Definición La distribución de probabilidad de un estadístico recibe el nombre de distribución muestral. La distribución muestral de un estadístico

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1 V. Muestreo

2 V.. Dstrbucoes de Muestreo Defcó La dstrbucó de probabldad de u estadístco recbe el ombre de dstrbucó muestral. La dstrbucó muestral de u estadístco depede del tamaño de la poblacó, del tamaño de las muestras y del método de seleccó de éstas últmas.

3 V... Dstrbucoes de muestreo V... Dstrbucoes de muestreo para medas para medas para medas para medas La dstrbucó de probabldad de se llama dstrbucó muestral de la meda. L dtb ó t l d l d l d S ó La prmera dstrbucó muestral a cosderarse es la de la meda. Supógase que ua muestra aleatora de observacoes se toma de ua poblacó ormal co meda μ y co varaza fta σ 2. Cada observacó X, =, 2,...,, de la muestra aleatora tee etoces la msma dstrbucó ormal que la poblacó que está aleatora tee etoces la msma dstrbucó ormal que la poblacó que está sedo muestreada. Por lo que: x = = = x x X X X X... 2 ( ) ( ) ( ) μ μ μ = = = = = = = = = = x E x E E X E Tee ua dstrbucó ormal co meda μ. Cuado u estmador, como e este caso, tee u valor esperado gual al parámetro que se desea estmar, se dce que es u estmador sesgado. parámetro que se desea estmar, se dce que es u estmador sesgado.

4 V 2 Varaza 2 Varaza muestral V..2. Varaza muestral..2. Varaza muestral muestral La varaza muestral es: x 2 ( ) x Var x Var Var x Var ) ( σ = = = = = = = = ( ) x Var 2 2 σ = ( ) x Var 2 σ =

5 V3 V..3. Teorema Cetral de Límte Dadas las propedades aterores se establece que para poblacoes ftas: 2 σ x N μ, x z = σ μ N 0, x μ N 2 σ 2 ( 0,)

6 V3 V..3. Teorema Cetral de Límte S X es la meda de ua muestra aleatora de tamaño que se toma de ua poblacó co meda μ y co varaza fta σ 2, etoces la forma límte de la dstrbucó de: Z = X μ σ Coforme tede a fto es la dstrbucó ormal estádar (z; 0, ).

7 V3 V..3. Teorema Cetral de Límte E térmos smples el teorema cetral de límte se euca de la sguete maera: S X es ua varable aleatora co meda μ y desvacó estádar σ, la dstrbucó de muestreo de la meda de la muestra debe ser aproxmadamete ormal co meda μ y desvacó estádar s mportar la forma de la dstrbucó orgal de la varable aleatora X, sempre y cuado el tamaño de la muestra sea grade (). () La aproxmacó ormal para geeralmete será buea s 30 s mportar la forma de la poblacó. S < 30, la aproxmacó es buea sólo s la poblacó o dfere mucho de ua dstrbucó ormal y, como se establecó ates, s se sabe que la poblacó es ormal, la dstrbucó muestral de segurá exactamete ua dstrbucó ormal, s mportar qué ta pequeño sea el tamaño de las muestras

8 V3 V..3. Teorema Cetral de Límte Ejemplo:. E u proceso de produccó se sabe que la catdad, e promedo, de pezas defectuosas es de 4 co ua desvacó de 2, e ua muestra de 30 pezas. Calcular l la probabldad bld d de teer meos de 3 pezas defectuosas. X μ Z = σ 3 4 Z = = = Como z = valor que buscado e la tabla de la ormal es: lo que sgfca que se tee ua probabldad de 0.32% de teer meos de tres pezas defectuosas.

9 V2 V.2. Muestreo Defcó Es u procedmeto para seleccoar u subcojuto, llamado muestra, de elemetos de ua poblacó. El objetvo prcpal del muestreo es cosderar el mayor úmero de udades co el meor costo posble.

