1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y ' + y = 0

Transcripción

1 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones. Grafique la familia e curvas que representa la solución general e la ecuación iferencial: ' + = 0 Solución: la ecuación iferencial se la puee resolver por variables separables, como se ve. ' + = 0 = c ln c ke = + = + = Para graficar la familia e curvas se proceerá a signar valores a la constante, e one se hallan las siguientes curvas. k = 0 k = k = = ke k = k =. Daa la ecuación iferencial ' =, etermine la solución general en función e k, grafique las curvas integrales encuentre la solución particular que verifica () =. Solución: la solución se la puee hallar por el métoo e variables separables, como se observa. ' = = c ln ln k k = + = = Determinao la solución particular para las coniciones aas. = () = = k = k = = Graficano la familia e curvas:. Daa la ecuación iferencial ' + 4 = 0, etermine la solución general, grafique las curvas integrales encuentre la solución particular para: () = Solución: resolvieno por el métoo e variables separables, se tiene: ' + 4 = 0 ' = 4 = 4 = + = Proceieno a integral simplificano: 0 ln ln ln 4 ln ln ln 4 + = 4 + = c + = c + = c ln + ln = c ln = c = ln k = k... Solucion _ gral jn_hc@hotmail.com

2 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Hallano la solución particular para la conición reemplazano en la solución general = 4 () = k k = = = 4 =... Solución _ Part. La gráfica e la solución particular será: 4. Resolver la ecuación iferencial por variables separables. = Solución: separano variables a que tiene la forma e f = g. = = = 0 Proceieno a integrar: Orenano simplificano al máimo: = 0 = 0 ln = c 5. Resolver la siguiente ecuación iferencial ln c ln k ln ln k ln = = + = + = k + ' + = 0 Solución. Si factorizamos términos semejantes, poemos emplear el métoo e ecuación iferencial e variables separables a que tiene la forma f = g. ( + ) ' + = 0 ( + ) = ( ) = + c... A + Integrano por cambio e variable en ambas integrales tenemos: v = ( v) v = ( v) = ln v + v = ln ( ) + ( ) v = v u = + ( u ) u + = u = u + ln u = + + ln + + u = + u + Reemplazano las últimas os integrales en la ecuación A, empleano propieaes simplificano. jn_hc@hotmail.com

3 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones ( ) ( + ) + ln ( ) + ( ) = ( + ) + ln ( + ) + c ln ( + ) + = c + ln + ( + ) ( ) = c 6. Resolver la ecuación iferencial por variables separables. + = Solución: factorizano en el enominaor enominaor, separano variables a que tiene la forma e f = g. + ( ) + ( ) ( )( + ) = = = = + c... A ( ) + 4( ) ( )( + 4) Resolvieno las integrales por separao. = = = 5ln( + ) = = = 5ln( + 4) Reemplazano las anteriores integrales en A ln( + ) = 5ln( + 4) + c 5ln = + c = ke Resolver la ecuación iferencial homogénea + + = 0. Solución: para resolver la ecuación iferencial, se hará el siguiente cambio e variable por ser una ecuación iferencial homogénea que tiene la forma ' = f. u = u u u u u + = 0 = u + u = = = = + u u u u Separano las variables e integrano se tiene: u u u 4u = u c u c ln( u ) ln k u k 4 u = + = + = = u 4 u 4 Volvieno a las variables originales, según = u, se tiene. 5 + k 4 k k 4 4 = = + = 8. Resolver la ecuación iferencial homogénea + e e = 0, si () = 0. jn_hc@hotmail.com

4 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Solución: como se observa la ecuación iferencial es homogénea, a que tiene la forma e ' = f. Por lo tanto se hará el siguiente cambio e variable con su respectiva erivaa. = u u u e u ue ue u u + e e = 0 = u u + = = = = + u u u u + e u + e u + e u + e Separano variables e integrano, se tiene: u u u u ln ln ln u u u u + e = u = + c + e u = + c u e = k ku = e u u u u + e Volvieno a las variables originales, se tiene: = u u = ln( k) = e Determinano el valor e k para las coniciones iniciales: = k e k e e = 0 () = 0 ln = 0 = ln = 9. Resolver la ecuación iferencial homogénea cos + sin = cos. Solución: como se observa la ecuación iferencial es homogénea, a que tiene la forma e ' = f. Orenano realizano el cambio e variable para una E.D. homogénea: cos + sin = u cos sin cos + tan u = = + = u cos = + u u ( u + tan ( u) ) = + u tan u = = u u = 0 tan u tan u De la última epresión proceieno a integrar: cos u 0 u u 0 ln ln sin u c ln c ln k k = tan u = = = = = sin u sin u sin u Volvieno a las variables originales, se tiene: = u u = = k = k sin sin = 0 0. Resolver la siguiente ecuación iferencial reuciénolas a homogéneas. jn_hc@hotmail.com 4

