Aplicación de Boostrapping en Regresión I

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1 Aplcacó de Boostrappg e Regresó I U modelo de regresó leal basado e observacoes (x,y ) es de la forma y =x β+e (=,,..) dode y so los valores observados de la varable de respuesta y, y los x so vectores flas de dmesó p y cotee los valores observados de la varables predctoras, β represeta u vector columa p dmesoal de parámetros descoocdos, y e represeta u error aleatoro y se supoe que so ua muestra aleatora de ua dstrbucó F que tee valor esperado 0 y varaza σ. S las varables predctoras o so aleatoras esto mplca que E(y)=x β. El problema e regresó es tratar de estmar el vector de parámetros β usado los datos observados (x,y ),(x,y )..(x,y ). El método más popular de estmacó es el de cuadrados mímos que cosste e mmzar la suma de cuadrados de los errores e. Es decr, que el estmador mímo cuadrátco βˆ de β mmza = e = ( y β) = y Xβ = x dode y=(y,.y ) y X es ua matrz x p co flas x. Como se ha vsto e clases aterores, esto produce βˆ = (X'X) X'y Se puede mostrar que la matrz de covarazas de βˆ está dado por (X X) - σ, dode σ represeta la varaza poblacoal de los errores, por supuesto por lo geeral descoocda. E cosecueca, el error estádar (estmado) de los coefcetes βˆ estará dado por se(β ˆ ) = c s dode c es el -ésmo elemeto de la dagoal de (X X) - y s es la estmacó de σ. La aplcacó de Bootstrappg e regresó está cetrada mayormete e ferecas acerca del vector de parámetros β, e la estmacó del error de predccó y e seleccó de varables. La estmacó por bootstrappg del error estádar de los βˆ estará dada por la desvacó estádar de la dstrbucó de sus valores bootstraps. Hay dos maeras de aplcar Bootstrappg e u modelo de regresó: Usado Bootstrappg e las observacoes y usado Bootstrappg e los errores o resduales. Aplcado Bootstrappg e las observacoes.

2 E este caso estamos se cosdera que las observacoes (x,y ) so ua muestra aleatora de ua dstrbucó multvarada F de dmeso p+. Lo que se trata etoces es aproxmar F medate el bootstrappg de su dstrbucó Emprca Fˆ. Para esto se toma muestras co reemplazameto de tamaño de la muestra orgal (x,y ),(x,y )..(x,y ). Esto es equvalete a prmero seleccoar al azar dces dstrbudos uformemete e el couto {,,.. Sea J el couto de dces seleccoados etoces (x,y)={(x,y ): J costtuye la muestra bootstrap. Luego se calcula el modelo de regresó obteedo ua secueca de B estmados bootstraps β. Lo ateror se puede resumr e el sguete algortmo For k=:boot. Seleccoar al azar los úmeros,.. al azar y co reemplazo de {,. Para =,... hacer x = x y y = y 3. Austar el modelo de regresó co la muestra bootstrap ( x, y ) ( x, y ) para obteer β y u estmado del error estádar del estmador mmo cuadrátco e cada muestra bootstrap. El error estadar estmado por bootstrap será la desvacó estádar de los β. La sguete fucó e R ecuetra el error estádar de los coefcetes de regresó leal múltple segú el método de las observacoes. fucto(x,boot) {#Calcula el error estadar de los coefcetes de # regreso por bootstrappg de las observacoes obs=dm(x)[] p=dm(x)[] bboot=matrx(0,boot,p) for (k :boot) {dexb=sample(:obs,obs,replace=t) y=x[dexb,p] xp=x[dexb,-p] bboot[k,]=lm(y~xp)$coef seboot=apply(bboot,,sd) Eemplo: Estmar usado bootstrappg el error estádar de los coefcetes de la líea de regresó que relacoa log(peso del cerebro(g)) versus log(peso del cuerpo(kg)) de 6 mamferos ( los datos so tomados del lbro Appled Regresó de Wesberg, paga 44). Aplcado la fucó ateror se obtee los sguetes resultados. > bootreg(mama,00) [] > bootreg(mama,500) [] > bootreg(mama,000) [] Usado la fucó lm hallamos los sguetes valores para los estmados de los coefcetes de regresó y su desvacó estádar.