10 V.2. Clasfcacó del muestreo Exste dferetes crteros de clasfcacó de los dferetes tpos de muestreo, auque e geeral puede dvdrse e dos grades grupos:. Métodos de muestreo o probablístcos blí 2. Métodos de muestreo probablístcos

11 V.2.. Muestreo No Probablístco (No Aleatoro) A veces, para estudos exploratoros, el muestreo probablístco resulta excesvamete costoso y se acude a métodos o probablístcos, au sedo coscetes de que o srve para realzar geeralzacoes, pues o se tee certeza de que la muestra extraída sea represetatva, ya que o todos los sujetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos. E geeral se seleccoa a los sujetos sguedo determados crteros procurado que la muestra sea represetatva.

12 V.2.. Muestreo No Probablístco (No Aleatoro) E alguas crcustacas los métodos estadístcos y epdemológcos permte resolver los problemas de represetatvdad au e stuacoes de muestreo o probablístco, blí por ejemplo los estudos de caso-cotrol, dode los casos o so seleccoados aleatoramete de la poblacó.

13 V.2.. Muestreo No Probablístco (No Aleatoro) Etre los métodos de muestreo o probablístcos más utlzados e vestgacó ecotramos: Muestreo tecoal o de coveeca Muestreo por cuotas Muestreo opátco o tecoal Muestreo casual o cdetal Bola de eve Muestreo Dscrecoal

14 V22 V.2.2. Muestreo Itecoal Es cuado ua persoa seleccoa la muestra procurado que sea represetatva, depededo tal represetatvdad de su tecó u opó, co lo que la evaluacó es subjetva. E este proceso o se produce ua seleccó aleatora de las muestras lmtádose el muestreo a udades que parece ser represetatvas de la poblacó que se cosdera. Se obtee formacó sobre esas udades y co base e la msma se hace estmacoes sobre las característcas de la poblacó. a. Aplcado Crtero: el crtero de la persoa que seleccoa la muestra es mportate, porque persoas dferetes tee crteros dferetes. No hay método objetvo por el que se prefera u crtero de seleccó de muestra a otro. b. Muestreo s orma: Es cuado se toma la muestra de cualquer maera por razoes de comoddad. La represetatvdad de tal muestra sólo puede asprar a ser medaamete satsfactora e el caso de que la poblacó sea homogéea.

15 V23 V.2.3. Muestreo por cuotas També deomado e ocasoes "accdetal". Se aseta geeralmete sobre la base de u bue coocmeto de los estratos de la poblacó y/o de los dvduos más "represetatvos" o "adecuados" para los fes de la vestgacó. Matee, por tato, semejazas co el muestreo aleatoro estratfcado, pero o tee el carácter de aleatoredad de aquél. E este tpo de muestreo se fja uas "cuotas" que cosste e u úmero de dvduos que reúe uas determadas codcoes, por ejemplo: 25 dvduos de 20 a 35 años, de sexo femeo y resdetes e la Cudad de Méxco. Ua vez determada la cuota se elge los prmeros que se ecuetre que cumpla esas característcas. Este método se utlza mucho e las ecuestas de opó.

16 V.2.4. Muestreo opátco o tecoal Este tpo de muestreo se caracterza por u esfuerzo delberado de obteer muestras "represetatvas" medate la clusó e la muestra de grupos supuestamete típcos. Es muy frecuete su utlzacó ó e sodeos preelectorales de zoas que e aterores votacoes ha marcado tedecas de voto.

17 V25 V.2.5. Muestreo casual o cdetal Se trata de u proceso e el que el vestgador seleccoa drecta e tecoadamete los dvduos de la poblacó. El caso más frecuete de este procedmeto el utlzar como muestra los dvduos d a los que se tee fácl acceso (los profesores de uversdad emplea co mucha frecueca a sus propos alumos). U caso partcular es el de los volutaros.

18 V26 V.2.6. Bola de eve Se localza a alguos dvduos, los cuales coduce a otros, y estos a otros, y así hasta cosegur ua muestra sufcete. Este tpo se emplea muy frecuetemete cuado se hace estudos co poblacoes "margales", " delcuetes, sectas, determados tpos de efermos, etc.