5 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones a + b + c Solución: la ecuación iferencial tiene la forma ' = f por lo que es posible reucirla a una ecuación a + b + c homogénea. Hallano el punto en común entre las rectas, hacieno los cambios e variable respectivos se tiene: ( 4 9) 4 9 = 0 = + u, = u ( 4 9) + ( 4 + ) = 0 = P(, ) ( 4 + ) 4 + = 0 = + v, = v v u 4v = u 4u + v Reucieno la última ecuación a homogénea con un cambio e variable, aemás e separar variables, se tiene. v = wu v u 4v w u 4wu w 4w w w + = v w u + w = u = w u = u 4u + v = u + w u 4u + wu u 4 + w u 4 + w u u 4 + w 4 w w = u + c + w = u + c 4 arctan ( w) + ln ( w + ) = ln u + c w + u w + ( w + ) u Llevano en función e las variables originales, se tiene: v + v = wu w = = + + u 4 arctan + ln + = ln ( ) + c u =. Resolver la siguiente ecuación iferencial reuciénolas a homogéneas 6 + ' = 6 a + b + c Solución: la ecuación iferencial tiene la forma ' = f por lo que es posible reucirla a una ecuación a + b + c homogénea. Primero se ebe hallar el punto en común entre las rectas, seguno se ebe hacer los cambios e variable respectivos: = 0 = + u, = u v 6u + v ' = = P(,0) = 6 6 = 0 = v, = v u 6u v Tenemos una ecuación homogénea, por lo que se ebe recurrir a otro cambio e variable. v = wu v 6u + v w 6 + w w 6 + w w w 5w + 6 ( w )( w ) = v w u + w = u = w + u = = u 6u v = u + w u 6 w u 6 w u 6 w 6 w u u 6 w w = u + c... A w w u La primera integral se proceerá a resolver meiante fracciones parciales. 6 w a = lim ( w ) w = ( w )( w ) 6 w a b 4 ( w ) w = + w w = ln 4 ( w )( w ) w w w w 6 w ( w ) b = lim ( w ) 4 w = ( w )( w ) 5 jn_hc@hotmail.com

6 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Reemplazano la última integral en A volvieno a las variables originales, se tiene: v ( w ) ( w ) w = = ( + 6) ln = ln ku = ku 4 4 u = k 4 ( ) = k 4 ( w ) ( w ) u ( + 4) =. Resolver la siguiente ecuación iferencial reuciénolas a homogéneas ' = + 5 a + b + c Solución: la ecuación iferencial tiene la forma ' = f por lo que es posible reucirla a una ecuación a + b + c homogénea. Primero se ebe hallar el punto en común entre las rectas, seguno se ebe hacer los cambios e variable respectivos: = 0 = + u, = u v u + v ' = = P(,) = = 0 = + v, = v u u v Tenemos una ecuación homogénea, por lo que recurrimos a otro cambio e variable. v = wu v u + v w u + wu + w w + w w + w + w w + w + = v w u + w = = u = w + = u = u u v = u + w u u wu w u w w u w u u w w w = u w u = 0 w + w + u w + w + u w De la última epresión proceieno a integrar: w u = 0... A w + w + u Resolvieno la integral por separao, se tiene: w w w + = z w z w = w ln ln w = z z z ( w ) w w ( w ) w z = = = ( w ) z + + z z z w + Reemplazano las integrales anteriores en A, se tiene: ( w + ) u ln ( w + ) ln u = c + ln ( w + ) + ln u = c = ln k ln = w + w + k w + Volvieno a las variables originales: v + ( ) w + u w = = ( ) ln u ln + = = ln k w k = + k + u = +. Resolver la siguiente ecuación iferencial + cos + + sin = 0. Solución: jn_hc@hotmail.com 6

