lím x 1 r x a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún 1. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

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1 . ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproimando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables ( o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: Definición: Si un punto (,y) se desplaza continuamente por una función y = f() de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Veamos una gráfica: Como vemos en esta gráfica la recta r se aproima todo lo que queramos a la función (aunque no llega a cortarla o tocarla). A r se le llama asíntota vertical de f en =. Vemos que f ( ) De manera análoga, vemos que tiene una asíntota horizontal en +, que es la recta s: y =. Se observa que f ( ) Las asíntotas se clasifican en tipos: a. Asíntotas verticales Son paralelas al eje OY. Son de la forma f ( r a, donde a es un nº que cumple que el ) es algún tipo de infinito: También vale cuando tendemos a a por la izquierda o por la derecha. Estos números a suelen ser los puntos etremos de los intervalos del dominio. Ejemplo : Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) Primero el dominio de la función: Dom ( f ) R,. Las posibles asíntotas verticales son = ó = - Veamos que pasa con la función alrededor de esos puntos, calculando los ites: En =, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a 0. = 0 = Al acercarnos por la derecha al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = a

2 = 0 = Al acercarnos por la izquierda al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en =. De manera general, decimos que la recta r: = es una asíntota vertical. En = -, hacemos los laterales pues aparece 0 en el denominador y nos interesa conocer el signo de la aproimación a 0. = 0 = Al acercarnos por la derecha al -, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la derecha en = - = 0 = Al acercarnos por la izquierda al, la función tiende a. Ya tenemos que la función tiene una asíntota vertical por la izquierda en = -. De manera general, decimos que la recta r: = - es una asíntota vertical. Veamos gráficamente la información que nos ha aportado este estudio. Nos da una buena idea de la gráfica de la función En = En = - Las dos a la vez Ejemplo : Calcula las AV (asíntotas verticales) de la función f ( ) En este caso, el dominio de la función Dom( f ) R, con lo cual no tiene A.V. y no hay que hacer nada más Ejemplo : Calcula las asíntotas verticales de f ( ) ln Como sabemos, Dom (ln) (0, ). Por tanto puede presentar una A.V. en = 0. Veamos los ites laterales:

3 ln 0, como sabemos, luego r: = 0 es una A.V. por la derecha El ite lateral izquierdo en 0 no se puede calcular pues por ahí la función ln no está definida Gráficamente tenemos algo así: si Ejemplo 4: Calcular las asíntotas verticales de f ( ) sis si En este caso, también tenemos que Dom( f ) R, pero al ser definidas por partes, puede que tenga A.V. en los puntos que cambia de definición o en los puntos donde la función no este definida. Aquí sólo se plantea en =, y vamos a calcular los ites laterales. 0. Por la derecha hay A.V., que es r : = NO hay A.V. por la izquierda Gráficamente esta función es así:

4 b. Asíntotas horizontales Son rectas paralelas al eje OX, o sea, de la forma r: y = a. Ese nº a se calcula mediante los ites en el y en el. Es decir, calcular f () y f () Como máimo una función sólo puede tener dos A.H. Veamos ejemplos: 4 Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales de la función f ( ) En esta función su dominio es Dom ( f ) R 0,, que no influye para nada pues vamos a hacer ites en el infinito 4 horizontal en 4 Como el ite eiste, tenemos que la recta r: y = - es una asíntota 4 4 Como el ite eiste, tenemos que la recta r: y = - es una asíntota horizontal en. Como es la misma, podemos decir que la recta r: y = - es la asíntota horizontal Gráficamente, Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales de la función El dominio es todo R. Vamos calcular los ites en infinito: 5 e 0 La recta r: y = 0 es A.H. en f ( ) e 5 e 5 No tiene A.H. en Ejemplo 7: Calcular las asíntotas horizontales de la función Os dejo a vosotros comprobar que no tiene asíntotas horizontales. Observamos que tiene por un lado y por otro no f ( ) 5 c. Asíntotas oblicuas Son aquellas que son inclinadas (pendiente distinta de 0). Serán rectas de la forma r: y = m + n 4

5 Hay que hacer ites también en y en para calcular los valores de m y n y son los siguientes: En En f ( ) m n f ) m f ( ) m n f ( ) m ( Propiedad: Si una función y = f() tiene asíntotas horizontales no puede tener asíntotas oblicuas en el correspondiente infinito. Ejemplo 8: Calcular las asíntotas oblicuas de la función Tenemos que ( f ) R 0,5 m f ( ) 5 Dom, que no nos influye en el cálculo de las A. O. 5 En ( 5) n 5 ( 5 5 Su gráfica es así: La A.O. en es: r : y 5 5 ) En (todo es análogo a + ) n f ( ) m = Hacedlo vosotros f ( ) m =5 Hacedlo vosotros La A.O. en es: r : y 5 5