19 V.3. Muestreo Probablístco (Aleatoro) Es cuado puede establecerse la probabldad de obteer cada ua de las muestras que sea posble seleccoar (elemetos del espaco muestral S) medate u proceso de muestreo dado, esto es, cuado la seleccó de muestras costtuya u feómeo aleatoro probablzable. Dcha seleccó se verfcará e codcoes de azar, sedo susceptble de medda de certdumbre dervada de la msma. Esto permtrá medr los errores cometdos e el proceso de muestreo. Para establecer la probabldad de todas las muestras posbles dervadas de u procedmeto de muestreo dado, será ecesaro coocer ese cojuto de muestras, es decr, será ecesaro delmtar tato el método de muestreo como el espaco muestral dervado del msmo.

20 V.3.. Muestreo Probablístco (Aleatoro) Se establece que el muestreo aleatoro es u proceso de seleccó de muestras, medate el cual se garatza que todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos para ser parte de la muestra. A la muestra seleccoada de esta forma se le llama muestra aleatora.

21 V.3. Muestreo Probablístco (Aleatoro) E el proceso de seleccó de ua muestra, puede suceder que, ua vez seleccoado y computado u elemeto, éste sea devuelto a la poblacó, pudedo ser seleccoado de uevo para formar parte de la msma muestra. E este caso se habla de u muestreo co reemplazameto. E cambo, s ua vez seleccoado u elemeto, o puede volver a formar parte de la msma muestra, se habla de muestreo s reemplazameto. Cuado se utlza el método de muestreo co reemplazameto, el resultado de la extraccó de cada elemeto es depedete de los resultados aterores. E el muestreo co reemplazameto, el úmero de elemetos de la poblacó o se acaba uca, por lo que se puede dar el hecho de muestras co mayor tamaño que el úmero de elemetos de la poblacó. E poblacoes ftas, s el muestreo es s reemplazameto, el resultado de ua extraccó depede de los resultados aterores.

22 V.3.. Muestreo Probablístco (Aleatoro) El muestreo aleatoro realzado bajos certas codcoes y sometdo a certos requstos, srve para geeralzar coclusoes obtedas a través de ua muestra, aplcables a toda la poblacó de la que forma parte, detro de certos límtes de cofabldad, establecdos de atemao.

23 V.3.. Muestreo Probablístco (Aleatoro) Detro de los métodos de muestreo probablístcos ecotramos los sguetes tpos: Muestreo aleatoro smple Muestreo aleatoro sstemátco Muestreo aleatoro estratfcado Muestreo aleatoro por coglomerados

24 V4 V.4. Método de Muestreo U procedmeto o método de muestreo es u proceso o mecasmo medate el que se seleccoa las muestras de modo que cada ua tega ua determada probabldad de ser elegda. Por lo tato, el método aleatoro empleado para seleccoar la muestra defe e el espaco muestral S ua fucó de probabldad bld d P tal que: a. P(S ) 0 para toda b. P ( S ) = S Cuado se habla de estmar u parámetro de la poblacó a partr de los datos proporcoados por ua muestra, se está maejado coceptos que es ecesaro defr.

25 V4 V.4.. Método de Muestreo Etedemos por poblacó el cojuto de todos los elemetos que va a ser objeto de u expermeto aleatoro. Estos elemetos está represetados a veces por ua varable. Ua muestra es u subcojuto de elemetos de la poblacó. Hay s embargo, dsttas formas o métodos de seleccoar ua muestra, que depede, e geeral, de las característcas de la poblacó que se va a estudar. Las poblacoes puede ser ftas o ftas, s embargo, e la mayoría de los casos que se preseta e la práctca, poblacoes co u úmero fto de elemetos puede ser cosderadas como ftas. Así, cuado ua muestra cotee u úmero de elemetos meor o gual al 5% de los elemetos de la poblacó, está se cosdera fta.

