIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación
x 2 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 1.
. [0] [SEP-B] Sea la función f definida por f() = e- para. - a) Estudia las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II
Soluciones de los ejercicios de Selectividad sobre Funciones de Antonio Francisco Roldán López de Hierro * Convocatoria de 009 Las siguientes páginas contienen las soluciones de los ejercicios propuestos
Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 2016
Ejercicios resueltos de cálculo Febrero de 016 Ejercicio 1. Calcula los siguientes ites: x 5x 1. x + x + 1 x 1 x. x x. x + x + 1 x x 4. x 0 x cos x sen x x Solución: 1. Indeterminación del tipo. Tenemos:
Una función es una correspondencia única entre dos conjuntos numéricos.
FUNCIONES Qué es una función? Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números de modo que a cada valor del conjunto inicial, llamado dominio, se le hace corresponder un valor del conjunto
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,
Ejercicios de representación de funciones
Ejercicios de representación de funciones Representar las siguientes funciones, estudiando su: Dominio. Simetría. Puntos de corte con los ejes. Asíntotas y ramas parabólicas. Crecimiento y decrecimiento.
en su construcción sea mínima. Sol: r = 3, h =
RELACIÓN DE PROBLEMAS ) Encontrar los etremos absolutos de y 6+ definida en [0, ]. Sol. Má en 0 y ; mín -/ en,5. ) Hallar dos números positivos cuya suma sea 0, sabiendo que su producto es máimo. Sol.:
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES Recordamos que una función real de variable real es una aplicación de un subconjunto de los números reales A en el conjunto de los números reales de forma que a cada elemento
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Autor: Antonio Rivero Cuesta, Tutor C.A. Palma de Mallorca
Ejercicio: 4. 4. El intervalo abierto (,) es el conjunto de los números reales que verifican: a). b) < . - Intervalo abierto (a,b) al conjunto de los números reales, a < < b. 4. El intervalo
2. [2014] [EXT-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima.
cos() - e + a. [04] [ET-A] Sabiendo que lim 0 sen() es finito, calcula a y el valor del límte.. [04] [ET-B] De entre todos los números reales positivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima..
Límite de una función
Idea intuitiva de límite Límite de una función El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x 0. Es
TEMA 0 FUNCIONES ***************
TEMA 0. Definición y terminología.. Funciones conocidas. 3. Operaciones con funciones. 4. Funciones inversas. FUNCIONES ***************. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA.. Definición de función real de variable
f: D IR IR x f(x) v. indep. v. dependiente, imagen de x mediante f, y = f(x). A x se le llama antiimagen de y por f, y se denota por x = f -1 (y).
TEMA 8: FUNCIONES. 8. Función real de variable real. 8. Dominio de una función. 8.3 Características de una función: signo, monotonía, acotación, simetría y periodicidad. 8.4 Operaciones con funciones:
Estudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
de un número negativo. ( 1) con x I: no puede calcularse ya que es imposible realizar el proceso de acotación
175 CAPÍTULO 9: REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El curso pasado y en cursos anteriores ya has estudiado las funciones, y en este curso has estudiado su continuidad, la derivada
Tema 9: Funciones II. Funciones Elementales.
Tema 9: Funciones II. Funciones Elementales. Finalizamos con este tema el bloque de análisis, estudiando los principales tipos de funciones con sus respectivas características. Veremos también una ligera
LÍMITES DE FUNCIONES
LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos la función: f Su gráfica: si < si > Si toma valores próimos a, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,,
Cálculo de derivadas
0 Cálculo de derivadas. La derivada Piensa y calcula La gráfica f() representa el espacio que recorre un coche en función del tiempo. Calcula mentalmente: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa
, siendo ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x. x
Selectividad CCNN 00. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f() = (+)e -. (a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. (b) Determina los etremos de f y los puntos de infleión de su gráfica.
TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Profesor: Fernando Ureña Portero
MATEMÁTICAS º BACH CC. Y TECNOL. CURSO 13-14 1.-Dada la función a) (3p.) Dominio de f() b) (3 p.) Calcular. Es posible calcular? Por qué? c) (4p.) Calcular.- Estudiar la continuidad de la función: { 3.-a)
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES
EJERCICIOS RESUELTOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES REALES. Estudiar el crecimiento, el decrecimiento y los etremos relativos de las siguientes funciones: a) f( ) 7 + + b) ln f( ) c) 5 si < f(
Apuntes de dibujo de curvas
Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en
TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES
TEMA 8. FUNCIONES (I). GENERALIDADES Contenido 1. Definición y formas de definir una función 2 1.1. Definición de función 2 1.2. Formas de definir la función: 4 1.2.1. A partir de una representación gráfica
Unidad 8: Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicación al estudio y representación de funciones. Primitiva de una función (integración).
representación de funciones Primitiva de una función (integración) 1 Unidad 8: Derivadas Técnicas de derivación Aplicación al estudio y representación de funciones Primitiva de una función (integración)
OPCIÓN A. MATEMÁTICAS 2º BACHILLERATO B Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino. Fito y los Fitipaldis
MATEMÁTICAS º BACHILLERATO B 9--4 Lo que te llevará al final, serán tus pasos, no el camino Análisis Fito y los Fitipaldis OPCIÓN A.- a) Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor
CURSO 2013/2014 RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD 2, ,61 2,01 4,0401 1,99 3,9601 2,001 4, ,999 3,
RESUMEN LÍMITES Y CONTINUIDAD Límite de una función en un punto El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan
x + x 2 +1 = 1 1 = 0 = lím
UNIDAD Asíntota horizontal: 8 +@ + + = y = es asíntota horizontal hacia +@ (y > ). + + + + = = = 0 8 @ 8 +@ y = 0 es asíntota horizontal hacia @ (y < 0). CUESTIONES TEÓRICAS 30 Qué podemos decir del grado
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
. Sea la función f ( ) = 6 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD a. Determine sus puntos de corte con los ejes. b. Calcule sus etremos relativos y su punto de infleión. c. Represente gráficamente la función.. Sea
UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.
IES Padre Poveda (Guadi) UNIDAD 9 LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.. Límite de una función en un punto... Límites laterales... Límite de una función en un punto.. Límites en el infinito... Comportamiento
9.- DERIVADAS 2.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 2 utilizando la definición y halla su valor en xo = REGLAS DE DERIVACIÓN
9- DERIVADAS - DERIVADA EN UN PUNTO Calcula la derivada de y = + en o = utilizando la definición Solución: y'() = 8 Calcula la derivada de - en o = utilizando la definición Solución: y '() = -6 Calcula
x - Verticales. No tiene asíntotas verticales porque f(x) está definida en R y no cambia de criterio en ningún punto. - Oblicuas.
f ( ) + +. Dominio D (f ) R 4. Recorrido Im( f ) [, ). Puntos de corte - Con el eje y, donde 0 y + + y P (0,) - Con el eje, donde y 0 No hay punto de corte con el eje 4. Asíntotas - Horizontales lim +
Funciones, límites y continuidad
8/0/016 Funciones, límites y continuidad C U R S O 0 1 5-0 1 6 Funciones, limites y continuidad Los puntos rojos son los que entran en el eamen de º evaluación 1) Concepto de función. Dominio y recorrido.
Germán Jesús Rubio Luna Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala
Funciones Definiciones Def.- Sean A y B R una función real de variable real es toda aplicación: f : A B f()y, es decir es una relación que a cada todos los elementos del primer conjunto A le hace corresponder