Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales: + 1

Transcripción

1 MAT 5 B Sistemas de ecuaciones no lineales EJERCICIOS RESUELTOS. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, utilizando el método de punto fijo multivariable: x cos x x SOLUCIÓN x 8 x +. + sen x +. 6 e x π x + x + Resolviendo por el método de punto fijo multivariable, con sustituciones simultaneas, primero se despejaran de las ecuaciones las variables de la siguiente forma: g x cos x x + 6 g x x 9 + sen x +.6. g x e x x π 6 Para verificar que el sistema converge se deberán cumplir con las siguientes condiciones en las formulas con derivadas parciales: g x + g x + g x + x 8 x +sen x x e x x < g x + g x + g x x sen x x + + x e x x < g x + g x + g x x sen x x + cos (x ) 8 x +sen x < Luego de probar algunos valores se tomarán como valores iniciales: x, x, x.,.,.. Además de darnos como tolerancia un error de -6. Página

2 ra. Iteración () x cos x () () x () x x () 9 + sen x () () () x e x x π.54 6 error x () x () + x () x () + x () x () Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método: g + g x x + g g + g x x + g x < x < g + g + g x x x < Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá rápidamente a una respuesta, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. da. Iteración () x cos x () () x () x x () 9 + sen x () () () x e x x π.54 6 error x () x () + x () x () + x () x ().947 Luego evaluando las derivadas parciales para determinar la convergencia del método: g + g x x + g g + g x x + g x < x < g + g + g x x x < Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. Viendo estos valores se puede decir que el método convergerá, pero como el error es mayor a la tolerancia se deberá continuar con otra iteración. Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i x i y i z i error.. -.,49998,76 -,54,74556 Página

3 , ,8 -,546,4,5 -,8 -,5598,58 4,5, -, ,5, -, RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente: x. 5 y z error Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x + x + e x +x x x x x x sen x x + x. 4 x a) El método de Newton - Raphson multivariable Solución - En primer lugar se debe despejar e igualar cada función a cero: f x + x + e x +x + x x 6.78 f x + x x f sen x x + x + x.4 - Resolviendo por el método de Newton-Raphson multivariable, con las siguientes formulas: x i+ x i + i x (i+) x (i) + (i) x (i+) x (i) + (i) - Los valores del vector [hx i, hy i, hz i], se determinan resolviendo el sistema de ecuaciones: Donde: [J][] [ f] La matriz [J] de derivadas parciales, o matriz Jacobiana es: f x x + e x +x + x f 4x x + e x f +x x x J f x f + x x f x x f x x cos x x + f x x f x x cos (x x ) Página

4 El vector [-f ] es el valor negativo de cada ecuación del sistema: f x x e x +x x x x x x sen x x x x Considerando las características de las funciones, se tomarán los siguientes valores iniciales: x, y, z ra Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: J x + e x +x + x 4x + e x +x + x x cos x x + x x x x cos (x x ) J Evaluando los valores en el vector de funciones: f x x e x +x x x x x x sen x x x x Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación: J f () () () () () () Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: x x x () x () + () Página 4

5 x () x () + () Por otra parte para verificar el error se puede calcular la distancia entre los valores de la primera iteración y lo valores iniciales con la siguiente formula: error x x + x x + x x Si tomamos una tolerancia de -5, se continúa el algoritmo con una siguiente iteración. da Iteración - Evaluando los valores iniciales en la matriz Jacobiana se tiene: J x + e x +x + x 4x + e x +x + x x cos x x + x x x x cos (x x ) J Evaluando los valores en el vector de funciones: f x x e x +x x x x x x sen x x x x Reemplazando se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que se resuelve a continuación: J f () () () () () () Sumando estos valores a los iniciales se tiene los nuevos valores de las variables: Página 5

6 x x () () () x x () () () x x error x x + x x + x x Las siguientes iteraciones se muestran en la siguiente tabla: i x (i) x (i) x (i) error x (i) x (i ),,,,5886,584 -,698,985,446 -,,69,8575,475 -,47 -,979,784 4,4695, -,7768,684 5,46954, -,7777,9 RESPUESTA.- La solución al sistema de ecuaciones es la siguiente: x x x error 6 Si necesitan más ejercicios resueltos entre en el blog de la materia: Página 6