26 V.4. Método de Muestreo Ua muestra es u subcojuto de elemetos de la poblacó. Hay s embargo, dsttas formas o métodos de seleccoar ua muestra, que depede, e geeral, de las característcas de la poblacó que se va a estudar. Las poblacoes puede ser ftas o ftas, s embargo, e la mayoría de los casos que se preseta e la práctca, poblacoes co u úmero fto de elemetos puede ser cosderadas como ftas. Así, cuado ua muestra cotee u úmero de elemetos meor o gual al 5% de los elemetos de la poblacó, está se cosdera fta.

27 V.5. Muestreo aleatoro smple El procedmeto empleado es el sguete:. Se asga u úmero a cada dvduo de la poblacó y 2. A través de algú medo mecáco (bolas detro de ua bolsa, tablas de úmeros aleatoros, úmeros aleatoros geerados co ua calculadora u ordeador, etc.) se elge tatos sujetos como sea ecesaro para completar el tamaño de muestra requerdo. Este procedmeto, e atractvo act por su smpleza, tee e poca o ula utldad práctca cuado la poblacó que estamos maejado es muy grade.

28 V6 V.6. Muestreo Sstemátco E alguos casos, e especal cuado hay grades poblacoes, es tardada la seleccó de ua muestra aleatora smple cuado se determa prmero u úmero aleatoro y después se cueta o se busca e la lsta de elemetos de la poblacó hasta ecotrar el elemeto correspodete. Ua alteratva t al muestreo aleatoro smple es el muestreo sstemátco, que se defe como: U método para elegr ua muestra seleccoado al azar uo de los prmeros k elemetos y a cotuacó cada k-ésmo elemeto. Más que u método de muestreo, podría ser cosderado como u proceso de seleccó, que alguos deoma seleccó a tervalos regulares. Geeralmete se le defe como la obtecó de los elemetos o udades de ua muestra medate la aplcacó de u método sstemátco, e el setdo opuesto a los aleatoros. Por tal motvo alguos o lo cosdera como u método de muestreo al azar, a meos que la lsta o marco se haya coformado al azar.

29 V.6. Muestreo Sstemátco El muestreo sstemátco o e sere, se usa frecuetemete por ser u método smple, secllo El proceso de seleccó es el sguete: a) Supogamos que ua poblacó estudada esta compuesta por 360 elemetos, además el tamaño de la muestra es de 30; co esta formacó se puede determar el tervalo de seleccó, smbolzada por I. N I = = = f N 360 I = = 2 30 Hemos determado el tervalo de seleccó, ahora se debe obteer u úmero aleatoro detro de ese tervalo; supogamos que etre 00 y 02, se obtuvo el úmero 004, al cual se le deoma puto de arraque.

30 V.6. Muestreo Sstemátco Ua vez que se ha establecdo el puto de arraque, medate la seleccó aleatora, se ca el proceso de seleccó sstemátca, correspodedo el úmero 06 a la seguda udad dd seleccoada; a ésta se le suma uevamete el valor del tervalo, para obteer la tercera udad y así sucesvamete. Lo cual se forma lo sguete:

31 V.6. Muestreo Sstemátco E el caso de que el valor obtedo para el tervalo de seleccó o sea u úmero etero, se procederá de maera dferete. Sedo la poblacó de 355 elemetos y el tamaño 30, se tedrá u tervalo gual a: I = = f = N Por lo tato el tervalo es: N I = =.83 2

32 V.6. Muestreo Sstemátco Medate la tabla de úmeros al azar se seleccoa u úmero, etre 00 y 355; supogamos que fue el 208, a partr del cual (puto de arraque) se va acumulado el valor del tervalo, así: El proceso más utlzado e la práctca, es el de calcular el tervalo de seleccó s mportar s es u úmero etero o s preseta decmales, e este últmo caso, se aproxma al úmero medatamete superor, luego se seleccoa aleatoramete (al azar) u úmero detro del tervalo, co la faldad de obteer el puto de arraque, al cual se le va acumulado el valor del tervalo.

