PROBLEMAS TEMA 2: TEORÍA DE COLAS. Curso 2013/2014

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1 PROBLEMAS TEMA 2: TEORÍA DE COLAS. Curso 2013/ Un nuevo restaurante de comida rápida tiene una sola caja. En media, los clientes llegan a la caja con una tasa de 20 a la hora. Las llegadas se suponen con distribución de Poisson. El cajero puede cobrar, en media, a 12 clientes cada media hora. Se supone que el tiempo de servicio es exponencial. a) Cual es el número medio de clientes en el sistema? b) Cual es el tiempo medio de espera de un cliente en la cola? c) Cual es la probabilidad de que haya menos de tres clientes en el sistema? d) Cual es la probabilidad de que el cajero no esté cobrando a nadie? 2. Un señor tiene una barbería con una sala de espera en la que sólo caben dos personas. Los clientes llegan a la barbería según un proceso de Poisson de media 3 a la hora y el tiempo que tarda el barbero en afeitarles es exponencial de media 1/4 de hora. a) Probabilidad de que un cliente que llega a la barbería sea atendido sin esperar. b) Cual es el número medio de clientes en la barbería? c) Calcular la tasa global efectiva de llegadas de clientes a la barbería y el tiempo medio de estancia de cada cliente en la misma. d) Calcular la probabilidad de que un cliente que llega a la barbería tenga que irse porque está llena. Calcular el porcentaje de clientes perdidos. e) Calcular el número medio de clientes perdidos por hora. 3. Dos hermanos tienen una pequeña fábrica textil con cuatro telares. Cada telar necesita un pequeño reajuste una vez cada tres horas (este reajuste lo puede hacer, indistintamente, cualquiera de los hermanos). En cada reajuste se emplean de media 15 minutos. Suponiendo que tanto la necesidad de reajuste como el tiempo empleado en el mismo siguen una distribución exponencial, a) Plantear el sistema anterior como un sistema de colas. Es un sistema con capacidad finita o infinita? Es un sistema con población finita o infinita? b) Obtener para este sistema λ. c) Obtener el tiempo medio transcurrido hasta que un telar que necesite reajuste pasa a ser reparado. d) Obtener el número medio de personas ocupadas en revisar los telares. e) Calcular el coste total del sistema si suponemos que el coste por hora de tener un telar parado es de 300 euros y el coste de un empleado cada hora es de 30 euros. f) Atendiendo solo a los costes Sería razonable que alguno de los hermanos se dedicase a otra tarea que no fuese el reajuste de los telares? 4.- En una carretera comarcal hay un surtidor de gasolina. Las llegadas de vehículos al surtidor se producen según un proceso de Poisson de media 10 a la hora y el tiempo medio de servicio es de 4 minutos por cliente, siendo éste exponencial. a) Plantear el sistema anterior como un sistema de colas. Es un sistema con capacidad finita o infinita? Es un sistema con población finita o infinita? b) Calcular la probabilidad de que cuando un vehículo llega, el surtidor esté ocupado. c) Calcular la probabilidad de que cuando llega un vehículo a la gasolinera, haya más de dos esperando en la cola. d) Cuando llega un vehículo al sistema cuál es el número esperado de vehículos que encontrará en la cola? e) Calcular el tiempo medio de un coche en la estación de servicio.