7 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones P Q Verificano si es una ecuación iferencial eacta para ello ebe cumplirse con P(, ) + Q(, ) = 0 =, esto F F se a siempre cuano P(, ) + Q(, ) = +, one F es F = 0 es solución e la ecuación iferencial. P Q ( + cos) + ( + sin) = 0 = 6 + cos, = 6 + cos P Q Como es una ecuación iferencial eacta, poemos hallar la solución F integrano P respecto e, como se ve. P = + cos F = ( + cos ) + k F = + sin + k Ahora eterminemos k() erivano F respecto e e igualano a Q. F k k = + sin + = Q + sin + = + sin k = c F = + sin + c = 0 4. Resolver la siguiente ecuación iferencial = Solución: P Q Verificano si es una ecuación iferencial eacta para ello ebe cumplirse con P(, ) + Q(, ) = 0 =, esto F F se a siempre cuano P(, ) + Q(, ) = +, one F es F = 0 es solución e la ecuación iferencial. P Q = 0 =, = P Q Como es una ecuación iferencial eacta, poemos hallar la solución F integrano P respecto e, como se ve. P = + + F= k F ln k = Ahora eterminemos k() erivano F respecto e e igualano a Q. F k k k = + = Q + = + = k= ln + c Reemplazano k = ln + c en F, se tiene: ln ln 0 F = c = 5. Resolver la siguiente ecuación iferencial ( sin sin ) ( cos + cos ) = 0. jn_hc@hotmail.com 7

8 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Solución. Si introucimos el signo negativo entro el paréntesis obtenemos una ecuación iferencial eacta a que cumple P Q con P(, ) + Q(, ) = 0 =, esto se a siempre cuano P(, ) Q(, ) F F + = +, one F es F = 0 es solución e la ecuación iferencial. P Q ( sin sin ) + ( cos cos ) = 0 = sin cos, = cos + sin P Q Como es una ecuación iferencial eacta, poemos hallar la solución F integrano P respecto e, como se ve. P = ( sin sin ) F = ( sin sin ) + k F = cos sin + k Ahora eterminemos k() erivano F respecto e e igualano a Q. F k k = cos cos + = Q cos cos + = cos cos k = c F = cos sin + c = 0 6. Resolver la ecuación iferencial + ( + 4 ) = 0, para (4) = 0 Solución: eterminemos si la ecuación iferencial es eacta. P Q P Q = 0, = Como no es eacta ebemos hallar un factor que transforme la ecuación iferencial en eacta, para ello aplicamos la siguiente formula. P Q f f = ( 0 ) u e e = = = = u = e P Multiplicano este factor a las funciones P Q, obtenieno así una ecuación iferencial eacta P = e P Q e + e ( + 4 ) = 0 = P Q Q = e Ahora proceieno a resolver e la misma manera que el anterior ejercicio, se tiene. P = e F = e + k F = e + k Derivano F respecto e e igualano a Q se obtiene la solución e la ecuación iferencial. F k k = e + = e ( + 4) = 4 e k = e + c F = e + e + c = 0 = 0 Determinano el valor e c, e acuero a las coniciones iniciales. (4) = 0 c = 0 e + e 0 = 0 = 4 7. Resolver la siguiente ecuación iferencial lineal + + = ( ) 0 Solución: para que sea una ecuación iferencial lineal, ebe tener la forma: P Q + = + + ( + ) = 0 + = jn_hc@hotmail.com 8

9 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Como se observa tiene la forma e una ecuación iferencial lineal, por lo que para resolverla emplearemos la siguiente formula que nos permitirá hallar la solución, en one solo ebemos ientificar las funciones P Q. P P = e e Q + c { } { } ( ln ) ( ln + + ) = e e + c = e e + c = e e + c Empleano propieaes e logaritmos en el eponencial, se tiene. ( ln + ) ( ln + ) = e e + c = e e c e e c e e c + = + = + De one la solución e la ecuación iferencial será: { = + ce } { } { } { } { } 8. Resolver la siguiente ecuación iferencial lineal i L Ri E t + =, para i(0) = i0. Solución: iviieno la ecuación entre L, e tal manera que se asemeje a una ecuación iferencial lineal P Q + =. i i R E L + Ri = E + i = t t L L P P = e e Q + c en one se hará la siguiente analogía i =, = t. Empleano la formula { } t { ( t) } P( t ) t P t i = e e Q t + c R R R R R R R t t E t t E t E t E t L L L L L L L i = e e t + c = e e t + c = e e + c i = + ce L L R R i = i0 E E La constante c se puee calcular meiante las coniciones iniciales i(0) = i0 i0 = + c c = i0 t = 0 R R E E i = + i0 e R R R t L 9. Resuelva la siguiente ecuación iferencial e Bernoulli ' ( ) + =. α Solución. Para que sea una ecuación iferencial e Bernoulli ebe tener la siguiente forma. + P = Q, esta ecuación se hace lineal valiénose e la sustitución z = α jn_hc@hotmail.com 9