7 MAT 5 B Interpolación EJERCICIOS RESUELTOS. Dada la siguiente tabla de datos: Puntos 4 x i y i a) Primero construir la tabla de diferencias divididas, para aproximar la función en los siguientes puntos: Solución ra. diferencia dividida. f x, x y y x x f x, x y y f x, x y y x x x x f x, x 4 y 4 y x 4 x..9 da. diferencia dividida f x, x, x f x,x f x,x x x f x, x, x f x,x f x,x x x f x, x, x 4 f x,x 4 f x,x x 4 x ra. diferencia dividida f x, x, x, x f x,x,x f x,x,x x x f x, x, x, x 4 f x,x,x 4 f x,x,x x 4 x ta. diferencia dividida f x, x, x, x, x 4 f x,x,x,x 4 f x,x,x,x x 4 x Estos resultados se muestran en la siguiente tabla: Página 7

8 Página 8 i xi yi ra. diferencia da. diferencia ra. diferencia 4ta. diferencia.. f x, x f x, x, x.8959 f x, x f x, x, x, x f x, x, x f x, x, x, x, x 4.49 f x, x.556 f x, x, x, x f x, x, x f x, x Página 8

9 b) Para x., con un polinomio de do. grado. Solución Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de segundo grado solo se necesitan puntos, se utilizarán los puntos más cercanos al punto buscado x.: i xi yi ra. diferencia da. diferencia x... f x, x f x, x, x f x, x La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es x : P x y + f x, x x x + f x, x, x x x (x x ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: P x x x. x.5 Evaluando en el punto requerido, x.: P Respuesta P.. 85 Página 9

10 c) Para x. 75, con un polinomio de er. grado. Solución Ubicando el punto buscado en la tabla de datos, tomando en cuenta que para un polinomio de tercer grado se necesitan 4 puntos: i xi yi ra. diferencia da. diferencia ra. diferencia.5. x f x, x f x, x, x f x, x.556 f x, x, x, x f x, x, x f x, x La ecuación de interpolación por diferencias divididas de tercer orden es la siguiente, donde es importante notar que el primer punto de los datos usados es x : P x y + f x, x x x + f x, x, x x x x x +f x, x, x, x 4 x x x x (x x ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: P x x x.5 x x.5 x.7 (x.9) Evaluando en el punto requerido, x.75: P (.75.9) Página

11 Respuesta P d) Para x. 5, con un polinomio de do. grado. Solución Ubicando el punto en la tabla de datos se puede notar que se encuentra fuera del rango de datos, pero de todas formas se puede interpolar este valor, utilizando los datos más cercanos a este punto. x i xi yi ra. diferencia da. diferencia.7.56 f x, x f x, x, x f x, x La ecuación de interpolación por diferencias divididas de segundo orden es la siguiente, donde el primer punto de los datos que se usarán es x : P x y + f x, x x x + f x, x, x 4 x x (x x ) Reemplazando valores, se obtiene el polinomio: P x x x.7 x.9 Evaluando en el punto requerido, x.5: P Respuesta P Página

12 . Con los siguientes valores: Puntos x i y i Obtener el valor de la función para x 9, con un polinomio de do. grado, utilizando los siguientes métodos: a) Por interpolación polinominal simple. Solución Con un polinomio de segundo grado, solo se utilizarán los pares de puntos que estén más cerca del punto buscado (x 9), en la tabla, por lo que tendríamos una nueva tabla con los datos: 9 Puntos x i 6 8 f(x i ).6.8. Para interpolar polinomios con este método se tiene que reemplazar cada par de datos en la ecuación característica de segundo grado: a + a x + a x y a + a x + a x y a + a x + a x y Reemplazando los datos: a + a (6) + a 6.6 a + a (8) + a 8.8 a + a () + a. Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales: a + 6a + 6a.6 Página

13 a + 8a + 64a.8 a + a + a. Que resolviendo por alguno de los métodos conocidos: a. a.4 a. Con lo que el polinomio de interpolación resulta ser un polinomio de er. grado: P (x). +.4x Para verificar este resultado se puede graficar los puntos:,5,5,59,8,5, Reemplazando el valor requerido: Respuesta P P b) Por polinomios de Lagrange. Solución Interpolando por el método de Lagrange se utiliza la siguiente formula: Página

