SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Transcripción

1 Pág. Página 58 PRACTICA Funciones cuadráticas Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valo- y res como esta, y di cuál es el vértice de cada parábola: a) y = + b) y = c) y = d) y = 0,5 0 y = + y = y = y = 0, , , , ,5 9 8 VÉRTICE (0, ) (0, ) (0, 0) (0, 0) 6 y = + 9 y = y = 8 y = 0,5 Unidad. Otras funciones elementales

2 Pág. Haz una tabla de valores como la del ejercicio anterior para representar cada una de las funciones siguientes: a) y = b) y = + c) y = d) y = 0,75 Di cuál es el vértice de cada una de estas parábolas. y= y = + y = y = 0, ,75 0, , , VÉRTICE (0, 0) (0, ) (0, 0) (0, 0) y = + y = 0, y = y = 7 0 Representa las siguientes parábolas, hallando los puntos de corte con los ejes, el vértice y algunos puntos próimos a él: a) y = ( ) b) y = 8 + c) y = + d) y = + Unidad. Otras funciones elementales

3 Pág. a) y = ( ) Eje X: ( ) = 0 = raíz doble (, 0) Eje Y: y = (0, ) Vértice: (, 0) Puntos próimos al vértice y 9 b) y = 8 + Eje X: 8 + = 0 8 ± ± 8 8 ± = = = ( +, 0) (,7; 0) = ± (, 0) (0,7; 0) Eje Y: y = (0, ) Vértice: (, 6) Puntos próimos al vértice: y c) y = + Eje X: ± ± + = 0 = / / No tiene puntos de corte con el eje X. Eje Y: y = (0, ) Vértice: (, 9 ) Puntos próimos al vértice: y / 7/ Unidad. Otras funciones elementales

4 Pág. d)y = + Eje X: ± = 0 = ± 7 No tiene puntos de corte con el eje X. Eje Y: y = (0, ) Vértice: (, 7 ) Puntos próimos al vértice: y 8 Asocia a cada una de las gráficas una de las epresiones siguientes: a) y = b) y = I II c) y = ( + ) d) y = III IV a) II b) IV c) I d) III Otras funciones 5 Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y = + b) y = c) y = d)y = + y = + y = y = + y = Unidad. Otras funciones elementales

5 Pág. 5 6 Dibuja la gráfica de las funciones siguientes: a) y = + b) y = a) b) c) y = 8 c) d) d) y = + 7 Representa las siguientes funciones haciendo, en cada caso, una tabla de valores como la del ejercicio. (Ayúdate de la calculadora). a) y = + b) y =,5 c) y =,5 + d) y =,5,5 + 0,5 0,06,,975 0,5 0,06,,875 0,5 0,6,,75 0,,67,5 0,5,5 8 6,5,5 6 5,65,8 5 9,06 6,06 a) y = + b) y =,5 6 5 Unidad. Otras funciones elementales

6 Pág. 6 c) 7 6 y =,5 + d) y = 8 Asocia a cada gráfica la fórmula que le corresponde: I) y = + II) y = a b III) y = IV) y = I b) II a) III d) IV c) c d Página 59 9 Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = II) y =,5 III) y = IV) y = + I) d) II) b) III) c) IV) a) a 6 b 6 c 8 d Estudia el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente: a) y = + b) y = c) y = 5 d) y = + Unidad. Otras funciones elementales

7 Pág. 7 a) y = Dominio = [, + ) b) y = 0 Dominio = (, ] c) y = Dominio = 5 [, + ) d)y = Dominio = (, 0] Asocia a cada gráfica una de estas fórmulas: I) y = + II) y = III) y = IV) y = I) b) II) c) III) d) IV) a) a c b d Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la función y =? La función y = es una hipérbola cuyas asíntotas son el eje de abscisas (y = 0) y la recta =. Le corresponde la gráfica c). a c b d 6 8 Unidad. Otras funciones elementales

8 Pág. 8 PIENSA Y RESUELVE La altura, h, a la que se encuentra en cada instante, t, un proyectil que lanzamos verticalmente con una velocidad de 500 m/s, es: a) Haz una representación gráfica. h = 500t 5t b) Di cuál es su dominio de definición. c) En qué instante alcanza la altura máima? Cuál es ésta? d) En qué intervalo de tiempo el proyectil está a una altura superior a los 500 metros? a) h t b) Dominio = [0, 00] c) La altura máima es alcanzada a los 50 segundos, a una altura de 500 metros. d)queremos saber cuándo h > 500 metros: 500t 5t > 500 5t + 500t 500 > 0 Resolvemos la ecuación: 500 ± ± t = = = 0 0 = 500 ± 00 0 t = 0 t = 90 Si t < 0 5t + 500t 500 < 0 Si 0 < t < 90 5t + 500t 500 > 0 Si t > 90 5t + 500t 500 < 0 Luego, h > 500 m en el intervalo (0, 90). Las ventanas de un edificio de oficinas han de tener m de área. a) Haz una tabla que muestre cómo varía la altura de las ventanas según la longitud de la base. b) Representa la función base-altura. El área de la ventana es: b h = m Unidad. Otras funciones elementales