2 5.- Supongamos que tenemos una CPU con 2 terminales conectados, y que de cada terminal sólo puede recibir un trabajo a la vez, es decir que hasta que cada terminal no ha recibido contestación de la CPU a su trabajo anterior, no inicia el proceso para enviar el siguiente trabajo. De cada terminal activa (que no está esperando contestación de la CPU) se envía de media un trabajo cada 2 minutos siguiendo una distribución exponencial los tiempos entre envíos consecutivos. El tiempo de servicio de la CPU sigue una distribución exponencial de parámetro µ = 4 trabajos/minuto.. b) Calcular la probabilidad de que haya 0, 1 y 2 trabajos en el sistema de colas de la CPU. c) Calcular la tasa global de trabajos que llegan a la CPU. d) Calcular el número medio de trabajos en la CPU, y tiempo medio que pasan los trabajos en la cola de la CPU. 6.- A una impresora le llegan trabajos para imprimir con una tasa de 8 al minuto, siguiendo las llegadas un proceso de Poisson. El tiempo de impresión es exponencial de media 5 segundos. Esta impresora almacena los trabajos que le llegan en un buffer con capacidad para 3 mensajes. Suponer que la memoria de la impresora es suficiente como para almacenar en ella todo el trabajo que está siendo impreso.. b) Probabilidad de que un mensaje llegue directamente a la impresora sin tener que esperar cola. c) Probabilidad de que en este sistema de impresión haya menos de tres trabajos esperando a ser imprimidos. d) Número medio de trabajos en el sistema de impresión. e) Tasa global efectiva de llegadas de trabajos al sistema de impresión y tiempo medio de espera en el buffer de un trabajo hasta que pasa a la impresora. f) Probabilidad de que se pierda un mensaje que llega al sistema para ser impreso cuántos trabajos se perderán, en media, cada hora de trabajo? 7.-. Un equipo tiene 6 componentes iguales de las cuales deben funcionar al menos 4 para que el equipo funcione. Inicialmente todas las componentes se ponen en funcionamiento y la duración de cada una de ellas sigue una distribución exponencial de media 20 horas. Cuando fallan van a un servicio de reparación con 2 servidores, siendo la duración de cada reparación exponencial de media 10 horas.. b) Calcular la probabilidad de que haya 4, 5 y 6 componentes funcionando. Calcular la probabilidad de que el sistema no funcione. c) Calcular la disponibilidad del equipo. d) Si el coste por tener el equipo parado es de 1000 euros/hora y a los empleados se les paga 60 euros la hora trabajada, calcular el coste total del sistema en una jornada de 8 horas. 8.- El tiempo hasta que falla un radar se distribuye exponencialmente con media 250 horas. El tiempo de reparación es exponencial de media 3 horas. Si suponemos que solamente hay un equipo de reparación de radares, calcular la disponibilidad del radar: a) Sin unidades de repuesto b) Con una unidad idéntica de repuesto en standby. c) Con dos unidades idénticas de repuesto en standby. Si el coste por tener el radar parado es de euros/hora y al equipo se le paga 3000 euros/hora trabajada calcular el coste total por hora de este sistema.

3 9.- En una planta de producción de coches algunas de las etapas finales son el montaje de la carrocería, las ruedas y la pintura. Estos trabajos los realizan en este orden tres máquinas diferentes. La tasa de llegadas de vehículos a la primera máquina es de 4 coches a la hora según un proceso de Poisson. Esta máquina tarda en media, 10 minutos en montar la carrocería, siendo el tiempo de servicio exponencial. Una vez que la carrocería está montada, se colocan las ruedas lo que lleva un tiempo medio de 5 minutos, también con distribución exponencial. Finalmente, se pasa a pintar ciertas partes de la carrocería, siendo el tiempo que tarda en ser pintado un coche una variable exponencial de media 30 minutos. Puesto que este último proceso es más largo que los demás, para que no se produzca un bloqueo del mismo, cuando hay 3 coches esperando para ser pintados, los que llegan se retiran a otra máquina de pintura. Esta otra máquina no la vamos a considerar en el tramo de red que queremos estudiar. a) Calcular el número medio de vehículos que esperan para que les monten las ruedas. b) Calcular la probabilidad de que un vehículo tenga que ser desviado a la otra máquina de pintura para ser pintado. c) Calcular el tiempo medio que un vehículo pasa en la etapa de pintura. d) Calcular la probabilidad de que haya 2 coches en el sistema de montaje de carrocería, 1 en el de montaje de ruedas y 3 en el de pintura. e) Calcular el número medio de coches en la cadena de producción así como el tiempo medio que un coche pasa en dicha cadena Considérese una línea de comunicaciones donde vamos a observar el funcionamiento de 4 canales de entrada-salida, uno de los cuales es un centro de detección de errores en los mensajes transmitidos desde el nodo anterior. Concretamente, tenemos el siguiente esquema para el sistema: El número de mensajes que llegan al nodo 1 sigue un proceso de Poisson con tasa de llegadas de 5 mensajes por minuto siendo exponencial el tiempo de transmisión con tasa 8 mensajes por minuto. Cuando un mensaje se recibe en el nodo 2, centro de detección de errores de los mensajes transmitidos desde el nodo 1, es devuelto a su nodo de origen con probabilidad 0.1. El tiempo medio de chequeo de un trabajo es de 10 segundos, siendo la distribución exponencial. Una vez que a un mensaje que proviene del nodo 1 no se le detecta ningún tipo de error, se transmite a través de uno de los nodos dispuestos a continuación en red con igual probabilidad. Los tiempos de transmisión para los nodos 3 y 4 son exponenciales con tasas de servicio respectivas de 3 y 5 mensajes por minuto. Calcular: a) Probabilidad de que haya 1 mensaje esperando para ser transmitido y 1 en transmisión en cada uno de los nodos 1,3,4 y 3 mensajes en el centro de chequeo. b) Calcular el número medio de mensajes en el centro de chequeo y en este trozo de la red de comunicaciones. c) Calcular el tiempo medio total que un mensaje pasa en este fragmento de la red de comunicaciones Sea un sistema de computación como el de la figura con dos canales de entrada/salida cada uno de ellos con tasa de servicio de 12 trabajos/seg. La tasa de servicio de la CPU es de 20