33 V.7. Muestreo Estratfcado E este tpo de muestreo, los estratos debe de ser teramete homogéeos y debe ser dferetes etre ello, de tal forma que justfque y optmce el costo de la estratfcacó. La mecoada justfcacó se puede comprobar s dada la varaza geeral de la poblacó y comparada co cada ua de las varazas e los estratos, éstas fuera sempre meores. Lo ateror dca que todas las udades de muestra de la poblacó debe producr la formacó ecesara para que se pueda clasfcar e el estrato correspodete. Cuado ua parte pequeña de las udades d o produzca esa formacó ó que permta clasfcarla claramete, o la produzca e forma o cocluyete, éstas puede ser pasadas a u estrato específco.

34 V.7. Muestreo Estratfcado Ya estratfcadas las udades de muestreo, detro de cada estrato se realza la seleccó de la muestra por muestreo aleatoro smple o por muestreo sstemátco o be e uos estratos se aplca u método y e otros otro método. Ya defdos los k estratos, su poblacó debe ser tal N = N + N N k y e ellos se va a asgar el úmero de las udades que se va a muestrear medate alguo de los tres métodos usuales que so los sguetes: a. Por asgacó proporcoal: Reparte el tamaño de la muestra e forma proporcoal al tamaño del estrato: N wp = N El tamaño de la muestra e cada estrato es: = ( wp ) Se calcula tatas wp como estratos sea co las restrccoes de que: k wp = = k = =

35 V.7. Muestreo Estratfcado b. Asgacó óptma La asgacó óptma cosdera la proporcó de la poblacó y la varabldad o dspersó de los datos. Es útl cuado los costos de muestreo por udad para cada estrato, so smlares o o mporta y cuado las varazas so dferetes e cada estrato. Cuado más grade sea ua varaza, mayor tamaño de muestra requerrá ese estrato.

36 V.7. Muestreo Estratfcado La expresó matemátca es: N s wo = k N s = Para el caso de proporcoes: s = P ( P ) El tamaño de la muestra e cada estrato es: = ( wo ) Co las restrccoes de: k ( wo ) = = Y además: k = =

37 V.7. Muestreo Estratfcado c. Por asgacó óptma ecoómca. Cosdera la proporcó de la poblacó, la varabldad o dspersó de los datos y el costo de muestreo por udad e cada estrato. La fórmula es: N S wct = k N S = C C

38 V.7. Muestreo Estratfcado Para el caso de proporcoes: s = P ( P ) El tamaño de la muestra e cada estrato es: = ( wct ) Se calcula tatas como estratos sea co las sguetes restrccoes: y k = k = ( ) = wct =

39 V8 V.8. Muestreo por Coglomerados Los métodos presetados hasta ahora está pesados para seleccoar drectamete los elemetos de la poblacó, es decr, que las udades muestrales so los elemetos de la poblacó. E el muestreo por coglomerados la udad muestral es u grupo de elemetos de la poblacó que forma ua udad, a la que llamamos coglomerado. Las udades hosptalaras, los departametos uverstaros, ua caja de determado producto, etc, so coglomerados aturales. E otras ocasoes se puede utlzar coglomerados o aturales como, por ejemplo, las uras electorales. Cuado los coglomerados so áreas geográfcas suele hablarse de "muestreo por áreas". El muestreo por coglomerados cosste e seleccoar aleatoramete u certo umero de coglomerados (el ecesaro para alcazar el tamaño muestral establecdo) y e vestgar después todos los elemetos perteecetes a los coglomerados elegdos.

40 V8 V.8. Muestreo por Coglomerados E el muestreo por coglomerados, prmero se dvde a la poblacó e cojutos separados de elemetos, llamados coglomerados. Cada elemeto de la poblacó perteece a uo y sólo a u grupo. Después se toma ua muestra aleatora smple de los coglomerados. Todos los elemetos detro de cada coglomerado muestreado forma la muestra. El muestreo de coglomerados tede a proporcoar los mejores resultados cuado los elemetos de los coglomerados so heterogéeos (desguales). E el caso deal, cada coglomerado es ua versó represetatva, t e pequeña escala, de toda la poblacó. El valor del muestreo por coglomerados depede de cuá represetatvo sea cada coglomerado de la poblacó total.