10 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones z = = ' + = ( ) + = ( ) z = ( ) = Llevano la ecuación iferencial en función e las nuevas variables. z z ( ) = En one esta ultima ecuación iferencial es un ecuación lineal, empelano la formula para hallar la solución. ( ) ( ) z = e e ( ) + c = e e ( ) + c = e e + c z= + ce { } { } Llevano en función e las variables originales, se tiene. { } z = z = = + ce = + ce 5 0. Resuelva la siguiente ecuación iferencial e Bernoulli =. α Solución: para que sea una ecuación iferencial e Bernoulli ebe tener la forma + P = Q, esta ecuación se hace lineal valiénose e la sustitución z = α z = = 6 + = 0 = 5 + = z = Llevano en función e la nueva variable. z z + = En one esta ultima ecuación iferencial es un ecuación lineal, empelano la formula para hallar la solución. ln ln z = e e + c e e c = { c} c z c + = + = + = + Llevano en función e las variables originales: jn_hc@hotmail.com = z = + c = = = + k + k c +. Hallar la ecuación e la curva, para la cual, el segmento interceptao por la tangente en el eje e abscisas es igual al cuarao e la orenaa el punto e contacto. 0

11 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Solución: la gráfica según el problema tenrá la siguiente forma, sea c la curva que se esea hallar. El segmento interceptao será la siguiente ecuación Y el cuarao e la orenaa en el punto e contacto será = = De one tenemos una ecuación iferencial lineal e primer oren. P( ) P ( ) = e { e Q + c} = e e ( ) + c ln ln = e e + c = + c = + c { } De one la solución esta compuesta por una familia e parábolas: + + c = 0. Resuelva la ecuación iferencial: + ' = 0 grafique la familia e curvas asociaas a la solución general. Luego ientifique la curva que pasa por el punto (,-). k k Solución: + ' = 0 = c ln ln = + = = k = Ientificano la curva que pasa por (,-), tenemos: = = = De one se puee obtener la gráfica siguiente.. Si P=P(t) etermine la solución e la ecuación iferencial: ecuación iferencial. P P t = luego erive la solución retorne a la Solución: P = P P = t + c P = t + c + P = t + c t P P p + P P + jn_hc@hotmail.com

12 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones P P t ke P t c ln + = + = t + c = ke P = + P P + P + P + ke Derivano la anterior ecuación para comprobar si es solución: ( P ) t + ke P t P t t P = = ke = k ke P + P + e. Resuelva la ecuación iferencial ' + = + utilizano variación e la constante. Derive la solución retorne a la ecuación iferencial original. + k Solución: ' + = + ' + = ' + = 0 = Derivano reemplazano en la ecuación iferencial: k = k ' k k + = + k ' = + k= + ln + c k ' k ' = + ln + c Reemplazano en se tiene la solución: = + ln + c Comprobano si es solución: = ( ln ) ' = c ' + ' = 0 ' + = + 4. Resuelva el PVI: = 0, () = P Q Solución: es una ecuación iferencial eacta: = + = = + F = k F = k Derivano respecto a e igualano a Q De one tenemos el resultao: t ( ) ( + ) ( ) + ( + ) t t t P ' P e P P ' e P e = k = 0 P ' P + P ' P P = 0 t P + e P + e P ' = P P ' = P F = + + ' = + ' = = + k k k c = F = c = 0 k = = 0 = 5. Se aplica una fuerza electromotriz e 00 v a un circuito en serie en el que la resistencia es e 00 ohms la capacitancia es e 0-4 faras. Escriba la ecuación iferencial asociaa. Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0 Encuentre la corriente i(t) Solución: sumano la caía e tensión en los componentes e igualano a la fuente: t t jn_hc@hotmail.com