4 trabajos/seg., y la tasa de llegadas de 10/7 trabajos/seg. Las probabilidades de ramificación son: p 0 = 0.1; p 1 = 0.3; p 2 = 0.6. CPU p 1 E/S λ p 0 p 2 E/S a) Calcular la probabilidad que haya 2 trabajos esperando en cola en la CPU y un trabajo en cada uno de los canales de entrada/salida de este sistema de computación, suponiendo que todos los tiempos de servicio y el tiempo entre llegadas son independientes y con distribución exponencial y la capacidad de las colas es infinita. b) Calcular el número medio de trabajos en la CPU y el tiempo medio de respuesta en este sistema. c) Calcular el número medio de trabajos y el tiempo medio que pasan los trabajos en el sistema de computación Se va a analizar un tramo de red que corresponde a un servidor (nodo 1) de parches de seguridad de Windows, y a 3 nodos más por los que circularán dichos parches. Los parches para evitar el gusano Sasser ocupan 6 Mb. Las tasas de transferencia de ficheros de cada uno de los nodos 1 al 4 son 2, 1, 1 y 0.6 Mb/minuto respectivamente, siguiendo una distribución exponencial dichos tiempos de servicio. Suponemos que se solicitan 10 parches por hora al servidor 1 (se puede considerar que ésta es la tasa de llegada al nodo 1) y que el número de solicitudes es un proceso de Poisson. Las probabilidades de transición entre los nodos r = r = 0.5; r = 0.5; r = 0.2; r = 0.4; r = 0.4. son: 1,2 1,3 2,3 2,4 3,2 3, a) Calcular la tasa de llegada a cada nodo. Indicar la tasa de servicio de cada nodo utilizando las mismas unidades que en la tasa de llegada. b) Calcular para cada nodo: L, W y p(1). c) Calcular el número medio de parches circulando en este tramo de red, y la probabilidad de que haya 1 parche en cada nodo (suponemos que un parche que está siendo transferido está en el nodo de partida hasta que se ha completado la transferencia). d) Suponiendo que la población de clientes del nodo 1 es finita, que sólo hay solicitud de parches de 10 clientes, cada uno de ellos con una tasa de petición de 0.02 parches/minuto, que la capacidad del nodo es de 3 parches y que la tasa de servicio es la del apartado a) : d1) Escribe las tasas de llegada λ al nodo 1. d2) Calcular a mano las probabilidades de equilibrio para este nodo y comprobar que son correctas con WinQsb.

5 d3) Calcular a mano el tiempo medio que un parche pasa en este nodo y comprobar el resultado con WinQsb. d4) Qué porcentaje de las peticiones que llegan a este nodo no se pueden atender? e) Suponemos ahora que cada uno de los nodos 2 y 3 falla de media una vez cada 10 días, que hay un servicio de reparación con un servidor que tarda de media 6 horas en repararlo y que tanto la duración de los nodos como el tiempo de reparación siguen una distribución exponencial: e1) Qué modelo de colas debemos utilizar para modelar el sistema de reparación? Escribir las tasas λ para el sistema de reparación. e2) Cuál es la probabilidad de que un parche que ha salido del nodo 1 no pueda llegar al nodo 4 por estar estropeados los nodos 2 y 3?