3 summary(lm(mama[,]~mama[,])) Call: lm(formula = mama[, ] ~ mama[, ]) Resduals: M Q Meda 3Q Max Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) <e-6 mama[, ] <e Sgf. codes: 0 `' 0.00 `' 0.0 `' 0.05 `.' 0. ` ' Resdual stadard error: o 60 degrees of freedom Multple R-Squared: 0.908, Adusted R-squared: F-statstc: o ad 60 DF, p-value: <.e-6 Eemplo: Usado los datos de mllae estmar el error estádar del vector de coefcetes de regresó β de la regresó de mpg versus hp, sp, wt, y vol > bootreg(as.matrx(mlla),00) [] > bootreg(as.matrx(mlla),500) [] > bootreg(as.matrx(mlla),000) [] > Usado la fucó lm hallamos los sguetes valores para los estmados de los coefcetes de regresó y su desvacó estádar. > summary(lm(mpg~.,data=mlla)) Call: lm(formula = mpg ~., data = mlla) Resduals: M Q Meda 3Q Max Coeffcets: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Itercept) e- hp e-06 sp e-06 wt e-3 vol

4 --- Sgf. codes: 0 `' 0.00 `' 0.0 `' 0.05 `.' 0. ` ' Resdual stadard error: o 77 degrees of freedom Multple R-Squared: , Adusted R-squared: F-statstc: 3.7 o 4 ad 77 DF, p-value: <.e-6 Notar que hay bastate dfereca etre los errores estádar que da el Bootstrappg y los valores exactos. La razó de la dscrepaca es que hay multcolealdad (depedeca leal) etre las varables predctoras y ello afecta el redmeto del bootstrappg. Aplcado Bootstrappg e los errores S cosderamos que las varables predctoras so fas, o aleatoras, etoces se puede aplcar remuestreo solo a los errores del modelo de regresó mímo cuadrátco. E cada muestra bootstrap la matrz X es la msma. Lo ateror se puede resumr e el sguete algortmo. Austar el modelo mímo cuadrátco y ˆ x β ˆ =. For k=:boot ) Para =,... a. Hacer x = x b. Seleccoar ua muestra co reemplazo ε de los resduales del modelo mímo cuadrátco. c. Hacer y ˆ = x β + e ) Austar el modelo de regresó co la muestra bootstrap ( x, y ) ( x, y ) para obteer β y u estmado del error estádar del estmador mímo cuadrátco. La sguete fucó e R eecuta el algortmo. bootreg= fucto(x,boot) {#Calcula los coefcetes de regreso y sus errores # estadar por bootstrappg los errores obs=dm(x)[] p=dm(x)[] y=x[,p] xp=x[,-p] dm(xp) uos=rep(,obs) xp=cbd(uos,xp) reg=lm(y~xp) bboot=matrx(0,boot,p) for( :boot) {db=sample(:obs,obs,replace=t) eb=reg$resd ebo=eb[db] tempo=reg$coef yb=xp%%tempo+ebo bboot[,]=lm(yb~xp)$coeff

5 seboot=apply(bboot,,sd) Aplcado la fucó a los datos del prmer eemplo se obtee > bootreg(mama,00) [] > bootreg(mama,500) [] > bootreg(mama,000) [] Nuevamete los valores estmados de los errores estádar aparece algo aleados de los valores exactos. Aplcado la fucó al couto de datos mllae se obtee > bootreg(as.matrx(mlla),00) [] > bootreg(as.matrx(mlla),500) [] > bootreg(as.matrx(mlla),000) [] > Es be evdete que aqu este método hace u meor trabao que el método de bootstrappg las observacoes. Bootstrappg de las observacoes es meos sestvo a suposcoes (ormaldad, varaza costate e depedeca) que bootstrappg de los errores. Bootstrappg de las observacoes tede a producr dstrbucoes co mayor varabldad. La colealdad de las varables predctoras afecta el redmeto de ambos métodos. Eemplo: Aplcar bootstrappg resduales a los datos hormoe e dode se relacoa amout=catdad de hormoa que queda e u evase después de u umero dado de horas de uso (ver Efro y Tbshra pága 07). >bootreg(hormoe,00) [] > bootreg(hormoe,500) [] > bootreg(hormoe,000) [] >.

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