9 Pág. 9 La función que nos da la altura en función de la variación de la base es: h = Tabla de valores: b b h b h 0,5 8 0,5,5,6,5, ),75, ALTURA h h = b BASE b 5 Con un listón de madera de metros de largo queremos fabricar un marco para un cuadro. a) Si la base midiera 0,5 m, cuánto medirían la altura y la superficie del cuadro? b) Cuál es el valor de la superficie para una base cualquiera? c) Para qué valor de la base se obtiene la superficie máima? d) Cuánto vale dicha superficie? a) base: 0,5 + y = y = y altura La altura mediría m. Área = y = 0,5 = 0,5. La superficie sería de 0,5 m. b) +y = y = Área = y Área = ( ) c) y d) Dibujamos la función y = Puntos de corte: Eje X: ( ) = 0 Eje Y: y = 0 (0, 0) Vértice: (, 9 ) 6 La superficie máima es = 0,565 m, que corresponde a un marco cuadrado de lado 0,75 m. 9 6 ( ) = 0 (0, 0) = / (/, 0) 0,565 ALTURA / / V BASE Unidad. Otras funciones elementales

10 Pág. 0 Página 60 6 Con 00 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 60 m. 60 m a) Llama a uno de los lados de la valla. Cuánto valen los otros dos lados? b) Construye la función que nos da el área. Cuándo se hace máima y cuánto vale ese máimo? c) Cuál es su dominio de definición? a) + y = 00 y = 00 El lado de enfrente a la pared mide: 00. b) Área = y Área = (00 ) y Representamos la función z = (00 ) Eje X: (00 ) = 0 Eje Z: z = 0 (0, 0) Vértice: (5, 50) = 0 m = 50 m Z 50 = 5 m Se hace máima el área cuando: y = 50 m X El área máima es de 50 m c) Dominio de definición: (0, 50) 7 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). 8 Resuelve analítica y gráficamente los siguientes sistemas: y = a) 5 6 b) y = + y = + y = + y = a) 5 6 y = + Unidad. Otras funciones elementales

11 Pág. Resolución analítica Vemos los puntos de corte: 5 6 = = 0 5 = 0 ± = = ± 6 = 5 y = 9 = y = Hay dos puntos de corte: (5, 9), (, ). Resolución gráfica Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: y = 5 6 Eje X: 5 6 = 0 5 ± ± 7 = = = 5 + = 7 ( ), 0 = 5 = 7 ( ), 0 9 (5, 9) Eje Y: y = 6 (0, 6) Vértice: 5 (, 7 ) 8 (, ) 5 y = + Hacemos una tabla de valores: 5 y 9 V y = b) + y = + Resolución analítica Puntos de corte entre ambas: + = + = 0 = ± y = Los puntos de corte son: (, 0), (, ). 0 Resolución gráfica Representamos en unos mismos ejes ambas funciones: y = + Unidad. Otras funciones elementales

12 Pág. Eje X: ± + = 0 = = raíz doble: (, 0) Eje Y: y = (0, ) Vértice: (, 0) y = + Hacemos una tabla de valores: y 0 (, ) (, ) (, 0) 9 El coste por unidad de fabricación de unas pegatinas disminuye según el número de unidades fabricadas y viene dado por la función: y = 0,5 + 0 a) Haz la gráfica correspondiente. Se pueden unir los puntos que has representado? b) Cuál será el coste cuando el número de pegatinas se hace muy grande? y = 0,5 + 0 a) Hacemos la tabla de valores: y 0,8 ) 0,75 0,7 0, ) 6 0,6 0,65 0,6 ) 0,6 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 Y ( ) X No se pueden unir los puntos, ya que el número de pegatinas es un número entero (y positivo). b) Hacemos una tabla de valores con el número de pegatinas muy alto: y 0,5 0,50 0,500 0,5000 El coste de las pegatinas, si el número de estas es muy grande, es de 50 céntimos por pegatina. Unidad. Otras funciones elementales

13 Pág. 0 Los gastos anuales de una empresa por la fabricación de ordenadores son: G() = y los ingresos que se obtienen por las ventas son: I = 600 0,. Cuántos ordenadores deben fabricarse para que el beneficio (ingresos menos gastos) sea máimo? La función beneficio es: B = I G = 600 0, ( ) B() = 0, El vértice es el máimo: V = 50 = 750 0, Se deben fabricar 750 ordenadores para que el beneficio sea máimo. La gráfica de una función eponencial del tipo y = ka pasa por los puntos (0, ) y (;,6). a) Calcula k y a. b) Es creciente o decreciente? c) Representa la función. a) Si pasa por el punto (0, ) = ka 0 k = Si pasa por el punto (;,6),6 = ka,6 = a a =, Tenemos la función y = (,) b) Es una función creciente. c) Hacemos una tabla de valores: 0 y,08,5,6, 5,8 6 La función eponencial y = ka pasa por los puntos (0, ) y (;,8). Calcula k y a y representa la función. Si pasa por el punto (0, ), entonces: = k a 0 = k Si pasa por el punto (;,8), entonces:,8 = k a,8 = a a = 0,6 a = 0,8 La función es: y = (0,8) y,906,5,5 0,6,8,0 Unidad. Otras funciones elementales