6 si 0 Ejemplo 9: Sea la función f ( ). Calcular sus A. Oblicuas si 0 El dominio de esta función es : Dom ( f ) R 0,, En los reales que no son del dominio es donde puede presentar asíntotas verticales. En m ( ) 0 La pendiente es 0, luego no puede ser una asíntota oblicua, en todo caso será horizontal. Veamos si tiene horizontal: asíntota horizontal en (esto no era necesario, pues no lo pedía el problema) En m ( ) n ( ) La recta s y es A. Oblicua en Para que veáis gráficamente lo calculado, la gráfica de la función con sus asíntotas es: r y es 6

7 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Vamos a intentar con los conocimientos que tenemos representar de forma aproimada de funciones y básicamente nos vamos a apoyar en el estudio de: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, etremos locales, intervalos de concavidad (f''()>0) y de conveidad (f''()<0), puntos de infleión y una tabla de valores para afinar. Vamos a hacerlo mediante ejemplos: Ejemplo 0: Representar gráficamente la función y 8 Dominio: Dom( y) R por ser polinómica. y( ) Simetrías: y( ) ( ) ( ) 8( ) 8. Luego no presenta simetría y( ) Periodicidad: Las funciones polinómicas no son periódicas Cortes con los ejes: Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: Resolvemos por Ruffini y nos queda: 0 (-,0) (0,) Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: y y 0. Por tanto, los puntos de corte son: (,0) y y 0 8 Asíntotas: Asín. verticales: No tiene pues su dominio es todo R y es continua Asín. Horizontales: En, calculamos ( 8 ), no tiene En y Punto de corte, calculamos ( 8 ), no tiene. Nos aportan información de por donde va el dibujo al irnos para infinito 8 Asín. Oblicuas: En, calculamos Con los datos ya calculados podemos intuir algo del dibujo:, no tiene. En, ocurre igual. 7

8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): Derivamos la función y 8 y ' 8. Igualamos a 0: Hacemos la tabla de signos: 4 4,,, y ' Creciente Decreciente Creciente Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada En, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es, 7 En, la función tiene un mínimo relativo. El punto en concreto es (,0) Intervalos de concavidad (curvatura): Hacemos la ª derivada: y' 8 y '' 6 Igualamos a 0: 6 0 Hacemos la tabla de signos correspondiente:,, y '' Cóncava Convea Puntos de infleión: Por lo visto en la curvatura, en la función tiene un punto de infleión cóncavo-conveo. El punto en 50 concreto con sus coordenadas es, 7 Pequeña tabla de valores: X Y Con lo cual ya podemos hacer un esbozo bastante curioso de la función: (sólo hemos puesto los etremos, puntos de infleión y puntos de corte con los ejes) 8

9 0 5 y y 8 (-4/,500/7) (0,) (/,50/7) 5 (-,0) (,0) Ejemplo : Representar gráficamente la función f ( ) 9 Dominio: Por ser irracional de índice par tenemos que hacer una tabla de signos para saber dónde el radicando es positivo o 0. Veamos dónde se anula el radicando: 9 0 Tabla de signos:,,, No son del dominio Son del dominio No son del dominio f () 9 0 Por último vemos que ocurre en que tienen sentido y además hemos f ( ) 9 ( ) 0 calculado dos puntos por dónde pasa la función (,0) y (-,0) que son puntos de corte con el eje OX. Dom ( f ), En definitiva, Simetrías: f ( ) 9 ( ) 9 f ( ). Luego presenta simetría par. Es simétrica respecto al eje OY Periodicidad: Obviamente no es periódica Cortes con los ejes: y Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: los puntos de corte son: (,0) y (-,0) Asíntotas: 9 y 0 y Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: 9 0 Ya lo hemos resuelto en el dominio, y Punto de corte (0,) 9

10 Asín. verticales: No tiene pues es continua en su dominio y en = y = -, la función toma un valor (no se va a ningún infinito). Asín. Horizontales: En y, no podemos calcular los ites pues está fuera del dominio. Por tanto no hay Asín. Oblicuas: Lo mismo que en las horizontales Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): Derivamos la función f ( ) 9 f '( ) 9 9. Igualamos a 0: Observad además que la función no es derivable en 9 anulan el denominador de la derivada Hacemos la tabla de signos:,0 0, f '( ) Creciente Decreciente pues estos valores Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada. En 0, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es 0,. Además como la función es continua y en los etremos del dominio los valores que alcanza la función son menores que este máimo relativo, pues es un máimo absoluto. Intervalos de concavidad (curvatura): 9 ( ) Hacemos la ª derivada: f '( ) 9 f ''( ) 9 ( 9 ) 9 f ''( ) (9 9 ) f (9 ) 9 ''( ) (9 ) 0 y como vemos no se anula nunca. 9 f ''( ) Igualamos a 0: (9 ) 9 Hacemos la tabla de signos correspondiente: (en este caso no seria necesario siempre sale porque el, numerador es 9 y el denominador siempre es positivo al ser, 9 f ''( ) - (9 ) 9 Cóncava Puntos de infleión: No tiene pues no hay cambio de curvatura y además no se anula la derivada ª 0