13 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones q q q q q V q Ri + = V R + = V + = + 50q = c t c t Rc R t 50t Aplicano la solución meiante la fórmula e la ecuación lineal. q( t) = + ce 00 50t Si q(0)=0, se tiene. q( t) = ( e ) 00 q i = = e i = e t 00 t Derivano para hallar la corriente ( 50 ) 50 50t 6. Una taza e café se enfría e 80 ºC a 60 ºC en cinco minutos a una temperatura ambiente e 0 ºC. Planteé la ecuación iferencial resuélvala Cuál es la temperatura e la taza a los 0 minutos? En cuánto tiempo la temperatura llega a 0 ºC? T kt kt Solución: = k ( T Tm ) T = Tm + Ce T = 0 + Ce t Si en t=0 la temperatura e la taza es 80 ºC, se tiene. 80 = 0 + C C = 70 T = e kt Si espués e 5 minutos la temperatura es 60 ºC, se tiene. 60 = e k = T = e 0.067*0 La temperatura e la taza la los 0 minutos será: T = e T = 8.º C El tiempo en el cual la temperatura llega a 0 ºC: 0.067t 0 = e t = 9.04 min. k t 7. Si ( B ) = one B es una constante, es solución e una ecuación iferencial e primer oren, escriba la ecuación iferencial. Solución: espejano B, erivano se tiene. ( + ') ( + )( + ') + ( ) = ' = ' = 0 B B + = = = ' ' ' 0 ' '. Resuelva la ecuación iferencial ( ) ientifique la curva que pasa por el punto (,4) Solución: ( ') = 4 ' = ± = ± + c = ( c ± ) ' = 4 grafique la familia e curvas asociaa a la solución general. Luego jn_hc@hotmail.com

14 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Graficano las curvas para (,4): = = c ± c =, = ( + ), = ( + ) = 4. Si P=P(t), etermine la solución e la ecuación iferencial ( ) ecuación iferencial original. P = P P, luego erive la solución retorne a la t t P P P t ke Solución: = P ( P) p t c ln t c ke P t t + = + = + = = P P P P + ke Derivano: t t t P P '( P) e P ( P ' e + ( P) e ) = k = 0 P ' ( P) + PP ' P( P) = 0 P ' = P( P) t ( P) e t P e ( ). Resuelva la ecuación iferencial a la ecuación iferencial. ' + = 0 utilizano variación e la constante. Derive la solución retorne Solución: ' 0 Derivano reemplazano en la ED: + = = + c = ke = ke ' = k ' e + k( e ) k ' e + k( e ) + ke = 0 0 k ' = 0 e k = e + c 0 0 Reemplazao para hallar la solución: = e + c e = + ce Derivano para verificar si es solución: = + ce c ' = e ' ' e + e = 0 ' + 0 = 0 ' + = 0 4. Resuelva el PVI e: = 0, () = Solución: es una ecuación iferencial eacta, entonces se tiene: Derivano F respecto e e igualano ( + ) F = + + k F = + k F = + + k ' = + k ' = k = + c jn_hc@hotmail.com 4

15 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Reemplazano en F se obtiene la la siguiente solución: ( + ) Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones F = + c = 0 ( + ) = k Hallano el PVI: () = + * = k k = 4 + = 4 5. Un Circuito serie conecta una inuctancia e henr con una resistencia e 0 ohmios a una fuente e voltios. Escriba la ecuación iferencial asociaa. Resuelva para i(t) si i(t)=0 Calcule e interprete: lim i( t) t Solución: sumano la caía e tensión en los componentes e igualano a la fuente se tiene: R V 6 ke Li ' + Ri = V i ' + i = i ' + 5i = 6 i( t) = L L 5 5t ( e ) 5t 6 Si i(t)=0, se tiene: k = 6 i( t) = 5 5t 6( e ) 6 6 Interpretano el límite: i( ) = lim = i = Amp la inuctancia se cortocircuita. t La población e una comunia se incremente a una tasa proporcional al número e personas presente en el tiempo t. se sabe que en cinco años la población inicial A se uplica. Plantee la ecuación iferencial resuélvala Cuánto tara la población en triplicarse? Cuánto tara la población en cuariplicarse? Solución: A Ak ln A kt c A ke kt t = = + = Analizano el PVI si t=0 entonces tenemos una población inicial A 0 : A = ke k = A A = A e k 0 kt A = A Si se sabe que en 5 años la población se uplica: A = A e k = 0.8 A = A e t = Cuánto tara la población en triplicarse: A = A e t t = 8años Cuánto tara la población en cuariplicarse: = t 0 = 0 0 k 5 0.8t A A e t años 7. Si ( A ) = one B es una constante, es solución e una ecuación iferencial e primer oren, escriba la ecuación iferencial. Solución: espejano B, erivano se tiene. ( + ') ( + )( + ') ( ) = ' = ' = 0 A A + + = = = ' ' ' 0 ' ' jn_hc@hotmail.com 5

16 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones Formulario Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES: f = g f = g + c ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES: si ' = f ( a + b + c), puee reucirse a variables separables con el cambio e variable u = a + b + c. TRAYECTORIAS ORTOGONALES: si F(,, ') = 0 entonces la ecuación iferencial e las traectorias ortogonales será: F(,, ) 0 ' = jn_hc@hotmail.com 6