41 V8 V.8. Muestreo por Coglomerados Esta técca tee utldad cuado el uverso que se requere estudar admte ser subdvddo dd e uversos meores de característcas smlares a las del uverso total. Se procede a subdvdr el uverso e u úmero fto de coglomerados y, etre ellos, se pasa a elegr alguos que será los úcos que se vestgará; esta eleccó puede realzarse por el método del muestreo smple o por el del muestreo sstemátco. Ua vez cumplda esta etapa, puede efectuarse ua seguda seleccó, detro de cada uo de los coglomerados elegdos, para llegar a u úmero aú más reducdo de udades muestrales.

42 V8 V.8. Muestreo por Coglomerados La vetaja de esta técca es que obva la tarea de cofeccoar el lstado de todas las udades del uverso. Su desvetaja mayor radca e que, al efectuarse el muestreo e dos etapas, los errores muestrales de cada ua se va acumulado, lo que da u error mayor que para los métodos aterores.

43 V8 V.8. Muestreo por Coglomerados La técca de coglomerados suele utlzarse cuado queremos extraer muestras de los habtates de u cojuto geográfco amplo, por ejemplo, ua gra cudad o u cojuto de pueblos, por lo que se procede a tomar cada pueblo o grupo de mazaas como u coglomerado depedete; del msmo modo, se la utlza para coocer las reservas forestales y maras, para estudar las estrellas y otros casos semejates.

44 V9 V.9. Errores de muestreo V.9.. Error sstemátco Llamado de dstorsó o sesgo de la muestra, se preseta por causas ajeas a la muestra: Stuacoes adecuadas: se preseta, por ejemplo, cuado el ecuestador tee dfcultades para obteer la formacó y la susttuye por la que más fáclmete está a su alcace, que o sempre es la más cofable. Isufceca e la recoleccó de datos: hay dstorsó por falta de respuestas, o respuestas adecuadas, ya sea por goraca o falta de datos relatvos a los elemetos cludos. d Dstorsoes del ecuestador causadas por prejucos, terés persoal o por fallas e la aplcacó de strumetos. Errores de cobertura a causa de que o se ha cludo elemetos mportates y sgfcatvos para la vestgacó que se realza.

45 V Error de muestreo o muestral Cualquera sea el procedmeto utlzado y la perfeccó del método empleado, la muestra dferrá de la poblacó. A esta dfereca se la deoma error de muestreo. Cuado ua muestra es aleatora o probablístca, es posble calcular sobre ella el error muestral. Este error dca el porcetaje de certdumbre, es decr, el resgo que se corre es que la muestra elegda o sea represetatva. S trabajamos co u error calculado e 5%, ello sgfca que exste u 95% de probabldades de que el cojuto muestral represete adecuadamete al uverso del cual ha sdo extraído.

46 V Error de muestreo o muestral A medda que cremetamos el tamaño de la muestra, el error muestral tede a reducrse, pues la muestra va acercádose más al tamaño del uverso. Del msmo modo, para ua muestra determada, d su error será meor cuato más pequeño sea el uverso a partr del cual se la ha seleccoado. Así, para u uverso de casos, ua muestra de 200 udades tedrá u error mayor que ua de 300; ua muestra de 200 casos, por otra parte, tedrá u error mayor s el uverso tee udades que s éste posee solamete

47 V.9.2. Error de muestreo o muestral Para fjar el tamaño de la muestra adecuado a cada vestgacó, es precso prmero determar el porcetaje de error que estamos dspuestos a admtr. Ua vez hecho esto, db deberá realzarse las operacoes estadístcas correspodetes para poder calcular el tamaño de la muestra que os permte stuaros detro del marge de error aceptado. A veces, s embargo, el tamaño de la muestra queda determado prevamete por cosderacoes práctcas; e tales casos, o hay otra alteratva que aceptar el vel de error que su magtud acarree.

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