14 Donde: P n x L i n n i j j i L i f x i x x j x i x j En este caso con un polinomio de segundo grado y con los puntos utilizados, la formula sería: P x x x x x x x x x f x + x x x x x x x x f x + x x x x x x x x f x Puntos x i 6 8 f(x i ).6.8. Reemplazando los valores de la tabla: P x x 8 x x 6 x x 6 x P x x 8 x.7 + x 6 x x 6 x 8.75 P x.7x.6x x +.87x x.55x + 8 P x.4x. Finalmente evaluando el polinomio en el punto: P Respuesta P c) Por diferencias finitas. Solución Resolviendo por el método de interpolación de Newton con diferencias finitas, se necesita verificar que la distancia entre los puntos x i sea la misma: Página 4

15 Puntos La fórmula de este método es la siguiente: x i 6 8 P n x P n x + s f x + s f x + s s s +! f x + s s s s n+ n! s s! n f(x ) f x + Para un polinomio de segundo grado, considerando que el primer punto no es x sino es x, por lo que la formula queda: Donde: P x P x + s f x + s f x + s x x s s! f x f x f x f(x ) f x f x f x f x f x f x Reemplazando con los datos: Puntos x i 6 8 f(x i ).6.8. s x x x 6 f x f x f x f x f x f x..8.8 f x f x f x.8.8 Luego el polinomio sería: P x P x + s.6 + x 6.8.4x. P x.4x. Página 5

16 Finalmente evaluando el polinomio en el punto: Respuesta P P Comparando los resultados de los incisos, se puede ver que interpolando con cualquier método se obtiene el mismo polinomio, y por supuesto el mismo resultado.. Con los siguientes datos: Puntos x i y i Calcular los coeficientes de la ecuación: y i a e b.98x i Resolviendo con el método de mínimos cuadrados, linealizando la ecuación. Solución Como se puede ver la ecuación mostrada no es lineal, sino exponencial, por lo que se deberá hacer un cambio de variable para linealizar la ecuación, de la siguiente manera: - Primero aplicando logaritmos a ambos lados de la función: ln(y i ) ln a e b.98x i Por propiedades de logaritmos: b ln(y i ) ln a + ln e.98x i b ln(y i ) ln a.98x i b ln(y i ) ln a.98 x i Página 6

17 - Luego realizando el siguiente cambio de variables: ln y i w i ln a c b.98 c t x i i Con lo que se tiene una ecuación lineal: w i c + c t i - De la misma forma se tiene que realizar las operaciones en cada valor de la tabla: Puntos x i y i t i x i w i ln y i ,4-9, , -8, ,5-6, ,94-4, ,778 -, ,6 -, ,5 -,475 Finalmente resolviendo por el método de mínimos cuadrados, debe calcular la siguiente tabla: Puntos t i w i t i t i w i,4-9,696, ,977, -8,567, -5 -,8544,5-6,4669 9, ,97,94-4,657 8, ,545 4,778 -,9567 7, ,8 5,6 -, , ,886 6,5 -,475 6,5-6 -,68,7 -, , ,679 Página 7

18 Luego para calcular los coeficientes c y c se tiene que resolver el siguiente sistema de ecuaciones: n c + c t i w i c t i + c t i t i w i Reemplazando los valores de las sumatorias, donde n 7 es el número de puntos. 7c +.7c c c.679 Resolviendo el sistema: c c.4 Con lo la ecuación queda: w i c + c t i t i Finalmente se reemplazando a las variables originales: ln a c a e c e a b.98 c b.98c.9 (.4 ) b Con lo que la ecuación queda: y i a e b.98x i y i x + e i Para verificar los resultados se debe graficar la ecuación obtenida: Página 8

19 yi,,9,8,7 Curva regresionada,6 Datos Originales,5,4,,,, xi Respuesta Luego de verificar los coeficientes en la gráfica, se tiene como resultado: a b y i e x i Si necesitan más ejercicios resueltos entre en el blog de la materia: Página 9