14 Pág. Llamamos inflación a la pérdida de valor del dinero; es decir, si un artículo que costó 00 al cabo de un año cuesta 5, la inflación habrá sido del 5%. Supongamos una inflación constante del 5% anual. Cuánto costará dentro de 5 años un terreno que hoy cuesta euros? P = (,5) 5 = ,86 costará el terreno dentro de cinco años. En el contrato de alquiler de un apartamento figura que el precio subirá un 5% anual. Si el precio era de 50 mensuales, cuál será dentro de 5 años? Escribe la función que da el precio del alquiler según los años transcurridos. P 5 = 50 (,05) 5 = 9,07 pagará dentro de cinco años. La función que relaciona el precio del alquiler con los años transcurridos es P = 50,05 t. Página 6 5 Una furgoneta que costó se deprecia a un ritmo de un % anual. Cuál será su precio dentro de años? Halla la función que da el precio del vehículo según los años transcurridos, y calcula cuánto tiempo tardará el precio en reducirse a la mitad. P = ( 0,) = ,88 99,90 P = ,88 t Si el precio final es de euros: = ,88 t 0,5 = 0,88 t t 5, años 6 En un bosque en etapa de crecimiento se mide el volumen de madera y se obtiene 0 50 m. Se observa que el bosque crece a un ritmo de un % anual. a) Cuánta madera tendrá dentro de 0 años? b) Cuál es la función que da la cantidad de madera según los años transcurridos, suponiendo que se mantenga el ritmo de crecimiento? a) V = 0 50 (,0) 0 = 9,7 m de madera habrá dentro de diez años. b) V = 0 50 (,0) t 7 Tenemos 00 kg de naranjas que hoy se venderían a 0,0 /kg. Cada día que pasa se estropea kg y el precio aumenta 0,0 /kg. Cuándo hemos de vender las naranjas para obtener el máimo beneficio? Cuál será ese beneficio? Unidad. Otras funciones elementales

15 Pág. 5 La función que representa el coste de todas las naranjas en función del número de días que ha pasado es: y = (00 ) (0, + 0,0) Dibujamos esta función y vemos cuál es su máimo: Y X V = (80, ) Se han de vender dentro de 80 días, y el beneficio será de. 8 a) Estudia, sobre la gráfica de la función y = 5, para qué valores de se verifica 5 > 0. b) Qué valores de cumplirán la desigualdad 5 0? a) Representamos la parábola y = 5. Eje X: y = 0 5 = 0 ± = = ± 6 = = 5 (5, 0) = (, 0) Eje Y: = 0 y = 5 (0, 5) 9 Vértice: (, 9) 5 > 0 es el intervalo que queda por encima del eje X. Luego 5 > 0 ocurre en (, ) U (5, + ) b) 5 0 es el intervalo de la gráfica que queda por debajo del eje X; luego 5 0 ocurre en [, 5]. 5 9 La epresión analítica de estas dos gráficas es de la forma y = a. Di el valor de a en cada una de ellas. (En los ejes se ha tomado la misma escala). ) a = y = ) a =,5 y =,5 0 Todas las funciones eponenciales de la forma y = a pasan por un mismo punto. Di cuál es y justifícalo. En qué casos la función es decreciente? Todas las eponenciales de este tipo pasan por el punto (0, ) porque cualquier número elevado a cero es uno. La función es decreciente cuando 0 < a <. Unidad. Otras funciones elementales

16 Pág. 6 Calcula b para que el vértice de la parábola y = + b + 0 esté en el punto (, ). Cuál es su eje de simetría? Cuáles son los puntos de corte con los ejes? La abscisa del vértice es: V a = b. En este caso: a =, V a =. a = b b = 6 El eje de simetría es la recta =. Eje X: 6 ± ± = 0 = = No tiene puntos de corte con el eje X. Eje Y: y = 0 El punto de corte con el eje Y es el punto (0, 0). Cuánto debe valer k para que la parábola y = 0 + k tenga un solo punto de corte con el eje de abscisas? Para qué valores de k no cortará al eje X? Para calcular los puntos de corte con el eje X, hacemos: 0 ± 00 6k 0 + k = 0 = 8 Para que solo haya una solución en esta ecuación: 00 6k = 0 k = 00 = 5 6 Solo hay un punto de corte con el eje X si k = k < 0 6k < 00 k > 5 La parábola no corta al eje X si k > 5. La parábola y = a + b + c pasa por el origen de coordenadas. Cuánto valdrá c? Si, además, sabes que pasa por los puntos (, ) y (, 6), cómo calcularías a y b? Halla a y b y representa la parábola. Si pasa por el origen de coordenadas, cuando = 0 y = 0 Por tanto: 0 = a 0 + b 0 + c c = 0 Por otro lado: 9/8 = a + b 6 = 6a + b 7/ 7 = a b 6 = 6a + b 6 = a a = b = + b = 7 La parábola es: y = + 7 V = 7 (, 9 ) 8 Unidad. Otras funciones elementales