17 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: si P(, ) + Q(, ) t = 0 ' = f es homogénea ebe poer reucirse a una ecuación iferencial e variables separables con el siguiente cambio e variable = u. a + b + c a + b + c = 0 ECUACIONES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS: si ' = f, one son rectas a + b + c a + b + c = 0 no paralelas. Esta ecuación ebe poer reucirse a una ecuación homogénea con el siguiente cambio e variables = u + α, one α β son el punto en común entre las rectas. = v + β ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS: si P(, ) + Q(, ) t = 0, es una ecuación iferencial eacta ebe P Q cumplir con: = FACTOR INTEGRANTE: si P(, ) + Q(, ) = 0, no es una ecuación iferencial eacta, se ebe hallar un factor e integración e moo que la anterior ecuación se vuelva eacta. El factor e integración u esta eterminao por: P Q f P Q g f u e, g = u e = = =. Q P ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: si la ecuación iferencial tiene la forma: P Q + =, entonces la solución e la ecuación iferencial se hallara meiante la siguiente formula: P P = e e Q + c { } α ECUACIÓN DE BERNOULLI: si la ecuación iferencial tiene la forma: + P = Q entonces es posible reucirla a una ecuación iferencial lineal e primer oren meial el siguiente cambio e variable z = α. RECTA TANGENTE A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta tangente a la curva en el punto P(,), viene aa por la siguiente ecuación: = + c = ' + c RECTA NORMAL A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta normal a la curva en el punto P(,), viene aa por la siguiente ecuación: = + c = + c ' Reglas e erivación: si c es una constante cualquiera las funciones u, v, w son erivables, se tiene. = 0 Derivaa e una constante. c u v uv = v + u Derivaa e un proucto. jn_hc@hotmail.com 7

18 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga u ( cu) = c Derivaa e una constante por una función. u v w ( u + v w) = + Derivaa e una suma. Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones u v v u u = Derivaa e un cociente. v v Formulas principales e erivación n n n = ( sin ) = cos ( cos ) = sin ( tan ) = sec ( ctan) Tabla e integrales elementales: = csec arcsin = ( log a ) =, ( ln ) = ln a arccos = ( sinh ) = cosh arctan = ( cosh ) = sinh + arcctan = ( tanh ) = + cosh a = a ln a, e = e ( ctanh) = sinh n+ n = + c n + ln c = + + arctan + c = arcc tan + c + = ln + c arcsin + c sin = cos + c = arccos + c = ln + ± + c cos = sin + c ± a a = + c cot an c ln a sin = + e = e + c tan c cos = + PRACTICA # jn_hc@hotmail.com 8

19 Elaborao por: Jhonn Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales e Primer oren Aplicaciones c. Resolver (ED separables): ' = Rpta: = +. Resolver (ED separables): + = + Rpta: + = ln ( + ) + c 4. Resolver (ED separables): e + e = 0 Rpta: e + e = c 4. Meiante el cambio e variable u 5. Meiante el cambio e variable u 6. Resolver (ED homogénea): 7. Resolver (ED homogénea): 8. Resolver (ED homogénea): + =, resolver ' ( ) = + Rpta: arctan( + ) = + c =, resolver 'ln ( ) = + ln ( ) Rpta: ln = c + = 0 Rpta: ln c + = + + = 0 Rpta: ln + c + = 8 + = 0, () = Rpta: = Resolver (ED reucibles a homogéneas): ' = Rpta: ln c( + ) = Resolver (ED reucibles a homogéneas): ' = 4 + Rpta: ln ( ) + ( + ) 8arctan = k + 4. Resolver (ED eactas): ( + 6 ) + (6 + 4 ) = 0 Rpta: + + = c. Resolver (ED eactas): ( e sin sin ) + ( e cos + cos) = 0. Resolver (ED factor e integración ): Rpta: e sin + cos = k + = 0 Rpta: ln = c = 0 4. Resolver (ED factor e integración ): Rpta: 5. Resolver (ED lineal): ' = tan + cos Rpta: 6. Resolver (ED lineal): ' = sin + sin 7. Resolver (ED Bernoulli): 4 e + e = c + = Rpta: ( c) = + sin + c cos cos Rpta: = 8sin + ce + = Fecha e entrega viernes e septiembre. Nota los no asistentes a las clases e auantía eberán resolver toa la práctica. jn_hc@hotmail.com 9