11 Pequeña tabla de valores: X Y La gráfica es la siguiente: Como podéis observar es una semicircunferencia. Este problema se podía haber hecho con los conocimientos de cónicas dados en º Bachillerato, pues de la circunferencia y 9 (que tiene centro en (0,0) y radio ), si despejamos la y nos resulta y la otra semicircunferencia. 9. Si nos quedamos con el signo +, nos da la función y con el signo Ejemplo : Representar gráficamente la función f ( ) Dominio: Por ser racional tenemos que saber dónde se anula el denominador: 0 Dom ( f ) R, Así, ( ) Simetrías:. f ( ) f ( ) Luego presenta simetría impar. Es simétrica respecto al origen ( ) de coordenadas Periodicidad: Obviamente no es periódica

12 Cortes con los ejes: Asíntotas: Eje de abscisa (eje OX): Resolvemos el sistema: Eje de ordenadas (eje OY): Resolvemos el sistema: y y 0 y 0 0 Punto de corte (0,0) y 0 Punto de corte (0,0) Asín. verticales: Puede presentar A.V.. en = y en = -, que son los dos puntos que no son del dominio y anulan el denominador (al dividir por 0 puede que se vaya a infinito) En = : Hacemos los ites laterales: 0 y por la izquierda es una A.V. Por la derecha la función se va a En = -: Hacemos los ites laterales: 0 y por la izquierda a y por la izquierda 0 r: = - es una A.V. Por la derecha la función se va a Asín. Horizontales: En En 0 La recta vertical r: = y por la izquierda a, calculamos, no tiene, calculamos, no tiene. Nos aportan información de por donde va el dibujo al irnos para infinito. Asín. Oblicuas: En n m : La recta vertical, calculamos, y ahora 0. La recta b: y = (conocida como bisectriz del primer y tercer cuadrante) es A. Oblicua en En, el proceso es totalmente análogo y resulta que también la recta b: y = es A. Oblicua en NOTA: Una opción interesante una vez obtenidas las asíntotas, es calcular los puntos de corte de las asíntotas horizontales y oblicuas con la función, que nos pueden ayudar a determinar si la función va a un lado o a otro de la asíntota. Lo hacemos con la única asíntota oblicua: 0 El punto de corte es (0,0) y y

13 Intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía): 4 4 Derivamos la función f ( ) f '( ). Igualamos a 0: ( ) ( ) 0 ( ) 0 Hacemos la tabla de signos: 4 f '( ) = ( ) Si nos fijamos, para el signo sólo hay que estudiar el factor,,,,, Creciente Decreciente Decreciente Decreciente Creciente Etremos locales: Con el estudio de la monotonía ya obtenemos los etremos locales sin tener que aplicar el criterio de la ª derivada. En, tiene un máimo relativo. El punto en concreto es En, la función tiene un mínimo relativo. El punto en concreto es En por no ser del dominio, no tiene sentido estudiar etremos.,, Intervalos de concavidad (curvatura): 4 4 (4 6)( ) ( ) ( Hacemos la ª derivada: f '( ) f ''( ) ( 4 ) ( ) factor común ( ) 4 ( ) (4 6)( ) ( ) 4 del numerador f ''( ) ( ) 6 operamos en el corchete, quedándonos: f ''( ) Igualamos a 0: ( ) 6 f ''( ) ( ) 0 0 es la única solución 4 ) Sacamos Simplificamos y Hacemos la tabla de signos correspondiente: (en este caso no sería necesario siempre sale porque el, numerador es 9 y el denominador siempre es positivo al ser,0 0,,, 6 f ''( ) ( ) Cóncava Convea Cóncava Convea

14 Puntos de infleión: En = 0 hay un punto de infleión conveo-cóncavo. Nuevamente = y = - no son tenidos en cuenta para ser candidatos a puntos de infleión pues no son del dominio. Pequeña tabla de valores: X Y - -7/8 - -8/ -/ /6 / -/6 8/ 7/8 Y la gráfica teniendo en cuenta todos los datos nos queda: 4

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